распределения вероятностей случайной величины

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Случайные величины измеряются и анализируются в
терминах их статистических и вероятностных свойств, главным
выразителем которых является функция распределения. Хотя
число потенциально возможных моделей распределения велико,
относительно небольшое их число находится на особом
положении – либо потому, что они обладают желательными
математическими свойствами, либо потому, что хорошо
описывают какую-то часть действительности, либо в силу обеих
причин.
Биномиальное распределение B(n,p)
Дискретная случайная величина Х, которая может
принимать только целые неотрицательные значения с
вероятностью:
x x
n x
B ( n, x ) C n p (1  p )
,
где р>0, 0  x  n
называется распределенной по
биномиальному закону, а р  параметром биномиального
распределения.
Биномиальная случайная величина В(n,p) есть число
успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью
успеха в каждом испытании, равной p.
Ряд распределения случайной величины, подчиненной
биномиальному закону, можно представить в следующем виде.
Х=х
B(n,p,x)
0
0 0
n 0
Cn p (1  p)
… x
x x
n x
C n p (1  p)
…n
n n
n n
Cn p (1  p)
75
Функция распределения в этом случае определяется
формулой
⎧
0
⎪
i i
n i
F ( x ) ⎨  Cn p (1  p)
ix
⎪
1
⎩
при
x 0
при 0  x n
при
.
x n
Рис. 15. Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина Х, которая может
принимать только целые неотрицательные значения с
вероятностями
P(x, λ ) 
x λ
λ e
x!
,
называется распределенной по закону Пуассона с параметром λ,
где 0 х<=+ и λ >0.
76
Ряд распределения случайной величины, подчиненной
закону Пуассона, можно представить в следуюшем виде:
X=x
P(x, λ )
0
e λ
1
2
λe
λ
2 λ
λ e
1!
…
…
2!
x
x λ
λ e
…
…
x!
Функция распределения в этом случае определяется
формулой
λi e  λ
.
F(x ) 
i!
i 0
( )
Рис. 16. Распределение Пуассона
Равномерное распределение
В
некоторых
практических
задачах
встречаются
непрерывные случайные величины, о которых заранее известно,
что их возможные значения лежат в пределах некоторого
определенного интервала; кроме того, известно, что в пределах
этого интервала все значения случайной величины одинаково
вероятны (точнее, обладают одной и той же плотностью
вероятности). О таких случайных величинах говорят, что они
распределены равномерно.
Итак, непрерывная случайная величина Х имеет
равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом
отрезке плотность распределения вероятности случайной
77
величины постоянна, т.е., если функция плотности распределения
f(x) имеет следующий вид:
⎧
⎪0
при
x a
при
a x b
⎪
⎩0
при
x b
f ( x; a, b) ⎨C
.
Найдем значение постоянной С.
Воспользуемся нормирующим свойством плотности:

 f ( x ) dx 1 .

b

b
f
(
x
)

Cdx

Cx
C ( b  a ) 1 .



a
a
1
C
b a
.
Тогда функцию f(x) можно представить в виде:
f ( x; a, b)
⎧ 0
⎪ 1
 ⎨
⎪b  a
⎩ 0
График плотности
распределения:
при
x a
при
a  x b
при
x b
вероятности
.
f(x)
равномерного
Рис. 17. Равномерное распределение (плотность)
Построим теперь функцию распределения: F(x)
⎧ 0
⎪x  a
F( x; a, b) ⎨
⎪b  a
⎩ 1
График функции F(x):
78
при
x a
при
a x b
при
x b
Рис. 18. Равномерное распределение (функция)
Нормальное распределение
Нормальный закон распределения (часто называемый
законом Гаусса) играет важную роль в теории вероятностей и
занимает среди других законов распределения особое положение.
Это – наиболее часто встречающийся на практике закон
распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный
закон среди других законов, состоит в том, что он является
предельным законом, к которому приближаются другие законы
распределения при весьма часто встречающихся типичных
условиях.
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное
распределение, если плотность распределения вероятности f(x)
имеет вид:
1
f ( x; µ, σ ) 
σ 2π
( x  µ )2
2σ 2
e

,
где µ и σ  некоторые постоянные, называемые парамет рами
нормального распределения. Обычно обозначают N(x; µ , σ ); N(
µ , σ ).
Кривая плотности распределения нормального закона имеет
симметричный холмообразный вид. Максимальная ордината
79
кривой, равная
1
σ 2π
, соответствует точке µ; по мере удаления
от точки µ плотность распределения падает, и при x кривая
асимптотически приближается к оси абсцисс.
График плотности имеет следующий вид:
Рис. 19. Нормальное распределение (плотность)
Выясним смысл параметров µ и σ нормального
распределения. Центром симметрии распределения является µ.
Это ясно из того, что при изменении знака разности (xµ) на
обратный выражение
1
σ 2π
( x  µ )2
2σ 2
e

не меняется. Если изменять µ, кривая распределения будет
смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы. Параметр
µ характеризует положение распределения на оси абсцисс.
Рассмотрим как изменяется график функции в зависимости
от изменения параметров:
a) если изменяется параметр µ, а параметр σ остается
постоянным ( µ1 < µ2 < µ3 )
80
Рис. 20. Нормальное распределение (изменение µ)
Если параметр µ увеличивается (уменьшается), то график
сдвигается влево (вправо).
Параметр σ характеризует не положение, а саму форму
кривой распределения. Эт.е. характеристика рассеивания.
Наибольшая
ордината
кривой
распределения
обратно
пропорциональна σ; при увеличении σ максимальная ордината
уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда
должна оставаться равной единице, то при увеличении σ кривая
распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси
абсцисс; напротив, при уменьшении σ кривая распределения
вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и
становится более иглообразной. При изменении параметра σ
изменяется форма нормальной кривой:
Рис. 21. Нормальное распределение (изменение σ)
На рисунке показаны 3 нормальные кривые при µ=0;
Изменение параметра σ равносильно изменению масштаба
кривой распределения – увеличению масштаба по одной оси и
такому же уменьшению по другой.
Функция плотности нормального распределения f(x) с
параметрами µ = 0, σ = 1 называется плотностью стандартной
нормальной случайной величины, а его график – стандартной
кривой Гаусса.
N ( x;0;1) 
1
2π
e
2
x
2 .
81
Рис. 22. Функция плотности стандартного нормального
распределения
Функция распределения имеет вид:
(t  µ )2
x 
2
.
F(x ) 
dt
e 2σ
σ 2π  
1
Распределение Хи-квадрат (χ2)
Пусть независимые случайные величины υ1, υ2, …, υk
являются
стандартными
нормально
распределенными
величинами (т.е. υi N (x;0,1) для i = 1, 2, …, k). Тогда случайная
величина (сумма квадратов)
χk2 = υ12  υ22  ... υ k2
имеет распределение Хи-квадрат c k степенями свободы.
График функции плотности для k = 4
82
Рис. 23. Функция плотности распределения χ2
Распределение Фишера (F)
Пусть χk2 , χl2 независимые случайные величины,
имеющие Хи-квадрат распределения с k и l степенями свободы
соответственно. Тогда распределение случайной величины
x
Fk ,l 
2
k
l xk
k
 
2
k xl
xl
l
называется F-распределением с k и l степенями свободы.
Рис. 24. Функция плотности распределения Фишера
Распределение Стьюдента (t)
Пусть U – является стандартной нормально распределенной
случайной величиной, т.е. UN(x;0,1), а χk2 имеет хи-квадрат
распределение с k степенями свободы, U и χk2 – независимые
величины. Тогда распределение случайной величины
tk 
U
2
χk
k
называется t-распределением Стьюдента с k-степенями
свободы
83
Рис. 25. Функция плотности распределения Стьюдента
84