[95/95] approach for design limits analysis in vver

6-я МНТК «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР»
ОКБ «ГИДРОПРЕСС», Подольск, Россия
26-29 мая 2009 г.»
ОБЕСПЕЧЕНИЕ 95% ВЕРОЯТНОСТИ C 95% НАДЕЖНОСТЬЮ ВЫПОЛНЕНИЯ
ПРОЕКТНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
Л.К. Шишков
РНЦ «Курчатовский институт», Москва, Россия
В докладе обсуждается известное требование [95%/95%], которое формулируется для
контроля некоторых ограничений на параметры активной зоны при проектировании
энергетических реакторов (в частности PWR и ВВЭР). Требование формулируется как
обеспечение выполнения ограничения с вероятностью 95%, при надежности также 95%.
Такие требования сформулированы, например, в американских стандартах и рекомендациях
МАГАТЭ для DNBR и температуры топлива.
Возникает вопрос: почему такой способ введения ограничений применяется именно к
этим параметрам и обычно не применяется к другим? Как практически (кем, на каком
уровне) обеспечиваются эти ограничения и как оно контролируется?
На основе общих положений математической статистики доклад трактует требования
[95/95] применительно к проектным пределам ВВЭР.
Требование 95/95 формулируется в ряде западных реакторных нормативных документах
и направлено на исключение кризиса теплообмена и плавления топлива. Например, в
NUREG записано “at least a 95% probability at 95% confidence level, that… per 10.0
MWD/MTU”, “in the thermal-hydrolic analysis to coolant DNBR … a 95% probability at 95%
confidence level”. Авторов давно интересовал вопрос: почему выбрана цифра 95% и почему
выделены только кризис теплообмена и температура топлива?
Скорее всего, требование в таком виде (далее будем обозначать его как 95/95) появилось
в связи с использованием интервальных оценок в математической статистике. Такие оценки
позволяют оценить параметры, характеризующие случайную величину “y” исходя из
анализа ограниченных, в том числе малых, выборок из m значений этой случайной
величины: y1, y2,…,ym. Так, в случае распределения, близкого к нормальному, среднее
значение y и дисперсия  2 ( y ) могут быть оценены с помощью значений среднего и
дисперсии, полученных по выборке размера ‘m’ y m и  m2 ( y ) . При этом точность оценок
определяется размером выборки ‘m’ и заданной надежностью (доверительной
вероятностью), которую удобно обозначить как (1-p). Эти оценки имеют вид [1,2]:
ym 
 m ( y)
m
t(1 p / 2)  y  ym 
 2 ( y) 
 m ( y)
(m  1) m2 ( y )
 p2
m
t(1 p / 2)
(1)
(2),
здесь: t (1 p / 2 ) и  p2 - приведенные в справочниках по статистике квантили распределений
Стьюдента и Пирсона.
Кстати, если распределение случайной величины существенно отличается от
нормального закона, математическая статистика предлагает другие оценки, например на
основе неравенства Чебышева
6-я МНТК «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР»
ОКБ «ГИДРОПРЕСС», Подольск, Россия
26-29 мая 2009 г.»
ym 
 m ( y)
 y  ym 
 m ( y)
(3).
p
p
Приведем примеры использования интервальных оценок в предположении, что
отклонения распределены по нормальному закону. Пусть измеряется эффективность
аварийной защиты реактора. Проведено три измерения, в результате которых получено
среднее значение эффективности  3  10 ef , причем среднее квадратическое отклонение от
среднего, полученное по результатам трех измерений, составляет  3 (  )  0,5 ef . Если в
качестве надежности полученного результата принять (1-p)=0,95, тогда квантиль
t1 p / 2  t 0,975  4,3 , и, в соответствие с (1), получаем, что с надежностью 95% для измеренной
эффективности
аварийной
защиты
справедлива
оценка:
 real
0,5
0,5
10 
4,3   real  10 
4,3 , то есть 8,76   real  11,24 . При (1-p)=0,99 оценка
3
3
real
7,14  
 12,86 .
В качестве еще одного примера использования интервальной оценки вероятности,
рассмотрим случай с моделирование работы реактора. Пусть необходимо определить
максимальную температуру топлива в ходе проектной аварии. При этом следует учесть
методическую погрешность и возможные технологические и эксплуатационные
ограничения. Температуру топлива требуется определить с надежностью (1-p)=0,95 и с
погрешностью в 30 С.
Можно использовать способ решения задачи, основанный на технике статистических
испытаний. Ранее такой подход рассматривался, например, в [3-5]. Выберем все параметры
расчетной модели (например, набора кодов), которые известны с некоторой погрешностью, и
назначим для этих параметров некоторое распределение. Определим характеристики
распределения для всех входных данных, которые также известны с некоторой
погрешностью. Многократно (n раз) моделируем весь ход аварии с использование
выбранной модели, при этом каждый раз случайно разыгрывая значения параметров модели
и входных данных в соответствии с их распределениями. В результате каждого расчета
определяется максимальная температура топлива, затем для этой выборки температур
рассчитывается среднее значение температуры T (n) и среднее квадратическое отклонение
 n (T ) . В соответствие с (1) определяются границы возможного значения температуры
Tn 
 n (T )
n
t(1 p / 2)  T real  Tn 
 n (T )
n
t(1 p / 2)
(4).
расчетов (n=30), в результате которых T (n)  2500 С,
 (T )
t (1 p / 2 )  28 С. Таким образом, максимальная температура
 n (T )  80 С, t1 p / 2  2,04 , n
n
топлива с вероятностью 95% лежит в интервале 2500  28  T real  2500  28 .
Вернемся к требованию 95/95, содержащемуся в некоторых нормативных документах.
Это требование можно переформулировать следующим образом: расчетное значение
параметра и статистические характеристики возможных отклонений этого значения должны
быть получены по методике, обеспечивающей 95% надежность, которая подтверждена
экспериментально. При этом расчетное значение параметра должно обеспечивать 95%
вероятность не нарушения проектного предела.
Пусть
выполнено
30
6-я МНТК «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР»
ОКБ «ГИДРОПРЕСС», Подольск, Россия
26-29 мая 2009 г.»
Рассмотрим подробнее эту трактовку требований. В результате расчета получена
некоторая расчетная оценка параметра “xcalc” величины “x”. В процессе эксплуатации
реактора реализуется, вообще говоря, другое «истинное» значение параметра “xreal”. Отличие
может быть вызвано погрешностями методики, технологическими отклонениями и
эксплуатационными отклонениями характеристик реактора от номинальных значений. Если
статистические характеристики отклонений точно известны (например, для нормального
распределения среднее значение и дисперсия), то в этом случае можно было бы обеспечить
100% надежность выполнения установленных ограничений путем введения гарантированно
достаточных запасов. Например, если мы хотим, чтобы в 95% реальных ситуаций истинное
значение параметра было меньше предельно допустимого значения, следует «отступить» от
него влево на 1,645, и т.д.
Во всех реальных случаях статистика отклонений точно неизвестна. Особенно это
касается сложных функционалов, например, запаса до кризиса теплообмена, когда на
результат влияет масса факторов: тепловой поток, температура, расход и давление
теплоносителя конфигурация исследуемого канала, т.д.
Для обеспечения необходимой надежности оценок в этом случае, следует отнести
интересующую нас ситуацию к набору (выборке) других близких ситуаций, которые уже
исследовались ранее, т.е. для которых проводились прямые или косвенные измерения
интересующего нас параметра. Под ситуацией будем понимать совокупность всех факторов,
влияющих на интересующий нас параметр. Применительно к реактору, сюда входит
геометрия участка активной зоны, температура топлива и теплоносителя, давление и расход.
После того, как выборка определена, определяется и значения интересующего нас параметра
для каждого элемента выборки. и строится математическая модель, определяющая среднее
значение параметра как функцию от влияющих факторов (в случае DNBR – такую модель
называют корреляцией). Определяется также дисперсия отклонений искомого параметра от
этого среднего значения. Понятно, что чем больше выборка, тем точнее строится расчетная
модель, и тем точнее определяется дисперсия отклонений. Как уже было упомянуто ранее,
математическая статистика позволяет, на основе ограниченного количества сопоставлений,
оценить интервал, внутри которого, с заданной надежностью, лежат истинные значения
среднего и дисперсии. Количественно такая возможность отражена в формулах типа (1-3).
Если вновь рассмотреть температуру топлива, то для условий, которые близки к
реальным, необходимо выполнить достаточное количество измерений, построить расчетную
модель, которая будет описывать как условие экспериментов, так и условия, которые
реализуются в реакторе. Затем сопоставить результаты измерений и расчетов с помощью
модели (найти дисперсию отклонений), с помощью формул типа 1 и 2 оценить среднюю
температуру топлива и дисперсию. При этом истинная температура топлива может
отличаться от средней на величину случайного отклонения, и чтобы обеспечить 95%
вероятность отсутствия плавления, при нормальном распределении отклонений, нужно
выполнить условие:
t
1,645 m  1 
Tcalc   (1 p / 2 ) 
 (T )  Tmelt
(5)
 m
 m

p


Первое слагаемое в скобках характеризует возможную максимальную погрешность
определения среднего, второе слагаемое – смещение допустимого расчетного значения
 (T ) .
6-я МНТК «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР»
ОКБ «ГИДРОПРЕСС», Подольск, Россия
26-29 мая 2009 г.»
Аналогичные рассуждения можно провести и по отношению к запасу до кризиса
q ( p, t , v )
теплообмена. Напомним, что DNBR  cr
, где qcr ( p, t , v) - критический тепловой
q
поток на поверхности твэла, определяемый давлением p, температурой теплоносителя t и
скоростью теплоносителя v; q – тепловой поток с поверхности твэла в теплоноситель.
Для корректной оценки DNBR необходимы данные экспериментов по измерению q и
qcr в условиях, близких к тем, которые реализуются в реакторе. Исходя из этих
экспериментов должна быть построена модель («корреляция»), с помощью которой можно
имитировать условия в реальном реакторе и на стендах для определения теплового потока.
Таким образом, в частности, определяется формула qcr  qcr ( p, t , v) . Причем погрешность,
которая получается при использовании этой формулы, обусловлена, в основном,
отклонениями аргументов p, t, и v от истинных значений, а не видом функциональной
зависимости от этих аргументов (хотя вкладом этой составляющей тоже нельзя
пренебрегать).
Таким образом, при расчетной оценке DNBR необходимо корректно (надежно) оценить
как q и qcr , и основным для надежной оценки qcr является надежное определение p, t, и v в
интересующей нас точке поверхности твэла. Потому в основу обеспечения надежности
DNBR следует поставить измерения на действующих реакторах факторов, с помощью
которых можно получить q и qcr , а значит и DNBR.
Совокупность таких измерений для условий, близких к интересующему нас варианту
(близкие типы ТВС, близкие режимы эксплуатации, близкое распределение
энерговыделения) позволяют оценить интервал, в котором расположено истинное среднее
значение DNBR и статистику возможных отклонений от этого среднего значения (дисперсию
отклонений). После этого принимается, что интересующий нас режим характеризуется
такими же статистическими характеристиками, и его параметры выбираются так, чтобы
удовлетворялось неравенство:
qcr
t
m 1

 m ( DNBR )  1,645
 ( DNBR )  1
q m 1
m m
(6),
здесь, как и ранее, m – число измерений, которые использовались для оценки отклонения
расчетного значения DNBR от измеренного, остальные обозначения соответствуют (1,2).
t p 1
 0 , и (6) переходит в:
При большом числе измерений
m
qcr
 1,645 m ( DNBR )  1
(7).
q
Отметим, что в российской практике реакторного проектирования вместо (7) до сих пор
используется более консервативное приближение
qcr 1   (qcr )
1
q1   (qcr )
где обычно принимается =2, или в ряде современных проектов =1,645.
(8),
6-я МНТК «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР»
ОКБ «ГИДРОПРЕСС», Подольск, Россия
26-29 мая 2009 г.»
Наконец, выбор конкретного числа 95% для определения надежности и вероятности, по
всей видимости, диктуется только особенностями человеческой психики: «90%» - мало;
«99%» - трудно достижимо, а «95%» - достаточно.
В заключение – одно общее замечание. Конечно, использование интервальных оценок
вероятности, пусть только для некоторых важных для безопасности параметров реактора –
дело хорошее. Но представляется, что соответствующие требования должны
формулироваться более подробно, с учетом общей специфики реакторных расчетов и
измерений. При этом, по мнению авторов настоящего доклада, определяющим моментом для
обеспечения безопасности остается физическая интуиция проектантов и экспериментаторов
при выборе результатов измерений для обоснований расчетных методик.
Список литературы
1. Е.И. Пустыльник. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. –
«Наука», Москва 1968.
2. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика. – Высшая школа,
Москва, 2001.
3. I. Panka, A. Kereszturi. Uncertainty analysis for hot channel. Proceedings of sixteenth
Symposium of AER, 2006
4. Langenbuch S. Status report on Uncertainty and Sensitivity Analysis. VALCO Workshop,
Helsinki, 2002
5. Langenbuch S., K.D. Schmidt. GRS Methodology for Uncertainty and Sensativity Analysis
of Results from Computer Model. VALCO Workshop, Garching, 2003.