Тихонов_Янчевский_Индексы центральных простых алгебр над

ÓÄÊ 512.7
Ñ. Â. Òèõîíîâ, Â. È. ßí÷åâñêèé
Èíäåêñû öåíòðàëüíûõ ïðîñòûõ àëãåáð íàä
ïîëÿìè ôóíêöèé ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ íàä
Pn,r -ïîëÿìè
1 Ââåäåíèå
Ïóñòü K ïðîèçâîëüíîå ïîëå õàðàêòåðèñòèêè íóëü, Br K åãî ãðóïïà Áðàóýðà. Ñ êàæäûì ýëåìåíòîì a ∈ Br K ñâÿçàíû äâà ÷èñëåííûõ èíâàðèàíòà: åãî
ýêñïîíåíòà e(a) è èíäåêñ i(a). Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî e(a) ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì
i(a), à êëàññè÷åñêèé ðåçóëüòàò Áðàóýðà óòâåðæäàåò, ÷òî i(a) è e(a) èìåþò îäèíàêîâûå íàáîðû ïðîñòûõ äåëèòåëåé ([1],[2]). Âàæíûì íàïðàâëåíèåì â òåîðèè
ãðóïï Áðàóýðà ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå çàâèñèìîñòè èíäåêñà îò ýêñïîíåíòû. Ê ñîæàëåíèþ, íèêàêèå îáùèå ñîîòíîøåíèÿ (êðîìå óïîìÿíóòûõ) çäåñü ìåñòà íå èìåþò,
ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü ìåæäó ýêñïîíåíòîé è èíäåêñîì ïðè÷óäëèâî ìåíÿåòñÿ ñ
èçìåíåíèåì F . Â ýòîé ñèòóàöèè åñòåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ êîíêðåòèçàöèÿ óïîìèíàâøåéñÿ âûøå ïðîáëåìû:
Ïóñòü çàäàí íåêîòîðûé êëàññ ïîëåé, íàéòè çàâèñèìîñòü ìåæäó ýêñïîíåíòàìè è èíäåêñàìè ýëåìåíòîâ ãðóïï Áðàóýðà ïîëåé ýòîãî êëàññà.
Íà ýòîì ïóòè ïîëó÷åí ðÿä âàæíûõ ðåçóëüòàòîâ. Íàïðèìåð, èçâåñòíî, ÷òî
â ñëó÷àå êëàññà ïîëåé êîíå÷íûõ (èëè áîëåå îáùî C1 -ïîëåé) e(a) = i(a) (ýòî
êëàññè÷åñêèå òåîðåìû Âåääåðáàðíà è Òçåíà).
Ëîêàëüíàÿ è ãëîáàëüíàÿ òåîðèè ïîëåé êëàññîâ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðåäûäóùåå
ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî è â ñëó÷àå êëàññîâ ëîêàëüíûõ èëè ãëîáàëüíûõ ïîëåé.
Ñîâïàäåíèå ýêñïîíåíòû è èíäåêñà óñòàíîâëåíî íåäàâíî òàêæå è â ñëó÷àå ïîëåé
êàê ïîâòîðíûõ, òàê è äâîéíûõ ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ ñ êîýôôèöèåíòàìè â àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîì ïîëå (ñì. [3], [4]), êàê ÷àñòü îáùåé ãèïåòåçû
î ñîâïàäåíèè ýêñïîíåíòû è èíäåêñà ýëåìåíòîâ ãðóïï Áðàóýðà íàä C2 -ïîëÿìè.
Îäíàêî, åùå â ïåðâîé ïîëîâèíå ïðîøëîãî âåêà (Ð.Áðàóýð, [5]) áûëî ïîêàçàíî,
÷òî ýêñïîíåíòà íå âñåãäà ñîâïàäàåò ñ èíäåêñîì è ïîòîìó îòâåò íà âîïðîñ îá
èõ çàâèñèìîñòè íå ìîæåò áûòü âûðàæåí â òåðìèíàõ òåîðåìû î ñîâïàäåíèè. Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, ðàññìîòðåíèå ïîëåé ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé îò áåñêîíå÷íîãî
÷èñëà ïåðåìåííûõ ïîêàçûâàåò, ÷òî â êëàññå òàêèõ ïîëåé ïðè ôèêñèðîâàííîé
ýêñïîíåíòå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ýëåìåíòû ïðîèçâîëüíî áîëüøîãî èíäåêñà. Íàêîíåö, åñëè ðàññìàòðèâàòü ïîëÿ ôóíêöèé K íà àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ,
îïðåäåëåííûõ íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì k , òî òîò æå ýôôåêò íåîãðàíè÷åííîñòè èíäåêñîâ ïðè ôèêñèðîâàííîé ýêñïîíåíòå ìîæåò âîçíèêíóòü èç-çà ýëåìåíòîâ ãðóïïû Br k . Òàêèì îáðàçîì, åñëè èíòåðåñîâàòüñÿ ïðîáëåìîé îãðàíè÷åííîñòè èíäåêñîâ ïðè ôèêñèðîâàííîé ýêñïîíåíòå äëÿ êëàññà ïîëåé ôóíêöèé íà
àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ, ÿâëÿþùåãîñÿ âî ìíîãèõ îòíîøåíèÿõ îäíèì èç
1
íàèáîëåå âàæíûõ êëàññîâ ïîëåé, òî åñòåñòâåííî â êà÷åñòâå ïîëåé îïðåäåëåíèÿ
òàêèõ ìíîãîîáðàçèé ðàññìàòðèâàòü ïîëÿ k , â êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîáëåìà îãðàíè÷åííîñòè èíäåêñîâ èìååò ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå. ßðêèì ïðèìåðîì
ïëîäîòâîðíîñòè òàêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ íåäàâíèé ðåçóëüòàò Ä. Ñîëòìýíà ([6],
[7]), ïîêàçàâøåãî, ÷òî åñëè K ïîëå ôóíêöèé íà ãëàäêîé ïðîåêòèâíîé êðèâîé ñ ïîëåì p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë â êà÷åñòâå ïîëÿ îïðåäåëåíèÿ, òî äëÿ ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî n âçàèìíî ïðîñòîãî ñ p ïðè e(a) = n, i(a) ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì
n2 , ïðè÷åì, ýòà îöåíêà íå ìîæåò áûòü óñèëåíà â òîì ñìûñëå, ÷òî ñóùåñòâóþò
àëãåáðû ýêñïîíåíòû n è èíäåêñà n2 .
Âñå æå, åñëè ïîëå k äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíî, òðóäíî îæèäàòü ïîëó÷åíèÿ
îöåíîê òàêîãî òî÷íîãî òèïà. Äî íåäàâíåãî âðåìåíè îäíèì èç îñíîâíûõ ìåòîäîâ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê èíäåêñîâ â îáùåé ñèòóàöèè ÿâëÿëñÿ ìåòîä "êîíòðîëèðóåìîãî"ðàñøèðåíèÿ ñêàëÿðîâ, óáèâàþùåãî âåòâëåíèå ñ ïîñëåäóþùåé îöåíêîé
èíäåêñîâ íåðàçâåòâëåííûõ ýëåìåíòîâ. Íà ýòîì ïîñëåäíåì ýòàïå âàæíîå çíà÷åíèå èìååò ðåçóëüòàò Ì. âàí äåí Áåðãà ([12]), äàþùèé îöåíêó èíäåêñîâ äëÿ
íåðàçâåòâëåííûõ ýëåìåíòîâ.
 äàííîé ñòàòüå ìû ðàññìàòðèâàåì êëàññ ÷èñòî òðàíñöåíäåíòíûõ ðàñøèðåíèé K êîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè íàä òàê íàçûâàåìûìè Pn,r -ïîëÿìè è ïîêàçûâàåì,
÷òî èíäåêñû ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðóïï Áðàóýðà çàâèñÿò òîëüêî îò ïîëÿ
îïðåäåëåíèÿ, ýêñïîíåòû è âåòâëåíèÿ çàäàííîãî ýëåìåíòà. Áîëåå òî÷íî, ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî íà ñàìîì äåëå èíäåêñ ýëåìåíòà çàâèñèò íå îò âåòâëåíèÿ â äàííîé
òî÷êå, à ëèøü îò ñàìîé òî÷êè, â êîòîðîé ýòîò ýëåìåíò âåòâèòñÿ. Ýòîò ðåçóëüòàò
ïîçâîëÿåò íàì ïîëó÷èòü îöåíêè äëÿ èíäåêñîâ ëó÷øèå, ÷åì îöåíêè, âîçíèêàþùèå èç ðåçóëüòàòà âàí äåí Áåðãà. Ñðåäè áîëåå ðàííèõ ðåçóëüòàòîâ ïî ãðóïïàì
Áðàóýðà ïîëåé ôóíêöèé ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ, èç êîòîðûõ ëåãêî èçâëåêàþòñÿ îöåíêè äëÿ èíäåêñîâ èõ ýëåìåíòîâ (âïðî÷åì, íå î÷åíü òî÷íûå) ñëåäóåò
óïîìÿíóòü ðàáîòó [16] î ãðóïïå Áðàóýðà êîìïëåêñíîãî ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà. Îòìåòèì òàêæå ðàáîòû [15], [13], â êîòîðûõ ïîëó÷åíî îïèñàíèå íåðàçâåòâëåííûõ ýëåìåíòîâ ýêñïîíåíòû 2 ãðóïï Áðàóýðà ïîëåé ôóíêöèé ñïåöèàëüíûõ
êðèâûõ, è [17], [18], îïèñûâàþùèå ãðóïïû Áðàóýðà ñïåöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé.
 ñòàòüå ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àè ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé,
ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà è, íàêîíåö, ñëó÷àé ãëàäêîé ïðîåêòèâíîé êðèâîé.
2 Ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû
Ïðèâåäåì âíà÷àëå íåîáõîäèìûå íàì âïîñëåäñòâèè îáîçíà÷åíèÿ è ñîãëàøåíèÿ.
Ïóñòü k ïðîèçâîëüíîå ïîëå õàðàêòåðèñòèêè íóëü, ñîäåðæàùåå ïðèìèòèâíûé êîðåíü ñòåïåíè n èç åäèíèöû, X ãëàäêîå ïðîåêòèâíîå ìíîãîîáðàçèå íàä
k , K = k(X) åãî ïîëå ôóíêöèé. Äëÿ êîëüöà äèñêðåòíîãî íîðìèðîâàíèÿ R
ñ ïîëåì âû÷åòîâ k(R), òàêîãî, ÷òî ïîëå ÷àñòíûõ R ñîâïàäàåò ñ K , ñóùåñòâóåò
ãîìîìîðôèçì âåòâëåíèÿ â R:
∂R : Br K −→ Homcont (GR , Q/Z) = H 1 (GR , Q/Z),
ãäå GR = Gal(k/k(R)), k àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå ïîëÿ k (ñì. [8]). Öåíòðàëüíàÿ ïðîñòàÿ àëãåáðà (ö.ï.à.) A íàä K íàçûâàåòñÿ ðàçâåòâëåííîé â R, åñ2
ëè ∂R ([A]) 6= 0, â ýòîì ñëó÷àå R íàçûâàåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ. Èçâåñòíî, ÷òî
÷èñëî òî÷åê âåòâëåíèÿ ó ö.ï.à. êîíå÷íî. Ïîäãðóïïà ∩R ker ∂R , ãäå R ïðîáåãàåò
ìíîæåñòâî êîëåö ñ âûøåóêàçàííûìè ñâîéñòâàìè, íàçûâàåòñÿ íåðàçâåòâëåííîé
ãðóïïîé Áðàóýðà ïîëÿ K è îáîçíà÷àåòñÿ Brnr K .
Ãîìîìîðôèçì ∂R óñòðîåí ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. [8]). Ïóñòü R0 è K 0 ñîîòâåòñòâåííî ïîïîëíåíèå êîëüöà R è ïîëÿ K . Òîãäà R0 è K 0 ìîãóò áûòü îòîæ0
äåñòâëåíû ñîîòâåòñòâåííî ñ êîëüöîì k(R)[[π]] è ïîëåì k(R)((π)). Ïóñòüè Knr
0
ìàêñèìàëüíîå íåðàçâåòâëåííîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ K 0 . Òîãäà Knr
ñîâïàäàåò ñ
0
0
0
ïîëåì k((π))), Gal(Knr /K ) = GR è K åñòü îáúåäèíåíèå âñåõ ïîëåé âèäà k((π)).
Ãðóïïà Ãàëóà Gal(K 0 /Knr ) òîãäà èçîìîðôíà ãðóïïå lim Z/n. Êîãîìîëîãè÷åñêàÿ
←−
∗
0
ðàçìåðíîñòü ýòîé ãðóïïû ðàâíà 1, ñëåäîâàòåëüíî, H 2 (Gal(K 0 /Knr
), K 0 ) = 0.
∗
Òàê êàê H 1 (Gal(K 0 /Knr ), K 0 ) = 0 ïî òåîðåìå Ãèëüáåðòà 90, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíèÿ è èíôëÿöèè äàåò èçîìîðôèçì
∗
0
0 ∗ ∼
H 2 (Gal(Knr
/K 0 ), Knr
) = H 2 (Gal(K 0 /K 0 ), K 0 ).
(1)
Íîðìèðîâàíèå v : K 0 −→ Z åñòåñòâåííî ïðîäîëæàåòñÿ äî íîðìèðîâàíèÿ v :
0
0
Knr
−→ Z, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì Gal(Knr
/K 0 )-ìîäóëåé (Z ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê äèñêðåòíûé ìîäóëü). Òîãäà ïîëó÷àåì ãîìîìîðôèçì
0
∗
0
0
) −→ H 2 (Gal(K nr /K 0 ), Z) = H 2 (GR , Z).
H 2 (Gal(Knr
/K 0 ), Knr
(2)
Òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü GR -ìîäóëåé 0 −→ Z −→ Q −→ Q/Z −→ 0 äàåò
èçîìîðôèçì H 2 (GR , Z) ∼
= H 1 (GR , Q/Z) = Homcont (GR , Q/Z).
Êîìáèíèðóÿ èçîìîðôèçì (1) è ãîìîìîðôèçì (2) ïîëó÷àåì ãîìîìîðôèçì
∂R0 : Br K 0 −→ Homcont (GR , Q/Z).
Òîãäà ãîìîìîðôèçì ∂R îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîìïîçèöèÿ
res
∂
0
R
Br K −→ Br K 0 −→
Homcont (GR , Q/Z).
Åñëè K ïîëå, ñîäåðæàùåå ïðèìèòèâíûé êîðåíü ρ ñòåïåíè n èç åäèíèöû,
a, b ∈ F ∗ , òî ñèìâîë-àëãåáðîé (a, b)n íàçûâåòñÿ öèêëè÷åñêàÿ àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ íàä K òàêèìè ýëåìåíòàìè α, β , ÷òî αn = a, β n = b, αβ = ρβα, ýëåìåíò
ãðóïïû Áðàóýðà, ñîäåðæàùèé àëãåáðó (a, b)n áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ [(a, b)n ].
Èñïîëüçóÿ îïèñàíèå ãîìîìîðôèçìà ∂R íåòðóäíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 1 Ïóñòü π , a è b ñîîòâåòñòâåííî ïðîñòîé ýëåìåíò è åäèíèöû íîð-
ìèðîâàíèÿ, ñâÿçàííîãî ñ êîëüöîì R. Òîãäà
(i) ∂R ([(a, π)n ]) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a ∈ (K ∗ )n ;
(ii)∂R ([(a, b)n ]) = 0.
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà Pm
k ñóùåñòâóåò âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó íåïðèâîäèìûìè óíèòàðíûìè â ñìûñëå ëåêñèêîãðàôè÷åñêîãî ïîðÿäêà ìíîãî÷ëåíàìè è ëîêàëüíûìè êîëüöàìè R êîíå÷íûõ òî÷åê êîðàçìåðíîñòè 1.
3
3 Ñëó÷àé ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé è Pn,r -ïîëÿ
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà X ïðîåêòèâíàÿ ïðÿìàÿ P1k .  ýòîì ñëó÷àå Br k = Brnr k(P1k ). Ïóñòü k(P1k ) = k(x). Åñëè A ö.ï. k(P1k )-àëãåáðà è
f (x) ∈ K[x] íåïðèâîäèìûé óíèòàðíûé ìíîãî÷ëåí, îïðåäåëÿþùèé íîðìèðîâàíèå ïîëÿ k(P1k ), òî ïóñòü Af (x) = A ⊗ k(θ)((f )), ãäå θ êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x)
è k(θ)((f (x))) ïîëå ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ (ïîïîëíåíèå ïîëÿ k(P1k ) ïî
íîðìèðîâàíèþ, îïðåäåëÿåìîìó ìíîãî÷ëåíîì f (x)).
Êðîìå òîãî, âåòâëåíèå àëãåáð óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó çàêîíó âçàèìíîñòè
Ä.Ê. Ôàääååâà.
Ïðåäëîæåíèå 2 ([9], [11, III, Prop. 2.1], [10, Ÿ1.2]) Ñóùåñòâóåò ñëåäóþùàÿ
òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
⊕∂
R
0 → Br k → Br k(P1k ) −→
M
cor
H 1 (GR , Q/Z) −→ H 1 (Gal(k/k), Q/Z) → 0
R
(çäåñü R ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî òàêèõ êîëåö äèñêðåòíîãî íîðìèðîâàíèÿ, ÷òî
èõ ïîëÿ ÷àñòíûõ ñîâïàäàþò ñ k(P1k ), à cor ñóììèðóåò ëîêàëüíûå ãîìîìîðôèçìû êîîãðàíè÷åíèÿ).
Çàìåòèì, ÷òî èç çàêîíà âçàèìíîñòè Ôàääåâà ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâå ö.ï.à.
íàä (P1k ) èìåþò îäèíàêîâîå âåòâëåíèå â êîëüöàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíå÷íûì
òî÷êàì ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé, òî îíè èìåþò îäèíàêîâîå âåòâëåíèå è â êîëüöå,
ñîîòâåòñòâóþùåì áåñêîíå÷íîé òî÷êå. Êðîìå òîãî, åñëè A íå ðàçâåòâëåíà, òî A
ïîäîáíà íåêîòîðîé êîíñòàíòíîé ö.ï.à., ò.å. àëãåáðå âèäà B ⊗k k(P1k ), ãäå B ö.ï.à.
íàä k .
Íàì òàê æå ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå
Îïðåäåëåíèå 3 Äâå ö.ï. k(P1k ))-àëãåáðû A è B íàçûâàþòñÿ ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè íàéäåòñÿ ö.ï. k -àëãåáðà C , òàêàÿ, ÷òî
A ∼ B ⊗k(P1k ) (C ⊗k k(P1k )).
ßñíî, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Àëãåáðû A è B ôàääååâñêè
ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè èìåþò îäèíàêîâîå âåòâëåíèå.
Íàø îñíîâíîé ðåçóëüòàò â ñëó÷àå ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé îñíîâàí íà ñëåäóþùåé êîíñòðóêöèè. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, âñå êîíå÷íûå òî÷êè âåòâëåíèÿ àëãåáðû
A ñîîòâåòñòâóþò íåïðèâîäèìûì óíèòàðíûì ìíîãî÷ëåíàì fi (x) íàä k . Ïóñòü
F (x) åñòü ïðîèçâåäåíèå âñåõ òàêèõ ìíîãî÷ëåíîâ fi (x). Íàø ïåðâûé ðåçóëüòàò ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 4 Ïóñòü k ïîëå, ñîäåðæàùåå ïðèìèòèâíûé êîðåíü n-îé ñòåïåíè
èç åäèíèöû, A ö.ï.à. íàä k(P1k )) ýêñïîíåíòû n. Òîãäà A ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíà ö.ï.à. èíäåêñà íå ïðåâîñõîäÿùåãî n[(deg F (x)+1)/2] , ãäå [(deg F (x) + 1)/2]
öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà (deg F (x) + 1)/2.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü m = [(deg F (x) + 1)/2]. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû èíäóêöèåé ïî m. Åñëè m = 0, òî deg F (x) = 0 è A íå èìååò
4
âåòâëåíèÿ â êîíå÷íûõ òî÷êàõ. Òîãäà ïî çàêîíó âçàèìíîñòè Ôàääååâà àëãåáðà
A íå ðàçâåòâëåíà. Òàêèì îáðàçîì, A ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíà òðèâèàëüíîé
àëãåáðå.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû âåðíî ïðè m < s. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé m = s. Çàìåòèì, ÷òî ïðè deg F (x) = 1 àëãåáðà A ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíà
àëãåáðå âèäà (u, x−a)n , ãäå F (x) = x−a è u ∈ k ∗ . Òàêèì îáðàçîì, áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî deg F (x) > 1.
Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî F (x) åñòü ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ ìíîãî÷ëåíîâ.
Ïóñòü (x − a1 )(x − a2 ) äåëèò F (x). Òîãäà
Ax−ai ∼ Bi ⊗ (ui , x − ai )n ⊗k(P1k ) k((x − ai )), i = 1, 2,
ãäå ui íåíóëåâîé ýëåìåíò ïîëÿ k , à Bi íåêîòîðàÿ ö.ï.à. íàä k . Òîãäà àëãåáðà
C = A ⊗k(P1k ) ((x − a1 )u−1
2 /(a2 − a1 ), (x − a2 )u1 /(a1 − a2 ))n
íå ðàçâåòâëåíà â ìíîãî÷ëåíàõ x − a1 è x − a2 . Äåéñòâèòåëüíî,
Cx−a1 = B1 ⊗ (u1 , x − a1 ) ⊗ ((x − a1 )u−1
2 /(a2 − a1 ), u1 )n ∼
B1 ⊗ (u1 , x − a1 ) ⊗ ((x − a1 ), u1 )n ⊗ (u−1
2 /(a2 − a1 ), u1 )n ∼
−1
B1 ⊗ (u1 , x − a1 ) ⊗ (u−1
1 , x − a1 ))n ⊗ (u2 /(a2 − a1 ), u1 )n ∼
−1
B1 ⊗ (u1 , x − a1 ) ⊗ ((x − a1 ), u1 )n ⊗ (u−1
2 /(a2 − a1 ), u1 )n ∼ B1 ⊗ (u2 /(a2 − a1 ), u1 )n .
Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
Cx−a2 ∼ B2 ⊗ (u−1
2 , u1 /(a1 − a2 ))n .
Òàêèì îáðàçîì, âñå êîíå÷íûå òî÷êè âåòâëåíèÿ àëãåáðû C ñîîòâåòñòâóþò
íåïðèâîäèìûì óíèòàðíûì äåëèòåëÿì ìíîãî÷ëåíà F (x)/(x − a)(x − b). Òàê êàê
[(deg F (x)/(x − a)(x − b) + 1)/2] = [(deg F (x) − 2 + 1)/2] = s − 1,
òî ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ àëãåáðà C ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíà àëãåáðå èíäåêñà íå áîëüøåãî, ÷åì ns−1 , à òîãäà A ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíà àëãåáðå
èíäåêñà íå áîëüøåãî, ÷åì ns .
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî F (x) èìååò íåïðèâîäèìûé óíèòàðíûé äåëèòåëü
f (x) ñòåïåíè áîëüøåé, ÷åì 1.
Èìååì
Af (x) = A ⊗k(P1k ) k(P1k )f (x) ∼ B ⊗k(P1k )f (x) ⊗(α, f (x))n ,
ãäå α íåêîòîðûé íåíóëåâîé ýëåìåíò ïîëÿ k(θ), θ êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x)
è B ö.ï.à. íàä k . Íàéäåòñÿ ìíîãî÷ëåí g(x) ∈ k[x], òàêîé, ÷òî α = g(θ) è
deg g(x) < deg f (x).
Òîãäà A ⊗k(P1k ) (g(x)−1 , f (x))n íå ðàçâåòâëåíà â f (x). Åñëè deg g(x) = 0 òî êîíå÷íûå òî÷êè âåòâëåíèÿ ïîñëåäíåé àëãåáðû ñîîòâåòñòâóþò íåïðèâîäèìûì óíèòàðíûì äåëèòåëÿì ìíîãî÷ëåíà F (x)/f (x). Òàê êàê [(deg F (x)/f (x) + 1)/2] < s,
òî ïîñëåäíÿÿ àëãåáðà ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíà àëãåáðå èíäåêñà íå ïðåâîñõîäÿùåãî ns−1 , à òîãäà A ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíà àëãåáðå èíäåêñà íå áîëüøåãî,
÷åì ns .
5
 ñëó÷àå deg g(x) > 0 ïóñòü g0 (x) íåïðèâîäèìûé óíèòàðíûé äåëèòåëü
ìíîãî÷ëåíà g(x) ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè è g(x) = g0 (x)m g1 (x), ãäå g0 (x) è g1 (x)
âçàèìíî ïðîñòû. Åñëè àëãåáðà A èìååò âåòâëåíèå â ìíîãî÷ëåíå g0 (x), òî êîíå÷íûå òî÷êè âåòâëåíèÿ àëãåáðû C ñîîòâåòñòâóþò íåêîòîðûì íåïðèâîäèìûì óíèòàðíûì äåëèòåëÿì ìíîãî÷ëåíà F (x)g1 (x)/f (x). Òàê êàê deg g1 (x) < deg g(x) <
deg f (x), òî [(deg F (x)g1 (x)/f (x) + 1)/2] < s. Ñëåäîâàòåëüíî, A ôàääååâñêè
ýêâèâàëåíòíà àëãåáðå èíäåêñà íå áîëüøåãî, ÷åì ns .
Åñëè æå àëãåáðà A íå èìååò âåòâëåíèÿ â ìíîãî÷ëåíå g0 (x), òî ïóñòü h(x) îñòàòîê îò äåëåíèÿ f (x) íà g0 (x). Òîãäà
A ⊗ (g(x)−1 , f (x))n ⊗ (g(x)−1 , h(x)−1 )n ∼ A ⊗k(P1k ) (g(x)−1 , f (x)h(x)−1 )n
è êîíå÷íûå òî÷êè âåòâëåíèÿ ïîñëåäíåé àëãåáðû ñîîòâåòñòâóþò íåêîòîðûì íåïðèâîäèìûì óíèòàðíûì äåëèòåëÿì ìíîãî÷ëåíà F (x)g1 (x)h(x)/f (x). Òàê êàê deg g1 (x)+
deg h(x) < deg g1 (x)+deg g0 (x) ≤ deg g(x) ≤ deg f (x)−1, òî [(deg F (x)g1 (x)/f (x)+
1)/2] < s. Ñëåäîâàòåëüíî, A ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíà àëãåáðå èíäåêñà íå áîëüøåãî, ÷åì ns . Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå. Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå n = 2 èìååì [(deg F (x) + 1)/2] = g + 1, ãäå
g ðîä ãèïåðýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé, ñîîòâåòñòâóþùåé óðàâíåíèþ y 2 = F (x).
Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå n = 2 ïðåäûäóùàÿ òåîðåìà ìîæåò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Òåîðåìà 5 Ïóñòü A ö.ï.à. íàä k(P1k )) ýêñïîíåíòû 2. Òîãäà A ôàääååâñêè
ýêâèâàëåíòíà ö.ï.à. èíäåêñà íå ïðåâîñõîäÿùåãî ng+1 , ãäå g ðîä ãèïåðýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé, ñîîòâåòñòâóþùåé óðàâíåíèþ y 2 = F (x).
Çàìå÷àíèå. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñëåäóþùåãî ðåçóëüòàòà, ïîëó÷åííîãî Ñ. Áëîõîì (ñì. [14]).
Òåîðåìà 6 Ïóñòü k ïîëå, ñîäåðæàùåå ãðóïïó êîðíåé èç 1 µn , L = k(x1 , ..., xs )
ïîëå ôóíêöèé ïðîñòðàíñòâà Psk . Òîãäà åñòåñòâåííûå ãîìîìîðôèçìû, èíäóöèðîâàííûå ãîìîìîðôèçìîì íîðìåííîãî âû÷åòà
Rn,k : K2 (k)/nK2 (k) −→ n Br k,
Rn,L : K2 (L)/nK2 (L) −→ n Br L
èìåþò èçîìîðôíûå êîÿäðà.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü
óòâåðæäåíèå òåîðåìû â ñëó÷àå L = k(x). Ïîñòðîèì ãîìîìîðôèçì
φ : n Br k/im(Rn,k ) −→ n Br k(x)/im(Rn,k(x) ),
ïîëîæèâ φ(a + im(Rn,k )) = resk(x)/k (a) + im(Rn,k(x) ). Ïðîâåðèì êîððåêòíîñòü.
Ïóñòü a ∈ im(Rn,k ), òîãäà a ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñèìâîë-àëãåáð, ñëåäîâàòåëüíî, resk(x)/k (a) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñèìâîë-àëãåáð è resF/k (a) ∈
im(Rn,F ). Êîððåêòíîñòü äîêàçàíà.
6
Óñòàíîâèì èíúåêòèâíîñòü ãîìîìîðôèçìà φ. Ïóñòü resk(x)/k (a) ∈ im(Rn,k(x) ).
Ñëåäîâàòåëüíî, resk(x)/k (a) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñèìâîë-àëãåáð. Òîãäà
resk(x)∞ /k (a) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñèìâîë-àëãåáð, ãäå k(x)∞ ïîïîëíåíèå ïîëÿ k(x) ïî íîðìèðîâàíèþ â áåñêîíå÷íîé òî÷êå. Îòêóäà a ∈ im(Rn,k ). Òàêèì îáðàçîì, èíúåêòèâíîñòü äîêàçàíà. Äîêàæåì ñþðúåêòèâíîñòü. Ëþáîé ýëåìåíò b èç n Br F ïðåäñòàâëÿåòñÿ àëãåáðîé âèäà (A⊗k k(x))⊗(fi , gi ), ãäå A íåêîòîðàÿ àëãåáðà íàä k , à fi , gi ∈ k(x). Òîãäà b + im(Rn,k(x) ) åñòü îáðàç A + im(Rn,k ).
Ñòàëî áûòü, êîÿäðà èçîìîðôíû. Òåîðåìà äîêàçàíà.
 êà÷åñòâå ïðîñòîãî ñëåäñòâèÿ èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû ïîëó÷àåì, ÷òî ö.ï.à.
ýêñïîíåíòû n íàä k(x1 , ..., xs ) ïîäîáíà òåíçîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ öèêëè÷åñêèõ
àëãåáð òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ö.ï. k -àëãåáðû
ýêñïîíåíòû, äåëÿùåé n. Ýòî äàåò â ñëó÷àå ñïåöèàëüíûõ ïîëåé k ýëåìåíòàðíîå
äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìåðêóðüåâà-Ñóñëèíà äëÿ ïîëåé k(x1 , ..., xs ).
Òåîðåìà 4 äàåò âåðõíèå îöåíêè äëÿ èíäåêñîâ ö.ï. àëãåáð ýêñïîíåíòû n íàä
k(P1k ) ïî ìîäóëþ èíäåêñîâ ö.ï. k -àëãåáð ýêñïîíåíò, äåëÿùèõ n.  ñëó÷àå ñïåöèàëüíûõ êëàññîâ ïîëåé êîíñòàíò k òåîðåìà 4 äàåò îöåíêè äëÿ èíäåêñîâ ö.ï.
àëãåáð ýêñïîíåíòû n íàä k(P1k ). Âàæíûì â ýòîì îòíîøåíèè ÿâëÿåòñÿ êëàññ Pn,r ïîëåé.
Îïðåäåëåíèå 7 Ïóñòü n, r öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, n > 0. Ïîëå k
íàçûâàåòñÿ Pn,r -ïîëåì, åñëè äëÿ ëþáîé k -àëãåáðû A ýêñïîíåíòû, äåëÿùåé n,
i(A) ≤ nr .
Çàìåòèì, ÷òî åñëè k -Pn,r -ïîëå, òî k Pn,s -ïîëå äëÿ ëþáîãî s > r.
Äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéùåãî èçëîæåíèÿ ïðèâåäåì íåñêîëüêî ýëåìåíòàðíûõ
ñâîéñòâ Pn.r -ïîëåé.
Ëåììà 8 Ïóñòü n = pα1 1 , . . . , pαs s , ãäå pi ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è αi ≥ 1.
Åñëè k Pn,r -ïîëå, k Ppαi i ,r -ïîëå.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü A ëþáàÿ àëãåáðà ýêñïîíåíòû, äåëÿùåé pαi i .
Òîãäà i(A) äåëèò nr . Ñëåäîâàòåëüíî, i(A) äåëèò pαi i r .
Ëåììà 9 Ïóñòü n = pα1 1 , . . . , pαl l , ãäå pi ðàçëè÷íûå ïðîñòûå è αi ≥ 1. Åñëè k
Ppαi i ,si ïîëå, òî k Ppαi i ,r -ïîëå, ãäå r = ÍÎÊ(s1 , . . . , sl ).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü e(A) äåëèò n è A = A1 ⊗, . . . , ⊗As ðàçëîæåíèå àëãåáðû
àëãåáð ýêñïîíåíò, äåëÿùèõ
pαi i . Òîãäà
Q A â òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå
Q
i(A) = i i(AQi ) è i(Ai ) äåëèò pαi i si . Ñëåäîâàòåëüíî, i(A)) äåëèò i pαi i si . Òîãäà
i(A)i) äåëèò i pαi i r .
Ïðåäûäóùèå ëåììû ïîçâîëÿþò ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâà Pn,r îãðàíè÷èòüñÿ
ïðèìàðíûì n. Íèæå n = P m , ãäå p ïðîñòîå.
Ëåììà 10 Ïóñòü k/F êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå ïîëåé è k Pn,r -ïîëå è. Òîãäà
F Pn,s -ïîëå, ãäå s = [logn [k : F ]p ] + 1 + r, [k : F ]p p-÷àñòü ÷èñëà [k : F ].
7
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü e(A) äåëèò n. Òîãäà e(A ⊗F k) äåëèò n. Òîãäà
i(A ⊗F k) äåëèò nr è i(A) äåëèò [k : F ]p nr . Ñëåäîâàòåëüíî, F Pn,s -ïîëå, ãäå
s = [logn [k : F ]p ] + 1 + r.
Çàìå÷àíèå Ïîñëåäíÿÿ ëåììà äàåò ïîëåçíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íîâûõ Pn,r ïîëåé èç èìåþùèõñÿ.
 çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì ñïèñîê (äàëåêî íå ïîëíûé) íåêîòîðûõ ïîëåé óêàçàííîãî òèïà.
(i) Àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûå ïîëÿ è êîíå÷íûå ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ Pn,0 -ïîëÿìè.
(ii) Âåùåñòâåííî çàìêíóòûå ïîëÿ P2,1 -ïîëÿ è Pn,0 -ïîëÿ, åñëè p íå÷åòíî.
(iii) Ïîëå ôóíêöèé êðèâîé íàä àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì Pn,0 -ïîëå.
(iv) Ïîëå ôóíêöèé êðèâîé íàä âåùåñòâåííî çàìêíóòûì ïîëåì P2,1 -ïîëå è
Pn,0 -ïîëå, åñëè p íå÷åòíî.
(vi) Ïîëå ôóíêöèé ëîêàëüíîé êðèâîé Pn,2 -ïîëå â ñëó÷àå, êîãäà n âçàèìíî
ïðîñòî ñ õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ âû÷åòîâ (ñì. [6], [7]).
(viii) Ïóñòü R ãåíçåëåâî äèñêðåòíî íîðìèðîâàííîå êîëüöî ñ ïîëåì ÷àñòíûõ
K è ïîëåì âû÷åòîâ k . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n âçàèìíî ïðîñòî ñ õàðàêòåðèñòèêîé
ïîëÿ k è ãðóïïà Áðàóýðà ëþáîé ïðîåêòèâíîé êðèâîé íàä âñÿêèì êîíå÷íûì
ðàñøèðåíèåì ïîëÿ k òðèâèàëüíà. Òîãäà äëÿ ëþáîé êðèâîé C íàä K ïîëå K(C)
ÿâëÿåòñÿ Pn,2 -ïîëåì (ñì. [6], [7]).
(ix) Ïóñòü k ïîëå ñ ãåíçåëåâûì íîðìèðîâàíèåì ðàíãà m è ïîëåì âû÷åòîâ
íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè, ÿâëÿþùèìñÿ Pn,r -ïîëåì. Òîãäà k Pn,m+r -ïîëå.
(x) Ïóñòü R ïðåâîñõîäíîå ãåíçåëåâî ëîêàëüíîå êîëüöî ðàçìåðíîñòè äâà,
K - åãî ïîëå ÷àñòíûõ è k ïîëå âû÷åòîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî k ñåïàðàáåëüíî
çàìêíóòî è n âçàèìíî ïðîñòî ñ õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ k . Òîãäà K Pn,1 -ïîëå
(ñì. [4]).
(xi) C2 -ïîëå ÿâëÿåòcÿ Pn,1 -ïîëåì, ïðè p ∈ {2, 3}.
(xii) Ïóñòü k ñîäåðæèò ïðèìèòèâíûé êîðåíü èç 1 ñòåïåíè n âçàèìíî ïðîñòîé
ñ õàðàêòåðèñòèêîé k è ãðóïïà k ∗ /(k ∗ )n êîíå÷íà. Òîãäà k ÿâëÿåòñÿ Pn,r -ïîëåì
ïðè íåêîòîðîì r.
Äëÿ Pn,r -ïîëåé òåîðåìà 4 ìîæåò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Òåîðåìà 11 Ïóñòü k Pn,r -ïîëå, ñîäåðæàùåå ïðèìèòèâíûé êîðåíü n-îé ñòå-
ïåíè èç 1, A ö.ï.à. íàä k(P1k ) ýêñïîíåíòû n è F (x) êàê è âûøå. Òîãäà i(A) ≤
nr+[(deg F +1)/2] .
Âîîáùå ãîâîðÿ, ïðåäûäóùàÿ îöåíêà íå ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé, ÷òî ñëåäóåò,
íàïðèìåð, èç ðåçóëüòàòà Ä. Ñîëòìýíà (ñì. [6], [7] ), ãäå k êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå
ïîëÿ Qp .
Îäíàêî, ñèòóàöèÿ íå òàê ïðîñòà, åñëè ðàññìàòðèâàòü âåñü êëàññ Pn,r -ïîëåé.
Áîëåå òîãî, íàì êàæåòñÿ, ÷òî ñëåäóþùèé âîïðîñ èìååò ñìûñë.
Âîïðîñ. Ïóñòü n, r íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîå Pn,r -ïîëå,
ñîäåðæàùåå ïðèìèòèâíûé êîðåíü n-îé ñòåïåíè èç 1, ÷òî îöåíêà, ïîëó÷åííàÿ â
òåîðåìå 11 äîñòèãàåòñÿ.
8
4 Ñëó÷àé ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà
Òåîðåìà 4 ìîæåò áûòü îáîáùåíà íà ñëó÷àé ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Òåîðåìà 12 Ïóñòü k Pn,r -ïîëå, ñîäåðæàùåå ïðèìèòèâíûé êîðåíü n-îé ñòå-
ïåíè èç 1, L = k(Psk ) = k(x1 , ..., xs ), A ö.ï.a íàä L ýêñïîíåíòû n ñ âåòâëåíèåì
â ìíîãî÷ëåíàõ F1 (x1 , ..., xs ),..., Ft (x1 , ..., xs ). Ïóñòü G(x1 , ..., xs ) = F1 (x1 , ..., xs )...Ft (x1 , ..., xs )
è dj ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà G(x1 , ..., xs ) ïî ïåðåìåííîé xj . Òîãäà
P
i(A) ≤ nr+M1 +...+Ms +mini {
1≤j≤s,j6=i
Mj }
,
ãäå Mi = [(di + 1)/2].
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðåäâàðèì äâóìÿ ëåììàìè.
Ëåììà 13 Ïóñòü A ö.ï.à. íàä L = k(Psk ) = k(x1 , ..., xs ) ñ êîíå÷íûì âåòâëå-
íèåì â íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíàõ F1 (x1 , ..., xs ),..., Ft (x1 , ..., xs ). Òîãäà êîíå÷íîå
âåòâëåíèå àëãåáðû A, ðàññìàòðèâàåìîé êàê àëãåáðû íàä k(x1 , ..., xs−1 )(P1k ) =
k(x1 , ..., xs−1 )(xs ) (ò.å. íàä ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé ñ ïîëåì êîíñòàíò
k(x1 , ..., xs−1 )), ñîñðåäîòî÷åíî â íåêîòîðûõ èç óíèòàðíûõ ìíîãî÷ëåíîâ, ÿâëÿþùèõñÿ äåëèòåëÿìè ìíîãî÷ëåíà F1 (x1 , ..., xs )...Ft (x1 , ..., xs ), ðàññìàòðèâàåìîãî
êàê ìíîãî÷ëåí èç k(x1 , ..., xs−1 )[xs ].
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàññìîòðèì A êàê àëãåáðó íàä k(x1 , ..., xs−1 )(xs ). Ïóñòü
H(xm ) ∈ k(x1 , ..., xs−1 )[xs ] óíèòàðíûé íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí, â êîòîðîì A
èìååò âåòâëåíèå. Òîãäà
H(xs ) = xns + (un−1 /vn−1 )xsn−1 + ... + u0 /v0 ,
ãäå ui , vi ∈ k[x1 , ..., xs−1 ] è ui /vj íåñîêðàòèìûå äðîáè.
Àëãåáà A ïîäîáíà ïðîèçâåäåíèþ íåêîòîðûõ öèêëè÷åñèõ àëãåáð, ò.å. A ∼
(H(xs ), G)l ⊗ B , ãäå G íåêîòîðûé ýëåìåíò êîëüöà k(x1 , ..., xs−1 )[xs ], à B åñòü
ïðîèçâåäåíèå ñèìâîë-àëãåáð, íå ñîäåðæàùèõ ýëåìåíò H(xm ). Â H(xs ) àëãåáðà
A èìååò âåòâëåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
G(θ) 6∈ (k(x1 , ..., xs−1 )(θ)∗ )l ,
(3)
ãäå θ êîðåíü ìíîãî÷ëåíà H(xs ) â àëãåáðàè÷åñêîì ðàñøèðåíèè ïîëÿ k(x1 , ..., xs−1 )
(ñì. ëåììà 1). Ïîêàæåì, ÷òî
1) ìíîãî÷ëåí T = H(xs ) ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 ) íåïðèâîäèì íàä k ;
2) ìíîãî÷ëåí ñîäåðæèò âåòâëåíèå àëãåáðû A êàê àëãåáðû íàä k(x1 , ..., xs ) c
ïîëåì êîíñòàíò k .
1) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T ïðèâîäèì, òîãäà T = T1 T2 , ãäå Ti ∈ k[x1 , ..., xs ]. Åñëè
T1 è T2 ñîäåðæàò ïåðåìåííóþ xs , òî ìíîãî÷ëåí H(xs ) ïðèâîäèì êàê ìíîãî÷ëåí
îò xs . Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî T1 íå ñîäåðæèò xs . Íî òîãäà ìíîæåñòâî êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà T ∈ k[x1 , ..., xs−1 ][xs ] îáëàäàåò íåïðèâîäèìûì
îáùèì äåëèòåëåì èç k[x1 , ..., xs−1 . Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíò ìíîãî÷ëåíà T ïðè
xns åñòü ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 ), à ïðè xis ðàâåí
ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 )ui /vi , i = 0, ..., n − 1,
9
Ïóñòü S ∈ k[x1 , ..., xs−1 ] íåïðèâîäèìûé äåëèòåëü âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà T . Òîãäà S äåëèòåëü ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 ). Ñëåäîâàòåëüíî, S äåëèò ïî
êðàéíåé ìåðå îäèí vi . Âûáåðåì ìíîãî÷ëåí vj , äåëÿùèéñÿ íà S â ìàêñèìàëüíî áîëüøîé ñòåïåíè. Òîãäà S äåëèò ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 )uj /vj . Íî ïî âûáîðó vj S
íå äåëèò ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 )/vj . Òîãäà S äåëèòåëü uj , à, ñëåäîâàòåëüíî, uj è vj
èìååþò îáùèé äåëèòåëü â ïðîòèâîðå÷èè ñ íåñîêðàòèìîñòüþ uj /vj ñîêðàòèìàÿ.
Çíà÷èò, T íåïðèâîäèì.
2) Ïîêàæåì, ÷òî A âåòâèòñÿ T . Èìååì, A ∼ (H(xm ), G)N ⊗ B . Òîãäà
A ∼ (H(xs ) ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 ) ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 )l−1 , G)l ⊗ B =
( ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 )l−1 T, G)l ⊗ B.
Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê àëãåáðà B ïðîèçâåäåíèå ñèìâîë-àëãåáð, íå ñîäåðæàùèõ H(xs ), òî B íå âåòâèòñÿ â T . Êðîìå òîãî, ( ÍÎÊ(v0 , ..., vn−1 ))l−1 íà T íå
äåëèòñÿ, òàê êàê íå ñîäåðæèò ïåðåìåííîé xs . Èòàê, âåòâëåíèå â T îïðåäåëÿåòñÿ ýëåìåíòîì G. Ïðè÷åì, àëãåáðà A âåòâèòñÿ â T òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
G 6∈ (k(CT )∗ )l , ãäå CT ãèïåðïîâåðõíîñòü, çàäàâàåìàÿ óðàâíåíèåì T = 0. Ïóñòü
G ∈ (k(CT )∗ )l . Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäóòñÿ òàêèå ìíîãî÷ëåíû G1 , G2 ∈ k[x1 , ..., xs ],
÷òî G = Gl1 + G2 T . Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âìåñòî xs ýëåìåíò θ
ïîëó÷àåì
G(θ) = G1 (θ)l + G2 T (θ) = G1 (θ)l .
Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò (3). Òàêèì îáðàçîì, àëãåáðà A âåòâèòñÿ â T . Ëåììà äîêàçàíà.
Ëåììà 14 Ïóñòü k ïîëå íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè, H1 , . . . , Hs íåïðèâîäè-
ìûå ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûå ìíîãî÷ëåíû èç k[x1 , . . . , xs ]. Òîãäà íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ýëåìåíòîâ a ïîëÿ k , ÷òî ìíîãî÷ëåíû H i = Hi (x1 , . . . , xs−1 , a) ∈
k[x1 , . . . , xs−1 ] ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòû.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü Yij ⊂ Am
ìíîæåñòâà, çàäàíûå ñèñòåìàìè
k
óðàâíåíèé Hi = 0 è Hj = 0, i 6= j . Òoãäà dim Yij ≤ s − 2 è dim ∪i,j Yij ≤ s − 2.
Ðàññìîòðèì ∪i,j Yij ∩ Xa , ãäå Xa ãèïåðïëîñêîñòü, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì xs = a.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàéäóòñÿ ìíîãî÷ëåíû Hi è Hj , òàêèå, ÷òî H i è H j èìåþò
îáùèé äåëèòåëü h ∈ k[x1 , . . . , xs−1 ]. Ïóñòü ìíîæåñòâî Z ⊂ Ask îïðåäåëÿåòñÿ
óðàâíåíèåì h = 0 (ãäå h ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ìíîãî÷ëåí èç k[x1 , . . . , xs ]. Òîãäà
Z ∩ Xa ⊂ Yij ∩ Xa ⊂ ∪i,j Yij ∩ Xa .
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè H i = hi h è H j = hj h, òî Yij ∩ Xa çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè
xs = a, hi h = 0, hj h = 0.
Òàê êàê Z ∩ Xa çàäàíî óðàâíåíèÿìè xs = a è h = 0, òî Z ∩ Xa ⊂ Yij ∩ Xa . Òîãäà
s − 2 ≤ dim Z ∩ Xa = dim Yij ∩ Xa = dim ∪i,j Yij ∩ Xa ,
10
ïîñêîëüêó dim Yij ∩ Xa ≤ s − 2. Ñëåäîâàòåëüíî, dim ∪i,j Yij ∩ Xa = dim ∪i,j Yij =
s − 2.
Òàê êàê dim ∪i,j Yij ∩ Xa = s − 2, òî Xa ñîäåðæèò íåïðèâîäèìóþ êîìïîíåíòó
ìíîãîîáðàçèÿ ∪i,j Yij ðàçìåðíîñòè s − 2. Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî òàêèõ êîìïîíåíò
êîíå÷íî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà a ∈ k êàêèå-òî èç ìíîãî÷ëåíîâ H i è H j èìåþò îáùèé äåëèòåëü â k[x1 , . . . , xs−1 ].
Òîãäà äëÿ òàêèõ a ãèïåðïëîñêîñòü Xa ñîäåðæèò íåïðèâîäèìóþ êîìïîíåíòó
ìíîãîîáðàçèÿ ∪i,j Yij ðàçìåðíîñòè s − 2. Òàê êàê ÷èñëî êîìïîíåíò êîíå÷íî, òî
íàéäóòñÿ òàêèå ðàçëè÷íûå a1 è a2 èç k , ÷òî Xa1 è Xa2 ñîäåðæàò îäíó è òó æå
êîìïîíåíòó ðàçìåðíîñòè s − 2. Íî Xa1 ∩ Xa2 = ∅. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå
äîêàçûâàåò ëåììó.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î òåîðåìû 12. Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî s.  ñëó÷àå
s = 1 óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òåîðåìû 11. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî
ïðè s ≤ m − 1 è ðàññìîòðèì ñëó÷àé s = m.
Àëãåáðà A ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé íàä ïîëåì ôóíêöèé ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé P1k(x1 ,...,xm−1 ) .
Ââèäó ëåììû 13 âñå êîíå÷íûå òî÷êè âåòâëåíèÿ àëãåáðû A ñîîòâåòñòâóþò íåêîòîðûì äåëèòåëÿì ìíîãî÷ëåíà G. Òîãäà ïî òåîðåìå 11 àëãåáðà A ôàääååâñêè ýêâèâàëåíòíà íàä k(x1 , . . . , xm−1 ) àëãåáðå B èíäåêñà íå áîëüøåãî, ÷åì n[(dm +1)/2 =
nMm .
Ïóñòü A ∼ ⊗i (Ui , Vi )n , ãäå ìíîãî÷ëåíû Ui , Vi ∈ k[x1 , . . . , xm ] íåïðèâîäèìû è
ÍÎÄ(Ui , Vi ) = 1. Ïóñòü Hi , . . . , Hq âñå íåïðèâîäèìûå ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûå ìíîãî÷ëåíû, ïðèñóòñòâóþùèå â ñèìâîë-àëãåáðàõ èç ðàçëîæåíèÿ A. Ïî
ëåììå 14 íàéäåòñÿ òàêîå a ∈ k , ÷òî ìíîãî÷ëåíû H i âçàèìíî ïðîñòûìè. Òîãäà
Axm −a ∼ ⊗i (U i , V i )n è ÍÎÄ(U i , V i ) = 1. Ïîêàæåì, ÷òî îòñóòñòâèå âåòâëåíèÿ
A â H ∈ {H1 , . . . , Hl } âëå÷åò îòñóòñòâèå âåòâëåíèÿ Axm −a â H . Ïåðåïèøåì A â
âèäå
A ∼ (H, U )n ⊗ (⊗i (Si , Ti )n ),
ãäå ÍÎÄ(H, U ) = ÍÎÄ(H, Si ) = ÍÎÄ(H, Ti ) = 1. Òîãäà
Axm −a ∼ (H, U )n ⊗ (⊗i (S i , T i )n ),
è ñîãëàñíî âûáîðó a ÍÎÄ(H, U ) = ÍÎÄ(H, S i ) = ÍÎÄ(H, T i ) = 1. Òàê êàê A
íå âåòâèòñÿ â H , òî U ∈ (k(XH )∗ )n , ãäå ìíîæåñòâî XH ⊂ Am
k îïðåäåëåíî óðàâíåíèåì H = 0. Òîãäà íàéäóòñÿ òàêèå G1 , G2 ∈ k[x1 , . . . , xm ], ÷òî U = Gn1 + G2 H ,
n
÷òî âëå÷åò U = G1 + G2 H . Ðàññìîòðèì âåòâëåíèå àëãåáðû Axm −a â êàêîìíèáóäü íåïðèâîäèìîì äåëèòåëå h0 ìíîãî÷ëåíà H . Âåòâëåíèå â h0 îïðåäåëÿåòñÿ
ýëåìåíòîì U ∈ k(Yh0 ), ãäå Yh0 ⊂ Am
k çàäàíî óðàâíåíèåì h0 = 0. Íî òàê êàê
n
U = G1 + G2 H è h0 äåëèò H , òî U ∈ k(Yh∗0 )n , ò.å. âåòâëåíèÿ â h0 íåò. Òàêèì
îáðàçîì, åñëè âåòâëåíèå ó A â H îòñóòñòâóåò, òî ó Axm −a åãî íåò â äåëèòåëÿõ H . Ñëåäîâàòåëüíî, âñå êîíå÷íîå âåòâëåíèå àëãåáðû Axm −a ñîñðåäîòî÷åíî â
íåêîòîðûõ äåëèòåëÿõ ìíîãî÷ëåíîâ F i .
Èìååì,
Bxm −a = B ⊗ k(x1 , . . . , xm−1 )(xm )xm −a ∼ C ⊗k(x1 ,...,xm−1 ) k(x1 , . . . , xm−1 )(xm )xm −a ,
11
ãäå C íåêîòîðàÿ ö.ï.à. íàä k(x1 , . . . , xm−1 ). Òîãäà
i(C ⊗k(x1 ,...,xm−1 ) k(x1 , . . . , xm−1 )(xm )xm −a ) ≤ i(B) ≤ nMn
è
(B ⊗ (C −1 ⊗ k(x1 , . . . , xm )))xm −a ∼ 1.
Ðàññìîòðèì àëãåáðó Axm −a . Èìååì,
Axm −a ∼ D ⊗ k(x1 , . . . , xm−1 )(xm )xm −a ,
ãäå D ö.ï.à. íàä k(x1 , . . . , xm−1 ). Èç ëåììû 14 âûòåêàåò, ÷òî àëãåáðà D ìîæåò âåòâèòüñÿ òîëüêî â íåêîòîðûõ íåïðèâîäèìûõ äåëèòåëÿõ ìíîãî÷ëåíà G.
Çàìåòèì, ÷òî ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà G(a) ïî ïåðåìåííûì xj íå ïðåâîñõîäèò dj .
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ
Pm−1
i(D) ≤ nr+M1 +···+Ms−1 +min1≤i≤m−1 {
1=j6=i
Mj }
.
Äàëåå, A ⊗ (D−1 ⊗ k(x1 , . . . , xm ))xm −a ∼ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, àëãåáðû A ⊗
(D ⊗ k(x1 , . . . , xm )) è B ⊗ (C −1 ⊗ k(x1 , . . . , xm )) èìåþò òðèâèàëüíîå ïîïîëíåíèå
â k(x1 , . . . , xm−1 ))-ðàöèîíàëüíîé òî÷êå. Òàêèì îáðàçîì,
−1
A ∼ B ⊗ (D−1 ⊗ C −1 ⊗ L).
Òîãäà
Pm−1
i(A) ≤ nr+M1 +···+Mm +min1≤i≤m {
1=j6=i
Mj }
.
Çàìåòèì, ÷òî A ìîæíî ðàññìîòðèâàòü êàê ö.ï.à. íàä ïîëåì ôóíêöèé ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé P1k(x1 ,...,xl−1 ,xl+1 ,...,xm ) .  ýòîì ñëó÷àå îöåíêà äëÿ èíäåêñà áóäåò òàêîâà
Pm−1
i(A) ≤ nr+M1 +···+Mm +min1≤i≤m,i6=l {
1=j6=i
Mj }
.
Îòêóäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó
Pm−1
i(A) ≤ nr+M1 +···+Mm +minl {min1≤i≤m,i6=l {
nr+M1 +···+Mm +min1≤i≤m
Pm−1
1=j6=i
1=j6=i
Mj }}
Mj }}
=
.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
5 Ñëó÷àé ïðîåêòèâíîé êðèâîé
 ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîé ãëàäêîé ïðîåêòèâíîé êðèâîé C íàä k ñ ïîëåì ôóíêöèé k(C). Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû îñíîâàíû
íà ñëåäóþùåé òåîðåìå âàí äåí Áåðãà.
Òåîðåìà 15 ([12]) Ïóñòü C ãëàäêàÿ ïðîåêòèâíàÿ êðèâàÿ íàä k ñ k -ðàöèîíàëüíîé
òî÷êîé P è D íåðàçâåòâëåííàÿ àëãåáðà íàä k(C), òàêàÿ, ÷òî D⊗k(C)P ïîëíàÿ
ìàòðè÷íàÿ àëãåáðà íàä k(C)P , ãäå k(C)P ïîïîëíåíèå ïîëÿ k(C) ïî íîðìèðîâàíèþ, ñîîòâåòñòâóþùåìó òî÷êå P . Òîãäà i(D)|e(D)2g(C) , ãäå g(C) ðîä êðèâîé
C.
12
Ïåðâûé îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñîäåðæèòñÿ â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.
Òåîðåìà 16 Ïóñòü k è âñå êîíå÷íûå ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ k ÿâëÿþòñÿ Pn,r -ïîëÿìè,
k ñîäåðæèò ïðèìèòèâíûé êîðåíü ñòåïåíè n èç 1, C ãëàäêàÿ ïðîåêòèâíàÿ
êðèâàÿ íàä k , A öåíòðàëüíàÿ ïðîñòàÿ àëãåáðà íàä k(C) ýêñïîíåíòû n =
n
pn1 1 ...pq q ñ âåòâëåíèåì â çàìêíóòûõ òî÷êàõ P1 , ..., Ps êðèâîé C , L = k(P1 , ..., Ps )
mq
1
ïîëå îïðåäåëåíèÿ ýòèõ òî÷åê è t = pm
1 ...pq u ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ L íàä
k , ãäå ÍÎÄ(n, u) = 1. Òîãäà
mq
1
i(A) ≤ nr+N +2g(C) pm
1 ...pq ,
(4)
ãäå N ÷èñëî òî÷åê ïîëÿ k(C) íàä òî÷êàìè Pi .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Àëãåáðà A ⊗k(C) L(C) èìååò âåòâëåíèå òîëüêî â
N L-ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ. Âåòâëåíèå â ýòèõ òî÷êàõ îïðåäåëÿåòñÿ ýëåìåíòàìè
√
√
a1 , . . . , aN ïîëÿ L∗ . Òîãäà àëãåáðà B = A ⊗ L( n a1 , . . . , n aN ) íå ðàçâåòâëåíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå âàí äåí Áåðãà 16 i(B ⊗ BPn−1 ) ≤ n2g(C) , ãäå
√
√
BP = B ⊗ L( n a1 , . . . , n aN )(C)P ,
√
√
√
√
à P íåêîòîðàÿ L( n a1 , . . . , n aN )-ðàöèîíàëüíàÿ òî÷êà. Òàê êàê L( n a1 , . . . , n aN )
Pn,r -ïîëå, òî i(B) ≤ nr+2g(C) . Ðàñøèðèâ àëãåáðó A íà ðàñøèðåíèå ñòåïåíè
mq
N
1
ìåíüøåé ëèáî ðàâíîé tnN = pm
ïîëó÷èì àëãåáðó èíäåêñà, íå ïðå1 , . . . , pq un
m
r+2g(C)
r+N +2g(C) m1
âîñõîäÿùåãî n
. Îòêóäà, i(A) ≤ n
p1 ...pq q .
Âòîðîé ðåçóëüòàò îñíîâàí íà ñëåäóþùåé êîíñòðóêöèè. Ïóñòü k Pn,r -ïîëå,
C ïëîñêàÿ ïðîåêòèâíàÿ êðèâàÿ íàä k , îïðåäåëåííàÿ óðàâíåíèåì F (x, y) = 0,
èìåþùàÿ k -ðàöèîíàëüíóþ òî÷êó P è ïóñòü A ö.ï.à. íàä K(C) ýêñïîíåíòû
n
mq
1
n = pn1 1 ...pq q . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî t = pm
1 ...pq u, ãäå ÍÎÄ(n, u) = 1, ìèíèìàëüíàÿ èç ñòåïåíåé ìíîãî÷ëåíà F (x, y) ïî ïåðåìåííûì x è y , A ðàçâåòâëåíà
â çàìêíóòûõ òî÷êàõ P1 , ..., Ps êðèâîé C . Ïóñòü Q1 , ..., Qm ðàçëè÷íûå çàìêíóòûå òî÷êè ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé P1k , ëåæàùèå ïîä òî÷êàìè Pi è g ïðîèçâåäåíèå
âñåõ íåïðèâîäèìûõ óíèòàðíûõ ìíîãî÷ëåíîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíå÷íûì òî÷êàì, ëåæàùèì ïîä òî÷êàìè Pi .
Åñëè âñå òî÷êè Qi êîíå÷íûå, ïîëîæèì u = g(P )tn−1 , â ñëó÷àå g(P ) 6= 0, è
u = 1, ïðè g(P ) = 0. Ïóñòü H = gu.
Åñëè îäíà èç òî÷åê Qi ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîé è ÍÎÄ(deg g, n) = 1, òî ïîëîæèì H = gu, ãäå u îïðåäåëåíî êàê è âûøå. Åñëè ÍÎÄ(deg g, n) 6= 1, òî ïóñòü v
ëèíåéíûé ìíîãî÷ëåí, òàêîé, ÷òî ÍÎÄ(v, g) = 1, è m òàêîå íàèìåíüøåå öåëîå
ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ñî ñâîéñòâîì ÍÎÄ(deg g +m, n) = 1. Ïîëîæèì H = gv m u,
ãäå
(g(P )v m (P ))tn−1 , åñëè g(P )v m (P ) 6= 0;
u=
1, åñëè g(P )v m (P ) = 0.
√
Ïóñòü C1 êðèâàÿ ñ ïîëåì ôóíêöèé k(C1 ) = k(C)( nt H). Â âûøåïðèâåäåííûõ
îáîçíà÷åíèÿõ ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 17
i(A) = n2g(C1 )+r+1 .
13
(5)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Àëãåáðà A ⊗ k(C1 ) íå ðàçâåòâëåíà. Êðîìå òîãî,
ïî ïîñòðîåíèþ ìíîãî÷ëåíà H êðèâàÿ C1 îáëàäàåò k -ðàöèîíàëüíîé òî÷êîé. Òîãäà ââèäó òåîðåìû âàí äåí Áåðãà i(A ⊗ k(C1 )) ≤ nr+2g(C1 ) , ÷òî äàåò i(A) ≤
mq
1
nr+1+2g(C1 ) pm
1 , . . . , pq . Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ñïåöèàëüíûõ êðèâûõ è ýêñïîíåíò îöåíêà
(5) ÿâëÿåòñÿ áîëåå òî÷íîé, ÷åì (4).
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Albert A.A. Structure of algebras, American Mathematical Society. Colloquium
Publ. 24, New York: American Mathematical Society. XII. 1939.
[2] Deuring M. Algebren. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 41.
Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. VIII. 1968.
[3] Zheglov A. Wild division algebras over Laurent series elds // Preprint,
Humbold-Universitat, 2001-6.
[4] Colliot-Thelenem J.-L., Ojanguren M., Parimala R. Quadratic forms over
fraction elds of two-dimensional Henselian rings and Brauer groups of related
schemes // Prepublication d'Orsay, 2000-40.
[5] Brauer R. Untersuchungen uber die arithmetischen Eigenschften von Gruppen
linearer Substitutionen // Math. Zeitschrift. 1929. Bd. 31 P. 733-747.
[6] Saltman D. J. Division algebras over p-adic curves // J. Ramanujan Math. Soc.
1997. V.12. .21. P. 25-47.
[7] Saltman D. J. Correction to: Division algebras over p-adic curves // J.
Ramanujan Math. Soc. 1998. V.13, .2. P. 125-129.
[8] Colliot-Thelene J.-L., Sansuc J.-J. The rationality problem for elds of
invariants under algebraic groups (with special regards to the Brauer group) //
Lecture Notes from the 9th ELAM, Santiago de Chile. 1988.
[9] Ôàääååâ Ä. Ê. Ïðîñòûå àëãåáðû íàä ïîëåì àëãåáðàè÷åñêèõ ôóíêöèé îò
îäíîé ïåðåìåííîé, Òðóäû ÌÈÀÍ. 1951. Ò.38. Ñ. 321344.
[10] Colliot-Thelene J.-L., Swinnerton-Dyer P. Hasse principle and weak
approximation for pencils of SeveriBrauer and similar varieties // J. Reine
Angew. Math. 1994. Bd. 453. P. 49112.
[11] Grothendieck A. Le groupe de Brauer // Dix Exposes sur la Cohomologie des
Schemas. Amsterdam: North-Holland. 1968, P. 46188.
[12] van den Bergh M. Algebraic subelds and splitting elds of division algebras
over function elds // Ph.D. thesis. Universiteit Antwerpen, Wilrijk. 1985.
14
[13] Margolin G.L., Rehmann U., Yanchevskii V.I. Quaternion generation of the 2torsion part of the Brauer group of a local quintic // Algebraic K-theory and its
Applications. H. Bass, A.O.Kuku, and C. Pedrini. (Eds).Proc. of the Workshop
and Symposium, (1997), ICTP, Trieste, Italy. World Scientic, Singapore, New
Jersey, London, Hongkong. 1999. P. 503535.
[14] Bloch S. Torsion algebraic cycles, K2 , and Brauer goups of function elds //
Bull. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 80. P. 941945.
[15] Rehmann U., Tikhonov S.V., Yanchevskii V.I. Two-torsion of the Brauer goups
of hyperelliptic curves and unramied algebras over their function elds //
Communications in Algebra. 2001. Vol. 29. 9. P. 39713987.
[16] Steiner P. A. J. Groupe de Brauer des corps de fractions rationnelles à
coecients complexes // L'Enseignement Mathematique. 1984. T. 30. P. 115140.
[17] Òàíêååâ Ñ. Ã. Î ãðóïïå Áðàóýðà // Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ìàò. 2000. Ò. 64, 4. Ñ.
787-806.
[18] Òàíêååâ Ñ. Ã. Î ãðóïïå Áðàóýðà àðèôìåòè÷åñêîé ñõåìû // Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð.
ìàò. 2001. Ò. 65, 2. Ñ. 155-186.
15