логарифмическая функция и её приложения&quot

Логарифмическая функция и её приложения
Потому-то словно пена,
Опадают наши рифмы.
И величие степенно
Отступает в логарифмы.
Борис Слуцкий
Цели урока:
повторить свойства логарифмической функции;
обобщить, систематизировать и углубить знания по данной теме;
расширять представления учащихся о логарифмической функции,
применении ее свойств в нестандартных ситуациях;
развивать интерес к истории математики и ее практическим
приложениям, логическое мышление, математическую грамотность
речи;
воспитывать познавательную активность, чувство ответственности,
культуру общения, культуру диалога.
Оборудование: компьютер, мультимедийная презентация, логарифмическая
линейка, таблица логарифмов.
Заготовить: 1.Карточки с заданиями для построения графиков на компьютере.
2.Карточки для рефлексии.
3. Лог. таблицы, лог. линейку, счеты.
Оценки за урок:
1. Построение графика.
2. Тест.
3. Домашнее задание.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Здравствуйте! Как Ваше настроение? Настроены ли Вы на работу? Все
ли принадлежности приготовлены к уроку? Тогда в добрый путь! Улыбнемся
друг другу!
Сообщение темы и цели урока.
II. Актуализация опорных знаний
1. Театрализованный эпизод «Суд над логарифмами» записано у=Loga X
Y= -k Loga(X+m)+n
Секретарь:
Встать, суд идет!
Прошу всех сесть.
Судья:
Этот человек
утверждает,
Что логарифмы не
нужны.
И их не применяют.
Слово предоставляю
прокурору:
Объясните суть спора.
1-й свидетель:
Друзья, поверьте:
самая интересная, полезная
и лирическая
Это – функция
логарифмическая.
Спросите вы: «А чем
интересна?»
А тем, что обратна она
показательной
И относительно прямой y =
x, как известно,
Симметричны их графики
обязательно.
2-й свидетель:
Проходит график через
Прокурор:
точку (1;0)
Наш подсудимый глупо И в том еще у графика
рассуждает,
соль,
Истории, к тому же он
Что в правой
не знает!
полуплоскости он
Веками люди над их
«стелется»,
открытием трудились,
А в левую попасть и не
Облегчить вычисления надеется.
стремились.
С тем логарифм и был
3-й свидетель:
изобретен,
Но, если аргументы
И функция придумана
поменяем,
потом.
Тогда по правилам кривую
мы сдвигаем,
Судья:
Растягиваем, если надо, иль
Свидетелям теперь я
сжимаем
слово предоставлю,
И относительно осей
Их показания без
отображаем.
внимания не оставлю.
Сама же функция порою
убывает,
Порою по команде
возрастает.
А командиром служит ей
значенье ,
И подчиняется она ему
всегда.
2. Устные упражнения.
Прочитайте: loga b
1) Каким должно быть число , каким
число b?
2) Какой логарифм называется
десятичным?
3) Какой логарифм называется
натуральным?
Из данных функций назовите логарифмическую:
y=4x;
y=2.5x;
y=log5 25+x2;
y=ln(x+2);
y=log5 125+ ;
Какой график является графиком функции
y=log0.4 x?
Совпадают ли графики функций ?
f(x)=x+1 и
Ответ обоснуйте.
1. ДА
g(x)=2log2(x+1)
Составьте алгоритм построения графика
Y= -1/2 Log 3 (X-2)+5
2. НЕТ
Найдите область определения функции y=log2 (5-3х).
1. { -1 ; + }
2. { - ; -1 }
3. { 1 ; + }
4. { - ; 1 }
Учитель: Итак, мы повторили свойства логарифмической функции.
Расширим наши представления о логарифмической функции и применим ее
свойства в нестандартных ситуациях.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
3. Преобразование графика. Работаем на компьютерах - выводим на экран.
На доске строим графики, на компьютере дублируем построение графиков
№1, №7 по вариантам.
1. Параллельный
перенос вдоль
оси x
2. Симметричное
преобразование
относительно
оси y
3. Сжатие и
растяжение
вдоль оси y
4. Симметричное
преобразование
оносительно
оси
х(зеркальное
отображение)
5 Построение
графика
y=Ln(x+1)-1
6 Y= Ln| x|
7 Y=| Ln| x||
4. Самостоятельная работа. Тест(выполняется на персональных компьютерах)
III. Сообщения учащихся по теме урока и решение нестандартных
заданий (домашнее задание)
Мини-презентации:
1. Из истории логарифмов - Князев К.
2. Логарифмическая линейка - Алехин А.
3. Логарифмическая спираль - Матвеевская Е.
4. Логарифмы в психологии - Зюлковский А.
5. Логарифмы в музыке - Кислиденко И.
6. Логарифмические диковинки - Салижан А, Андреев В.
7. Прикладные задачи с логарифмами:
Задача 1- Зюлковский А.
Пусть вкладчик положил в банк 10 000 руб. под ставку 12% годовых. Через
сколько лет его вклад удвоится?
n
P 

Воспользуемся формулой сложных процентов: S  A1  100  , где A

начальная сумма вклада, P-процентная ставка (годовая), n-срок хранения
вклада (в годах), а S-накопительная (итоговая) сумма вклада.
Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле
n
12 

S  10.0001 

100  . Нам необходимо найти n, при котором

n
n
12 

12 

20.000  10.0001 
2  1 

 .
100  , т.е. решить уравнение
100 


Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа и
получить, что n=log. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к
основанию 10, пользуясь калькулятором.
n  log 1,12 2 
lg 2
0,3010 

 6,11 .
lg( 1,12) 0,0492 
Таким образом, удвоение вклада произойдет через 6 лет (с небольшим).
Логарифмы в биологии
В нашу современную жизнь вторгается
математика с ее особым стилем мышления,
становящимся сейчас обязательным и для
инженера, и для биолога.
Задача №2- Матвеевская Е.
В начальный момент времени было 8
бактерий, через 2 ч после помещения
бактерий в питательную среду их число
возросло до 100. Через сколько времени с
момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500
бактерий?
Решение.
q=8, t=2, p=100/8, B=500.
Значит, требуемое время соответствует значению выражения


2

lg
500

lg
8
2

1
,
7959



3
,
27
100
1
,
0970
 , то есть
lg
8
примерно через 3 ч. 15 мин
Задача №3- Павлова Е.
Известно, что соотношение между углеродом C12 и его радиоактивным
изотопом C14 во всех живых организмах постоянно. Период полураспада
углерода C14 составляет 5760 лет. Определите возраст остатков мамонта,
найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание
изотопа C14 в них составляет 26% от его количества в живом организме.
Решение.
14
Пусть изначально изотопа C было m, получим q = m, t = 5760, p = 1/2, B =
0,26m, и значит,
0
,
26
m
5760

lg







t
lg
B

lg
q
5760
lg
0
,
26
m

lg
m
5760
lg
0
,
26
576


0
,
58

m
x
 


 


1
1
lg
p

lg
2
lg
2
0
,
301

lg
2
Возраст останков мамонта составляет примерно 11200 лет.
Задача №4- Павлова Е.
Какова была численность населения города 10 лет тому назад, если в
настоящее время в городе проживает 300 тыс. человек, а ежегодный прирост
населения составляет 3,5%?
Решение.
Численность населения изменяется по формуле: B=B0(1+p/100)x.В нашей
задаче В=300 тыс.человек,р=3,5%,х=10 лет,B0-численность населения 10 лет
тому назад. Тогда 300=B0(1+3,5/100)10; 300=B0*1,03510
B0=300/1,03510 ≈212,7 тысяч человек.
Ответ: численность населения 10 лет назад равна 212,7 тыс. человек
Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением
атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря.
Задача №5-Трофименко Н
Зависимость давления атмосферы р ( в сантиметрах ртутного столба) от
выраженной в километрах высоты h над уровнем моря выражается формулой
p=76*2,7-h/8. Вычислим, каким будет атмосферное давление на вершине
Эльбруса, высота которой 5,6 км?
Решение.
Вычислим атмосферное давление на вершине Эльбруса высотой 5,6 км:
p=76*2,7-5,6/8 ≈37,92 мм рт. ст.
Ответ: 37,92 мм рт. ст.
IV. Домашнее задание (из вариантов ЕГЭ)
На «3» - 1), 2) и 3) задания; на «4» и на «5» - все задания.
1) Найти значение выражения:
5 * 5 log5 7;
2) Найти множество значений функции:
y = 3 - log1/3x2;
3) Найти производную функции:
y = 3.5x4 * e2x;
4) Найти корень уравнения (или сумму корней):
log5 (2x + 33) - log5 13 =
log5 x;
5) Найти произведения всех корней уравнения:
lg(7 - x - x2) = 0.
V. Подведение итогов урока
Рефлексия
В связи с чем возникла необходимость в логарифмах?
Что нового вы узнали о логарифмической функции и ее приложениях?
Кого из учёных, внёсших вклад в развитие логарифмов, вы запомнили?
Что надо учитывать, решая различные задания с логарифмами?
Ребята, на листочках изобразите возрастающую логарифмическую
функцию, если из сегодняшнего урока вы извлекли пользу и убывающую, если
урок для вас оказался совершенно пустым. При выходе из кабинета
приклейте листочек к стене.
Самоанализ урока
Если анализировать урок в свете перехода на новые стандарты обучения, то
можно сказать, что целью урока было получение образовательного продукта,
объектом, которого является логарифмическая функция и ее приложения,
субъектом образовательного процесса является обучающийся, способный
получить этот образовательный продукт.
Под образовательным продуктом данного урока можно понимать
1.Образовательную цель урока: умение строить графики различных
комбинаций логарифмических функций схематично (вручную) и точно( на
компьютере), понимать различия таких построений.
2. Развивающую цель урока: расширение кругозора обучающихся по
приложениям логарифмической функции: применении ее в экономике,
химии, физике, астрономии, биологии, географии и в жизни.
3.Воспитательную: Показать взаимосвязь математики с окружающей
действительностью. Формировать навыки общения, диалога, культуры
умственного труда.
Рассмотренные на уроке примеры презентации убедительно показывают, что
знание математики (в таком объёме) нужно не только человеку
непосредственно связанного с математикой, но и людям многих других
специальностей. Хочется обратить внимание на то, что умение проводить
расчёты является очень важной составляющей экономического анализа,
особенно в случаях с принятием оптимального решения.
Методы, использованные на уроке показали, что обучающиеся владеют
знаниями по теме «Логарифмическая функция» в объеме, превышающем
объем общеобразовательной программы, что характерно для обучающихся
профильного класса.
Работа на персональных компьютерах в данном классе не является
регулярной и систематической из-за отсутствия необходимого оснащения в
школе. Данный урок подготовлен специально для сегодняшнего семинара.
Рефлексия показала, что урок оказался полезным 100% обучающихся класса,
а значит, урок достиг поставленных целей в полном объеме.