Урок по теме : «Решение тригонометрических и комбинированных уравнений. Задания

Урок по теме :
«Решение тригонометрических и комбинированных уравнений. Задания
С1 ЕГЭ.» (11-й класс)
Учитель математики МБОУ СОШ №2 имени Луначарского
станицы Медведовской Тимашевский район Краснодарский край
Козляковская Лидия Сергеевна
Цели урока:
Образовательные: Систематизировать и обобщить умения и навыки решения
тригонометрических и комбинированных уравнений типа; проводить отбор
корней разными способами.
Развивающие: развивать познавательный интерес, логическое мышление,
внимание, навыки самоконтроля.
Воспитательные: воспитывать трудолюбие, аккуратность при выполнении
вычислений, прививать интерес к математике
Задачи урока: проверить знания учащихся по освоению основных приемов
решения тригонометрических и комбинированных уравнений; научить
творчески применять свои знания при решении заданий типа С1 ЕГЭ.
Тип урока: закрепление и систематизация знаний по теме. Подготовка к
ЕГЭ.
Формы урока: коллективная, индивидуальная, групповая.
Оборудование:
мультимедийный проектор, ноутбук, презентация, карточки с заданиями,
документ-камера.
Ход урока:
1.Организационный вопрос. Накануне были выбраны 2 команды учеников
по 6 человек. Они получили все задание на дом: решить 3 уравнения
повышенной сложности. Класс разбит на 3 группы: 2 команды игроков и 1
команда болельщиков.
Учитель: Добрый день, ребята. До экзаменов осталось совсем немного
времени. Мы сегодня подведем итоги, чему научились в течение учебного
1
года. А решать мы будем задания, связанные с тригонометрическими,
показательными и логарифмическими уравнениями. Мы с вами поиграем в
математические игры, но самое главное начнется в середине урока, когда
команды покажут свое искусство и изящество в решении задач.
2.Устный счет. От каждой команды вызываются к доске по ученику и ваша
задача: Собрать математическое домино из формул. (Выдаются 14 карточек
на знание формул тригонометрии) (слайд3)
2 болельщиков в режиме онлайн решают задания ЕГЭ на ноутбуках.(20мин)
В это же время все остальные учащиеся работают с учителем. Решают устно.
1. Может ли синус угла быть равным:
2
а) -3,7; б) 3,7; в) 3 ; г)
30
6 ?
2. Может ли косинус угла быть равным:
а) 0,75;
2
б) 2 ; в) -0,35;
г)

3 ?
3. При каких значениях а и b справедливы следующие равенства:
cos

a
7
sin
sin   a


a
ctg   b
tg

b
10
cos x  a
4. Является ли число π корнем уравнения:
а)
sin 2 x  tg ( x 

4
)0
;
sin x
0
б) 1  cos x
?
3.Мозговой штурм. Кто первым начнет рассказывать решение задач зависит от капитанов команд. Капитаны получают задание на доске. Решить
уравнения:
1. sin х = 0
1
2. cos х =
2
1. cos х = 1
√3
2. sin х =
2
2
3. tg х = − 1
1
4. sin х =
2
√2
5. cos х =
2
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
Ответы:1) πn,nϵZ; 2)± +2πn, nϵZ; 3) + Ответы:1) +2πn, nϵZ; 2) (−1)𝑛 +
3
3
2
3
πn,nϵZ;
πn,nϵZ;
𝜋
𝜋
𝜋
4)(−1)𝑛 + πn,nϵZ; 5)π+ πn,nϵZ.
3) + πn,nϵZ; 4) (−1)𝑛 + πn,nϵZ; 5)
3. tg х = √3
√2
4. sin х =
2
5. cos х = −1
4
𝜋
4
6
± +2πn, nϵ Z;
4
Кто из капитанов быстрее и правильно решит пять уравнений, та команда
начнет первый ход.
4.Математический бой. Решение уравнений С1.Команда может предложить
противнику показать решение одной из 3 задач.(правила матбоя в
приложении).
Решить уравнения:
𝜋
1. а) Решите уравнение соs2x=sin(x+ ).
2
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-2π; -π]
Решение.
а) Преобразуем уравнение, применим формулы двойного аргумента и
формулы приведения, получим 2cos2x-1=cosx
2cos2x-cosx-1=0
Пусть cosx=t, где -1≤ t ≤1, тогда уравнение примет вид
2 t2-t-1=0
D=(-1)2-4*2*(-1)=9
1
t1 = 1 или t2 = - .
2
Значит, соsx=1 , х=2πn, nϵZ;
1
2𝜋
2
3
или cosx= - , х=±
+ πn,nϵZ.
б)Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения,
принадлежащие промежутку
[-2π; -π]: -2π; -
4𝜋
3
.
2. а) Решите уравнение
1
𝑡𝑔2 х
-
1
sin х
-1=0
3
3𝜋
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3π; −
2
].
Решение. Учитывая, что соsx≠0 и sinx≠0, получаем
1
𝑡𝑔2 х
1−sin2 𝑥
=
=
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
1
- 1
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
1
Уравнение примет вид
Пусть
1
2
Получим,
−
1
sin х
-2=0
1−3
= 𝑡, где − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1 , тогда t2-t-2=0, D=(-1)2-4*1*2=9 , t=
sin х
1+3
=-1; t=
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2
=2.
1
sin х
= −1 или
1
sin х
= 2, откуда sin х = −1 или sin х =
sin х = −1 не удовлетворяет условию соsx≠0, отсюда
𝜋
5𝜋
6
6
х = + 2𝜋𝑘, 𝑥 =
1
2
1
sin х = ;
2
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍.
б)Отберем с помощью единичной окружности корни, принадлежащие
промежутку [-3π; −
х=-
11𝜋
6
3𝜋
2
].
.
𝜋
5𝜋
6
6
Ответ :а) х = + 2𝜋𝑘, 𝑥 =
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍. ;б) х=-
11𝜋
6
.
3.а)Решите уравнение 10sin х = 2sin х ∗ 5−cos х
5𝜋
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [- ;- π].
2
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение 10sin х = 2sin х ∗ 5−cos х
2sin х *5sin х =2sin х ∗ 5−cos х ; 2sin х >0;
5sin х =5− cos х ;
sin х = − cos х;
tg х=-1;
х=−
𝜋
4
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍.
4
5𝜋
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку [- ;- π].
2
Получим числа Ответ: а) х=−
𝜋
4
9𝜋
4
;-
5𝜋
4
.
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 𝜖 𝑍; б) -
9𝜋
4
;-
5𝜋
4
.
5.Физкультминутка.
6.Блиц-турнир. Учитель: Обе команды и болельщики получают задание
.Время 10 минут. Проверка решения с помощью документ - камеры.
Решите уравнение (6 sin2 х + 5 sin х -4) √−7cos х =0
𝜋
5𝜋
2
6
(ответ : х= +πn, nϵZ,x= +2πk, kϵZ)
7.Подведение итогов. Выставление оценок.
8.Рефлексия. 1. Сегодня я узнал…
2. Было интересно…
3. Было трудно…
4. Меня удивило
5. Урок дал мне для жизни…
9. Задание на дом : Из открытого банка заданий найти задание С1 , решить и
оформить на листе А4.Приготовиться к защите работы.
Литература :
1. Открытый банк задач ЕГЭ по математике http:// www.mathege.ru
2. Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ. reshuege.ru
3. ЕГЭ и ГИА 2014 Математика Материалы для подготовки ЕГЭ.
alexlarin.net
5