НОВОСИБИРСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ IV ОЛИМПИАДА УЧИТЕЛЕЙ 3 ДЕКАБРЯ 2007

IV НОВОСИБИРСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА УЧИТЕЛЕЙ  3 ДЕКАБРЯ 2007
IV НОВОСИБИРСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА УЧИТЕЛЕЙ  3 ДЕКАБРЯ 2007
1. Аппарат Балбеса наполняет бутыль самогоном крепостью в a° за
a минут, аппарат Труса — самогоном крепостью в b° за b минут,
аппарат Бывалого — самогоном крепостью в c° за c минут. Работая
вместе, три аппарата заполняют бутыль за 24 минуты. Какова крепость получившегося напитка?
1. Аппарат Балбеса наполняет бутыль самогоном крепостью в a° за
a минут, аппарат Труса — самогоном крепостью в b° за b минут,
аппарат Бывалого — самогоном крепостью в c° за c минут. Работая
вместе, три аппарата заполняют бутыль за 24 минуты. Какова крепость получившегося напитка?
2. Сколько положительных членов содержит последовательность
sin(1°), sin(10°), sin(100°), sin(1000°), sin(10000°), ... ?
2. Сколько положительных членов содержит последовательность
sin(1°), sin(10°), sin(100°), sin(1000°), sin(10000°), ... ?
3. На доске записаны 10 последовательных натуральных чисел. Петя нашёл сумму всех десяти чисел. Вася возвёл каждое число в
квадрат и нашёл сумму всех десяти квадратов. Оказалось, что результат Васи в целое число раз больше результата Пети. Определите, какие числа могли быть записаны на доске.
3. На доске записаны 10 последовательных натуральных чисел. Петя нашёл сумму всех десяти чисел. Вася возвёл каждое число в
квадрат и нашёл сумму всех десяти квадратов. Оказалось, что результат Васи в целое число раз больше результата Пети. Определите, какие числа могли быть записаны на доске.
4. Докажите, что у любого выпуклого многогранника есть две грани
с одинаковым числом сторон.
4. Докажите, что у любого выпуклого многогранника есть две грани
с одинаковым числом сторон.
5. Сколько существует натуральных чисел, делящихся на 30 и имеющих ровно 30 различных делителей, включая 1 и само число?
5. Сколько существует натуральных чисел, делящихся на 30 и имеющих ровно 30 различных делителей, включая 1 и само число?
6. Изображённая на рисунке фигура ограничена
тремя полукругами, из которых два меньших —
О
одинакового радиуса. Сколько прямых, проходящих через точку O, делят эту фигуру на две
части равной площади? Сколько прямых, проходящих через точку O, делят эту фигуру на две
части одинакового периметра? (Два стыкующихся между собой в
точке О куска, лежащие по одну сторону от проведённой прямой,
следует рассматривать как одну часть.)
6. Изображённая на рисунке фигура ограничена
тремя полукругами, из которых два меньших —
О
одинакового радиуса. Сколько прямых, проходящих через точку O, делят эту фигуру на две
части равной площади? Сколько прямых, проходящих через точку O, делят эту фигуру на две
части одинакового периметра? (Два стыкующихся между собой в
точке О куска, лежащие по одну сторону от проведённой прямой,
следует рассматривать как одну часть.)
7. Вокруг равностороннего треугольника ABC описана окружность.
На её дуге BC взята точка D. Докажите, что BD + CD = AD.
7. Вокруг равностороннего треугольника ABC описана окружность.
На её дуге BC взята точка D. Докажите, что BD + CD = AD.