Б2.Б.4 Линейная алгебраx

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по дисциплине (модулю):
1.
Общие сведения
Кафедра
2.
Направление подготовки
3.
4.
Дисциплина (модуль)
Тип заданий
Количество этапов формирования
компетенций (ДЕ, разделов, тем и т.д.)
5.
М и ММЭ
080500.62 Бизнес-информатика. Общий
профиль.
Линейная алгебра
Контрольная работа
5
Перечень компетенций
ОК-1: владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей ее достижения
ПК-19: использовать основные методы естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности для теоретического и экспериментального исследования
ПК-20: использовать соответствующий математический аппарат и инструментальные
средства для обработки, анализа и систематизации информации по теме исследования
Критерии и показатели оценивания компетенций
Знания: основные понятия и утверждения математики, необходимые для изучения
математических дисциплин в дальнейшем, и их доказательства.
Умения: уметь решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал,
творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных
условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
Навыки: уметь придавать задачам конкретной предметной области математическую форму,
исследовать получающуюся математическую модель задачи и применять к ее решению
методы конкретных математических дисциплин.
Опыт деятельности: в результате освоения дисциплины студент должен приобрести опыт,
позволяющий, опираясь на традиционные подходы, получать положительные результаты,
отвечающие современным требованиям.
Этапы формирования компетенций
компетенций: ДЕ, разделов, тем и т.д.)
1.Матрицы и операции над ними.
(Количество
этапов
2.Определители.
3.Ранг матрицы. Системы линейных уравнений.
4.Линейные пространства.
5.Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения.
Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл)
формирования
«2» – 60% и менее
«3» – 61-80%
«4» – 81-90%
«5» – 91-100%
Типовое контрольное задание (контрольная работа, тест, кейс-задание и пр.)
1. Решить систему
методом Гаусса.
2. При помощи формул Крамера найти решение системы
3. Вычислить определитель
строки или какого-то столбца.
, разложив его по элементам какой-то
4. Найти обратную матрицу к матрице
.
5. Найти ранг матрицы
.
6. Решить с помощью обратной матрицы систему
7. Построить
закону
матрицу
,
линейного
где
оператора,
действующего
векторы
относительно канонического базиса.
8. Линейный
.
из
и
по
заданы
.
оператор
действует
в
закону
где
в
по
,
– координаты вектора
в базисе
,
,
. Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний
Образцы решения типовых заданий.
2
1. Решить систему
методом Гаусса.
Решение: выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных
преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой
ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной
диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент
равнялся
1 (это мы делаем для упрощения вычислений):
Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй
строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:
Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на
):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства
вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент
равнялся 1:
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:
Умножив третью строку на
, получаем:
Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем
нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить
элемент
, для этого от второй строки отнимем третью:
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке
прибавляем вторую:
3
Полученной матрице соответствует система
или
Ответ.
2. При помощи формул Крамера найти решение системы
Решение: вычисляем определитель матрицы системы:
. Так как определитель матрицы
системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет
единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:
. Таким образом,
Ответ.
3. Вычислить определитель
, разложив его по элементам какой-то
строки или какого-то столбца.
Решение: предварительно выполним элементарные преобразования над строками
4
определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для
этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от
четвертой - три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
. Полученный
определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца,
предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой
строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:
Ответ.
4. Найти обратную матрицу к матрице
Решение: вычисляем определитель матрицы:
.
. Так как
определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица
к
матрице находится по формуле:
матрицу
. Найдем присоединенную
, для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы
:
5
.
Таким образом, транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с
тем же номером):
.
Итак,
Ответ.
5. Найти ранг матрицы
.
Решение: с помощью элементарных преобразований над ее строками приведем
матрицу к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две
вторых:
.
От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей - две
четвертых:
.
Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей - три третьих:
6
.
Меняем местами первую и вторую строчки:
.
Далее четвертую и первую строки:
Ответ.
6. Решить с помощью обратной матрицы систему
Решение: запишем данную систему в матричной форме:
где
неизвестных,
обратную матрицу
- матрица системы,
,
- столбец
- столбец правых частей. Тогда
. Найдем
к матрице с помощью присоединенной матрицы:
. Здесь
- определитель матрицы ; матрица присоединенная матрица, она получена из исходной матрицы заменой ее элементов
их алгебраическими дополнениями. Найдем
дополнения к элементам матрицы
, для этого вычислим алгебраические
:
. Таким образом,
7
Определитель матрицы
.
А тогда
. Отсюда искомая матрица
Ответ.
7. Построить матрицу линейного оператора, действующего из
закону
, где векторы
относительно канонического базиса.
в
по
и
Решение: подействуем оператором на базисные векторы
заданы
:
;
;
.
8
Таким, образом,
– искомая матрица
8. Линейный оператор
действует в
по
закону
где
,
– координаты вектора
в базисе
,
,
. Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение: строим матрицу этого оператора:
.
Составляем систему для
определения координат собственных векторов:
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
.
.
Подставляя
или
как
в систему, имеем:
Так
, то зависимых переменных два, а свободное одно.
9
Пусть
– свободное неизвестное, тогда
Решаем эту
систему любым способом и находим общее решение этой системы:
Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так
как
.
Множество собственных векторов, отвечающих
собственному числу
, имеет вид:
, где
–
любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например,
положив
:
.
Рассуждая аналогично, находим
собственный вектор, отвечающий собственному числу
:
.В
пространстве
базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же
получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис
в
составить нельзя. Следовательно, матрицу
диагональному виду не можем.
линейного оператора привести к
Вопросы к зачету/экзамену
1. Системы линейных уравнений однородные и неоднородные. Основные понятия и
определения.
2. Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера Капелли.
3. Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений
ассоциированной с ней однородной системой.
4. Элементарные преобразования матриц. Ступенчатые матрицы.
5. Решения систем линейных уравнений методом последовательного исключения
неизвестных (метод Гаусса).
6. Операции над матрицами: сложение, умножение и умножения на скаляры из поля.
7. Свойства операций над матрицами.
8. Транспонирование матриц, свойства.
9. Обратная матрица, вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной
матрицы.
10. Обратная матрица, вычисление обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований.
11. Определитель квадратной матрицы.
12. Основные свойства определителей.
13. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или
столбцу.
14. Правило Крамера.
15. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
10
16. Определение линейного (векторного) пространства над полем. Примеры векторных
пространств. Простейшие свойства векторных пространств.
17. Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства.
Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
18. Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы
векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис векторного пространства.
19. Размерность векторного пространства. Свойства размерности.
20. Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно данного
базиса.
21. Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений.
22. Операции над линейными отображениями.
23. Матрица линейного оператора.
24. Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) .
25. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
26. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
27. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Простейшие
свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
28. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Характеристическое уравнение.
29. Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные условия для
того, чтобы оператор имел простой спектр.
11