6. ТЕОРЕМА О ПРИþЕСЫВАНИИ ЕЖА.

÷ûü, 2009-10, 1 íïäõìø.
óåíéîáò \ïóîï÷îùå ðïîñôéñ íáôåíáôéëé"
6. ôåïòåíá ï ðòéþåóù÷áîéé åöá.
ðÒÉÍÅÒ 1. ðÕÓÔØ f | ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÐÅÒÅ×ÏÄÑÝÁÑ ÏÔÒÅÚÏË [−1; 1] × ÓÅÂÑ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ ÎÁ
ÜÔÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ Õ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ (Ô.Å. ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ f (x) = x). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ
f (−1) = −1 ÉÌÉ f (1) = 1, ÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÅÞÅÇÏ. éÎÁÞÅ f (−1) > −1 É f (1) < 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÆÕÎËÃÉÀ
g(x) = x − f (x). ôÏÇÄÁ g(−1) < 0 É g(1) > 0. ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÕÎËÃÉÑ g ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ, ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [−1; 1] ÎÁÊÄÅÔÓÑ
ÔÏÞËÁ x (×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÎÅ ÏÄÎÁ) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ g(x) = 0, ÔÏ ÅÓÔØ f (x) = x.
á ×ÏÔ Ä×ÕÍÅÒÎÙÊ ÁÎÁÌÏÇ ÜÔÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ:
ôÅÏÒÅÍÁ 1 (ÔÅÏÒÅÍÁ âÒÁÕÜÒÁ × ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 2). ðÕÓÔØ f | ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÐÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ËÒÕÇ
= {(x; y) | x2 + y2 ≤ 1} × ÓÅÂÑ. ôÏÇÄÁ Õ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ.
ðÒÉÍÅÒ 2 (ÛÕÔËÁ). éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ âÒÁÕÜÒÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
p

 x = ln(3 + x3 + 2y 2 )
p
 y = 1 arctg( x2 + 2y 4 )
2
p
ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ.
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f (x; y) = (a(x; y); b(x; y)) def
= (ln(3 + x3 + 2y2 );
p
1
2
2
2
4
2 arctg( x + 2y )). ïÎÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ; ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÜÔÏ ÅÇÏ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ. ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ x + y ≤
2
R2 . ôÏÇÄÁ |x3 | ≤ max(1; x4 ) ≤ max(1; R4 ) É |y4 | ≤ max(1; R4 ), ÏÔËÕÄÁ |f (x; y)| = a(x; y)2 + b(x; y)2 ≤ M (R) def
=
(3 + ln(3 + max(1; R4 )))2 + arctg(max(1 + R2 ; R4 + R2 ))2 . ëÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, limR→+∞ M (R)=R2 = 0, ÏÔËÕÄÁ
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ R0 , ÞÔÏ ÐÒÉ R ≥ R0 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï M (R) ≤ R2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ R0 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÓÅÂÑ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÍÅÅÔ ×
ÎÅÍ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ (ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÔ ÒÁÄÉÕÓÁ ËÒÕÇÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ âÒÁÕÜÒÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ).
éÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ âÒÁÕÜÒÁ. ðÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ÎÅ×ÅÒÎÁ, ÔÏ ÅÓÔØ f (x; y) def
= (a(x; y); b(x; y)) 6=
(x; y) ÎÉ ÐÒÉ ËÁËÏÍ (x; y) ∈ . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÏÇÄÁ ÐÒÉ ËÁÖÄÏÍ (x; y) ×ÅËÔÏÒ g(x; y) = (x − a(x; y); y − b(x; y)).
ôÏÇÄÁ g(x; y) 6= (0; 0).
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ ÔÏÞËÁ (x; y) Ä×ÉÖÅÔÓÑ (ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ, ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ) ÐÏ ÇÒÁÎÉÃÅ ËÒÕÇÁ , Á ÔÏÞËÁ
g(x; y), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, | ÐÏ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÅ ÐÒÏÈÏÄÑ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ g(x; y)
ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ Ä×Å ÔÏÞËÉ: (x; y) ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ËÒÕÇÁ É f (x; y) 6= (x; y) × ËÒÕÇÅ (×ÎÕÔÒÉ ÉÌÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ, ÍÙ ÎÅ ÚÎÁÅÍ).
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÅËÔÏÒ g(x; y) ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÏÓÔÒÙÊ ÕÇÏÌ Ó ×ÅËÔÏÒÏÍ (x; y). éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÔÏÞËÁ g(x; y) ÐÒÉ ×ÓÅÈ
(x; y) ÌÅÖÉÔ × ÏÔËÒÙÔÏÊ ÐÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÇÒÁÎÉÃÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÐÅÒÐÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ (x; y). ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ËÏÇÄÁ (x; y) ÏÂÈÏÄÉÔ ÇÒÁÎÉÃÕ ËÒÕÇÁ, g(x; y) Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÏ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ,
ËÏÔÏÒÁÑ ÏÂÈÏÄÉÔ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÏÄÉÎ ÒÁÚ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ g(x; y), ËÏÇÄÁ (x; y) Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÎÅ ÐÏ ÇÒÁÎÉÃÅ ËÒÕÇÁ, Á ÐÏ ËÏÎÃÅÎÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÅÊ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ R < 1. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÐÒÏÓÔ ÓÌÕÞÁÊ R = 0: (x; y) ÓÔÏÉÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ, É g(x; y) ≡ g(0; 0) 6= (0; 0).
ôÅÍ ÓÁÍÙÍ ÐÒÉ R = 0 ËÒÉ×ÁÑ ÜÔÏ ÐÒÏÓÔÏ ÔÏÞËÁ, ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ëÏÇÄÁ R ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÍÅÎÑÅÔÓÑ
ÏÔ 1 ÄÏ 0, ËÒÉ×ÁÑ, ÚÁÍÅÔÁÅÍÁÑ g(x; y), ÔÁËÖÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. îÏ ÞÔÏÂÙ ÐÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ËÒÉ×ÕÀ,
ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÐÒÉ R = 1, × ÔÏÞËÕ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÐÒÏÊÔÉ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ | ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ¤
äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÐÒÅ×ÒÁÔÉÔØ ÜÔÕ ÉÄÅÀ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, ÎÕÖÎÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ \ËÒÉ×ÁÑ, ÏÂÈÏÄÑÝÁÑ
ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÏÄÉÎ ÒÁÚ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ" É ÐÏÞÅÍÕ ÔÁËÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÎÅÌØÚÑ ÐÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ×
ÔÏÞËÕ, ÎÅ ÚÁÄÅ×ÁÑ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ÷ÏÔ ÅÝÅ ÐÒÉÍÅÒÙ ÐÏÄÏÂÎÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ:
ôÅÏÒÅÍÁ 2 (ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÌÇÅÂÒÙ). ÷ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (z ) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 Ó ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ a0 ; : : : ; an−1 ∈ C ÉÍÅÅÔ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÊ ËÏÒÅÎØ.
éÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ âÒÁÕÜÒÁ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ !R = {z ∈
C | |z | = R} ÒÁÄÉÕÓÁ R Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ËÒÉ×ÕÀ R;f , ÚÁÍÅÔÁÅÍÕÀ ÔÏÞËÏÊ f (z ), ËÏÇÄÁ z
ÏÂÈÏÄÉÔ !R ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
ïÓÏÂÅÎÎÏ ÐÒÏÓÔÁ ËÒÉ×ÁÑ R;f0 , ÇÄÅ f0 (z ) = z n . ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÒÉ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z × ÓÔÅÐÅÎØ n
ÅÇÏ ÍÏÄÕÌØ ×ÏÚ×ÏÄÉÔÓÑ × ÓÔÅÐÅÎØ n, Á ÁÒÇÕÍÅÎÔ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ n, ËÒÉ×ÁÑ R;f0 ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ
ÒÁÄÉÕÓÁ Rn Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ËÏÔÏÒÕÀ ÔÏÞËÁ ÏÂÈÏÄÉÔ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ n ÒÁÚ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ft (z ) = z n + t(an−1 z n−1 + · · · + a0 ), ÇÄÅ 0 ≤ t ≤ 1. åÓÌÉ R
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÅÌÉËÏ É |z | = R, ÔÏ |ft (z )| ≥ |z n | − t |an−1 z n−1 + · · · + a0 | ≥ Rn − ( |an−1 | Rn−1 + · · · + |a0 |) ≥
1
Rn − Rn−1 ( |an−1 | + · · · + |a0 |) > 0, ÅÓÌÉ R > 2( |an−1 | + · · · + |a0 |) def
= R0 . ôÅÍ ÓÁÍÙÍ ËÒÉ×ÁÑ R0 ;ft ÎÅ ÐÒÏÈÏÄÉÔ
ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÉ ÐÒÉ ËÁËÏÍ t. ôÅÍ ÓÁÍÙÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÐÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ËÒÉ×ÕÀ R0 ;f = R0 ;f1 ×
ËÒÉ×ÕÀ R0 ;f0 , | ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÐÒÏÊÄÅÎÎÕÀ n ÒÁÚ, | ÎÅ ÚÁÄÅ×ÁÑ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ.
ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ Õ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ËÏÒÎÑ ÎÅÔ, É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ËÒÉ×ÙÈ R;f ÐÒÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ R,
0 ≤ R ≤ R0 . ëÒÉ×ÁÑ 0;f ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÕ a0 6= 0 (ÅÓÌÉ a0 = 0, ÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ). ôÅÍ ÓÁÍÙÍ
ËÒÉ×ÕÀ R0 ;f ÕÄÁÌÏÓØ ÐÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ × ÔÏÞËÕ, ÎÅ ÚÁÄÅ×ÁÑ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÔÏÞËÕ
ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ É ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ R0 ;f0 | ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.
¤
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÚÁÍËÎÕÔÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÅ ÐÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. éÄÅÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ, ÍÏÖÎÏ ÐÒÅ×ÒÁÔÉÔØ × ÄÏËÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÅÓÌÉ ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÔØ ËÁÖÄÏÊ ÔÁËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ
ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ n( ) (ÉÎÄÅËÓ), ÒÁ×ÎÏÅ, ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÞÉÓÌÕ ÏÂÏÒÏÔÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ËÒÉ×ÁÑ ÄÅÌÁÅÔ ×ÏËÒÕÇ
ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, É ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:
1) åÓÌÉ (t) = const: 6= 0, ÔÏ n( ) = 0.
2) åÓÌÉ (t) | ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÐÒÏÊÄÅÎÎÁÑ n ÒÁÚ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ
ÓÔÒÅÌËÉ, ÔÏ n( ) = n.
3) åÓÌÉ ËÒÉ×ÕÀ 0 ÍÏÖÎÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÐÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ × 1 , ÔÏ ÅÓÔØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ËÒÉ×ÙÈ
t , ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ 0 ≤ t ≤ 1 (ÐÒÉÞÅÍ ×ÓÅ ËÒÉ×ÙÅ t ÎÅ ÐÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ),
ÔÏ n(0 ) = n(1 ).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÉÎÄÅËÓÁ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ÜÔÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÍÙ ÄÁÄÉÍ ÐÏÚÄÎÅÅ, Á ÐÏËÁ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÉÎÄÅËÓ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
îÁÚÏ×ÅÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÐÏÌÅÍ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ×, ÐÒÉÌÏÖÅÎÎÙÈ ËÏ ×ÓÅÍ ÔÏÞËÁÍ ÓÆÅÒÙ
S 2 = {(x; y; z ) | x2 + y2 + z 2 = 1}, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÔÏÞËÉ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ a = (x; y; z ) ∈ S 2 É ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ
×ÅËÔÏÒ, ÐÒÉÌÏÖÅÎÎÙÊ × ÔÏÞËÅ a, ËÁÓÁÅÔÓÑ ÓÆÅÒÙ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ.
ôÅÏÒÅÍÁ 3 (Ï ÐÒÉÞÅÓÙ×ÁÎÉÉ ÅÖÁ). ÷ÓÑËÏÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÐÏÌÅ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ × ÏÄÎÏÊ
ÔÏÞËÅ.
éÄÅÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ðÕÓÔØ N = (0; 0; 1) | \ÓÅ×ÅÒÎÙÊ ÐÏÌÀÓ" ÓÆÅÒÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÅÒÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ
ÐÒÏÅËÃÉÀ | ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ P : S 2 \ {N } → R2 , ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ a ∈ S 2
ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ aN Ó ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ z = 0. óÔÅÒÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÅËÃÉÑ ÐÒÅ×ÒÁÝÁÅÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÏÌÅ X ÎÁ ÓÆÅÒÅ × ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÏÌÅ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ (Ô.Å. × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ b ∈ R2 ÐÒÉÌÏÖÅÎ ÔÅÐÅÒØ ÐÌÏÓËÉÊ
×ÅËÔÏÒ Y (b), ÐÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÐÒÏÅËÃÉÅÊ ×ÅËÔÏÒÁ X (P −1 (b))).
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ !R ⊂ R2 ÒÁÄÉÕÓÁ R Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ (0; 0; 0) É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ R ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ
nR;X def
= n(Y (!R )), Ô.Å. ÉÎÄÅËÓ ËÒÉ×ÏÊ, ÚÁÍÅÔÁÅÍÏÊ ËÏÎÃÏÍ ×ÅËÔÏÒÁ Y (b) (ÍÙ ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÅÍ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ×ÅËÔÏÒ
ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, Á ÎÅ ÏÔ ÔÏÞËÉ b!), ÐÏËÁ ÔÏÞËÁ b ÏÂÈÏÄÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ !R ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ
ÓÔÒÅÌËÉ.
åÓÌÉ ÐÏÌÅ X ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅÊ, ÔÏ ÐÏÌÅ Y ÉÈ ÔÏÖÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ (ÄÏËÁÖÉÔÅ!). ôÏÇÄÁ ËÒÉ×ÁÑ Y (!R ) ÎÅ ÐÒÏÈÏÄÉÔ
ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, É ÞÉÓÌÏ nR;X ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÐÒÉ ×ÓÅÈ R. ðÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ R ËÒÉ×ÁÑ Y (!R ) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ
ÄÅÆÏÒÍÉÒÕÅÔÓÑ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÓÏÇÌÁÓÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Õ 3 nR;X = const: (ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ R). ðÒÉ R = 0 ËÒÉ×ÁÑ Y (!R ) |
ÔÏÞËÁ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÓÏÇÌÁÓÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Õ 1 nR;X ≡ 0.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÎÁ ÓÆÅÒÅ Ä×Á ×ÓÐÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÐÏÌÑ. ïÄÎÏ, Z1 , ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÏ ÐÏ ÍÅÒÉÄÉÁÎÁÍ
ÏÔ ÓÅ×ÅÒÎÏÇÏ ÐÏÌÀÓÁ Ë ÀÖÎÏÍÕ. åÇÏ ÐÒÏÅËÃÉÑ Y1 ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÏ ÒÁÄÉÕÓÁÍ Ë ÎÁÞÁÌÕ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Y1 (b) Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÐÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, ÏÔÓÔÁ×ÁÑ ÎÁ
=2 ÏÔ ÔÏÞËÉ b; ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, nR;Y1 = 1 ÓÏÇÌÁÓÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Õ 2. ÷ÔÏÒÏÅ ÐÏÌÅ, Z2 , ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ
ÓÅ×ÅÒÎÏÇÏ ÐÏÌÀÓÁ É ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÏ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ x. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ Z1 (a) É Z2 (a) ÒÁ×ÅÎ
ÄÏÌÇÏÔÅ ÔÏÞËÉ a.
ðÒÏÏÂÒÁÚ P −1 (!R ) ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ !R ÐÒÉ ÓÔÅÒÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÅËÃÉÉ ÜÔÏ ÐÁÒÁÌÌÅÌØ; ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÅÓÌÉ R → ∞,
ÔÏ ÛÉÒÏÔÁ ÐÁÒÁÌÌÅÌÉ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë =2 (Á ÄÌÉÎÁ ÐÁÒÁÌÌÅÌÉ | Ë ÎÕÌÀ). íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ (ÐÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ), ÞÔÏ ÓÔÅÒÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÅËÃÉÑ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ. þÔÏÂÙ ÓÜËÏÎÏÍÉÔØ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÍÙ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÅ ÂÕÄÅÍ, Á ÌÉÛØ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ R ÓÔÅÒÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÅËÃÉÑ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a ∈ P −1 (!R ) ÏÞÅÎØ ÂÌÉÚËÁ Ë ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÊ ÐÒÏÅËÃÉÉ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ a , ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ
Ë ÓÆÅÒÅ × ÔÏÞËÅ a, ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØ z = 0 (ÏÔÌÉÞÉÅ ÄÌÑ ÔÏÞÅË a0 , ÂÌÉÚËÉÈ Ë a, ÅÓÔØ o ÍÁÌÏÅ ÏÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ
ÍÅÖÄÕ a É a0 | ÄÏËÁÖÉÔÅ!). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÅÓÌÉ R ×ÅÌÉËÏ, ÔÏ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÐÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ a É z = 0 ÍÁÌ, É ÐÒÉ
ÐÒÏÅËÃÉÉ ÕÇÌÙ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ ÉÓËÁÖÁÀÔÓÑ. ôÅÍ ÓÁÍÙÍ ÅÓÌÉ Y2 ÜÔÏ ÐÒÏÅËÃÉÑ ÐÏÌÑ Z2 ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÔÏ ÕÇÏÌ
ÍÅÖÄÕ ×ÅÔÏÒÁÍÉ Y1 (b) É Y2 (b) ÐÒÉ b ∈ !R Ó ÂÏÌØiÉÍ R ÏÞÅÎØ ÂÌÉÚÏË (Á ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÒÁ×ÅÎ) ÕÇÌÕ ÍÅÖÄÕ
Z1 (a) É Z2 (a), ÇÄÅ a = P −1 (b). éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÜÔÏÔ ÕÇÏÌ ÒÁ×ÅÎ ÐÏÌÑÒÎÏÍÕ ÕÇÌÕ ÔÏÞËÉ b. âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ
ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÉÎÁ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ× Y2 (b) ÒÁ×ÎÁ 1. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (ÕÂÅÄÉÔÅÓØ!), ÞÔÏ ËÒÉ×ÁÑ
Y2 (!R ) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ, ÐÒÏÈÏÄÉÍÕÀ Ä×ÁÖÄÙ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, nR;Z2 = 2, ÓÏÇÌÁÓÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Õ 2.
úÁÍÅÔÉÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ X (N ) 6= 0 (ÍÙ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÌÉ, ÞÔÏ ÐÏÌÅ X ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅÊ). âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ X (N ) ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎ ×ÄÏÌØ ÏÓÉ x (ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ ÐÏ×ÅÒÎÅÍ), ÔÏ ÅÓÔØ
ÓÏÎÁÐÒÁ×ÌÅÎ ×ÅËÔÏÒÕ Z2 (N ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ " > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÛÉÒÏÔÁ ÔÏÞËÉ a ∈ S 2 ÎÅ ÍÅÎØÛÅ =2 − ", ÔÏ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ X (a) É Z2 (a) | ÏÓÔÒÙÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÄÌÑ ÔÁËÉÈ a ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï
×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÐÏÌÅÊ Ut (a) = tX (a) + (1 − t)Z2 (a), 0 ≤ t ≤ 1. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÅËÔÏÒÙ X (a) É Z2 (a) ÎÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÙ
ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÏ, ×ÅËÔÏÒ Ut (a) ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ t, É ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÅÇÏ ÐÒÏÅËÃÉÉ Vt (a) ÎÁ
ÐÌÏÓËÏÓÔØ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÎÄÅËÓ nR;Vt ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ t É, ÓÏÇÌÁÓÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Õ 3, ÐÏÓÔÏÑÎÅÎ (ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ
ÏÔ t). éÍÅÅÍ, ÏÄÎÁËÏ, nR;V0 = nR;Y2 = 2, Á nR;V1 = nR;Y = 0. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.
¤
ðÅÒÅÊÄÅÍ ÔÅÐÅÒØ Ë ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÎÄÅËÓÁ n( ) ÐÌÏÓËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ , ÎÅ ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ.
ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÓÐÒÏÅËÔÉÒÕÅÍ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ: (t) = (t)= | (t)| É ÐÏÌÏÖÉÍ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
n( ) def
= n( ). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÎÄÅËÓ ÄÌÑ ËÒÉ×ÙÈ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÌÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ : S 1 → S 1 .
úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁÞÁÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ b É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ E : R → S 1 ÐÒÑÍÏÊ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÞÉÓÌÕ x ÔÏÞËÕ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÇÏÌ ÅÅ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÁ Ó ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏÍ ÔÏÞËÉ b ÒÁ×ÅÎ
2x. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ E (\ÎÁÍÏÔËÁ") ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÏ Ó ÐÅÒÉÏÄÏÍ 1: E (x + 1) = E (x). äÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : [0; 1] → S 1 ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ f (0) = b, ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÇÏ ÐÏÄÎÑÔÉÅÍ ÔÁËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F : [0; 1] → R, ÞÔÏ
F (0) = 0 É E (F (s)) = f (s) ÐÒÉ ×ÓÅÈ s ∈ [0; 1].
ôÅÏÒÅÍÁ 4. äÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : [0; 1] → S 1 ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ f (0) = b, ÐÏÄÎÑÔÉÅ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ. åÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÐÒÙ×ÎÁÑ ÄÅÆÏÒÍÁÃÉÑ ft ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, 0 ≤ t ≤ 1, ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÐÏÄÎÑÔÉÑ Ft ÔÁËÖÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ t ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ⊂ [0; 1] ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ T , ÞÔÏ ÐÏÄÎÑÔÉÅ F ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁ
ÏÔÒÅÚËÅ [0; T ] ⊂ [0; 1]. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, 0 ∈ , ÔÁË ÞÔÏ ÎÅÐÕÓÔÏ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÅÓÌÉ a ∈ É 0 ≤ b ≤ a, ÔÏ b ∈ .
ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ 1 ∈ .
ðÕÓÔØ a ∈ É a < 1. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ " > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ a + " ∈ . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÔÒÅÚÏË [0; 1] |
ËÏÍÐÁËÔ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ " > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ f (x + ")
É f (x) ÐÒÉ ×ÓÅÈ x ÏÔÓÔÏÑÔ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÎÁ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. ðÒÏÏÂÒÁÚ E −1 (ÄÕÇÉ f (x); f (x+")) ⊂
R ÜÔÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÓÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÐÏÐÁÒÎÏ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× (p + i; q + i), i ∈ Z, ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ
ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ E ÉÍÅÅÔ ÏÂÒÁÔÎÙÊ (×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ). ôÏÇÄÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; a + "]
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÐÏÄÎÑÔÉÅ F : ÐÒÉ t ≤ a ÆÕÎËÃÉÑ F (t) ÕÖÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ, Á ÐÒÉ t ∈ [a; a + "]
ÍÏÖÎÏ (É ÎÕÖÎÏ) ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ F (t) = E −1 (f (t)), ÇÄÅ E −1 | ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë E ÎÁ ÔÏÍ ÉÚ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× (p + i; q + i),
ËÏÔÏÒÏÍÕ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ F (a).
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ a = sup (ÔÏÞÎÁÑ ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎØ). äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ a ∈ . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ b ∈ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ 0 ≤ b < a. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÅÓÌÉ b1 < b2 , É F1 | ÐÏÄÎÑÔÉÅ f ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; b1 ], Á F2 | ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ
[0; b2 ], ÔÏ × ÓÉÌÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ F1 (t) = F2 (t) ÐÒÉ t ∈ [0; b1 ] ⊂ [0; b2 ]. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏÄÎÑÔÉÅ F ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ
É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÎÁ ÐÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ [0; a). ðÕÓÔØ E −1 (f (a)) = {p + i | i ∈ Z}. ÷ ÓÉÌÕ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ
ÎÁÊÄÅÔÓÑ " > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {F (x) | a − " < x < a} ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏÍ (p + i − 1=2; p + i +1=2)
ÒÏ×ÎÏ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ i. ôÏÇÄÁ ÐÏÌÏÖÉÍ F (a) def
= p + i | ÜÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÓÐÏÓÏ ÄÏÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ F ÄÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; a]. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÎÑÔÉÅÍ f ÎÁ ÜÔÏÍ ÏÔÒÅÚËÅ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, a ∈ [0; 1].
åÓÌÉ ÔÅÐÅÒØ a def
= sup < 1, ÔÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ a É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, a + " > a, ÞÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
ÔÏÞÎÏÊ ×ÅÒÈÎÅÊ ÇÒÁÎÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, a = 1 É 1 ∈ .
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ ft | ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ [0; 1] → S 1 , ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ t É ÔÁËÏÅ,
ÞÔÏ ft (0) = b ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ t. ÷ ÓÉÌÕ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ " > 0 ÎÁÊÄÅÔÓÑ > 0 ÔÁËÏÅ,
ÞÔÏ ËÏÌØ ÓËÏÒÏ |t1 − t2 | < , ÄÕÇÁ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ft1 (a) É ft2 (a) ÍÅÎØÛÅ " ÄÌÑ ×ÓÅÈ a ∈ [0; 1]. îÏ ÔÏÇÄÁ,
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, |Ft1 (a) − Ft2 (a)| < ", ÇÄÅ Ft1 ; Ft2 | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÐÏÄÎÑÔÉÑ. ÷ÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ
ÔÁËÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ.
¤
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ : [0; 1] → S 1 | ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ: (0) = (1) def
= b; ÂÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ
ÓÞÉÔÁÔØ b ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ. åÓÌÉ [0; 1] → R | ÐÏÄÎÑÔÉÅ , ÔÏ E ( (1)) = b, ÏÔËÕÄÁ (1) ∈ Z. ðÏÌÏÖÉÍ ÐÏ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ n( ) = (1). ôÅÐÅÒØ Ó×ÏÊÓÔ×Ï 1 ÏÞÅ×ÉÄÎÏ (× ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÄÎÑÔÉÅ ≡ 0). åÓÌÉ | ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ,
ÐÒÏÊÄÅÎÎÁÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ n ÒÁÚ ÐÏ ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ, ÔÏ ÐÏÄÎÑÔÉÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÅÓÔØ F (t) = nt, É F (1) = n |
Ó×ÏÊÓÔ×Ï 2 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ. éÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ × ÐÒÏÃÅÓÓÅ ÄÅÆÏÒÍÁÃÉÉ ft ×ÅÌÉÞÉÎÁ
n(ft ) = Ft (1) ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ. îÏ ÐÏÓËÏÌØËÕ n(ft ) ∈ Z, ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ n(ft ) = const: | Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3.