1.Введение - Наука. Российско

ПОГЛОЩЕНИЕ СВОБОДНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ
КВАНТОВОЙ ЯМЕ С УЧЕТОМ РАССЕЯНИЯ НА ТРЕХМЕРНЫХ
АКУСТИЧЕСКИХ ФОНОНАХ
А.О. Геворгян1, Э.М. Казарян2, А.А. Костанян3
Российско-Армянский Университет
e-почта: gevorgyan.artak@gmail.com
Аннотация
Рассмотрены внутриподзонные переходы обусловленные поглощением света в
параболической квантовой яме с учетом рассеяния на трехмерных акустических
фононах. Получено аналитическое выражение для коэффициента поглощения с учетом
одного типа процессов – с первоначальным поглощением фотона и с дальнейшим
рассеянием на акустическом фононе. Для коэффициента поглощения исследованы
частотные характеристики и зависимость от ширины квантовой ямы.
Ключевые слова: внутриподзонные переходы, параболической квантовой яма,
акустический фонон.
FREE-CARRIER ABSORPTION IN A PARABOLIC QUANTUM WELL WITH
CONSIDERATION OF SCATTERING ON 3D ACOUSTIC PHONONS
A.H. Gevorgyan1, E.M.Kazaryan2, A.A. Kostanyan3
Russian-Armenian University
e-mail: gevorgyan.artak@gmail.com
Abstract
Intrasubband transitions caused by light absorption in a parabolic quantum well is
considered taking into account the scattering by 3D acoustic phonon. An analytical expression
for the absorption coefficient is obtained based on the the initial absorption of a photon and a
further scattering on acoustic phonon. Absorption coefficient frequency characteristics and
dependence on the quantum well width is examined.
Keywords: Intrasubband transitions, parabolic quantum well, acoustic phonon.
ՔՎԱՆՏԱՅԻՆ ՓՈՍՈՒՄ ԱԶԱՏ ԼԻՑՔԱԿԻՐՆԵՐԻ ԿՈՂՄԻՑ ԼՈՒՅՍԻ ԿԼԱՆՈՒՄԸ՝
ԵՌԱՉԱՓ ԱԿՈՒՍՏԻԿ ՖՈՆՈՆՆԵՐԻ ՎՐԱ ՑՐՄԱՆ ՀԱՇՎԱՌՈՒՄՈՎ
Ա. Հ. Գևորգյան1, Է.Մ. Ղազարյան2, Ա.Ա. Կոստանյան3
Հայ-Ռուսական համալսարան
Էլ. հասցե: gevorgyan.artak@gmail.com
Անոտացիա
Դիտարկված
են
ներենթագոտիական
անցումները
պարաբոլական
քվանտային փոսում հաշվի առնելով ցրումները եռաչափ ակուստիկ ֆոնոնների
վրա: Կլանման գործակցի համար ստացված է վերլուծական արտահայտություն
հաշվի առնելով միայն մեկ տիպի անցումները՝ ֆոտոնի առաջնային կլանումով և
1
հետագա ցրումով ակուստիկ ֆոնոնի վրա: Կլանման գործակցի համար
հետազոտվել է հաճախային բնութագիրը և կախվածությունը քվանտային փոսի
լայնությունից:
Առանցքային բառեր: Ներենթագոտիական անցումներ, պարաբոլական
քվանտային փոս, ակուստիկ ֆոնոններ:
1.Введение
Прямое поглощение света свободными носителями невозможно, т.к. это
противоречит законам сохранения энергии и импульса. Наличие фононов, примесей и
других дефектов решетки делают возможным поглощение света, т.к. рассеивание на
третьей частице обеспечивает изменение импульса. Благодаря этому поглощение
свободными носителями (ПСН) является одним из эффективных инструментов для
выявления и оценки механизмов рассеивания. ПСН было рассмотрено в обьемных
полупроводниках в рамках второго порядка теории возмущений с учетом различных
механизмов рассеиваяния [1], в том числе и на колебаниях решетки [2].
Естественно, что интерес вызывает рассмотрение ПСН в низкоразмерных
структурах. Вследствие размерного квантования (например в одном направлении в
квантовых ямах), возникают энергетические подзоны, что делает возможным переходы
как внутри одной подзоны (внитриподзонные переходы), так и между подзонами
(межподзонные переходы) [3].
Внутриподзонные переходы в квантовых ямах (КЯ) вызывают большой интерес
благодаря своим уникальным характеристикам: большого дипольного момента, ультрабыстрой релаксации, большой возможностью настройки длин волн переходов [4-6]. Это
важно не только с точки зрения фундаментальной физики, но и разработки новых
технологических приложений [7-9].
Одним из первых теоретических работ, посвященных поглощению света
свободными носителями в квантово-размерных структурах являются работы Казаряна
и др. [10, 11], где в рамках второго порядка теории возмущений получены частотные
зависимости коэффициента поглощения света невырожденным электронным газом в
полупроводниковых пленках (КЯ) и проволоках (квантовые проволоки) [12-14].
С другой стороны, возникает необходимость создать более реалистичную модель
ограничивающего потенциала, с учетом физико-химических свойства- и геометрии
структуры. Первые формируют форму потенциального барьера, а вторая − симметрию
гамильтониана. Применялись различные модели ограничивающего потенциала для
низкоразмерных систем [15-17]. В первом приближении потенциал ограничения можно
аппроксимировать
параболическим.
В
дальнейшем
предполагается,
что
ограничивающий потенциал КЯ имеет вид
m*02 z 2
(1)
Vconf  z  
,
2
где m* – эффективная масса электрона, 0 – частота ограничивающего потенциала КЯ,
определяемая с помощью вириальной теоремы согласно соотношению
γ
(2)
0  * 2 ,
ma
где a – ширина КЯ, γ – некоторый подгоночный параметр
2.Теория
Расчеты проводятся на основе стандартной теории квантовых переходов, согласно
общей формуле:
2


cN
P f ,
i i
(3)
i
где  – диэлектрическая постоянная, N – количество фотонов падающих на КЯ в
еденицу времени на единицу площади, c – скорость света, f i – функция распределения
заряда, Pi – скорость переходов (число переходов в единицу времени).
Выражение для Pi во втором порядке теории возмущений имеет вид [20]:
Pi 
2

f
где Ei
m

M im
M mfJ

2
 ( E f - Ei   ) ,
(4)
– энергия первоначального состояния системы, E f – энергия конечного

состояния, Em – энергия промежуточного состояния, M im
– матричный элемент,
J
обусловленный поглощением фотона, M mf – матричный элемент, обусловленный
рассеянием на трехменых акустических фононах. В направлении z электрон находится
в параболической КЯ, а в плоскости (x,y) имеется двумерная трансляционная
симметрия.
n=1
E
Предполагается, что на КЯ падает линейно–
поляризованный свет, причем мы не конкретизируем угол,
под которым падает свет. Отметим лишь, что если хотим
получить внутриподзонные переходы, то должны
n=0
f f
m
потребовать, чтобы свет не падал паралельно на плоскость
f’
КЯ (электрический вектор поляризации падающего света не
i
был перпендикулярен плоскости КЯ), а для получения
c
межподзонных переходов необходимо обратное [3]. Это
k‖
Eg
равносильно тому, что компонента вектора поляризации
имела отличную от нуля x,y компоненту E x , y  0 .
v
В данной работе рассматривается переходы с
первоначальным поглощением света (рис. 1, переходу i  m
Рис. 1. Энергетическая
) и дальнейшим поглощением (рис. 1, переходу m  f ) или
диаграмма переходов
испусканиием (рис. 1, переходу m  f ' ) акустического
фонона.
Общий вид волновой функции
1/4
 z2
 z
1 1    ik//   2 a2
,
(5)
 
e e Hn 


2
 a 
S 2n n !   a 


где
a – ширина КЯ, S – площадь ее поверхности, H n – полиномы Эрмита.
Энергетический спектр имеет вид
2 2
2 2
ki
osc
km

Ei 

;
E

 osc  ;
m
*
*
2m
2
2m
2
(6)
2 2
kf
osc
γ 2
Ef 

 q ,
osc  * 2
2m*
2
ma
где  – энергия фотона, q – энергия акустического фонона. С учетом вида
волновой функции матричный элемент поглощениея фотона имеет вид:
3

M im
  m H / i 
  e
1 1  i km   z 2 / 2 a
 e
e
e
Hm  z a 
Ap

aS 
 mc
i ki   z 2 / 2 a
e
Hi  z a  d r 
(7)
2
2 2 2 
i ec

e ki  k m k i 
.

// //
S
 mc  n 
Для расчета матричного элемента рассеяния на трехмерных акустических
фононах считаем, что имеем дело с фактически упругим механизмом рассеяния. Из
закона сохранения энергии и импульса, принимая во внимание (ур. (6)), для волнового
вектора электрона имеем
1  mq q m* 
(8)
k 
 

,
cos  
q 2
q 
где k – волновой вектор электрона до рассеяния, k ' – волновой вектор электрона после
рассеяния на колебания решетки,  – угол рассеяния (угол между ( k и k ' )), q  k  k '
– модуль разности волновых векторов электрона до и после рассеяния.
Из (ур. 8) следует, что волновой вектор элетрона может прнимать минимальное и
максимальное значения
k
min
и
k
max
,
которое зависит от угла рассеяния:
 mq q m* 
 
 
 и k max   .
min
q 2
q 

Рассеивание на трехмерных акустических фононах, считатется фактически
упругим. Матрица рассеяния на трехмерных акустических фононах дается [19]
q D 2
k TD 2
1 1
2
3D 2
M mf
  f H ph m 
( Nq 
) B
(9)
2cl
2 2
2cl
для обоих процессов: испускания или же поглощения фононов. где D – является
постоянной деформационного потенциала, а cl – продольная упругая постоянная.
Отметим, что из линейности дисперсионного соотношения для акустических фононов
следует, что матрица рассеяния (9) не зависит от вектора рассеяния.
H ph – гамильтониан рассеяния на акустических фононах, Nq – функция
распределения акустических фононов (функция распределения Бозе – Эйнштейна):
k BT
1
Nq 
 1 .
(10)
q
exp  q / k BT   1
k
в учитывается тот факт, что энергия акустического фонона намного меньше чем
тепловая энергия (исключая низкие температуры).
Для расчета коэффициента поглощения (см. ур.(4)) в случае первоначального
поглощения фотона и вторичного рассеяния используем выражение [18]
2
 2
J 2


 2S 
M
M
1
2

im
mf
2
2

 f (k )[1  f (k / )] , (11)
 ( ) 
d
kd
k
'

(
E
E


)


f
i
2
2





N  (c / n)   2  
( Ei - Em   )


/
где f (k ) и f (k ) вероятность заполнения начального и конечного состояния
соответственно (распределение Ферми-Дирака), N – количество падающих фотонов на
единичную площадь (рассматривается однофотонное поглощение), n – коэффициент
преломления света в среде.
Ограничимся рассмотрением невырожденного электронного газа с температурой
T , пренебрегая f (k / ) (т.е. f (k / )  0 ); для f (k ) возьмем функцию распределения
Больцмана
4
3/2
 i
n 
n  2 2 
k BT
f ( k )  e e k BT  e  *
e
,
(12)

Nc
2 a  m k BT 
где ne – концентрация свободных электронов.
При подстановке выражений матричных элементов (7), (9) в (11) и с учетом вида
функции распределения (12), для коэффициента поглощения получим следующее
выражение
3
 ET D 2   1 
 osc 
    C 
(13)

,
 exp  
 2 ET 
 cl    
E
E
где использованы следующие обозначения:
ET  k BT ;
5  4 4  m*e2 ET2 ne  2 2 
C
 *
 ,
2a 3
 m k BT 
 − диэлектрическая проницаемость среды, ET − тепловая энергия системы.
2
3/ 2
(14)
3. Результаты
Анализ частотной зависимости коэффициента поглощения показывает
1
зависимость    ~ 3 . Результаты получены для одного типа процессов – с

первоначальным поглощением фотона и с дальнейшим рассеянием на трехмерный
акустический фонон.
Литература
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
H.Y. Fan, W.Spitzer and R.J.Collins, Phys. Rev. 2 (1956) 101.
R. Rosenberg, M. Lax, Phys. Rev. 12 (1958) 843.
Л.Е. Воробьев, Оптические явления в полупроводниковых квантово-размерных
структурах, Санкт-Петербург, СПбГТУ, 2000.
T. Asano, S. Noda and A. Sasaki, Physica E 2 (1998) 111-115.
R. Paiella, Intersubband Transitions in Quantum Structures, McGraw-Hill Companies,
137-140, 2006.
M. Helm, The Basic Physics of Intersubband Transitions, Semiconductors and
Semimetals 62, (2000) 1-32, 73-80.
F.D.P. Alves, G. Karunasiri, N. Hanson, M. Byloos, H.C. Liu, A. Bezinger,
M. Buchanan, Infrared Phys. & Technol. 50, (2007) 182-186.
S.S. Li, Int. Journ. of High Speed Electronics and Systems 12 (2002) 761-801.
T. Chakraborty and V. M. Apalkov, Adv. Phys. 52 (2003) 455-521.
Э.М. Казарян, В.Г. Григорян, А.М. Казарян, Известия АН Арм. ССР 11 (1976)
351-359.
Э.М. Казарян, К.С. Арамян, Известия АН Арм. ССР 11 (1976) 122-127.
J. Lee, H.N. Spector. J. Appl.Phys., 54 (7) (1983), 3921.
J.S. Bhat, S.S. Kubakaddi and B.G. Mulimani, Journ. Appl. Phys. 72 (1992) 4966.
F. Carosella, C. Ndebeka-Bandou, R. Ferreira, E. Dupont, K. Unterrainer, G. Strasser,
A. Wacker, and G. Bastard, Phys. Rev. B 85 (2012) 085310.
Л.С. Петросян, Известия НАН Армении, Физика. 37 (2002) 173-177.
5
[16] D.B. Hayrapetyan, E.M. Kazaryan, L.S. Petrosyan, H.A. Sarkisyan, Physica E 66
(2015) 7-12.
[17] D.B. Hayrapetyan, E.M. Kazaryan, T.V. Kotanjyan, H.K. Tevosyan, Superlattices and
Microstructures 78 (2015) 40-49.
[18] G. Bastard, Wave mechanics applied to semiconductor heterostructures, Cedex France,
Les editions de Physique, 1989.
[19] P.J. Price, Ann 1981 Phys. 133-217
[20] К. Зеегер, Физика полупроводников, М., Мир, 1977.
6