РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
__________________ /Волосникова Л.М./
____ _____________ 2011 г.
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ ДИНАМИКИ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности 010101.65 – Математика,
очная форма обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы __________________ /Мачулис В.В./
«____» _____________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры математического моделирования 11 февраля 2011 г.,
протокол №7.
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 6 стр.
И.о. зав. кафедрой __________________ /Бутакова Н.Н./
«____» _____________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики и компьютерных наук 22 февраля
2011 г., протокол №5.
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК __________________ /Гаврилова Н.М./
«____» _____________ 2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ __________________ /Федорова С.А./
«____» _____________ 2011 г.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В.В. Мачулис
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ ДИНАМИКИ
Учебно-методический комплекс
Рабочая программа для студентов
специальности 010101.65 – Математика,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
В.В. Мачулис. Основы дискретной динамики. Учебно-методический комплекс. Рабочая
учебная программа для студентов специальности «Математика» Института математики
компьютерных наук, очная форма обучения
. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2011, 11 стр.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Основы дискретной динамики
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
Н.Н. Бутакова, к.ф.-м.н., доцент, и.о. зав. кафедрой
математического моделирования
© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2011
1. Цели и задачи курса
Целью преподавания дисциплины является изучение методов
дискретной
динамики, применяемых при решении прикладных задач физики, биологии, экологии,
гидродинамики и т.д. Дискретная динамика – одна из двух составляющих раздела
математики, который называется «динамические системы». В этом разделе исследуется
широкий класс моделей, где система эволюционирует во времени. Эволюция системы
представляется обычно в виде траектории в соответствующем фазовом пространстве. Как
правило, эти траектории непрерывны, однако, их наблюдение является возможным только
через определённые моменты времени. Ещё одной причиной важности дискретных
моделей динамики является необходимость использования вычислительной техники,
требующей построения алгоритмов, реализующих рекуррентные зависимости. Поэтому
значение знаний о свойствах моделей с дискретным временем возрастает.
2. Тематический план курса
№
Тема
1
Основные понятия и
определения дискретной
динамики.
Равновесные точки
дискретных отображений.
Паутинная диаграмма.
Критерий устойчивости
равновесных решений.
Гиперболические и
негиперболические
равновесные точки.
Всего
2
3
4
5
6
Циклы и их устойчивость.
Бассейн аттрактора
равновесной точки и цикла
Теорема Шарковского.
Каскад Фейгенбаума.
Переход к хаотическому
движению через удвоение
периода цикла.
Аттрактор Лоренца.
Отображение Пуанкаре.
Лекц
ии,
час.
Практич
еские
занятия,
час.
Самостоя
тельная и
индивиду
альная
работа,
час.
Итого
часов по
теме
Итого
количес
тво
баллов
2
4
8
0-8
2
2
4
8
0-8
4
4
8
16
0-14
8
8
Модуль 2
4
4
16
32
0-30
8
16
0-12
3
3
7
13
0-9
3
3
7
13
0-9
Модуль 1
2
2
Всего
Двумерные отображения.
Линейные отображения на
n
плоскости. Вычисление A .
8
Многомерные линейные
отображения. Равновесные
точки линейных систем и их
устойчивость. Теорема о
спектральном разложении.
Вычисление орбит.
9
Нелинейные отображения на
плоскости. Устойчивость
равновесных решений.
Теорема ХартманаГробмана.
Итоговая контрольная работа
Всего
Итого
7
10
10
Модуль 3
4
4
22
42
0-30
8
16
0-10
8
8
8
24
0-10
6
4
8
18
0-10
18
36
2
18
36
10
34
72
12
70
144
0-10
0-40
0-100
3. Содержание программы курса по темам
Тема 1. Основные понятия и определения дискретной динамики: Отображения,
задаваемые разностными уравнениями. Отображения, задаваемые дифференциальными
уравнениями. Метод Эйлера. Отображение Пуанкаре.
Тема 2. Равновесные точки дискретных отображений. Паутинная диаграмма:
Линейные отображения. Неподвижные (равновесные) точки отображений. Графическое
представление итераций. Паутинная диаграмма.
Тема 3. Критерий устойчивости равновесных решений. Гиперболические и
негиперболические равновесные точки: Признак гиперболичности равновесной точки.
Критерий устойчивости. Признак негиперболичности равновесной точки. Производная
Шварца. Критерии устойчивости негиперболических точек.
Тема 4. Циклы и их устойчивость. Бассейн аттрактора равновесной точки и
цикла: Понятие о цикле в отображении. Устойчивость циклов. Виды устойчивости.
Равновесная точка и цикл как аттрактор отображения. Бассейн аттрактора.
Тема 5. Теорема Шарковского. Каскад Фейгенбаума. Переход к хаотическому
движению через удвоение периода цикла: Логистическое уравнение и бифуркации. Циклы
периода 2. Циклы периода 4, 8, … . Бифуркация удвоения периода. Константа
Фейгенбаума. Хаос. Теорема Ли-Йорке и теорема Шарковского.
Тема 6. Аттрактор Лоренца. Отображение Пуанкаре: Эффект бабочки.
Аттрактор Лоренца как первый хаотический аттрактор реального мира. Отображение
Пуанкаре.
3
Тема 7. Двумерные отображения. Линейные отображения на плоскости.
Вычисление
An : Примеры двумерных отображений. Линейные отображения.
Дифференцируемость двумерных линейных отображений. Теорема о среднем значении.
Тема 8. Многомерные линейные отображения. Равновесные точки линейных
систем и их устойчивость. Теорема о спектральном разложении. Вычисление орбит:
Устойчивость и неустойчивость равновесного решения. Начало координат как аттрактор и
как репеллер. Теорема о спектральном разложении. Собственные значения с модулем,
равным единице. Устойчивые и неустойчивые подпространства. Вычисление траекторий
систем.
Тема 9. Нелинейные отображения на плоскости. Устойчивость равновесных
решений.
Теорема
Хартмана-Гробмана:
Нелинейные
отображения.
Устойчивость
равновесных точек. Функция Ляпунова. Линеаризация, теорема Хартмана-Гробмана.
Итоговая контрольная работа.
4. План практических занятий
1. Основные понятия и определения дискретной динамики (2 часа):
1) понятие о дискретной динамической системе;
2) примеры.
2. Равновесные точки дискретных отображений. Паутинная диаграмма (2 часа):
1) нахождение равновесных точек;
2) построение паутинной диаграммы.
3.
Критерий
устойчивости
равновесных
решений.
Гиперболические
и
негиперболические равновесные точки (4 часа):
1) дифференцирование отображений;
2) критерий устойчивости в случае f ( x )  1 ;
3) критерий устойчивости в случае f ( x )  1 ;
4) критерий устойчивости в случае f ( x )  1 .
4. Циклы и их устойчивость. Бассейн аттрактора равновесной точки и цикла (4
часа):
1) понятие о цикле;
2) связь равновесных точек с циклами;
3) устойчивость и неустойчивость циклов;
4) цикл как аттрактор, бассейн аттрактора.
4
5. Теорема Шарковского. Каскад Фейгенбаума. Переход к хаотическому движению
через удвоение периода цикла (3 часа):
1) цикл периода 3, теорема Ли-Йорке, существование циклов любого периода;
2) бифуркация удвоения периода;
3) каскад Фейгенбаума;
4) теорема Шарковского.
6. Аттрактор Лоренца. Отображение Пуанкаре (3 часа):
1) модель Лоренца, хаотический аттрактор;
2) отображение Пуанкаре.
7. Двумерные отображения. Линейные отображения на плоскости. Вычисление
An (4 часа):
1) примеры двумерных отображений;
2) линейные отображения;
3) дифференцируемость двумерных линейных отображений метод;
4) теорема о среднем значении.
8. Многомерные линейные отображения. Равновесные точки линейных систем и их
устойчивость. Теорема о спектральном разложении. Вычисление орбит (8 часов):
1) устойчивость и неустойчивость равновесного решения;
2) начало координат как аттрактор и как репеллер;
3) теорема о спектральном разложении;
4) собственные значения с модулем, равным единице;
5) устойчивые и неустойчивые подпространства;
6) вычисление траекторий систем.
9. Нелинейные отображения на плоскости. Устойчивость равновесных решений.
Теорема Хартмана-Гробмана (4 часа):
1) нелинейные отображения;
2) устойчивость равновесных точек;
3) функция Ляпунова;
4) линеаризация, теорема Хартмана-Гробмана.
Итоговая контрольная работа (2 часа).
5
5. Примерные задания для контрольной работы
1. Пусть f  x   3x . Найти число n  периодических точек для каждого n  6 на 0;1 .
1
1
и
. Выяснить, какому типу точек (периодических, в
8
72
конечном счете периодических или непериодических) они принадлежат.
Определить орбиты точек
3
2. Рассмотреть функцию f  x   x 3  x . Найти неподвижные точки и 2-циклы и
2
определить их тип, нарисовать графики f , f 2 и y  x , используя диаграммы найти
бассейн притяжения 2-цикла.
3. Пусть E  x   ex , где 0;1 . Определить точку касания  *  графиков y  E  x 
и y  x . Исследовать динамику точек в случаях   * ,   * и   * .
4. Для уравнений первого порядка с правой частью f ( x) найти неподвижные точки и
определить их тип устойчивости:
(а) f ( x)  x  x 2 ; (б) f ( x)  tgx ; (в) f ( x)  e x .
5. Исследовать семейство отображений xn1  f (  , xn ) . Определить наличие и тип
бифуркации. Нарисовать бифуркационную диаграмму.
f (  , x)  e x (   0)
6. Найти общее решение и орбиту точки X 0 для линейного отображения с матрицей
M.
4
5
M 
4

5

0
 1
 , X0   
1
1

5
.
7. Найти на плоскости параметров область асимптотической устойчивости нулевого
решения уравнения
xn  2  axn  b3 xn .
6. Контрольные вопросы к экзамену
1. Понятие о дискретной динамической системе.
2. Неподвижные точки дискретной динамической системы (одномерный случай).
3. В конечном счёте неподвижные точки и k-периодические точки. Бассейны
притяжения.
4. «Период 3 рождает хаос». Теорема Шарковского.
5. Дифференцируемость и следствия.
6. Параметрические семейства функций и бифуркации.
7. Бифуркация удвоения периода.
8. Линейные двумерные отображения и дискретные системы.
9. Орбиты линейных систем. Начало координат как аттрактор и как репеллер.
6
10. Теорема о спектральном разложении. Случай различных действительных
собственных значений.
11. Теорема о спектральном разложении. Случай кратных
действительных
собственных значений.
12. Теорема о спектральном разложении. Случай комплексно-сопряженных
собственных значений.
13. Собственные значения с модулем, равным 1. Действие линейного отображения на
X 1 и на X 1 .
14. Собственные значения с модулем, равным 1. Действие линейного отображения на
XC .
Литература
7.1. Основная литература
1.
временем.
Бобровски Д. Введение в теорию динамических систем с дискретным
М.-Ижевск:
НИЦ
«Регулярная
и
хаотическая
динамика»;
Институт
компьютерных исследований, 2006. – 360 с.
2.
Мачулис В.В., Орлова Е.Б. Основы дискретной динамики. Специальный
курс. Часть 1 /Учебно-методическое пособие для студентов отделения «Математика»/.
Изд. ТюмГУ, 2006. – 71 с.
7.2. Дополнительная литература
1.
Elaydi S.N. Discrete Chaos with applications in science and engineering /Second
Edition/. Chapman & Hall/CRC, 2008. – 419 c.
2.
Galor O. Discrete Dynamical Systems. Springer-Verlag, 2007. – 153 c.
3.
Holmgren R.A. A first course in discrete dynamical systems /Second Edition/.
Springer Science + Business Media, LLC, 2000. – 224 c.
4.
Martelli M. Introduction to Discrete Dynamical Systems and Chaos. John Wiley
& Sons, INC., 1999. – 330 c.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательны
дополнител
е
ьные
Неделя
Объем Кол-во
семестра
часов
баллов
1
4
0-6
Модуль 1
1.
Основные понятия и работа
с подготовка к
определения дискретной литературой,
коллоквиум
динамике
решение
у
7
домашнего
задания
2
3
Равновесные
точки
дискретных
отображений.
Паутинная диаграмма.
Критерий устойчивости
равновесных решений.
Гиперболические
и
негиперболические
равновесные точки.
Всего по модулю 1:
2
4
0-10
3-4
8
0-14
16
0-30
Модуль 2
4
Циклы
и
их
устойчивость. Бассейн
аттрактора равновесной
точки и цикла
5
Теорема Шарковского.
Каскад
Фейгенбаума.
Переход к хаотическому
движению
через
удвоение
периода
цикла.
Аттрактор
Лоренца.
Отображение Пуанкаре.
Всего по модулю 2:
6
работа
с
литературой,
решение
домашнего
задания
работа
с
литературой,
решение
домашнего
задания
подготовка к
коллоквиум
у
5-6
8
0-12
подготовка к
коллоквиум
у
7-8
7
0-12
9
7
0-6
22
0-30
Модуль 3
7
8
9
Двумерные
отображения. Линейные
отображения
на
плоскости. Вычисление
𝐴𝑛
Многомерные линейные
отображения.
Равновесные
точки
линейных систем и их
устойчивость. Теорема о
спектральном
разложению
Вычисление орбит.
Нелинейные
отображения
на
плоскости.
Устойчивость
равновесных решений.
Теорема
ХартманаГробмана.
Итоговая контрольная
работа
с
литературой,
решение
домашнего
задания
работа
с
литературой,
решение
домашнего
задания
подготовка к
коллоквиум
у
10
8
0-14
подготовка к
коллоквиум
у
11-12
8
0-14
13-15
8
0-12
10
8
работа
Всего по модулю 3:
34
0-40
Итого:
72
0-100
БАЛЛЬНАЯ ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТА
№
п/п
Тема
Формы текущего контроля
решение
задач
на пр.
занятии
коллоквиу
м
контрольная
работа
самост.
работа
Итого
количество
баллов
Модуль 1
1
Основные понятия и
определения
дискретной
динамике
0-5
0-5
0-10
2
Равновесные точки
дискретных
отображений.
Паутинная
диаграмма.
0-5
0-5
0-10
3
Критерий
устойчивости
равновесных
решений.
Гиперболические и
негиперболические
равновесные точки.
0-5
0-5
0-10
Всего
0-15
0-15
0-30
0-5
0-5
0-10
Модуль 2
4
Циклы
и
их
устойчивость.
Бассейн аттрактора
равновесной точки и
цикла
9
5
Теорема
Шарковского.
Каскад
Фейгенбаума.
Переход
к
хаотическому
движению
через
удвоение
периода
цикла.
0-5
0-5
0-10
Аттрактор Лоренца.
Отображение
Пуанкаре.
0-5
0-5
0-10
Всего
0-15
0-15
0-30
0-5
0-5
0-10
Модуль 3
6
Двумерные
отображения.
Линейные
отображения
плоскости.
Вычисление 𝐴𝑛
7
Многомерные
линейные
отображения.
Равновесные точки
линейных систем и
их
устойчивость.
Теорема
о
спектральном
разложению
Вычисление орбит.
0-5
0-5
0-10
8
Нелинейные
отображения
на
плоскости.
Устойчивость
равновесных
решений.
Теорема
Хартмана-Гробмана.
0-5
0-5
0-10
9
Итоговая
контрольная работа
на
0-10
10
0-10
Всего
0-15
0-10
0-15
0-40
Итого баллов
0-45
0-10
0-45
0-100
11