pravila

Акр.Х. Бегматов, д-р физ.-мат. наук
Самаркандский государственный университет
(Узбекистан, 703004, Самарканд, Университетский бульвар, 15,
тел.(+998662) 310632, Е-mail: [email protected] )
З.Х. Очилов, ассистент
Самаркандский государственный университет
(Узбекистан, 703004, Самарканд, Университетский бульвар, 15,
тел.(+998662) 310632, Е-mail: [email protected] )
ОТОБРАЖЕНИЯ ДАЛАМБЕРА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
СИММЕТРИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Аннотация. В работе исследуются
отображения областей, ограниченных
жордановыми кривыми.
Получена теорема о возможности отображений на
каноническую область для одного класса ограниченных областей, симметричных по
отношению к оси ординат. Сформулирована соответствующая обратная задача и
доказана теорема единственности ее решения. Библиография 7 наименований.
В работе М. М. Лаврентьева [1] изучались гиперболические отображения,
связанные с задачами томографии. Гиперболическими называются отображения
областей, осуществляемых с помощью решений систем гиперболических
уравнений. Доказаны теоремы о возможности отображения выпуклой области
общего вида на каноническую область и теоремы единственности для обратных
задач томографии.
Рассмотренные задачи связаны с тремя научными направлениями. Это, вопервых, задача Дирихле для уравнения Даламбера [2]. Во-вторых, это краевые
задачи для системы уравнений, описывающих малые колебания вращающейся
жидкости (см. [3]). В-третьих, это задачи газовой динамики, связанные с
изучением систем гиперболических уравнений, описывающих сверхзвуковое
течение идеального газа. Постановки задач здесь принадлежат М.А.Лаврентьеву,
а первые результаты принадлежат М.М. Лаврентьеву и Б.В. Шабату [4-6] (см.
также [7]) .
Как известно, простейшей системой гиперболических уравнений является
система Даламбера:
u
v
 0,
 0.
y
y
Следуя [1], отображения, которые осуществляются с помощью решений этой
системы, назовем отображениями Даламбера.
В настоящей работе рассматриваются
отображения областей,
ограниченных жордановыми кривыми.
Получена теорема о возможности
отображений на каноническую область для одного класса ограниченных областей,
симметричных по отношению к оси OY. Сформулирована соответствующая
обратная задача и доказана теорема единственности ее решения.
Пусть D ─ область, ограниченная кривой C , которая состоит из четырёх
частей: C  C1  C 2  C 3  C 4
1
1
C1  {( x, y ) : y  f1 ( x), x  [0,1], f1 (0)  , f1 (1)  1}
2
C2  {( x, y ) : y  f 2 ( x), x  [0,1], f 2 (0)  0, f 2 (1)  1}
C3  {( x, y ) : y  f 3 ( x), x  [1,0], f 3 (0)  0, f 3 (1)  1}
1
C4  {( x, y ) : y  f 4 ( x), x  [1,0], f 4 (1)  1, f 4 (0)  }
2
Все функций f k (x) монотонны и непрерывны.
D  {( x, y) : f 1  f 2 , x  [1,1]},

где функция f k ( x ), ( k  1, 2) удовлетворяют следующим условиям.


1) f 1 ( x)  f 2 ( x),  1  x  1
Область
(2)
2)
f k ( x)  f k ( x)
3)
f k (1)  f k (1)  1,
(3)
f 2 (0)  0,
f1 (0) 
1
2
(4)
Рассмотрим отображения Даламбера, осуществляемые функциями
u   (x) , v   ( y) . Обратными к ним функции x  1 (u ), y   1 (v)
соответственно.
Отображения, которые осуществляются функциями u   (x) ,
v   ( y) ,
D1 плоскости (u, v) :
D1  {(u, v) : F1 (u)  v  F2 (u )} .
Fk (u ), k  1, 2 определяются следующим
Здесь функции
v   ( y )   ( f k ( x))   ( f k ( (u )))  Fk (u ), k  1,2 .
переводят область D в область
образом:
Определенное таким образом отображение переводит область
D
в
D1 плоскости (u , v ) , ограниченную углом
v  F1 (u ) | u |, u  [1,1]
область
и кривой
1
v  F2 (u ), F2 (1)  F2 (1)  1, F2 (0)  , u   1,1.
2
Рассмотрим теперь отображение, переводящее область D1 в
плоскости (u1 , v1 ) :
Область
D2
D2  u1 , v2  : F1 (u1 )  v1  F2 (u1 )
ограниченна двумя углами :
2
область
D2
F1 (u1 )  u1 , u1   1, 1
F1 (u1 ) 
1
1
u1  , u1   1, 1.
2
2
Пусть это отображение определяется функциями u1  2 (u) и v1  2 (v) .
Справедлива
Теорема 1. Пусть область D плоскости ( x, y ) такова, что функция
f1 ( x) удовлетворяет условиям (2)-(4). Тогда существует отображение
Даламбера области D на области
v1  | u1 | и
v1 
D2
плоскости (u1 , v1 ) , ограниченной функцией
1
1
| u1 |  .
2
2
Перейдем к рассмотрению обратной задачи для области, удовлетворяющей
условиям, приведенным в теореме 1. Очевидно, что если функции
 k ( y ), (k  1, 2) являются обратными по отношению к функциям
f k ( x), (k  1, 2) , т.е.  k [ f k* ( x)]  x , то
D  {( x, y) : 2 ( y)  x  1 ( y), y [0,1]}
Обозначим
u * ( x)  f 2* ( x)  f1* ( x),
v * ( y )  1 ( y )   2 ( y )
Обратная задача А. Требуется определить функции
f k (x)
или  k ( y )
по заданным функциям u(x) и v(y) .
Теорема 2. Решение обратной задачи А единственно.
Список литературы
1. Лаврентьев М.М. Математические задачи томографии и гиперболические отображения //
Сиб.мат.журн. 2001. Т. 42, № 5. С. 1094-1105.
2. John F., The Dirichlet problem for a hyperbolic equation, Amer. J. Math., 1941, V.63, №1, p 141-154.
3. Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными,
Новосибирск, НГУ, 1970.
4. Лаврентьев М.М. Об одной краевой задаче для гиперболической системы // Мат. сб. 1956. Т.38, №
4. С. 451-464.
5. Шабат Б.В.
Об аналоге теоремы Римана для линейных гиперболических систем
дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1956. Т. 11, № 5. С. 101-105.
6. Шабат Б.В.
О гиперболических квазиконформных отображениях // Некоторые проблемы
математики и механики. Л.: Наука, 1970. С. 251-266.
7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.
«Наука», 1977.
3