1. УГОЛ НАКЛОНА прямОЙ

 ýòîé ñòàòüå ïðèâåäåíî èñ÷åðïûâàþùåå îïèñàíèå âñåõ ôàêòîâ, ñâÿçàííûõ ñ ëèíåéíîé ôóíêöèåé
y = kx + b,
ñ îáîñíîâàíèÿìè, âûâîäàìè è ïðèìåðàìè.
1. Óãîë íàêëîíà ïðÿìîé
Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ïðÿìóþ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. Óãëîì íàêëîíà ýòîé
ïðÿìîé íàçîâ¼ì óãîë, íà êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòü îñü
OX , ÷òîáû îíà ñîâïàëà ñ ïðÿ-
ìîé. Ïðè ýòîì åñëè ïîâîðîò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, óãîë ñ÷èòàåì ïîëîæèòåëüíûì.
Ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå óãîë îòðèöàòåëüíûé.
Îòìåòèì, ÷òî óãîë íàêëîíà îïðåäåë¼í íå îäíîçíà÷íî. Íàïðèìåð íà ðèñóíêå:
◦
ëèáî −135 , ò.ê. îñü OX
◦
ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ ýòîé ïðÿìîé, ëèáî ïîâîðà÷èâàÿ íà óãîë 45 ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåë◦
êè, ëèáî ïîâîðà÷èâàÿ íà 135 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
óãîë íàêëîíà ïðÿìîé ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûì ëèáî
Óïðàæíåíèå 1.1.
45◦ ,
Êàêèå åù¼ óãëû íàêëîíà ìîãóò áûòü ó ïðÿìîé íà ðèñóíêå 1?
Ñêîëüêî èõ âñåãî?
Ïðèìåð 1.
◦
Äàíû äâå ïðÿìûå. Óãîë íàêëîíà îäíîé èç íèõ ðàâåí 15 , óãîë íàêëîíà
◦
âòîðîé ðàâåí 149 . ×åìó ðàâåí îñòðûé óãîë ìåæäó ýòèìè ïðÿìûìè?
Ðåøåíèå: äëÿ íàãëÿäíîñòè ñäåëàåì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ îáåèõ ïðÿìûõ â íà÷àëî
êîîðäèíàò (ðèñ. 2, ëèáî ìîæíî ïåðåíîñèòü îñü
OX
â òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ, êàê
â ñëåäóþùåì ïðèìåðå). Îò ýòîãî óãëû íå ìåíÿþòñÿ. Èç ðèñóíêà 2 âèäíî, ÷òî îäèí
◦
◦
◦
èç óãëîâ ìåæäó ïðÿìûìè ðàâåí 149 − 15 = 134 . Íî ýòî òóïîé óãîë. ×òîáû íàéòè
◦
◦
◦
îñòðûé, íóæíî âçÿòü ñìåæíûé ñ íèì, ò.å. 180 − 134 = 46 .
1
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü è áåç ðèñóíêà, òîëüêî àáñòðàêòíûìè ðàññóæäåíèÿìè. Íà÷◦
í¼ì ïîâîðà÷èâàòü îñü OX . Âíà÷àëå ìû å¼ ïîâîðà÷èâàåì íà 15 , è îíà îêàæåòñÿ ïàðàëëåëüíà ïåðâîé ïðÿìîé. Çàòåì ìû å¼ äîâîðà÷èâàåì åù¼ íà êàêîé-òî óãîë α, òàê ÷òî
◦
â èòîãå îíà îêàçûâàåòñÿ ïîâ¼ðíóòîé íà 149 è ïàðàëëåëüíà âòîðîé ïðÿìîé. Çíà÷èò
15◦ + α = 149◦ , ò.å. α = 134◦ . Ýòîò óãîë α ýòî óãîë, íà êîòîðûé íóæíî äîâåðíóòü
ïåðâóþ ïðÿìóþ, ÷òîáû îíà îêàçàëàñü ïàðàëëåëüíà âòîðîé. Ò.å. ýòî îäèí èç óãëîâ
ìåæäó ïðÿìûìè. Äàëüøå òî æå, ÷òî â ïðåäûäóùåì ðàññóæäåíèè: óãîë òóïîé,
ïîýòîìó áåð¼ì ñìåæíûé ñ íèì îñòðûé.
Ïðèìåð 2.
◦
Äàíû äâå ïðÿìûå. Óãîë íàêëîíà îäíîé èç íèõ ðàâåí 39 , óãîë íàêëîíà
◦
âòîðîé ðàâåí −18 . ×åìó ðàâåí îñòðûé óãîë ìåæäó ýòèìè ïðÿìûìè?
Ðàññóæäåíèå òàêîå æå, ÷òî â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Åñëè ðåøàòü ïî ðèñóíêó:
îòâåò
39◦ + 18◦ = 57◦ .
Åñëè ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòîâ, òî
Ïîñêîëüêó óãîë
Ïðèìåð 3.
57◦
−18◦ + α = 39◦ ⇒ α = 57◦ .
îñòðûé, áðàòü ñìåæíûé ñ íèì óãîë íå òðåáóåòñÿ.
◦
Äàíû äâå ïðÿìûå. Óãîë íàêëîíà îäíîé èç íèõ ðàâåí 156 , óãîë íàêëîíà
◦
âòîðîé ðàâåí −148 . ×åìó ðàâåí îñòðûé óãîë ìåæäó ýòèìè ïðÿìûìè?
Ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ ðèñóíêà ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.
◦
Ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòîâ: −148 + α =
180◦ , ïîýòîìó ðåàëüíûé óãîë ìåæäó ïðÿìûìè
2
156◦ ⇒ α = 304◦ . Íî ýòîò óãîë áîëüøå
360◦ − 304◦ = 56◦ .
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
Óïðàæíåíèå 1.2.
+79265460671
www.UnderMath.ru
Çàïîëíèòå òàáëèöó:
Óãîë íàêëîíà ïåðâîé ïðÿìîé
◦
−144
260◦
175◦
91◦
139◦
Óïðàæíåíèå 1.3.
Óãîë íàêëîíà âòîðîé ïðÿìîé
◦
Îñòðûé óãîë ìåæäó ïðÿìûìè
11
−80◦
−150◦
125◦
16◦
Íàïèøèòå îáùåå ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ óãëà ìåæäó ïðÿìûìè,
îäíà èç êîòîðûõ íàêëîíåíà ïîä óãëîì
Óïðàæíåíèå 1.4.
α,
âòîðàÿ ïîä óãëîì
β.
(1) Ìîæåò ëè áûòü ó îäíîé è òîé æå ïðÿìîé äâà ðàçíûõ
óãëà íàêëîíà?
(2) Ìîæåò ëè áûòü ó äâóõ ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ îäèí è òîò æå óãîë íàêëîíà?
(3) Ìîæåò ëè áûòü ó äâóõ íåïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ îäèí è òîò æå óãîë íàêëî-
íà?
2. Òàíãåíñ óãëà íàêëîíà, óãëîâîé êîýôôèöèåíò
Èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà ìû óâèäåëè, ÷òî ó îäíîé è òîé æå ïðÿìîé ìîæåò áûòü
◦
ìíîãî óãëîâ íàêëîíà âèäà α + 180 · n, ãäå n = 0, ±1, ±2 . . . ×òîáû èçáåæàòü ïóòàíèöû (à òàêæå è ïî äðóãèì ïðè÷èíàì, ñì. äàëåå), ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü íå ñàì
óãîë íàêëîíà, à åãî òàíãåíñ. Åñëè ïðÿìàÿ íàêëîíåíà ïîä óãëîì
α,
òî âåëè÷èíà
tg α
íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ïðÿìîé.
Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ïðîáëåìà ìíîãîçíà÷íîñòè èñ÷åçàåò, ò.å. ó êàæäîé ïðÿìîé
ðîâíî îäèí óãëîâîé êîýôôèöèåíò. Äåéñòâèòåëüíî, âîçüì¼ì ïðÿìóþ íà ðèñ.1. Ïî◦
◦
◦
◦
ñêîëüêó tg 45 = tg(−135 ) = 1, è âîîáùå tg(45 + 180 · n) = 1 ïðè ëþáîì öåëîì
n,
óãëîâîé êîýôôèöèåíò ýòîé ïðÿìîé ðàâåí 1 íåçàâèñèìî îò òîãî, êàêîé èç óãëîâ
ñ÷èòàòü óãëîì íàêëîíà.
Óïðàæíåíèå 2.1.
Ìîæåò ëè áûòü ó äâóõ íåïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ îäèí è òîò
æå óãëîâîé êîýôôèöèåíò?
Óïðàæíåíèå 2.2.
×åìó ðàâåí óãëîâîé êîýôôèöèåíò áèññåêòðèñû ïåðâîãî êîîðäè-
íàòíîãî óãëà (ò.å. áèññåêòðèñû óãëà ìåæäó îñÿìè êîîðäèíàò, ïðîõîäÿùåé â ïåðâîé
è òðåòåé ÷åòâåðòÿõ)? Òîò æå âîïðîñ äëÿ áèññåêòðèñû âòîðîãî êîîðäèíàòíîãî óãëà.
Óïðàæíåíèå√2.3.
ðàâåí à) 0, á)
×åìó ðàâåí óãîë íàêëîíà ïðÿìîé, óãëîâîé êîýôôèöèåíò êîòîðîé
√
3, â) - 3, ã) √13 , ä) − √13 , å) 2, æ) 12 ?
Óïðàæíåíèå 2.4.
×åìó ðàâåí óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè îð-
äèíàò?
Óïðàæíåíèå 2.5.
(1) ×åìó ðàâåí îñòðûé óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, óãëîâûå
êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ ðàâíû 3 è 2?
(2) ×åìó ðàâåí îñòðûé óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, óãëîâûå êîýôôèöèåíòû êî-
òîðûõ ðàâíû -3 è -2?
3
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
(3) ×åìó ðàâåí îñòðûé óãîë ìåæäó ïðÿìûìè, óãëîâûå êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ
ðàâíû 3 è -2? (Íåçàâèñèìî îò òîãî, ðåøèëè âû ýòî óïðàæíåíèå èëè íåò,
ðåêîìåíäóþ î÷åíü âíèìàòåëüíî ïðî÷èòàòü ðåøåíèå)
Óïðàæíåíèå 2.6.
Çàïîëíèòå òàáëèöó (ïåðâàÿ ñòðîêà îáðàçåö):
Óãë. êîýôô. ïåðâîé ïðÿìîé
Óãë. êîýôô. âòîðîé ïðÿìîé
2
1
-0.5
3
0.6
1.5
1
-2
1
-1
Óïðàæíåíèå 2.7.
Âûâåäèòå îáùóþ ôîðìóëó îñòðîãî óãëà ìåæäó ïðÿìûìè, óãëî-
âûå êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ ðàâíû
Óïðàæíåíèå 2.8.
Îñòðûé óãîë ìåæäó ïðÿìûìè
arctg 13
k1
è
k2 .
Êàêîé îñîáûé ñëó÷àé íå ðàçîáðàí â ðåøåíèè ïðåäûäóùåãî óïðàæ-
íåíèÿ? ×åìó ðàâåí óãîë ìåæäó ïðÿìûìè â ýòîì ñëó÷àå?
3. Ïðÿìàÿ è òî÷êè íà íåé
Ïóñòü íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äàíû äâå òî÷êè
â òî÷êó
B,
è
B(4, 5)
(ðèñ 4). Ïóñòü
AB , à
âíà÷àëå ïî ãîðèçîíòàëè (âäîëü îñè OX ), çàòåì ïî âåðòèêàëè (âäîëü îñè OY ). Ïî
ãîðèçîíòàëè åìó íóæíî áóäåò ïðîéòè ðàññòîÿíèå 4 − 1 = 3, à ïî âåðòèêàëè 5 − 3 = 2.
Áóäåì íàçûâàòü ýòè ðàññòîÿíèÿ ñìåùåíèÿìè ïî x è ïî y è îáîçíà÷àòü 4x è 4y .
Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå 4x = 3, 4y = 2.
íåêòî ïåðåìåùàåòñÿ èç òî÷êè
A
A(1, 3)
ïðè÷¼ì äåëàåò ýòî íå ïî ïðÿìîé
Åñëè ïåðåìåùåíèå ïðîèñõîäèò îò áîëüøåé êîîðäèíàòû ê ìåíüøåé, òî çíàê ïåðåìåùåíèÿ áóäåò îòðèöàòåëüíûì. Íàïðèìåð íà ðèñ 5
4x = −3, 4y = −2, íà
ïðîèñõîäèò èç A â B ).
ðèñ 7
4x = −2, 4y = +7
4
4x = 2, 4y = −7,
íà ðèñ 6
(íà âñåõ ðèñóíêàõ ïåðåìåùåíèå
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
Óïðàæíåíèå 3.1.
+79265460671
Çàïèøèòå âûðàæåíèÿ äëÿ
ùåíèå ïðîèñõîäèò îò òî÷êè
A(x1 , y1 )
ê òî÷êå
4x, 4y â
B(x2 , y2 ).
www.UnderMath.ru
îáùåì âèäå, åñëè ïåðåìå-
Âåðí¼ìñÿ ê ðèñ. 4. Çàìåòèì, ÷òî â ïîëó÷èâøåìñÿ òàêèì îáðàçîì ïðÿìîóãîëüíîì
òðåóãîëüíèêå ABC ∠BAC â òî÷íîñòè ðàâåí óãëó íàêëîíà ïðÿìîé
4y
BC
óãëà ðàâåí
= 4x
.
AC
AB , à òàíãåíñ ýòîãî
Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê ðèñ. 5. Ïîíÿòíî, ÷òî ñèòóàöèÿ ïî÷òè àíàëîãè÷íà, íî íóæíî ïðîñëåäèòü çà çíàêàìè. Ïðÿìàÿ íàêëîíåíà âíèç, óãîë íàêëîíà îòðèöàòåëüíûé
◦
(åñëè áûòü òî÷íûì, íóæíî ñêàçàòü, ÷òî îí èç èíòåðâàëà (−90 , 0)), ïîýòîìó óãëîâîé êîýôôèöèåíò äîëæåí áûòü îòðèöàòåëüíûì. Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ ôîðìóëîé:
4y
= − 72 .
2, 4y = −7, 4x
4x =
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ
(1)
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé
Óïðàæíåíèå 3.2.
AB =
4y
4x
Óáåäèòåñü, ÷òî â îñòàâøèõñÿ äâóõ ñëó÷àÿõ (ðèñ.6 è ðèñ.7) ýòà
ôîðìóëà òîæå âåðíà. Ãëàâíîå, ÷òî íóæíî ïðîâåðèòü ñîâïàäåíèå çíàêîâ.
 ìàòåìàòèêå ðàçáîð ïðèìåðà ñ êîíêðåòíûìè ÷èñëàìè íå ñ÷èòàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì, ïîýòîìó
Óïðàæíåíèå 3.3.
Ïîâòîðèòå ðàññóæäåíèå â îáùåì âèäå: äîêàæèòå ôîðìóëó (1)
äëÿ òî÷åê ñ ïðîèçâîëüíûìè êîîðäèíàòàìè
Óïðàæíåíèå 3.4.
Çàïîëíèòå òàáëèöó:
Êîîðäèíàòû òî÷êè
1.5.
A
Êîîðäèíàòû òî÷êè
(1,2)
(3,-5)
(0,0)
(5,3)
(-7,1)
(4,1)
(1,3)
(1,4)
(-1,2)
(3,5)
Ïðèìåð 4.
A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ).
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé
AB
A(3, −7) ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ l ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì
òî÷åê B(6, 1), C(7, −1), D(13, 8) ëåæàò íà ýòîé ïðÿìîé.
×åðåç òî÷êó
Îïðåäåëèòå, êàêèå èç
B
5
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Ðåøåíèå. Âû÷èñëÿåì óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé AB . 4x = 6 − 3 = 3, 4y =
4y
= 83 6= 1.5, ò.å. ïðÿìàÿ AB íå ñîâïàäàåò ñ ïðÿìîé l, à çíà÷èò òî÷êà
− (−7) = 8, 4x
1
B
íå ëåæèò íà l .
C
Äëÿ òî÷åê
è
D
âû÷èñëÿåì, ÷òî óãëîâûå êîýôôèöèåíòû ïðÿìûõ
1.5. Ýòî çíà÷èò, ÷òî òî÷êè
÷åðåç òî÷êó
A
C
è
D
ëåæàò íà ïðÿìîé
l,
AC
è
AD
ðàâíû
ò.ê. èíà÷å ïîëó÷èëîñü áû, ÷òî
ïðîõîäÿò ðàçëè÷íûå ïðÿìûå ñ îäèíàêîâûì óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì,
÷òî íåâîçìîæíî.
Óïðàæíåíèå 3.5.
ôèöèåíòàìè
3
è
×åðåç òî÷êó
−2.
A(1, 2)
ïðîâåäåíû ïðÿìûå l1 è l2 ñ óãëîâûìè êîýô-
Äëÿ êàæäîé èç òî÷åê
B(3, 7), C(4, 11), D(0, 4), E(111, −218), F (221, 663)
îïðåäåëèòå, ëåæèò ëè îíà íà êàêîé-íèáóäü èç ïðÿìûõ l1 ,
Óïðàæíåíèå 3.6.
Âåðíî ëè, ÷òî òðè òî÷êè
l2 ?
A(−17, −41), B(3, −11), C(25, 22)
ëå-
æàò íà îäíîé ïðÿìîé? Çàäà÷ó íóæíî ðåøèòü, íå äåëàÿ ðèñóíêîâ.
Óïðàæíåíèå 3.7.
Âûâåäèòå â îáùåì âèäå óñëîâèå ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê
A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 )
íà îäíîé ïðÿìîé. Çàïîëíèòå òàáëèöó:
A, B, C
(1, 2); (5, 6); (139, 140)
(7, 2); (13, −10); (100, −140)
(−3, 19); (0, 14); (30, −36)
(8, 2); (8, 11); (8, 129)
(−100, 100); (−20, 96); (0, 95)
Êîîðäèíàòû òî÷åê
Ïðèìåð 5.
Ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (äà/íåò)
A(3, 4)) ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì 1.5.
Íà íåé âûáðàíà òî÷êà B . Çíàÿ, ÷òî àáñöèññà òî÷êè B ðàâíà 17, íàéäèòå å¼ îðäèíàòó.
×åðåç òî÷êó
Ðåøåíèå. Ïåðâûé ñïîñîá: óãëîâîé êîýôôèöèåíò 1.5 îçíà÷àåò, ÷òî ïåðåìåùàÿñü íà
a åäèíèö âäîëü OX , ìû ïåðåìåùàåìñÿ íà 1.5a åäèíèö âäîëü OY . ×òîáû ïîïàñòü èç
A â B , íóæíî ïåðåìåñòèòüñÿ íà 17 − 3 = 14 åäèíèö âïðàâî, è çíà÷èò íà 1.5 · 14 = 21
åäèíèö ââåðõ, ò.å. îðäèíàòà òî÷êè B ðàâíà 4 + 21 = 25.
Çàïèøåì ïåðåìåùåíèÿ èç A â
4y
B : 4x = 17 − 3 = 14, 4y = y − 4. Âû÷èñëÿåì 4x è ïðèðàâíèâàåì ê óãëîâîìó
êîýôôèöèåíòó. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:
Âòîðîé ñïîñîá: ïóñòü îðäèíàòà òî÷êè
Óïðàæíåíèå 3.8.
B
ðàâíà
y.
y−4
= 1.5 ⇒ y = 25.
14
×åðåç òî÷êó
Íà ïðÿìîé âçÿòà òî÷êà
B,
A
ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì
k.
ó êîòîðîé èçâåñòíà òîëüêî îäíà êîîðäèíàòà. Íàéäèòå
6
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
âòîðóþ êîîðäèíàòó òî÷êè
B
+79265460671
www.UnderMath.ru
ïî äàííûì òàáëèöû:
A è êîýôôèöèåíò k
A(2, 3), k = −1
A(1, −2), k = 34
A(−2, 6), k = −3
A(−1, 4), k = 1
A(11, 3), k = −2
A(0, 2), k = 12
Êîîðäèíàòû
êîîðäèíàòû
B
íåäîñòàþùàÿÿ êîîðäèíàòà
B
B(19, ...)
B(11, ...)
B(−10, ...)
B(..., 11)
B(..., 1)
B(..., 30)
4. Óðàâíåíèå ïðÿìîé
Èç øêîëüíîãî êóðñà õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ãðàôèêîì ôóíêöèè
y = kx + b
ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìàÿ.
Òåîðåìà.
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé, çàäàâàåìîé óðàâíåíèåì
y = kx + b, ðàâåí
k.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì íà ïðÿìîé äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè
öèññû ðàâíû
x1
è
x2
A
è
B,
ïóñòü èõ àáñ-
(ðèñ. 8).
Îðäèíàòû ýòèõ òî÷åê âûðàçèì ÷åðåç óðàâíåíèå ïðÿìîé:
y1 = kx1 + b,
y2 = kx2 + b.
Âû÷èñëÿåì óãëîâîé êîýôôèöèåíò:
4x = x2 − x1 ,
4y = y2 − y1 = kx2 + b − (kx1 + b) = k(x2 − x1 ),
4y
= k.
4x
×òî è òðåáîâàëîñü.
7
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
Ïðèìåð 6.
+79265460671
www.UnderMath.ru
Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
A(2; 3)
ñ óãëî-
5.
Ðåøåíèå. Ïóñòü B(x; y) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé. Çàïèøåì óãëîâîé êîýôôèöèåíò ÷åðåç òî÷êè A, B :
y−3
=5
k=
x−2
îòêóäà y = 5x − 7 èñêîìîå óðàâíåíèå.
âûì êîýôôèöèåíòîì
Ïðèìåð 7.
Çàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïðîèçâîëüíîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
A(2; 3).
òî÷êó
Ðåøåíèå. Â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå íóæíî ïîäñòàâèòü
k=
Ïðè èçìåíåíèè
êè
k
k
âìåñòî 5:
y−3
⇒ y = k(x − 2) + 3.
x−2
ïðÿìàÿ, çàäàâàåìàÿ ýòèì óðàâíåíèåì, áóäåò âðàùàòüñÿ âîêðóã òî÷-
A(2; 3).
Óïðàæíåíèå 4.1.
A
òî÷êà
Çàïîëíèòå òàáëèöó (ïåðâàÿ ñòðîêà îáðàçåö):
óãë.êîýôô
(2;3)
5
(1;5)
-2
(3;3)
0
(-3;-8)
k
t
(0;0)
k
Añ
5x − y − 7 = 0
óð. ïðÿìîé, ïðîõ. ÷åðåç
óãë. êîýô
k
Ýòî æå óðàâíåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü èç äðóãèõ ðàññóæäåíèé: ïðÿìàÿ
ëþáîì
k
ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò
O.
íå¼ ñäâèãîì íà 2 âïðàâî è íà 3 ââåðõ, ò.å. ïðîõîäèò
Ïðèìåð 8.
èçìåíåíèè
y = k(x − 2) + 3
÷åðåç (2; 3).
Ïðÿìàÿ
y = kx
ïîëó÷åíà èç
y = ax − 2a − 4
Íàéòè òî÷êó, âîêðóã êîòîðîé âðàùàåòñÿ ïðÿìàÿ
ïðè
ïðè
a.
y+4
y + 4 = a(x − 2) ⇒ a = x−2
. Îòñþäà âèäíî, ÷òî
ýòî óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (2; −4) ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì a.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå
Ïðèìåð 9.
èçìåíåíèè
Íàéòè òî÷êó, âîêðóã êîòîðîé âðàùàåòñÿ ïðÿìàÿ
y = 3ax + 2x − 4
ïðè
a.
y + 4 = x(3a + 2) ⇒ 3a + 2 = y+4
. Îòñþäà âèäíî,
x
÷òî ýòî óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (0; −4) ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì
3a + 2.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå
Ïðèìåð 10.
ïðè èçìåíåíèè
Íàéòè òî÷êó, âîêðóã êîòîðîé âðàùàåòñÿ ïðÿìàÿ
y = 3ax + 2x − 4 − a
a.
Ðåøåíèå. Çäåñü ñëîæíåå. Äëÿ íà÷àëà çàïèøåì êàê â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå:
y + 4 = x(3a + 2) − a.
Âû÷òåì
2
èç îáåèõ ÷àñòåé:
3
2
1
1
y + 4 = x(3a + 2) − a +
= x(3a + 2) − (3a + 2) = x −
(3a + 2).
3
3
3
8
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ýòî ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç
Óïðàæíåíèå 4.2.
www.UnderMath.ru
1
; −4 .
3
Íàéòè òî÷êó, âîêðóã êîòîðîé âðàùàåòñÿ êàæäàÿ èç ïåðå÷èñ-
ëåííûõ íèæå ïðÿìûõ ïðè èçìåíåíèè
a:
y = a(x − 2) + 1; y = (a + 1)(x − 2) + 1; y = 5ax + 4 − 3a − x;
ay = 2x + 4a − 3 + y; 3y = 2ax − x − 3a; (a − 1)x − 2y + 3a − 2 = 0.
Ïðèìåð 11.
Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè
Ðåøåíèå. Ðàññóæäåíèå àíàëîãè÷íî óïð. 3.7. Ïóñòü
ïðÿìîé. Çàïèñûâàåì óñëîâèå ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê
A(2; 3) è B(6; 4).
C(x; y) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà
A, B, C íà îäíîé ïðÿìîé:
íà
y−3
4−3
=
x−2
6−2
îòêóäà
4y = x + 10
Óïðàæíåíèå 4.3.
òî÷êà
A
òî÷êà
èñêîìîå óðàâíåíèå.
B
(2;3)
(6;4)
(1;5)
(0;-7)
(3;3)
(6;3)
(-3;-8)
(-4;-9)
(3;4)
(3;7)
Óïðàæíåíèå 4.4.
Çàïîëíèòå òàáëèöó (ïåðâàÿ ñòðîêà îáðàçåö):
AB
x − 4y + 10 = 0
óð. ïðÿìîé
Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîé
3x − 2y + 5 = 0.
Óêàçàíèå: âñïîìíèòå óïð. 2.8.
9
A(2; 3)