Электромагнитные волны в волноводе

Московский государственный университет
им. М.В.Ломоносова
Физический факультет
Кафедра общей физики
Лабораторный практикум по общей физике
(электричество и магнетизм)
В.М. Буханов, В.И. Козлов, В.Ю. Иванов
Лабораторная работа 30-М
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДЕ
Е
Н
МОСКВА -2006
3
Лабораторная работа 30-М
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДЕ
Введение
В работе изучаются электромагнитные стоячие волны, образующиеся в волноводе
при сложении волны, падающей на проводящий экран, с волной, отраженной от него.
Простейшим волноводом является полая проводящая труба, предназначенная для
передачи электромагнитных колебаний сантиметрового диапазона. Использование
двухпроводных передающих линий в этом диапазоне не эффективно, так как они сильно
излучают.
Рассмотрим основные особенности распространения электромагнитных
волн в простейшем случае прямолинейного волновода прямоугольного сечения (рис. 1).
Стенки волновода предполагаем идеально проводящими. Рассматривается один из
r
возможных типов волн, когда электрический вектор Е направлен вдоль оси Y, а волна
распространяется вдоль оси X. Для упрощения примем также, что размер волновода
вдоль оси Y много больше, чем вдоль оси Z. Это избавляет от необходимости учета
r
граничных условий для вектора Е на поверхностях волновода, параллельных плоскости
XZ, и значительно облегчает решение задачи, так как сводит ее к двумерной. В этом
r
случае волновое уравнение для вектора Е имеет вид
2
2
2
∂ E ∂ E 1 ∂ E
+
−
=0
∂ x 2 ∂ z 2 c2 ∂ t 2
где Е = E y (x, z, t), а c - скорость электромагнитных волн (света) в вакууме.
(1)
Запишем граничные условия, считая стенки волновода идеально проводящими (см.
рис. 1):
E y (x, 0, t) = 0 и E y (x, a , t) = 0.
(2)
Будем искать решение уравнения (1) в виде
E y = E 0 y (sin k z z ) e i (ωt − k x x )
(3)
Из граничных условий (2) следует:
k z a = n π (n = 1, 2, ...).
(4)
Очевидно, что решение (3) удовлетворяет условию отсутствия свободных зарядов в
волноводе:
r ∂E y
= 0 , E x = E z = 0.
div E =
∂y
Подставляя (3) в (1), получим
( − k x2 − k z2 + ω 2 / c 2 ) E y = 0
Это равенство может быть удовлетворено лишь при условии
(5)
4
( − k x2 − k z2 + ω 2 / c 2 ) = 0
(6)
5
из которого с учетом (4) следует, что
ω 2 / c 2 − πn 2 / a 2
kx =
(7)
Электромагнитная волна распространяется в волноводе без затухания, если
величина k x в (3) действительная, т.е. подкоренное выражение в (7) не должно быть
отрицательным :
ω 2 / c2 − π 2 n2 / a2 ≥ 0,
(8)
откуда следует, что
ω ≥ πcn / a .
(9)
Таким образом, при заданном характерном размере волновода а имеется граничная
частота
ω 0 = πc / a .
(10)
Иначе говоря, электромагнитные волны с меньшей частотой (с большей длиной волны)
не могут распространяться в волноводе. Для граничной длины волны получаем:
λ 0 = 2πc / ω 0 = 2a,
(11)
т.е. в рассматриваемом волноводе могут распространяться лишь волны, длина которых
меньше удвоенного характерного поперечного размера волновода. Наличие граничной
частоты является характерной чертой всех волноводов.
Фазовая скорость волны v ф может быть найдена, если использовать (3) и условие
ωt − k x x = const. (12)
Тогда
ω
vф = dx / dt = ω / k x =
=c
ω
ω 2 − π 2c2 / a2
ω 2 / c2 − π 2 / a2
=
(13)
> c.
Видим, таким образом, что фазовая скорость электромагнитных волн в волноводе больше
скорости света в вакууме. Это также является характерной чертой волноводов, хотя
конкретное значение этой скорости зависит от формы волноводов и типа волн.
Скорость распространения энергии по волноводу vг (групповая скорость) может
быть определена из фундаментального соотношения (см. [1])
vфvг = c ,
(14)
из которого с учетом (13) следует, что vг < c, а v ф > c .
Подставляя (10) и (11) в (13), получаем
vф =
c
1 − (ω 0 / ω) 2
=
c
1 − ( λ / λ 0 )2
.
Тогда длина волны в волноводе оказывается равной
(15)
6
λ
λ в = vфT =
1 − (λ / λ 0 )2
где λ = cT.
> λ,
(16)
Из (16) легко получается соотношение
2
2
2
1 / λ в = 1 / λ −1 / λ 0 ,
(17)
справедливое для волноводов любой формы, хотя оно и получено здесь для частного
случая волновода прямоугольного сечения.
Целью данной лабораторной работы является ознакомление с особенностями
распространения электромагнитной волны в условиях ограниченного пространства,
создаваемого проводящими стенками волновода. В частности, предстоит измерить vф ,
убедиться в том, что vф больше скорости света “c” в вакууме (воздухе), а также
экспериментально проверить соотношение (17).
Экспериментальная установка
Схема экспериментальной установки показана на рис. 2. На правом конце
волновода прямоугольного сечения 24 x 10 мм находится клистрон Кл, на левом металлический экран-отражатель Э. Между волноводом и клистроном находится
аттенюатор А, позволяющий плавно уменьшать амплитуду волны, распространяющейся
по волноводу. Внутрь помещен кристаллический детектор Д, служащий для измерения
распределения плотности энергии электромагнитной волны вдоль волновода. Детектор
вместе с держателем может поступательно перемещаться с помощью микрометрического
винта по всей длине волновода.
Экран Э изготовлен из медной фольги. В его центре имеется маленькое отверстие,
позволяющее падающей волне частично проходить в замкнутую полость за экраном,
служащую
резонатором. Перемещая заднюю стенку резонатора с помощью
микрометрического винта М, можно плавно изменять размер резонатора и его
собственную частоту. При совпадении частоты резонатора с частотой падающей волны, в
нем устанавливаются электромагнитные колебания (стоячие волны) большой амплитуды,
что сопровождается отбором энергии у волны, падающей на экран. Это регистрируется
детектором как ослабление сигнала при данном положении микрометрического винта
настройки резонатора и может быть
использовано для измерения частоты
электромагнитных колебаний, распространяющихся по волноводу (по калибровочной
кривой, прилагаемой к установке).
Генератором колебаний сверхвысокой частоты (СВЧ) является клистрон
отражательного типа. Его устройство схематически показано на рис. 3. Внутри
вакуумного баллона находятся катод К, отражатель О, объемный резонатор Р с сетками
C1 и C 2 , и ускоряющая сетка C у . Резонатор Р клистрона, являющийся колебательной
системой (т.е. разновидностью колебательного контура), представляет собой
тороидальную полость из медной фольги с двумя плоскопараллельными вольфрамовыми
сетками, вваренными в среднюю часть тора - индуктивного элемента резонатора. Для уменьшения
7
потерь на джоулево тепло поверхности тора серебрят.
вольфрамовые сетки служат емкостным элементом резонатора.
Плоскопараллельные
8
Ускоряющая сетка (и соединенный с нею резонатор) находится под
положительным (относительно катода) потенциалом, а отражатель - под отрицательным.
Поскольку резонатор является колебательной системой, любое электрическое воздействие
на него (например, включение электропитания) приводит к возникновению собственных
затухающих колебаний. Соответствующей настройкой (подбором напряжений между
электродами или расстояния между ними) можно создать условия для реализации
автоколебательного режима, при котором колебания становятся незатухающими.
Механизм обратной связи, поддерживающий автоколебания в клистроне
заключается в следующем:
(1). Электроны, испущенные катодом, ускоряются сеткой C у и достигают
резонатор имея некоторую среднюю скорость, соответствующую потенциалу сетки. В
пространстве между сетками С1 и С 2 скорость электронов модулируется переменным
электрическим полем собственных колебаний резонатора.
(2). На пути к отражателю и обратно поток электронов перестает быть
однородным; электроны группируются, образуя сгустки и разряжения потока из-за
различных скоростей.
(3). Проходя пульсирующим потоком через резонатор в обратном направлении (от
отражателя к катоду), электроны поддерживают колебания, если сгусток электронов
попадает в область между сетками, когда электрическое поле тормозит его движение. Это
обеспечивается либо подбором потенциала отражателя, либо изменением расстояния
между сеткой С1 резонатора и отражателем.
В полость резонатора помещена петля связи (ПС) с антенной, находящейся в
волноводе. Волны, излученные антенной, могут далее распространяются по волноводу.
При наличии в конце волноводной секции отражателя устанавливается стоячая волна с
амплитудой, зависящей от положения отражателя.
Электромагнитные волны, проходящие через некоторую область пространства,
r
представляют собой совокупность переменного электрического (с наряженностью Е ) и
r
магнитного (с индукцией В ) полей. Регистрацию электрического поля можно
осуществить с помощью детектора Д, представляющего собой полупроводниковый
(кремниевый) диод (ДКВ-4). Диод является ненастроенной антенной, в которой
переменное электрическое поле вызывает движение свободных зарядов - из-за появления
переменного тока (или переменного напряжения на его концах). Детектор Д
подключаются к токоизмерительному прибору, которым может служить, например,
микроамперметр постоянного тока, или осциллограф (в данной задаче используется
осциллограф).
9
Эквивалентная схема измерения распределения плотности энергии электрического
поля представлена на рис. 4а. На этом рисунке
ε
- ЭДС, индуцированная в датчике
10
r
(пропорциональная напряженности Е электрического поля в области нахождения
диода), Ri - внутреннее
сопротивление диода, Rн - внутреннее сопротивление
измерительного прибора, С - так называемая входная емкость прибора. Очевидно, что
схема представляет собой электрическую цепь однополупериодного выпрямителя.
Среднее значение выпрямленного тока в такой цепи будет определяться вольтамперной
характеристикой используемого в схеме диода (вид ее показан на рис. 4б). Как известно,
для малых напряжений эта характеристика может быть представлена аналитически в виде
r
I = aU 2 . Так как напряжение U пропорционально напряженности электрического поля Е ,
то ток I в цепи диода пропорционален Е 2 и, следовательно, плотности энергии
электромагнитного поля.
Одним из основных требований, предъявляемых к детектору, является отсутствие
его влияния на измеряемое поле. Для этого нужно, чтобы размеры самого детектора были
малы по сравнению с длиной электромагнитной волны, а материал держателя, на
котором крепится детектор, имел бы практически такую же диэлектрическую
проницаемость, как и среда, в которой распространяется волна. Оба эти условия
выполнены в данной задаче, поскольку размеры детектора на порядок меньше длины
волны, а в качестве
держателя взят пенопластовый стержень, диэлектрическая
проницаемость которого мало отличается от проницаемости воздуха.
Провода, соединяющие концы детектора с токоизмерительным прибором, свивают
и укладывают так, чтобы они образовывали замкнутый контур по возможности меньшей
площади, чтобы ЭДС, наведенная в проводах, была значительно меньше ЭДС,
индуцируемой в детекторе. С этой же целью детектор располагают параллельно вектору
r
Е , а соединительные провода - перпендикулярно к нему, поскольку в этом случае в
антенне наводится максимальная ЭДС, а в проводах - практически равная нулю.
Первым в задаче выполняется упражнение, в котором на экране осциллографа
наблюдают так называемые зоны генерации клистрона. В последующих упражнениях
зоны генерации используются для измерения длины стоячей волны. Зная длину волны и
частоту генерации клистрона, измеряемую независимо с помощью перестраиваемого
резонатора в конце волновода, можно рассчитать фазовую ( vф ) и групповую ( vф )
скорости, что является основной целью работы.
Упражнение 1. Наблюдение зон генерации клистрона.
Важным свойством клистрона является возможность перестройки частоты его
генерации в некоторых пределах. Это осуществляется либо механическим способом
(путем изменения расстояния между отражателем и резонатором), либо электрическим
(путем изменения напряжения на отражателе V отр относительно катода). Последний
способ называется электронной перестройкой частоты. Область значений V отр , в
пределах которой имеет место генерация, называется зоной генерации клистрона.
Для наблюдения зон генерации на отражатель клистрона и вход Х осциллографа
подается синусоидальное напряжение V отр . Сигнал с детектора, находящегося в волноводе,
в котором установилась стоячая волна, поступает на вход Y осциллографа. При этом на
экране осциллографа наблюдается зависимость сигнала, пропорционального энергии N
колебаний, генерируемой клистроном, от V отр .
Схема установки для наблюдения зон генерации показана на рис. 5. Переменное
напряжение подается на отражатель и вход Х осциллографа с выхода “60 В” звукового
11
генератора ЗГ (Г-3-18). Частоту рекомендуется выбирать близкой к 200 Гц. Амплитуда
V отр устанавливается близкой к максимальной (около 60 В). Перемещая детектор вдоль
волновода, добиваются максимального значения сигнала на экране (т.е. попадания
дктектора в пучность стоячей волны). В условиях задачи наблюдаются три зоны
генерации.
В задание упражнения 1 входит следующее.
(1).Получить на экране осциллографа устойчивую картину зон генерации.
(2).Исследовать влияние настройки детектора (глубины его погружения в
волновод, ориентации и положения вдоль волновода) на наблюдаемые зоны генерации.
Изменяя амплитуду V отр , получить различное число зон генерации (одну, две, и т.д.).
Зарисовать картину, полученную при оптимальной настройке.
Упражнение 2. Измерение длины стоячих волн в волноводе.
Используется схема упражнения I. Перемещая детектор во всем возможном
диапазоне, фиксируют положения, соответствующие максимальным значениям сигнала
(высшим точкам зон генерации на экране осциллографа) для всех наблюдаемых зон
генерации (пучности стоячей волны), и положения, при которых наблюдаются узлы,
соответствующие минимальным значениям сигнала (исчезновению зон генерации).
Определяя расстояния между соседними узлами и пучностями для всех
наблюдаемых зон и находя их среднее значение, определяют среднее значение длины
стоячей волны (а также среднеквадратичные отклонения от среднего). Удвоив это
значение, определяют длину бегущей волны в волноводе λ в .
Упражнение 3. Измерение распределения плотности энергии
электрического поля в стоячей волне.
Перемещая детектор с малым шагом (2 - 3 мм), измеряют высоту h одной из зон
генерации (любой). Строят график зависимости h = f(x), который должен содержать не
менее двух узлов и двух пучностей, и из него, как в предыдущем упражнении,
определяеют λ в .
Упражнение 4. Определение частоты генерации клистрона.
Вращением микрометрического винта М, добиваются появления метки на
осциллографическом изображении области генерации клистрона. При расположении
метки на вершине зоны производят отсчет по шкале микрометрического устройства. С
помощью градуировочного графика резонатора (приложенного к установке) определяют
среднюю частоту генерации f клистрона, соответствующую максимуму зоны.
Используя среднюю частоту генерации f, а также значение λ в , измеренное в
упражненях 2 или 3, находят фазовую скорость распространения электромагнитных волн
в волноводе
12
vф = λ в f.
(18)
Используя известное соотношение (14) между фазовой скоростью vф , групповой
скоростью vг и скоростью света в вакууме, находят групповую скорость vг волн в
волноводе.
Далее проверяется выполнение соотношения (17) между длиной электромагнитой
волны в волноводе, ее длиной в свободном пространстве и шириной волновода. При этом
надо учесть, что λ 0 = 2a, где a = 24 мм.
Упражнение 5. Измерение ширины области генерации клистрона
по частоте.
Вращая винт М микрометрического устройства, перемещают метку в пределах
зоны генерации клистрона и производят отсчет по шкале микрометрического устройства в
положениях, соответствующих краям зоны. С помощью градуировочного графика
резонатора определяют протяженность зоны генерации клистрона по частоте.
Следует обратить внимание на то, что метка одновременно наблюдается на
изображениях всех зон в одних и тех же местах (на правом или левом краях, на вершине
и т. д.). Это означает, что частотные области генерации клистрона совпадают для всех
зон, наблюдаемых при разных напряжениях на отражателе.
Литература
1. Матвеев А.Н. “Электричество и магнетизм”, М.: Высшая школа, 1983, стр.434 441.
2. “Радиофизическая электроника”, под редакцией проф. Н.А. Капцова, М.:
Издательство Московского Университета, 1960, стр. 194 - 204.
Рис. к лаб.р. 30-М
а
б
13
Рис. Электрическое (а) и магнитное (б) поля ТЕ10 волны в сечениях прямоугольного
волновода.