Ускоренный метод расчета показателей качества

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЯ
Ускоренный метод расчета показателей качества
обслуживания IP-сетей с самоподобным трафиком
С.Ш. Кутбитдинов (ГУП «UNICON.UZ»), А.С. Кутбитдинов (СИРМТ),
В.В. Лохмотко (СПбГУТ)
В
статье
предлагается
основанный
на
применении
модифицированного экспоненциального распределения аналитический
метод расчета средней задержки, вероятности потери (по времени)
пакета и параметра Херста для звена IP-сети с самоподобным
трафиком.
Маколада
модификацияланган
экспоненциал
таксимоти
куллашга асосланган узига ухшаш трафикли IP-тармогининг бугини
учун уртача кечикиш, пакет ва Херст параметрларнинг йуколиши
(вакт буйича)эхтимоллигини хисоблашнинг тахлилий усули таклиф
этилади.
In article is considered the simple method of QoS-calculation (average
delay and probability of the packet loss) for a link of IP-network with the
exponential self-similar traffic.
Этапы планирования и проектирования NGN требуют проведения
большого
объема
многовариантных
расчетов
типа
«эффективностьстоимость» для различных вариантов построения структуры и
тарификации услуг с учетом
неравномерности распределения трафика,
переполнения очередей, перегрузок, блокировок и других аномалий. Это
предъявляет к моделям качества обслуживания (QoS) противоречивые
требования по вычислительной сложности и адекватности моделируемым
сетевым процессам, часто оказывающимся самоподобными.
В данной работе рассматриваются три параметра QoS звена IP-сети:
1) средняя задержка пакета объемом V (бит) (IP Packet Time Delay, IPTD),
обозначаемая далее, как Т;
2) вероятность потери пакета (IP Packet Lost Rate, IPLR), обозначаемая Р
и ассоциируемая с «хвостами» функций распределения случайных величин;
3) вероятность on
застать звено в состоянии готовности или с
вероятностью off = 1 on в состоянии тестирования.
Подобные характеристики для идеального случая (off = 0) будут иметь
подстрочный индекс «0», а нормативные  «z». Согласно Рекомендации ITU-Т
Y.1541 параметры QoS для сетей с коммутацией пакетов дифференцируются
по классам и очерчивают диапазон значений от 0,1с до 1с для временных норм
и 1‰  для параметров вероятностной природы.
Результаты экспериментальных исследований статистических свойств
характеристик речевого и видео трафика, проведенных различными
независимыми авторами, показывают, что пуассоновская модель не
согласуется с результатами эксперимента, а объединенный процесс
оказывается сильно коррелированным и подлежит описанию распределениями
с длинно протяженными зависимостями, описываемыми функциями со
степенным законом убывания и дробным показателем степени [1]
t  , t , 01 ,
(1)
где:   параметр формы распределения, например, степенного или Парето [2].
По мнению сторонников «фрактального» подхода на сегодняшний день
не существует общих аналитических результатов анализа влияния
самоподобности и долговременной зависимости трафика на QoS. Известны
лишь отдельные результаты для частных случаев [3].
Упрощение расчетов QoS-параметров может быть достигнуто переходом
от простой экспоненциальной дополнительной функции распределения (д.ф.р.)
exp(t ) к модифицированной д.ф.р. вида exp[t /(1  )] , получаемой
возведением простой экспоненты в степень 1/(1  ) ,
 > 0 и
характеризующейся замедленным темпом угасания «хвоста», совпадающего в
ряде случаев со степенным (1).
Адекватная подмена функции (1)
модифицированной
экспонентой
положена
в
основу
избранного
квазиэкспоненциального подхода.
Объяснение физической сущности преобразования и присутствия
свойства самоподобности (или масштабной инвариантности) проводится на
примере сервера, моделируемого двухпотоковой СМО типа M 2 / M 2 / 1 /  с
«перерывами», наступающими в конце каждого периода занятости и
используемыми для передачи испытательного трафика (тестов). Вновь
поступающие запросы ожидают окончания перерыва [4].
Полагаются известными:
  средняя загрузка сервера запросамиответами,  = л / м;
off  вероятность появления перерыва, off = 1   ;
Toff  средняя продолжительность перерыва;
м
 интенсивность обслуживания сервера и мoff  доля пропускной
способности, приходящаяся на обработку испытательного трафика, м = С/V
(C  битовая скорость).
Модельные допущения: законы распределения всех случайных величин
– экспоненциальные, емкость накопителя – не ограничена, система 
однолинейна, пакеты способны группироваться в пачки, запросыответы имеют
неявный относительный приоритет перед тестами.
Исходя из общей модели СМО M / G / 1/  с перерывами в
обслуживании, приведенной в [4], выводится формула средней задержки
M 2 / M 2 /1/  ,
пакета
для
аналогичной
экспоненциальной
СМО
представляющая собой сумму средней задержки Тo пакета и средней
продолжительности перерыва
Т  To  Toff 
1
T .
 (1   ) off
(2)
Поскольку отличие модели (2) от идеальной M / М / 1 /  состоит только в
дополнительной
задержке Toff, представляется целесообразным при
проведении дальнейших преобразований перейти к нелинейной шкале времени
с помощью коэффициента

Toff
То
.
(3)
Коэффициент
 в дальнейшем будем именовать коэффициентом
масштаба квазиэкспоненциального распределения и интерпретировать как
степень ухудшения QoS в зависимости от интенсивности воздействия
перерывов. При отсутствии перерывов  = 0.
Выражения (2) и (3) устанавливают линейную зависимость между
задержками пакета в системах с прерыванием и без прерываний
Т  (1   )To .
(4)
Для доказательства идентичности степенного и квазиэкспоненциального
распределений составляется уравнение вида
t  e t /(1 ) ,
(5)
после логарифмирования которого получается основное тождество,
связывающее параметры  и  через логарифмическую шкалу времени
 ln t 
t
.
1 
(6)
Формула (6)  парадигма, позволяющая находить различные балансные
соотношения между параметрами системы. Если по результатам
статистического анализа найден параметр , то

t
1 ,
 ln t
(7)
а при известной  и с учетом того, что Н = 1  /2 [3], статистический параметр
Херста Н можно представить аналитической функцией
H à  1
t
2(1 ) ln t
,
(8)
аргументами которой являются линейное время t, логарифмическое время
ln(t) и коэффициент масштаба .
При малых значениях t трансцендентная функция На(,t) имеет
плохоорганизованную структуру и, как вероятностная мера, существует не
всегда. В практике структурно-сетевых расчетов случайную величину t принято
трактовать как отношение норматива tz по времени доставки пакета к
среднему времени Т доставки пакета, поэтому значения t < 3 не используются
по причине непригодных QoS-показателей.
Известно [3], что для самоподобных процессов Н > 0,5, однако момент их
зарождения не определен.
Исходя из (8) при условии Н = 0,5, составлена таблица, в которой фактор
времени представлен в двух измерениях  линейном, равномерном или
ньютоновском времени (1-й столбец) и в логарифмическом масштабе (2-й
столбец). Моменту возникновения аномалии соответствует значение
коэффициента масштаба
*  t / ln t  1 , t > 1,
(9)
при котором система с классическим пуассоновским входящим потоком под
воздействием внешних факторов трансформируется в неэкспоненциальную и
при дальнейшем увеличении t сохраняет свойство самоподобности (3-й
столбец).
Таблица 1 Взаимосвязь показателей времени и масштаба
Равномерное
время, t
Логарифмическое
время, ln(t)
3
5
7
10
25
30
1.10
1.61
1.95
2.30
3.22
3.40
Точка бифуркации,
*
1.73
2.11
2.60
3.34
6.77
7.82
Таблица 1 имеет простую практическую интерпретацию. Если средняя
продолжительность перерыва превышает среднее время доставки в 1,73 раза,
а норматив tz превышает среднее время доставки в три раза, значит, система
обслуживания находится на грани зарождения самоподобного процесса.
Будучи самодостаточным методом расчета ВВХ, квазиэкспоненциальный
подход позволяет оценить ошибку , допускаемую другими методами,
пренебрегшими фактором самоподобности. Ошибка будет иметь место только
в том случае, если параметр  превышает значение порога * и, например, для
трехкратного превышения
средней
продолжительности перерыва над
средним временем доставки ( = 3) составляет 400%. Эталоном в данном
случае служит распределение (1). Как следует из (4), ошибка в этом случае
составит ≈ 4 раза, если за эталон принято распределение (1).
Численные результаты сравнения хвостов распределений (5)
представлены на рисунке в виде эквипотенциальных кривых, наделенных тем
свойством, что все точки, принадлежащие одной и той же кривой,
характеризуются одинаковыми потерями.


Рис. 1. Линии равного уровня функции потерь
для различных значений параметра t.
Рис. 1 демонстрирует устойчивую нелинейную взаимосвязь параметров 
и , что подтверждает идентичность распределений в широком диапазоне.
Подстановкой (4) в экспоненциальную форму exp(t ) находится
выражение вероятности потерь пакета для СМО M 2 / M 2 / 1 /  с перерывами
tz


P(T  t )  exp
,
(
1


)
То


(10)
а при  = 0, соответственно, без «перерывов»
P(T0  t )  exp(t
z
/ То)
(11)
При наличии исходных данных только для идеального случая удобно
пользоваться коэффициентом h [h = P(T  t ) : P(T0  t ) ], позволяющим
находить потери в системе с перерывами, не моделируя ее вероятностных
свойств, а ограничиваясь только учетом внешнего воздействия
 t z 
h  exp 
,
 (1  )T0 
(12)
Прибегать к сложным математическим вычислениям при использовании
моделей квазиэкспоненциального подхода не требуется, если не считать расчета
значений элементарной функции exp(t ) .
Предлагаемые модели могут применяться для решения ресурсных задач,
связанных с расчетом битовой скорости С канала, обеспечивающего доставку
трафика с заданными нормами на потери Pz и задержку tz при фиксированной
загрузке ,
C
(1  ) V ln Pz
,
(1  )t z
(13)
либо с расчетом интенсивности обслуживания м под заданный объем трафика л
в единицах измерения пакет/с

(1  ) ln Pz
.
tz
(14)
Численный пример. Заданы: скорость доступа к серверу 256 кбит/c; объем
пакета V = 1 кбит; загрузка сервера 50%; норма времени на доставку пакета tz <=
0,1с. Рассчитываются вероятность потерь и фактическая задержка пакета, при
условии, что свободное время процессора занимает прогонка тестов средней
продолжительности Toff = 40 мс. Характеристики системы для идеального случая
(без перерывов) помечаются *, а номера примененных формул приводятся в
скобках.
Результаты расчета в пошаговой записи:
1.Среднее время передачи пакета 1кбит : 256 кбит/c ≈ 4 мс.
2*. Задержка пакета
4 мс : 0,5 = 8 мс (формула 2 при Toff = 0).
3.Коэффициент масштаба 40 мс : 8 мс = 5
(формула 3).
4.Задержка пакета
6 х 8 мс ≈ 0,05с (формула 4).
5*. Потери
ехр ( 0,1 : 0,008) ≈ 3х10-6 (формула 11).
6.Коэффициент пересчета ехр (5х0,1 : 6 : 0,008) ≈ 42900 (формула 12).
7.Потери
3х10-6 х 42900 = 0, 118
(формула 10).
Дополнительный расчет по формулам (8) и (7) показал, что
квазиэкспоненциальный подход позволил промоделировать стохастику сетевых
процессов, соответствующую распределению Парето с параметром  = 0,84 или
иному тяжелохвостному распределению с параметром Херста Н = 0,58.
Вывод по результатам расчетов. По временным нормативам QoS
планируемая система с запасом «укладывается» в высший нулевой класс
обслуживания. Однако норматив по потерям не выполнен на два порядка и
следует ограничить прогон длительных по времени тестов либо подвергнуть их
фрагментации.
Литература
1.
Городецкий А.Я., Заборовский В.С. Информатика. Фрактальные
процессы в компьютерных сетях.: Учеб. Пособие СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000. 102
с.
2. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям.
М.: Статистика, 1980. 95 с.
3. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в
телекоммуникациях.  М.: Радиотехника, 2003. –480 с.
4. Бертсекас Д., Галлагер Р, Сети передачи данных: Пер. с англ. – М.: Мир.
1989. –544с.
Советуем прочитать
Современные телекоммуникации
Мардер Н.С.
В новой книге заведующего кафедрой инфокоммуникаций Института
повышения квалификации Московского технического университета связи и
информатики всесторонне рассматриваются состояние и перспективы
развития современных телекоммуникаций. В первой части монографии
проанализированы основные аспекты развития мировых телекоммуникаций:
экономические, технические, регуляторные и другие. Во второй части речь
идет о российских телекоммуникациях как составном элементе глобальной
системы и о путях их развития с учетом мировых тенденций. В монографии
отражены личные предложения автора, связанные с дальнейшим
совершенствованием функционирования телекоммуникаций страны и методов
нормативного правового регулирования инфокоммуникаций, а также
либерализации рынка услуг электросвязи и информатики.