ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ЮЖНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ Государственное образовательное учреждение гимназия № 1526 УТВЕРЖДАЮ Директор Гимназия № 1526 _____________ /Т.Г. Болдина/ «___»_____________2006 г. РЕКЛАМНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ Мультимедийное пособие к уроку математики по теме «Потеря и приобретение корней при решении тригонометрических уравнений» .32453246.00071-01 99 01 Листов 6 <пусто> Москва 2006 2 .32453246.00071-01 99 01 Урок по алгебре и началам анализа по теме «Потеря и приобретение корней при решении тригонометрических уравнений». Автор проекта – Семчук И.М. Руководитель – Шайда Н.М. Урок с использованием этого пособия рассчитан на два урока (по 40 минут). Учащиеся должны быть знакомы с решением простейших тригонометрических уравнений и тригонометрических уравнений среднего уровня. Основной целью урока является определение источников потери и приобретения корней при решении тригонометрических уравнений. Вместо введения: Математическая шарада. Из чисел вы мой первый слог возьмите, Второй из слова «голубцы», А третьим лошадей вы погоните, Четвёртым будет блеянье овцы. Мой пятый слог такой же, как и первый, Последней буквой в алфавите является шестой. А если отгадаешь ты всё верно, То в математике раздел получишь ты такой… Ответ: ТРИ-ГО-НО-МЕ-ТРИ-Я Вначале урока необходимо вспомнить основные определения и термины. 3 .32453246.00071-01 99 01 1. Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. 2. Общий вид простейших тригонометрических уравнений. Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем Значит, либо то есть либо то есть Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π, Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn, x + arcsin a = 2(n + 1)π, либо Оба эти равенства могут быть объединены в одно: Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1. Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид x = arctg a + πn, Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид x = arcctg a + πn, Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями. 4 .32453246.00071-01 99 01 Некоторые случаи Умножение, деление на одну и ту же тригонометрич ескую функцию Иррациона льные уравнения Случаи Разложение на множители Применение тригонометрически х тождеств, левая и правая часть которых имеют неодинаковые области определения По ОДЗ По определе нию Затем начинается основная часть урока, в которой рассматриваются основные источники потери и приобретения корней при решении уравнений конкретного типа. В конце урока составляются выводы для каждого из типов уравнений: Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента, очень полезны при решении тригонометрических уравнений (в высшей математике – при интегрировании тригонометрических функций). Но, применяя эти формулы слева направо, мы можем потерять корни. Как этого избежать? 5 .32453246.00071-01 99 01 При решении следить, чтобы не нарушалась равносильность уравнения, то есть не происходило сужение области определения. Лучше после решения выполнять проверку. При решении однородных уравнений, где а=0 делением на cosx или sinx (а так же cos2x или sin2x) можно потерять корни, при которых sinx=0 или cosx=0, следует воспользоваться методом разложения на множители. Решая уравнения способом универсальной подстановки можно потерять корни типа x=π+2πn. При использовании вышеуказанных формул слева направо сужается область определения, а значит мы можем потерять корни. Если при решении уравнений происходит сужение области определения, то есть нарушение равносильности уравнения, возможна потеря корней. При решении тригонометрических уравнений, чтобы не приобрести лишние корни, необходимо следить за равносильностью уравнения, то есть следить за тем, чтобы не происходило расширение области определения. Чтобы избежать потери или приобретения корней, при решении необходимо следить за соблюдением равносильности уравнения. Соблюдая это правило, у вас все будет ОК. Для закрепления и усвоения материала учащимся предлагается задание «Найди ошибку», самостоятельная работа тестового плана и самостоятельная работа с взаимопроверкой. 6 .32453246.00071-01 99 01 Например: I. Лишние корни возникают, когда в уравнение входят тригонометрические функции, имеющие область определения не на всем множестве R. Иррациональное уравнение. а) ctgx = 2 cos x б) tgx = 2 sin x в) 1 2 sin 4 x + b cos2x = 0 а) ctgx = 2 cos x О.Д.З. cosx 0 ctgx = 2cosx cos x = 2cosx ctgx x n, n Z 0 sin x cosx – 2sinx ·cosx = 0 cosx (1-sinx) = 0 cosx = 0 1-2sinx = 0 x= + 2 n, n Z sinx = x = (-1)n + 6 1 2 n, n Z Проверка: x= x= + 2 + 6 n, n Z m, m Z (0=0) — удовлетв. 3 = 3 Ответ: х = + 2 n, n Z = 2 3 2 2 — удовлетв. 3 2 — лишний