Элементы логики предикатов

Элементы логики
предикатов
Структура простых высказываний
Логика предикатов
высказываний.
изучает
структуру
простых
В простом высказывании выделяют:
•Объекты (о чем высказываются)
•Логическое сказуемое(взаимосвязь объектов, действие)
Пример:
Высказывание: «Студент Андреев получил на экзамене по
Высшей математике оценку 45 баллов»
Объекты: Андреев, Высшая математика, 45 баллов.
Логическое сказуемое: получить (оценку на экзамене)
Предикаты
Предикат – функция, областью определения которой
являются объекты предметной области, а областью
значений – множество значений истинности {Истина; Ложь}.
Предикат образуется из простого высказывания
заменой объектов на предметные переменные.
Пример:
Задано высказывание:
Студент Андреев получил на экзамене по Высшей
математике оценку 45 баллов
Предикат, построенный на основе высказывания:
Студент получил оценку по дисциплине
Функция 3-х переменных - студент, оценка, дисциплина
Значение функции зависит от значений этих переменных.
Классификация простых
высказываний в логике предикатов
По степени общности высказывания подразделяют на:
•единичные – высказывания об отдельных объектах;
•частные - высказывания о некоторых объектах;
•общие – высказывания обо всех объектах.
Пример:
Рассмотрим предикат
«Студент сдает зачет по дисциплине».
Переменные: студент, дисциплина
«Иванов сдал Информатику» - единичное высказывание;
«Некоторые студенты сдали Информатику» - частное;
«Все студенты сдали Информатику» - общее.
Формальная запись
высказываний. Кванторы
Единичные
высказывания
записывают
как
математические функции: после имени предиката в скобках
записывают значения переменных.
Сдал(Иванов, Информатика).
В частных высказываниях перед именем предиката
ставится квантор существования  и связанная этим
квантором переменная. Знак  - «exist» - читается
«некоторый», «существует хотя бы один такой объект».
 студент Сдал(студент, Информатика).
В общих высказываниях перед именем предиката
ставится квантор всеобщности  и связанная этим
квантором переменная. Знак  - «all» - читается «для всех
объектов».
 студент Сдал(студент, Информатика).
Особенности формальной записи
общих и частных высказываний
В естественном языке общие и частные высказывания
относятся к некоторому множеству объектов. В логике
кванторы относятся ко всему универсальному множеству.
Для представления общих и частных высказываний
естественного
языка
требуется
2
предиката:
1-й задает принадлежность объектов к некоторому
множеству;
2-й – свойство этих объектов.
Общее высказывание
«для всех объектов, относящихся к множеству S,
выполняется свойство P» (предикаты связаны импликацией)
x (S(x)P(x))
Частное высказывание
«для некоторых объектов, относящихся к множеству S,
выполняется свойство P» (предикаты связаны конъюнкцией)
x (S(x)&P(x))
Примеры формальной записи
высказываний
Заданы предикаты:
Студент(x) - x является студентом
Стипендия(x) - x получает стипендию
Пример единичного высказывания:
Студент Иванов получает стипендию
Студент(Иванов) & Стипендия(Иванов)
Пример частного высказывания:
Некоторые студенты получают стипендию
x (Студент(x) & Стипендия(x))
Примеры общих высказываний:
Все, кто является студентом, получают стипендию
x (Студент(x)  Стипендия(x))
Все, кто получает стипендию, являются студентами
x (Стипендия(x)  Студент(x))
множество объектов
свойство объектов
Пример описания предметной
области. Исходные данные
Студент
Группа
Стипендия
Андреев
Е-101
да
Борисов
Е-101
да
Васильев
Е-102
да
Григорьев
Е-102
нет
Универсальное множество (все рассматриваемые объекты):
{А, Б, В, Г} U {Е-101,Е-102}
Предикаты:
Студент(x) - x является студентом
Группа(x) - x является номером группы
Стипендия(x) - x получает стипендию
Учиться(x,y) - студент x учится в группе y
Логическое представление
единичных высказываний
Cтудент(A)=Истина, Студент(Б)=Истина,
Студент(В)=Истина, Студент(Г)=Истина,
для остальных значений переменных предикат Студент
имеет значение Ложь, например Студент(Е-101)=Ложь.
Группа(Е-101)=Истина, Группа(Е-102)=Истина,
для остальных значений переменных предикат Группа имеет
значение Ложь.
Cтипендия(A)=Истина, Стипендия(Б)=Истина,
Стипендия(В)=Истина, для остальных значений переменных
предикат Стипендия имеет значение Ложь.
Учиться(А,Е-101)=Истина,
Учиться(Б,Е-101)=Истина,
Учиться(В,Е-102)=Истина,
Учиться(Г,Е-102)=Истина,
для остальных значений переменных предикат Учиться
имеет значение Ложь, например Учиться(А,Е-102)=Ложь.
Примеры формальной записи
высказываний
Единичное высказывание:
Студент Иванов получает стипендию
Студент(Иванов) & Стипендия(Иванов)
Частное высказывание:
Некоторые студенты группы Е-101 получают стипендию
 x (Студент(x) & Учиться(x,Е-101) & Стипендия(x))
Общие высказывания:
Все студенты группы Е-101 получают стипендию
(все студенты, которые учатся в группе Е-101, …)
x (Студент(x) & Учиться(x,Е-101)  Стипендия(x))
Все студенты, которые получают стипендию, учатся в группе
Е-101
x (Студент(x) & Стипендия(x)  Учиться(x,Е-101))
множество объектов
свойство объектов
Примеры высказываний c
несколькими кванторами
Существуют группы, в которых некоторые студенты получают
стипендию
y(Группа (y) & x(Студент(x)&Учиться(x,y)&Стипендия(x)) )
Существуют группы, в которых все студенты получают
стипендию
y(Группа (y) & x(Студент(x)&Учиться(x,y)Стипендия(x)) )
В каждой группе существуют студенты, которые получают
стипендию
y(Группа (y)  x(Студент(x)&Учиться(x,y)&Стипендия(x)) )
В каждой группе все студенты получают стипендию
y(Группа (y)  x(Студент(x)&Учиться(x,y)Стипендия(x)) )
область действия квантора x
область действия квантора y
Логическое представление
высказываний с отрицанием
Общее высказывание с отрицанием:
«ни для каких объектов, относящихся к множеству S,
не выполняется свойство P»
x (S(x)~P(x))
Частное высказывание с отрицанием:
«для некоторых объектов, относящихся к множеству S,
не выполняется свойство P»
x (S(x)&~P(x))
Отрицание общих высказываний:
«Неверно, что для всех объектов, относящихся к множеству S,
выполняется свойство P»
~ (x (S(x)P(x)))
Отрицание частных высказываний:
«Неверно, что для некоторых объектов, относящихся к
множеству S, выполняется свойство P»
~ (x (S(x)&P(x)))
Примеры формальной записи
высказываний c отрицанием
Частное высказывание с отрицанием:
Некоторые студенты группы Е-101 не получают стипендию
x (Студент(x) & Учиться(x,Е-101) & ~Стипендия(x))
Общее высказывание с отрицанием:
Ни один студент группы Е-101 не получает стипендию
x (Студент(x) & Учиться(x,Е-101)  ~Стипендия(x))
Отрицание общего высказывания:
Неверно, что все студенты группы Е-101 получают
стипендию
~ (x (Студент(x) & Учиться(x,Е-101)  Стипендия(x)) )
Отрицание частного высказывания:
Неверно, что некоторые студенты группы Е-101 получают
стипендию
~ (x (Студент(x) & Учиться(x,Е-101) & Стипендия(x)) )
Законы отрицания кванторов
Отрицание общего высказывания можно рассматривать
как частное высказвание и наоборот.
~( x (S(x)P(x))) =  x (~(S(x)P(x))) =  x (~(~S(x)P(x))) =
=  x (S(x)&(~P(x))
«неверно, что для всех объектов множества S
выполняется свойство Р»
означает, что «для некоторых объектов множества S
свойство Р не выполняется»
~( x (S(x)&P(x))) =  x (~(S(x)&P(x))) =  x (~(S(x)~P(x))) =
=  x (S(x)(~P(x))
«неверно, что для некоторых объектов множества S
выполняется свойство Р»
означает, что «для всех объектов множества S
свойство Р не выполняется»
Связь кванторов с логическими
операциями
Если множество рассматриваемых объектов конечно,
кванторы можно заменить на логические операции.
Пусть U = {a1, a2, ..., an}, тогда
Квантор всеобщности является обобщением конъюнкции
 x S(x) = S(a1) & S(a2) & … & S(an)
Квантор существования является обобщением
дизъюнкции  x S(x) = S(a1)  S(a2)  …  S(an)
Пример:
Множество студентов состоит из 3-х человек:
{Андреев, Борисов, Васильев}
Простое высказывание с квантором  x Отличник(x)
«некоторые студенты являются отличниками»
можно заменить на сложное
Отличник(Андреев)Отличник (Борисов)Отличник(Васильев)
«Андреев является отличником или Борисов является
отличником или Викторов является отличником»
Проверка истинности
частного высказывания
Частное высказывание:
В группе Е-101 некоторые студенты получают стипендию
Логическое представление:
x (Студент(x)&Учиться(x,Е-101)&Стипендия(x))
Проверка истинности
Заменим высказывание с квантором на дизъюнкцию:
Студент(А)&Учиться(А,Е-101)&Стипендия(А) 
Студент(Б)&Учиться(Б,Е-101)&Стипендия(Б) 
Студент(В)&Учиться(В,Е-101)&Стипендия(В) 
Студент(Г)&Учиться(Г,Е-101)&Стипендия(Г) 
Студент(Е-101)&Учиться(Е-101,Е-101)&Стипендия(Е-101) 
Студент(Е-102)&Учиться(Е-102,Е-101)&Стипендия(Е-102)=
= Истина&Истина&Истина  Истина&Истина&Истина 
Истина&Ложь&Истина  Истина&Ложь&Ложь 
Ложь&Ложь&Ложь  Ложь&Ложь&Ложь =
= Истина  Истина  Ложь  Ложь  Ложь  Ложь = Истина
Проверка истинности
общего высказывания
Общее высказывание:
В группе Е-101 все студенты получают стипендию
Логическое представление:
x (Студент(x)&Учиться(x,Е-101)Стипендия(x))
Проверка истинности:
Заменим высказывание с квантором на конъюнкцию:
(Студент(А)&Учиться(А,Е-101)Стипендия(А)) &
(Студент(Б)&Учиться(Б,Е-101)Стипендия(Б)) &
(Студент(В)&Учиться(В,Е-101)Стипендия(В)) &
(Студент(Г)&Учиться(Г,Е-101)Стипендия(Г)) &
(Студент(Е-101)&Учиться(Е-101,Е-101)Стипендия(Е-101)) &
(Студент(Е-102)&Учиться(Е-102,Е-101)Стипендия(Е-102)) =
= (Истина&ИстинаИстина) & (Истина&ИстинаИстина) &
(Истина&ЛожьИстина) & (Истина&ЛожьЛожь) &
(Ложь&ЛожьЛожь) & (Ложь&ЛожьЛожь) =
= Истина&Истина&Истина&Истина&Истина&Истина = Истина
Применение законов отрицания
кванторов для проверки истинности
Отрицание общего высказывания:
Неверно, что в группе Е-102 все студенты получают стипендию
Логическое представление:
~(x (Студент(x)&Учиться(x,Е-102)Стипендия(x)))
Проверка истинности
Заменим отрицание общего высказывания на частное
высказывание с отрицанием
~(x (Студент(x)&Учиться(x,Е-102)Стипендия(x))) =
x (Студент(x)&Учиться(x,Е-102)&~Стипендия(x)) =
Студент(А)&Учиться(А,Е-102)&~Стипендия(А) 
Студент(Б)&Учиться(Б,Е-102)&~Стипендия(Б) 
Студент(В)&Учиться(В,Е-102)&~Стипендия(В) 
Студент(Г)&Учиться(Г,Е-102)&~Стипендия(Г) 
Студент(Е-101)&Учиться(Е-101,Е-102)&~Стипендия(Е-101) 
Студент(Е-102)&Учиться(Е-102,Е-102)&~Стипендия(Е-102)=
= Ложь  Ложь  Ложь  Истина  Ложь  Ложь = Истина