Тригонометрические уравнения - лицей № 14 им. Ю.А. Гагарина

2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Определение тригонометрических уравнений
2. Методы решения тригонометрических уравнений
2.1. Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
2.2. Разложение на множители
2.3. Однородные тригонометрические уравнения
2.4. Решение уравнений с применением формул
3. Обобщающий урок с элементами тренинга по теме «Тригонометрические
уравнения»
4. Тренинг-выбор
Заключение
Литература.
3
ВВЕДЕНИЕ
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями
астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто
геометрический характер и представляла главным образом «исчисление
хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические
моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после
чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону
математического анализа. Именно в это время тригонометрические
зависимости стали рассматриваться как функции.
Тема «Решение тригонометрических уравнений» – это одна из самых
сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения
возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии,
физики и в других областях. Тригонометрические уравнения встречаются в
части С вариантов ЕГЭ, а также в заданиях вступительных экзаменов в вузы.
Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том,
чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sinx = a, cosx =
а, tgx = a, ctgx = a. Простейшие тригонометрические уравнения учащиеся
умеют решать. Другие являются специфическими именно для
тригонометрии.
Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических
состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в
тригонометрических – бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще
одной
спецификой
тригонометрических
уравнений
является
неединственность формы записи ответа.
Опыт показывает, что учащиеся в недостаточной степени овладевают
умением решать тригонометрические функции, часто допускают ошибки при
их решении и не владеют способами их решения.
Выше изложенное побудило меня разработать методику решения
тригонометрических уравнений и выделить основные способы решения
тригонометрических уравнений.
Целью моего монодисциплинарного проекта является разработка
методики обучения учащихся решению тригонометрических уравнений.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. проанализировать действующий учебник алгебры и начала анализа для
выявления
представленной
в
нем
методики
решения
тригонометрических уравнений;
2. изучить стандарты образования по данной теме;
4
3. изучить статьи и учебно-методическую литературу по данной теме;
4. подобрать теоретический материал, связанный с решением
тригонометрических уравнений;
5. рассмотреть различные методы решения тригонометрических
уравнений;
6. разработать план-конспект урока.
5
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее
переменную под знаком тригонометрических функций.
Уравнения вида sinx = a; cosx = a; tgx = a; ctgx = a, где x – переменная,
a R , называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
Необходимых формул по тригонометрии не так уж много. Их нужно знать
наизусть.
Формулы:
sinx = a x =
sinx = 0
x=
sinx = 1
x= +
sinx = -1 x = - +
cosx = a
x = ± arccos a +
cosx = 0
x= +
cosx = 1
x=
cosx = -1 x =
+
tgx = a
x = arctg a +
ctgx = a
x = arcctg a +
Чтобы успешно решать простейшие тригонометрические уравнения
необходимо следующее:
 уметь отмечать точки на числовой окружности;
 уметь определять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для
точек числовой окружности;
 знать свойства основных тригонометрических функций;
 знать понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса и
уметь отмечать их на числовой окружности.
Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на
множители) являются универсальными, то есть применяются и в других
разделах математики.
6
Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях:
степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких
угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала
преобразовать.
Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными
формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то
функцию (например, sinx или cosx) или комбинацию функций обозначить
через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.
Пример
4 – cos2x = 4sinx
Так как cos2x = 1 – sin2x, то
4 – (1 – sin2x) = 4sinx,
3 + sin2x = 4sinx,
sin2x - 4sinx + 3 = 0,
Пусть y = sinx, получим уравнение
y 2 - 4y +3 = 0
у1=1; у2=3.
sinx =1 или sinx = 3,
x= +
, решений нет.
Ответ: x = +
.
Разложение на множители
Под разложением на множители понимается представление данного
выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части
уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый
множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель
можно представить в виде совокупности более простых уравнений.
Пример
2 sin3 x - cos2x - sin x = 0
Сгруппируем первый член с третьим, а cos2x = cos2x - sin2x.
(2sin3 x - sin x) – (cos2 x - sin x) = 0,
Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sinx, а cos2x = 1 - sinx.
sinx (2sin2x – 1) – (1 - 2 sin2x) = 0,
sinx (2sin2x – 1) + (2 sin2x - 1) = 0,
(2 sin2x - 1) • (sinx + 1) = 0.
7
2 sin2x – 1 = 0 или sinx + 1 = 0
sin2x = 1/2,
sinx = - 1
sinx = ±1/v2
Ответ: x1 = ± +
; x2 = -
Однородные тригонометрические уравнения
Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют
тригонометрическим уравнением первой степени.
однородным
Пример
5 sinx - 2 cosx = 0
Поделим обе части уравнения cosx (или на sin x).
Предварительно докажем, что cosx 0 (или sin x 0).
(Пусть cosx = 0, тогда 5 sinx - 2 • 0 = 0, т.е. sinx = 0; но этого не может быть,
так как sin2x + cos2x = 1).
Значит, можно делить на cosx:
5 sinx /cosx - 2 cosx / cosx = 0 / cosx.
Получим уравнение
5 tgx – 2 = 0
tgx = 2/5,
x = arctg +
Ответ: x = arctg +
,
,
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой
степени:
 Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx
0
Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным
тригонометрическим уравнение первой степени и решают также делением
обеих частей уравнения на косинус mх.
Уравнение вида a sin2x + b sinx cosx + c
= 0 называют однородным
тригонометрическим уравнением второй степени.
Их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos2x (или
на sin2 x).
8
Пример
sin2x + 2sinx cosx – 3cos2x = 0
Коэффициент а отличен от 0 и поэтому можно воспользоваться способом
деления обеих частей уравнения на соs2х.
Получим
tg2x + 2tgx – 3 = 0
Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = t, тогда получаем
уравнение
t2 + 2t – 3 = 0
Д = 4 – 4 (–3) = 16
t1 = 1 t2 = –3
Возвращаемся к замене
tgx = 1
tgx = -3
x= +
x = arctg(-3) +
x = - arctg 3 +
Ответ: +
Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos2x = 0
решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки
Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin2x +2sinx cosx = 0
решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки.
Пример
12 sin2 x + 3 sin 2x - 2 cos2 x = 2
Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в
однородное, заменив 3sin2x на 6 sinx cosx и число 2 на 2sin2x + 2cos2x.
Приведя подобные члены, получим уравнение
10sin2 x + 6sin x cosx - 4 cos2x = 0
(Пусть cosx = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может быть, т.к. sin2x + cos2x = 1,
значит, cosx 0).
Разделим обе части уравнения на cos2 x.
10 tg2 x +6 tgx - 4 = 0,
tgx = -1 или tgx = ,
x=- +
Ответ: x1 = - +
, x = arctg +
, x2 = arctg +
.
.
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй
степени:
1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2x.
9
2. Если член asin2x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение
решается делением обеих частей уравнения на cos2x и последующим
введение новой переменной.
3. Если член asin2x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение
решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.
Однородные уравнения вида asin2m x + bsin mx cos mx + c cos2mx = 0
решаются таким же способом.
Решение уравнений с применением формул
Преобразование суммы тригонометрических функций в
произведение
Пример
sinx + sin (x + ) = 0
Применив формулу, получим равносильное уравнение
2sin (x + )cos = 0
Ответ: x = Пример
cos3x + sin (9x + 2) = 0
В данном случае, прежде чем применять формулы суммы
тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения
cos3x = sin(
В итоге получим равносильное уравнение
2sin(
)cos(
Ответ: x = -
)=0
x= -
Преобразованием произведения тригонометрических функций
в сумму
Пример
cos3x + sinx sin2x = 0
Применив формулу, получим уравнение
cos3x + cosx + cosx = 0
10
cos2xcosx = 0
Ответ: x = +
Пример 1
x=
+
cos3xcos6x = cos4xcos7x
Применив формулу, получим уравнение
(cos9x + cos3x) = (cos11x + cos3x)
Ответ: x =
cos9x – cos11x = 0
2sin10xsinx = 0
,
При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую
роль играют формулы понижения степени.
Решение уравнений с применением формул понижения степени
Пример 2
+
-
-
=0
Применив формулу, получим уравнение
+
Ответ: x =
–
–
=0
(cos8x – cos2x) + (cos6x – cos4x) = 0
-2sin3xsin5x – 2sinxsin5x = 0
-2sin5x(sin3x + sinx) = 0
-4sin5xsin2xcosx = 0
,
+
Решение уравнений с применением формул тройного аргумента
Пример
cos3x + 2cosx = 0
Применив формулу, получим уравнение
cosx(4
- 1) = 0
cosx(cos2x + ) = 0
Ответ: x =
x=±
11
Введение дополнительного угла
Этот метод применяется для уравнений a cosx + b sinx = c. Он присутствует в
школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи
– когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов 30º, 45º или
60º.
Пример
Делим обе части на 2:
Замечаем, что
В левой части получили синус суммы sin (x +
= 1,откуда
x+ = +
Ответ:
Уравнения, решаемые с помощью тождеств
Пример 3
+
=
Преобразуем выражение
+
=1-
+
=
-2
+
Уравнение запишется в виде:
1-
+
Принимая t =
, получаем
2
+t-1=0
t = -1
Следовательно
Ответ: x = +
,
t=
=
=
-
12
Обобщающий урок с элементами тренинга по теме:
“Решение тригонометрических уравнений”.
Цели:
Обучающие:
1. Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
2. Провести контроль за уровнем сформированности знаний,
умений и навыков.
Развивающие:
3. Продолжить формирование навыков коммуникативной работы.
4. Развивать логическое мышление, умение сравнивать, находить
общие черты и различия.
Воспитывающие:
5. Воспитывать чувство коллективизма, взаимопомощи,
отзывчивости, работоспособности.
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.
Форма: Урок-тренинг.
Методы: 1. Метод неоконченных тезисов.
2. Тренинги.
3. Групповая работа.
4. Само и взаимоконтроль.
5. Самооценка.
Оборудование: Тренинг “Третий лишний”, тренинг-выбор
по теме, интерактивная доска.
Ход урока.
1. Приветствие ребят.
Организационный момент.
Сегодня у нас заключительный урок по теме: «Решение
тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в
систему изученные виды, типы, методы и приемы решения
тригонометрических уравнений.
Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению
тригонометрических уравнений.
2. Проверочная работа.
13
Цель: контроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим
тригонометрическим уравнениям.
Метод неоконченных тезисов (Я начинаю – вы продолжаете).
I вариант
1) Arcsin a находится
в промежутке….
2) Arcctg a находится
в промежутке….
3) Уравнение cosx = a имеет
решение при ….
4) Какой формулой выражается
это решение?
5) Cosx = 1 при ….
6) Sinx = -1 при ….
7) Cosx = 0 при ….
8) Уравнение tgx = a имеет
решение при ….
9) Какой формулой выражается
это решение ….
II вариант
1) Arccos a находится
в промежутке….
2) Arctg a находится
в промежутке….
3) Уравнение sinx = a имеет
решение при ….
4) Какой формулой выражается
это решение?
5) Sinx = 1 при ….
6) Cosx = -1 при ….
7) Sinx = 0 при ….
8) Уравнение ctgx = a имеет
решение при ….
9) Какой формулой выражается
это решение ….
Собираем работы.
Ответы на интерактивной доске (самопроверка)
I вариант
1) [-
]
II вариант
1) [0; π]
2) (0; π)
2) (-
3) ‫׀‬a‫ ≤ ׀‬1
4) ±arccos a +
3) ‫׀‬a‫ ≤ ׀‬1
4)
arcsin a + πk, где
5) x =
5)
6) -
6) π +
7)
7)
8) a - любое
9) arctg a +
8) a – любое
9) arcctg a +
)
14
3. Тренинг “Третий лишний” (на интерактивной доске).
1. Даны три уравнения, два из которых обладают общим способом
решения
а) 2
b) 2
c) 5 - 2
Укажите, что за способ. Какое уравнение лишнее?
Ответ: лишнее b. Уравнения a и c – квадратные.
2. Даны три уравнения
a)
b)
c)
Укажите, что за способ. Какое уравнение лишнее?
Ответ: лишнее c. Уравнения a и b – однородные.
4. Тренинг-выбор (группа – 4человека)
Оценочный лист
Ф.И.О.
№
задания
Ваш выбор
класс
Выбор после общения с
партнером
№ стола
Выбор после общения в
кластере
Балл
15
ТРЕНИНГ-ВЫБОР
I этап. Индивидуальный
Задание: Из перечисленных ниже вариантов ответов на вопросы и задачи
выберите правильный. И запишите его в соответствующую
клеточку графы “Ваш выбор”.
Задания:
1. Решите уравнение 4 а)
г)
б)
в)
arcsin3+ πk, где
и
2. Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:
1 – приведение к квадратному уравнению;
2 – приведение к однородному уравнению;
3 – приведение к уравнению относительно тангенса;
4 – разложение на множители
5 – с помощью формул
а)
= 1cosx
б) 3sinx + 5 cosx = 2
в)
г) sinx + sin2x + sin3x = 0
д)
а–
б–
в–
г–
д–
3. Решите уравнение
а) arctg (
) + πk, где
и
в) -arctg + πk, где
б)
г)
и -arctg + πk, где
4. Решите уравнение на указанном промежутке
cosx + = 0 на (π; π)
а) ± π +
б) π
в) ±
г) π
16
5. Решите уравнение tgx – 2sinx = 0
а) ±
б) ±
в)
г) ±
6. Решите уравнение sinx + cosx =
а) +
г) arctg(
б) +
в)
+
)+
II этап. Работа в парах.
Задание: Обсудите с партнером ваши варианты ответов, придите к общему
варианту или останьтесь при своем мнении. Заполните графу
“Работа в паре”.
III этап. Работа в кластере.
Задание: Рассмотрите эти же утверждения в кластере и выберите
правильные варианты ответов. Результаты обсуждения запишите
в графу “Работа в кластере”.
IV этап. Подведение итогов.
Каждый правильный ответ – 1 балл.
Оценочные листы сдаются.
Правильные ответы на интерактивной доске:
Задание №1 – в
Задание №2 – а) 4 и 2, б) 3, в) 5, г) 5 и 4, д) 1
Задание №3 – г
Задание №4 – б
Задание №5 – а
Задание №6 - б
11 – 12 баллов – “5”
8 – 9 баллов – “4”
6 – 7 баллов – “3”
Домашнее задание: №163 – 165 (учебник А.Н. Колмогорова и др. с.333)
17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе была сделана попытка разработать методику обучения
решению тригонометрических уравнений, как простейших, так и некоторых
сложных.
Были решены следующие задачи:
1. Проанализированы действующие учебники алгебры и начала анализа
для выявления представленной в них методики решения
тригонометрических уравнений. Проведенный анализ позволяет
сделать следующие выводы:
 в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения
тригонометрических уравнений;
 в учебнике «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» А.Н. Колмогорова
мало материала по решению тригонометрических уравнений;
 нет заданий с отбором корней;
2. Изучена учебно-методическая литература по данной теме.
3. Рассмотрены
уравнений.
основные
способы
решения
тригонометрических
4. Разработан обобщающий урок с элементами тренинга по теме:
«Тригонометрические уравнения».
5. Разработан тренинг-выбор по теме: «Тригонометрические уравнения».
Результат данной работы может быть использован в качестве учебного
материала при подготовке к ЕГЭ, при составлении элективного курса для
интересующихся математикой школьников.
18
ЛИТЕРАТУРА
1. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: Учеб.-метод. пособие/ М.И.
Башмаков, Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – М.: Дрофа, 2001. – 240 с.:
ил. – (Дидактические материалы).
2. Алгебра и начала анализа. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных
учреждений / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, И.Е. Федорова,
М.И. Шабунин 7-е изд., исправ. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы
по алгебре и началам анализа для 10–11 классов. М.: Илекса, 2005г.
4. Контрольные и самостоятельные работы по алгебре: 10 класс: к учебнику
А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа. 10–11 классы» / М.А. Попов. –
М.: Издательство «Экзамен», 2008.
5. Райхмист Р.Б. Задачник по математике для учащихся средней школы и
поступающих в вузы: Учеб. пособие. – М.: Московский Лицей, 2003.
6. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11 класс:
Учеб. пособие. – М.: Просвещение, 1999.
7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: задачник для
общеобразовательных учреждений. – М. Мнемозина, 2006.
8. Лысенко Ф.Ф., С.Ю. Кулабухов и др. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010.
Учебно-тренировочные тесты / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.
Кулабухова – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2010.
9. www.festival. ru
10. www.mathematics.ru/courses/algebra
11. www.uztest.ru
12. www.problems.ru
13. www.ege-study.ru