Разложение возмущающей функции, обусловленной

Í.Â.Åìåëüÿíîâ
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÀß ÍÅÁÅÑÍÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ
Îãëàâëåíèå.
Ãëàâà 3. Ìîäåëè äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë. Àíàëèòè÷åñêèå ìåòî-
äû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
3.5.4. Ðàçëîæåíèå âîçìóùàþùåé ôóíêöèè, îáóñëîâëåííîé
ïðèòÿæåíèåì âíåøíåãî òåëà â ñïóòíèêîâîé çàäà÷å.
Ðàññìîòðèì âîçìóùàþùóþ ôóíêöèþ, îáóñëîâëåííóþ ïðèòÿæåíèåì
âíåøíåãî òåëà, â ñïóòíèêîâîé çàäà÷å.
Ìåòîäàìè òåîðèè âîçìóùåíèé óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñïóòíèêà ïðåîáðàçóþòñÿ ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì îòíîñèòåëüíî ýëåìåíòîâ
ïðîìåæóòî÷íîé îðáèòû. Ñàìûé ïðîñòåéøèé âàðèàíò ïðîìåæóòî÷íîé
îðáèòû êåïëåðîâñêîå äâèæåíèå ñïóòíèêà.  êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ îðáèòû âîçüìåì ñëåäóþùèå âåëè÷èíû:
a áîëüøàÿ ïîëóîñü,
e ýêñöåíòðèñèòåò,
i íàêëîí,
M ñðåäíÿÿ àíîìàëèÿ,
ω óãëîâîå ðàññòîÿíèå ïåðèöåíòðà îò âîñõîäÿùåãî óçëà,
Ω äîëãîòà óçëà.
Ýëåìåíòû ïðîìåæóòî÷íîé îðáèòû îòíîñÿòñÿ ê íåêîòîðîé âûáðàííîé
íåâðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò x, y, z .
 ôîðìóëå äëÿ âîçìóùàþùåé ôóíêöèè áóäåò ôèãóðèðîâàòü òàêæå ñðåäíåå äâèæåíèå n, êîòîðîå â ïðîìåæóòî÷íîì äâèæåíèè ñâÿçàíî ñ
áîëüøîé ïîëóîñüþ ñîîòíîøåíèåì
a3 n2 = f m,
ãäå f m ïðîèçâåäåíèå ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé íà ìàññó ïëàíåòû.
Äâèæåíèå âíåøíåãî âîçìóùàþùåãî òåëà äîëæíî áûòü çàäàíî êàêîéíèáóäü ìîäåëüþ.  àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè äâèæåíèÿ ñïóòíèêà ìîäåëü
1
äâèæåíèÿ âîçìóùàþùåãî òåëà äîëæíà îïèñûâàòüñÿ ôîðìóëàìè, çàäàþùèìè êîîðäèíàòû òåëà, êàê ôóíêöèè âðåìåíè t. Ýòè ôîðìóëû ñëåäóþò
èç êàêîé-ëèáî òåîðèè äâèæåíèÿ âíåøíåãî òåëà è ìîãóò ñîäåðæàòü, êîíå÷íî, ìíîæåñòâî ïàðàìåòðîâ ñ èçâåñòíûìè çíà÷åíèÿìè. Âûáîð ìîäåëè
äâèæåíèÿ âíåøíåãî òåëà îïðåäåëÿåòñÿ êîìïðîìèññîì ìåæäó íàèáîëåå
òî÷íûì åå âàðèàíòîì è âîçìîæíîñòüþ ïðîèíòåãðèðîâàòü â èòîãå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñïóòíèêà.  îáùåì ñëó÷àå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
äâèæåíèå âíåøíåãî òåëà îïðåäëåëÿåòñÿ åãî ïðÿìîóãîëüíûìè èëè ñôåðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, êàê ôóíêöèÿìè âðåìåíè, â âûáðàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ñïóòíèêà.
Îáîçíà÷èì ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû âîçìóùàþùåãî òåëà ÷åðåç
0
r ðàññòîÿíèå, ϕ0 øèðîòó, λ0 äîëãîòó.
 ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ ðàçëîæåíèå âîçìóùàþùåé ôóíêöèè, îáóñëîâëåííîé ïðèòÿæåíèåì âíåøíåãî òåëà, áóäåò èìåòü âèä
∞ k
k
∞
f m0 X X X X
(k − j)! ³ a ´k+1
R=
(2 − δj.0 )
×
0
a
(k
+
j)!
a
q=−∞
j=0
k=2
l=0
k,k−2l
×Fkjl (i)Xk−2l+q
(e)(Skj sin Dkjlq + Ckj cos Dkjlq ),
ãäå
Dkjlq = (k − 2l)ω + (k − 2l + q)M + jΩ,
δj,0 =
1, åñëèj = 0
,
0, åñëèj 6= 0
Skj = Tkj sin jα0 , Ckj = Tkj cos jα0 , åñëè k − j ÷åòíîå,
Skj = Tkj cos jα0 , Ckj = −Tkj sin jα0 , åñëè k − j íå÷åòíîå,
µ 0 ¶k+1
a
Tkj =
Pkj (sin δ 0 ),
0
r
Pkj (x) ïðèñîåäèíåííûå ôóíêöèè Ëåæàíäðà
Pkj (x) = (1 −
j
2 j/2 d Pk (x)
x )
,
dxj
Pk (x) ïîëèíîìû Ëåæàíäðà,
Fkjl (i) ôóíêöèè íàêëîíà,
k,k−2l
Xk−2l+q
(e) êîýôôèöèåíòû Ãàíçåíà,
0
a ñðåäíåå ðàññòîÿíèå èëè áîëüøàÿ ïîëóîñü îðáèòû âíåøíåãî òåëà.
2
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
Àêñåíîâ Å. Ï. Òåîðèÿ äâèæåíèÿ èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ Çåìëè. Ì:
Íàóêà, 1977 . 360 ñ.
Åìåëüÿíîâ Í. Â. Ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëóííî-ñîëíå÷íûõ âîçìóùåíèé ýëåìåíòîâ îðáèò ÈÑÇ. Òðóäû ÃÀÈØ. 1980. Ò. 49. Ñ. 122-129.
Åìåëüÿíîâ Í. Â. Ðàçëîæåíèå âîçìóùàþùåé ôóíêöèè, îáóñëîâëåííîé
âëèÿíèåì ïðèòÿæåíèÿ Ëóíû è Ñîëíöà íà äâèæåíèå ÈÑÇ. Àñòðîíîìè÷åñêèé æóðíàë. 1985. Ò. 62. N. 6. Ñ. 1168-1174.
3