Экстремум функции нескольких переменных

1) Найти экстремум функции z  x 3 
3 2
y  6 xy  34
2
Вычислим частные производные первого порядка и найдем критические точки:
z
  3 3 2

2

 x  y  6 xy  34   3 x  6 y
x x 
2

z
  3 3 2


 x  y  6 xy  34   3 y  6 x
y y 
2

 z
 x  0
;
 z
 0
 y
3 x 2  6 y  0
;

3
y

6
x

0

 x 2  2y  0
;

y

2
x

0

x 2  4 x  0

 y  2x
M1 0;0 ; M 2 4;8 ;
Исследуем точки на экстремум
2z
  z  


3 x 2  6y   6 x ;
 
2
x  x  x
x
2z
  z  
 
3y  6 x   3;

2
y  y  y
y
2z
  z  

3 x 2  6 y  6.
 
xy y  x  y

Для точки
 z
A 2
x
2

M1 0;0 , получаем:
 0;
M1
2z
C 2
y
 3;
M
2z
B
xy
 6
M
  AC  B 2  0  36  36  0
Значит в этой точке экстремума нет.
Для точки
A
2z
x 2
M 2 4;8 , получаем:
 24;
M1
C
2z
y 2
 3;
B
M
2z
xy
 6
M
  AC  B 2  24 * 3  36  36  0
A  24  0
Значит в этой точке экстремум есть. И это – минимум.
3
zmin  4 3  8 2  6 * 4 * 8  34  2
2
zmin  2
2) Найти экстремум функции
 x x  4   0

 y  2x
z= -2x2-4y2 –2xy+9x-5y+7
Вычислим частные производные первого порядка и найдем критические точки:
z


 2 x 2  4 y 2  2 xy  9 x  5 y  7  4 x  2y  9
x x
z


 2 x 2  4 y 2  2 xy  9 x  5 y  7  8 y  2 x  5
y y




 z
 x  0

;
 z

0

 y
 4 x  2 y  9  0
;

 8 y  2x  5  0
 4 x  2y  9
;

2 x  8 y  5
41

 x  14

19
y  
14

 41 19 
M  ; 
 14 14 
Исследуем точку М на экстремум
2z
  z  
 4 x  2y  9  4;

 
2
x  x  x
x
2z
  z  
 
 8 y  2x  5  8;

2
y  y  y
y
2z
  z  
 4 x  2y  9  2.

 
xy y  x  y
Для точки М, получаем:
2z
2z
2z
A  2  4; C  2  8; B 
xy
x M
y M
 2
M
  AC  B  32  4  28  0; A  4  0
Значит в этой точке экстремум есть – это максимум:
2
2
41  19 
41  19 
4620
 41 
 19 
zmax  2   4    2     9
 5    7 
14  14 
14
196
 14 
 14 
 14 
165
4
zmax 
 23
7
7
2
3) Найти экстремум функции z=xy(1-x-y)
z=xy(1-x-y)= xy-x2y-xy2
Вычислим частные производные первого порядка и найдем критические точки:
z


xy  x 2 y  xy 2  y  2xy  y 2  y1  2x  y 
x x
z


xy  x 2 y  xy 2  x  x 2  2xy  x1  x  2y 
y y




 z
0
1  2x  y  0
x  0
y1  2x  y   0
 x
; 
;  1
; 
;
 z
y

0


x
1

x

2
y

0
1

x

2
y

0

1


 0
 y
Исследуем на экстремум точки М1 (0;0) и М2 (1/3;1/3)
x 2  1 / 3
;

y 2  1 / 3
2z
  z  

y  2xy  y 2  2y;
 
2
x  x  x
x


2z
  z  
  

x  x 2  2xy  2x;
2
y  y  y
y
2z
  z  

y  2xy  y 2  1  2x  2y.
 
xy y  x  y
Для точки М1 , подставляя х=0, y=0, получаем:
2z
2z
2z
A  2  2 * 0  0; C  2  2 * 0  0; B 
 1 2 * 0  2 * 0  1
xy 1
x 1
y 1




  AC  B 2  0  1  1  0;
Значит экстремума в этой точке нет.
Для точки М2 получаем:
2z
A  2  2 * 1 / 3  2 / 3;
x 2
C
2z
y 2
B
 z
xy
 2 * 1 / 3  2 / 3;
2
2
 1  2 * 1 / 3  2 * 1 / 3  1  2 / 3  2 / 3  1 / 3
2
  AC  B 2  4 / 9  1 / 9  1 / 3  0; A  2 / 3  0
Значит в этой точке экстремум есть – это максимум:
1 1
1 1
1
z max  * 1    
3 3  3 3  27
4) . Найти экстремумы функции z 
1
9
x  2y при условии x 2  2y 2 
0
2
16
Запишем функцию Лагранжа
1
9 

x  2y  λ x 2  2y 2  
2
16 

Вычисляем частные производные и составляем систему уравнений:
F 1
F
  2λx;
 2  4λy;
x 2
y
Fx ; y  
 1
 2  2λx  0

 2  4λy  0 ;
 2
9
2
x  2y  16

Так как
 2F
 2λ;
x 2
то
1

x

4λ

1
y
;

2λ

 1  1  9
16λ 2 2λ 2 16
 2F
 4λ;
y 2
1

 x   4λ

1
;
 y
2λ

 9  9
16λ 2 16
1

x   4λ

1
y   ;
2λ

λ


1


1

x 1   4

1
y1   ;
2

λ

1
 1

1

 x2  4

1
 y2  ;
2

λ


1
 2

 2F
0
xy
d 2F  2λdx 2  4λdy 2
Если 1=1, то d2F>0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный минимум
1 1  1
9
zmin=     2    
2 4  2
8
Если 2=-1, то d2F<0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум
1 1  1 9
zmax=    2  
24 2 8