Определение длины световой волны при помощи

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
43
Определение длины световой волны
при помощи дифракционной решётки
Методические указания к лабораторной работе
для студентов всех технических направлений
дневной и заочной форм обучения
Ухта, УГТУ, 2013
УДК 53 (075)
ББК 22.3 я7
Ш 19
Шамбулина, В. Н.
Ш 19
Определение длины световой волны при помощи дифракционной решётки [Текст] : метод. указания к лабораторной работе для студентов всех
технических направлений дневной и заочной форм обучения /
В. Н. Шамбулина, В. А. Жевнеренко. – Ухта : УГТУ, 2013. – 16 с.; ил.
Методические указания предназначены для выполнения лабораторных
работ по теме «Интерференция света» для студентов, обучающихся по всем
техническим направлениям дневной и заочной форм обучения.
УДК 53 (075)
ББК 22.3 я7
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики
(протокол №05 от 27.05.2013).
Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной
программе.
Рецензент: И. К. Серов, доцент кафедры физики УГТУ.
Редактор: Н. А. Северова, доцент кафедры физики УГТУ.
Корректор и технический редактор: Т. К. Шпилёва.
В методических указаниях учтены замечания рецензента и редактора.
План 2013 г., позиция 110.
Подписано в печать 30.08.2013. Компьютерный набор.
Объём 16 с. Тираж 100 экз. Заказ №277.
© Ухтинский государственный технический университет, 2013
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, д. 13.
Типография УГТУ.
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ ПРИ ПОМОЩИ
ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ
Цель работы: Ознакомиться с дифракционной решёткой и дифракционным спектром; вычислить длины волн для красного и зелёного светофильтров,
и сравнить их с табличными значениями.
Краткая теория
Дифракционной решёткой называют систему, состоящую из большого
числа близких параллельных щелей.
Дифракционную решётку, наряду с другими приборами, используют для
определения спектрального состава излучения.
Простейшая дифракционная решётка представляет собой стеклянную
пластинку, на которой на
равном и очень малом расстоянии друг от друга нанесены прямолинейные бороздки. На рисунке 1 в сильно увеличенном виде показан разрез такой решётки.
Если освещать решётку параллельным пучком света, то свет будет проходить через неповреждённые части стеклянной пластинки и рассеиваться на бороздках, т. е. бороздки окажутся непрозрачными. В нижней части рисунка 1 показано условное изображение дифракционной решётки. Чёрточка обозначает
непрозрачную часть решётки – бороздку, просвет – прозрачную часть.
Решётка характеризуется постоянной решётки d, где d = a + b.
Если на такую решётку направить нормально к поверхности монохроматический свет (свет, в котором частота постоянна, ν = const), то, фокусируя при
помощи линзы на экране свет, прошедший через решётку, будем наблюдать чередование тёмных и светлых полос, параллельных щелям решётки; в белом свете появятся изображения щелей решётки, окрашенные в различные цвета.
Полученная на экране картина называется дифракционным спектром и
является результатом двух явлений: дифракции света от каждой щели и интерференцией света от различных щелей.
Дифракцией света называют отклонение света от прямолинейного распространения, когда свет, огибая препятствие, заходит в область геометрической тени.
3
Решение задачи дифракции заключается в нахождении распределения освещённости на экране в зависимости от размеров и формы препятствий. При
расчётах дифракционных явлений пользуются особым приёмом, называемым
принципом Гюйгенса – Френеля.
По принципу Гюйгенса: каждая точка волновой поверхности световых
волн является источником вторичных элементарных волн, распространяющихся с характерной для данной среды скоростью; огибающая всех возникших
элементарных полусферических волн является новым положением волновой
поверхности (рис. 2).
Френелем сделано следующее дополнение: все точки
волновой поверхности
колеблются с одинаковой частотой и в
одинаковой фазе и,
следовательно, представляют собой совокупность когерентных источников.
Приходя в какую-то точку пространства от всех когерентных источников,
волны интерферируют друг с другом.
Принцип Гюйгенса – Френеля представляет собой соединение принципа
Гюйгенса (о распространении волнового фронта) с высказыванием об интерференции вторичных волн и даёт возможность решить задачу о распределении освещённости на экране.
Интерференцией света называется наложение волновых процессов, в результате которого происходит ослабление или усиление света в соответствующих местах пространства.
Устойчивая картина наблюдается, когда источники света когерентны,
т. е. излучают волны одинаковой частоты с постоянной разностью фаз и совпадающими плоскостями колебаний.
Из теории сложения двух колебаний известно, что максимальное значение результирующей амплитуды в точке М (рис. 3) получится, если разность
хода δ = r1 - r2 равна чётному числу полуволн, т. е.:
δ = 2k
4
λ
2
.
(1)
Минимальное значение результирующей амплитуды в точке М
получится при разности хода,
равной нечётному числу полуволн, т. е. при:
λ
δ = (2k + 1) ,
2
(2)
где
k = 0, 1, 2, 3 … – целые числа.
Таким образом, в одних точках пространства (при выполнении условия 1)
будет выполняться усиление интенсивности света, в других (при выполнении
условия 2) – ослабление света.
Дифракция от одной щели
Пусть щель освещается параллельным пучком света, падающим к плоскости щели (рис. 4). Согласно принципу Гюйгенса, каждая из освещённых точек щели становится источником в пространстве по всем направлениям.
Рассмотрим интерференционную картину на экране Э в фокальной плоскости линзы L.
Вторичные волны
(лучи), идущие под углом ϕ к направлению
первичного пучка света,
пройдя линзу, соберутся
в точке М фокальной
плоскости независимо от
того, из какого места щели они вышли, и будут
интерферировать. Будет
ли в точке М наблюдаться максимум или минимум интенсивности зависит от разности хода δ
интерферирующих лучей. Разность хода возникает благодаря разным путям, проходимым лучами от плоскости щели АВ до плоскости АD, поскольку оптические
5
пути всех лучей направления ϕ на участке от плоскости АD до точки М одинаковы.
Иначе можно сказать, что сама линза не создаёт разности хода.
Разделим щель АВ на зоны Френеля (полоски, параллельные краям щели), между границами которых разность хода в направлении ϕ равна λ 2 . Каждой точке какой-либо зоны найдётся такая соответствующая точка в соседней зоне, что разность
хода двух лучей, идущих от этих точек под углом ϕ , равна λ 2 . Лучи с разностью
хода λ 2 погасят друг друга. Следовательно, все лучи одной зоны в точке наблюдения гасят лучи соседней зоны. В тех направлениях, ϕ для которых на ширине щели
укладывается чётное число зон, вторичные волны будут гасить друг друга, и будет
наблюдаться тёмная полоса (минимум). В тех направлениях, для которых на ширине
щели укладывается нечётное число зон (2k+1), одна зона остаётся непогашенной, и в
данной точке экрана будет наблюдаться наибольшая интенсивность (максимум).
Итак, если: a sin ϕ = 2k
a sin ϕ = ( 2k + 1 )
где
λ
2
– число зон чётное (2k) – минимум;
λ
– число зон нечётное (2k+1) – максимум;
2
а – ширина щели;
a sin ϕ – разность хода лучей, вышедших из крайних точек щели;
(3)
ϕ – угол отклонения дифрагирующих лучей от первоначального направления;
k – 1, 2, 3, …
Если a sin ϕ не равно целому числу полуволн, имеет место частичное
усиление или ослабление света. Распределение интенсивности J в фокальной
плоскости линзы от одной щели показано пунктирной кривой «1» на рис. 6.
Дифракция от двух щелей
6
Благодаря дифракции, свет от щелей будет распространяться во всевозможных направлениях (рис. 5а). Интерференционная картина от двух щелей
сложнее, чем от одной. На экране будет происходить не только интерференция
лучей, идущих от различных зон одной и той же щели, но и интерференция лучей, идущих от соответственных точек соседних щелей (т. е. точек, стоящих
друг от друга на расстоянии d). В результате появятся добавочные минимумы и
максимумы.
На рис. 5б видно, что разность хода ∆l любых соответственных лучей
равна ∆l = d sin ϕ , где d – период решётки, ϕ – угол отклонения дифрагирующих лучей от первоначального направления.
Согласно условию (2), добавочные минимумы (тёмные полосы) соответствуют также значениям ϕ, при которых:
λ
d sin ϕ = ( 2k + 1 ) ,
(4)
2
где k = 0, 1, 2, …
Максимумы интенсивности (светлые полосы) имеют место, согласно условию (1), когда:
d sin ϕ = 2k
λ
2
= kλ ,
(5)
где k – порядок дифракционного (интерференционного) максимума принимает значения 0, 1, 2, …
Значению k = 0 соответствует нулевой центральный максимум, значению
k = 1 – максимум первого порядка и т. д. Максимумы 1-го, 2-го и других порядков
расположены симметрично по обе стороны от нулевого максимума (рис. 5а).
Распределение интенсивности от двух щелей изображено кривой «2» на
рисунке 6.
Добавление второй щели вызвало рост интенсивности света в максимумах и образование новых максимумов. Между двумя максимумами, определённых условием (5), появился добавочный минимум.
7
Дифракция от N щелей
Если число щелей N, то в фокальной плоскости линзы L (рис. 7) интерферируют между собой N пучков. Условия образования максимумов, также как и
для двух щелей, определяются уравнением (5).
Максимумы, удовлетворяющие условию (5), принято называть главными.
Их положение не зависит от числа щелей решётки. Положение минимумов не
изменяется, т. к. те направления (условие 3), по которым ни одна из щелей не
посылает свет, не получают его и при N щелях. Кроме того, возможны направления, в которых свет, посылаемый различными щелями, гасится. Можно показать, что этим направлениям соответствует разность хода d sin ϕ , равная:
λ 2λ 3λ
;
;
;...
(N − 1)λ ...
N N N
N
Итак, в общем случае дифракции от N щелей имеем:
Прежние минимумы
a sin ϕ =
λ
22λ
Главные минимумы
d sin ϕ =
λ
22λ
…
…
Добавочные минимумы
d sinϕ =
λ 2λ
;
N N
8
;...
( N − 1)λ
N
Т. е. между двумя главными максимумами располагается N-1 добавочных
минимума, разделённых вторичными максимумами.
Распределение интенсивности света от дифракционной решётки изображено кривой «3» на рисунке 6.
В направлениях, определяемых условием (5), колебания от различных
щелей усиливают друг друга, вследствие чего результирующая амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана растёт:
Aрез = NA0 ,
А0 – амплитуда колебаний, исходящих от одной щели.
Интенсивность света пропорциональна квадрату результирующей амплитуды:
где
J ~ N 2 A02 .
С увеличением числа щелей главных максимумов возрастает пропорционально N2. Возрастает также число минимумов, т. е. число направлений, в которых
гашение света, вследствие чего максимумы становятся более узкими, чёткими.
Дифракционная картина от N щелей будет состоять из очень тонких светлых линий, разделённых широкими тёмными промежутками, вследствие того,
что интенсивность добавочных минимумов значительно ниже интенсивности
главных максимумов.
Из формулы (5) следует, что углы ϕ , под которыми наблюдаются максимумы, зависят от длины волны:
kλ
sin ϕ =
.
(6)
d
Поэтому при прохождении через решётку белого света все максимумы,
кроме центрального (k = 0), разлагаются в спектр, фиолетовый конец которого
обращён к центру дифракционной картины.
При k = 0 условие максимума удовлетворяется для всех длин волн, т. е.
при ϕ = 0 наблюдается центральная светлая нулевая полоса, соответствующая
не отклонённому пучку лучей такого цвета, каков был цвет источника.
При k = 1 симметрично по обе стороны от центральной полосы получаются цветные линии, от фиолетовой до красной, соответствующие разным длинам волн, входящих в состав смешанного света. Эта группа линий называется
спектром 1-го порядка.
При k = 2 получается подобная группа линий – спектр 2-го порядка и т. д.
Линии спектров высоких порядков менее интенсивны.
9
Вывод расчётной формулы
Получив дифракционный спектр и зная расстояние l от линзы до экрана Э,
а также расстояние между отдельными линиями на экране, можно определить
длину волны света, если только известна постоянная решётки d.
Если расстояние между оптическим центром линзы L и экраном Э будет
равно l (рис. 8), а расстояние между максимумами порядка К будет равно rk, то
из треугольника АОВ следует, что:
rk
: l = tgϕ .
(7)
2
Но из выражения (6):
kλ
sin ϕ =
.
(8)
d
Принимая во внимание, что для углов ϕ = sin ϕ = tg ϕ из (7) и (8) получим расчётную формулу для определения длины волны λ падающего света:
λ =
10
dr k
.
2 kl
(9)
Описание установки
Данная работа выполняется на оптической скамье – массивной направляющей, на которую устанавливаются рейтеры с необходимыми оптическими элементами и осветитель. Последовательность их расположения показана на рис. 9.
1 – источник света с конденсорной линзой, 2 – диафрагма со щелью 0,5 мм,
3 – линзовый объектив для получения параллельного пучка света, 4 – сменный
светофильтр, 5 – дифракционная решётка, постоянная которой d = 0,01 мм, 6 – линза
с фокусным расстоянием 110 мм, в фокальной плоскости которой образуется
дифракционная картина, 7 – экран на подвижной стойке с меткой против
неподвижной миллиметровой шкалы
Выполнение работы
1. Включить осветитель и добиться максимального и равномерного освещения
щели.
2. Снять со скамьи линзу (F = 110 мм), дифракционную решётку и светофильтр.
3. Перемещением двухлинзового объектива добиться резкого изображения щели на противоположной стене лаборатории. При этом световой пучок должен
проходить через центр экрана. Небольшими перемещениями объектива добиться полной параллельности пучка. В параллельности лучей убедиться перемещением вдоль пучка листа бумаги, ширина пучка лучей не должна изменяться.
4. Установить на скамью линзу (F = 110 мм) и её перемещениями добиться
чёткого изображения щели на матовом экране.
5. Установить дифракционную решетку так, чтобы её штрихи были параллельны щели. При этом на экране получится отчётливая дифракционная картина в
виде окрашенных полос, параллельных щели и расположенных симметрично по
обе стороны от центрального изображения щели. Критерием того, что установка собрана правильно, является постоянство положения окрашенных полос дифракционного спектра на экране при перемещении дифракционной решётки
вдоль скамьи.
11
6. Установить светофильтр и измерить расстояние между серединами полос
1-го, 2-го и 3-го порядков. Измерение расстояния rk с помощью подвижного
столика выполняется следующим образом: экран устанавливается так, чтобы
визирная линия на экране совпала с серединой полосы какого-либо порядка;
записывается положение столика по шкале; экран перемещается до совмещения
визирной линии серединой полосы этого же порядка по другую сторону от центрального максимума; записывается новое положение столика. Разность (сумма) отсчётов есть расстояние.
7. Измерить и записать в таблицу расстояние l между центром линзы (F = 110 мм).
Светофильтр
Порядок макс.
Красный
1
2
3
1
2
3
Зелёный
d
l
r
λ
8. По формуле 10 вычислить длину света, пропускаемого данным светофильтром. Аналогичные измерения выполнить для другого светофильтра.
Контрольные вопросы
1. В чём заключаются явления дифракции света?
2. Объяснить явление дифракции света от 1 щели. Вывести условия max и min.
3. Каково устройство и принцип действия дифракционной решётки? Какую величину называют постоянной решётки?
4. Объясните явление дифракции от дифракционной решётки. Вывести условия max и min.
5. Чем отличается дифракционная картина, полученная от одной щели, от дифракционной картины, получаемой от дифракционной решётки?
6. Объясните происхождение добавочных минимумов для дифракционной решётки с помощью графического сложения, колебаний от отдельных щелей.
7. Нарисуйте картину распределения интенсивности света от дифракционной
решётки с N = 4, отношением d/a = 3, где а – ширина щели.
8. Какая картина будет наблюдаться, если через дифракционную решётку проходит белый свет?
12
9. Укажите, для каких лучей (красных или фиолетовых) в спектре данного порядка углы дифракции будут больше (рис. 10)?
10. Покажите постоянную решётки. Между какими
лучами рассчитывается разность хода при расчёте
дифракционных спектров (рис. 11)?
1
2
3
1
4
2
3
4
Рис.11
11. Чему равна разность хода для дифрагирущих лучей под углом в 30 градусов,
если на каждый миллиметр решётки нанесено 100 штрихов?
12. Объяснить, max или min будет наблюдаться на экране под данным углом
дифракции? Почему (рис. 12)?
Что называют постоянной дифракционной решётки?
13. Чему равно удельное число спектров, которое
можно получить с помощью решётки, у которой постоянная решётки равна 4λ?
14. Почему при уменьшении постоянной решётки
возрастает расстояние между максимумами?
15. Вывести условия главных максимумов для случая,
когда на решётку с периодом d свет падает под углом α. Длина волны света λ.
13
Индивидуальные задания
1.
На щель шириной а = 0,05 мм падает нормально монохроматический
свет (λ = 6 мкм). Определить угол φ между первоначальным направлением на
четвёртую тёмную дифракционную полосу. Ответ: 2˚45΄.
2.
На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Угол φ отклонения пучков света, соответствующих второй светлой дифракционной полосе, равен 1˚.Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели? Ответ: 143.
3.
На щель шириной а=0,1 мм падает нормально монохроматический свет
(λ = 0,5 мкм). За щелью помещена собирающая линза, в фокальной плоскости
которой находится экран. Что будет наблюдаться на экране, если угол φ дифракции равен: 1) 17΄; 2) 43΄. Ответ: 1) первый дифракционный минимум;
2) дифракционный максимум, соответствующий k = 2.
4.
Сколько штрихов на каждый миллиметр содержит дифракционная решётка, если при наблюдении в монохроматическом свете (λ = 0,6 мкм) максимум пятого порядка отклонён на угол φ = 18˚? Ответ: 103.
5.
На дифракционную решетку, содержащую n = 100 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет. Зрительная труба спектрометра наведена на максимум третьего порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум
того же порядка, её нужно повернуть на угол ∆φ = 20˚. Определить длину волны λ света. Ответ: 580 нм.
6.
Дифракционная решётка освещена нормально падающим монохроматическим светом. В дифракционной картине максимум второго порядка отклонён
на угол φ1 = 14˚. На какой угол φ2 отклонён максимум третьего порядка? Ответ:
21˚17΄.
7.
Дифракционная решётка содержит n = 200 штрихов на 1 мм. На решётку
падает нормально монохроматический свет (λ = 0,6 мкм). Максимум какого
наибольшего порядка даёт эта решётка? Ответ: 8.
8.
На дифракционную решётку, содержащую n = 400 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (λ = 0,6 мкм). Найти наибольшее число дифракционных максимумов, которые даёт эта решётка. Определить угол φ
дифракции, соответствующий последнему максимуму. Ответ: 9; 74˚
9.
При освещении дифракционной решётки белым светом спектры второго
и третьего порядков отчасти перекрывают друг друга. На какую длину волны в
спектре второго порядка накладывается фиолетовая граница (λ = 0,4 мкм) спектра третьего порядка? Ответ: 0,6 мкм.
14
10.
На дифракционную решётку, содержащую n = 500 штрихов на 1 мм, падает в направлении нормали к её поверхности белый свет. Спектр проецируется
помещённой вблизи решётки линзой на экран. Определить ширину b спектра
первого порядка на экране, если расстояние d линзы до экрана равно 3 м. Границы видимости спектра λкр = 780 нм, λф = 400 нм. Ответ: 66 см.
11.
На дифракционную решётку с периодом d = 10 мкм под углом α = 30˚
падает монохроматический свет с длиной волны λ = 600 нм. Определить угол φ
дифракции, соответствующий второму главному максимуму.
Ответ: φ = arcsin (sin α + mλ/d) = 38.3˚.
12.
Дифракционная картина получена с помощью дифракционной решётки
длиной l = 1,5 см и периодом d = 5 мкм. Определить, в спектре какого наименьшего порядка этой картины получатся раздельные изображения двух спектральных линий с разностью длин волн ∆λ = 0,1 нм, если линии лежат в крайней красной части спектра (λ ≈ 760 нм). Ответ: 3.
13.
Какой наименьшей разрешающей силой R должна обладать дифракционная решётка, чтобы с её помощью можно было разрешить две спектральные
линии калия (λ1 = 578 нм и λ2 = 580 нм)? Какое наименьшее число N штрихов
должна иметь эта решётка, чтобы разрешение было возможно в спектре второго
порядка? Ответ: R = λ / ∆λ = 290; N = R / k =145.
14.
С помощью дифракционной решётки с периодом d = 20 мкм требуется
разрешить дублет натрия (λ1 = 589,0 нм и λ2 = 589,6 нм) в спектре второго порядка. При какой наименьшей длине l решётки это возможно? Ответ:
l = λd / (kδλ) = 10 мм.
15.
Угловая дисперсия Dφ дифракционной решётки для излучения некоторой
длины волны (при малых углах дифракции) составляет 5 нм. Определить разрешающую силу R этой решётки для излучения той же длины волны, если длина l решётки равна 2 см. Ответ: R = Dφ l = 5,82 · 103 .
16.
Определить угловую дисперсию Dφ дифракционной решётки для угла
дифракции φ = 30˚ и длины волны λ = 600 нм. Ответ выразить в единицах СИ и
в минутах на нанометр. Ответ: Dφ = (tg φ) / λ = 9,62 · 105 рад/м = 3.31…΄/нм.
17.
На дифракционную решётку, содержащую n = 500 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 700 нм. За решёткой помещена собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 50 см.
В фокальной плоскости линзы расположен экран. Определить линейную дисперсию Dl такой системы для максимума третьего порядка. Ответ в миллиметрах на нанометр. Ответ: 1 мм/нм.
15
18.
Нормально поверхности дифракционной решётки падает пучок света. За
решёткой помещена собирающая линза с оптической силой Ф = 1 дптр. В фокальной плоскости линзы расположен экран. Определить число n штрихов на
1 мм этой решётки, если при малых углах дифракции линейная дисперсия
Dl = 1 мм/нм. Ответ: 103 штрихов/мм.
19.
На дифракционную решётку нормально её поверхности падает монохроматический свет (λ = 650 нм). За решёткой находится линза, в фокальной плоскости
которой расположен экран. На экране наблюдается дифракционная картина под
углом дифракции φ = 30˚. При каком главном фокусном расстоянии f линзы линейная дисперсия Dl = 0,5 мм/нм? Ответ: f = Dl λ cos3 φ / sin φ = 21,1 см.
Библиографический список
Трофимова, Т. И. Дифракция света. Курс физики : учеб. / Т. И. Трофимова. –
М., 2000. – Гл. 23, §176-184. – C. 332-347.
16