Выпускная работа по «Основам информационных технологий» БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»
Магистрант
кафедры функционального анализа
Мукосей Ольга Ивановна
Руководители:
доцент Мазель Майя Хаимовна,
ст. преподаватель Кожич Павел Павлович
Минск – 2008 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ КО ВСЕЙ ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ ...................... 3
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ «ПРИМЕНЕНИЕ ИТ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ
АНАЛИЗЕ» .............................................................................................................. 4
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 4
ГЛАВА 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................. 5
ГЛАВА 2 МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ.................................................................... 5
ГЛАВА 3 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ......................................................................... 6
ГЛАВА 4 ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.................................................................. 15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... 15
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К РЕФЕРАТУ ...................................................................... 16
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ К РЕФЕРАТУ ................................................... 18
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ В ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ .. 19
ДЕЙСТВУЮЩИЙ ЛИЧНЫЙ САЙТ В WWW .................................................. 21
ГРАФ НАУЧНЫХ ИНТЕРЕСОВ ........................................................................ 22
ПРЕЗЕНТАЦИЯ МАГИСТЕРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ .................................... 24
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ...................................... 25
ПРИЛОЖЕНИЕ ................................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
2
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ КО ВСЕЙ ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ
ИТ – информационные технологии
ПО – программное обеспечение
WWW – World Wide Web
СИ - Международная система единиц
HTML - Hypertext Markup Language
3
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ
«ПРИМЕНЕНИЕ ИТ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ»
Введение
Современную жизнь невозможно представить без использования
информационных технологий. Любая отрасль знаний использует скорость и
мощность компьютера. Так исторически сложилось, что информатика
развивается неразрывно с другими областями науки, удовлетворяя их нужды
и потребности. В частности, и для решения математических задач существует
множество пакетов, как узкоспециализированных, так и для решения
широкого
класса
проблем.
Большинство
пакетов
являются
узкопрофильными: анализ статистических данных, решение определенного
типа уравнений. Только немногие способны решать широкий спектр задач. К
таким относятся Mathematica, Mathcad, Maple, MathLab, Derive, Eureka. Эти
системы содержат большой набор готовых к употреблению алгоритмов и
программ, позволяющих решать задачи математического анализа, линейной
алгебры, геометрии, дифференциальных уравнений. К настоящему моменту в
лидерах оказались Mathematica и Maple из-за их действительно уникальных
возможностей и MathCad, благодаря простоте в использовании и усвоении.
Возможности этих трех пакетов отличаются не только между собой, но и
между их версиями. Поэтому сравнивать эти пакеты достаточно сложно.
Однако любая из программ не заменяет математического мышления. Прежде
чем применять какую-либо формулу, нужно проанализировать выполнение
условий ее применимости и, при необходимости, преобразовать задачу так,
чтобы можно было ее употребить. Человек, использующий средства любого
пакета, должен хорошо разбираться в математической постановке вопроса и
владеть возможностями самой программы. Иначе можно получить совсем
иной результат. Современные программные пакеты могут выполнять
сложнейшие аналитические вычисления, но они не способны на гениальные
догадки.
В данной работе представлен краткий обзор пакетов Mathematica,
MathСad, Maple, описаны их преимущества и недостатки. Показаны примеры
решения задач по функциональному анализу в пакете Mathematica и
возникающие при этом проблемы.
4
Глава 1 Обзор литературы
Применения ИТ при решении задач в настоящее время является
актуальный вопросом. Достаточное количество книг посвящено этой
тематике. В пособии Л.Л. Голубевой «Компютерная математика.
Символьный пакет Matematica» изучаются вопросы идеологии
символьных пакетов, на примере данного пакета, знание которых
позволит отыскивать при необходимости нужные средства для
теоретических исследований или решении конкретных задач.
В «Электронном пособии по высшей математике на базе системы
Mathematica» А.А. Кулешова изложен курс высшей математике.
Приведено множество примеров решения в пакете Mathematica задач
высшей математики и других дисциплин.
Нужно отметить также такие издания, как «Информационные
технологии в математике» Ю.Ю. Тарасевич, где рассматриваются вопросы,
касающиеся решения математических задач с использованием пакетов Maple
и MathCAD, подготовки математических и естественнонаучных текстов с
использованием издательской системы LaTeX. Так же в книге приводятся
необходимые сведения по численным методам.
В монографии В. Дьяконова «Mathematica 5.1/5.2/6 в математических и
научно-технических расчетах» впервые описано применение трех версий
системы Mathematica 5.1, 5.2 и 6.0 – мирового лидера среди универсальных
систем компьютерной математики. Особое внимание уделено описанию
возможностей новейшей системы Mathematica 6.0, в ядро которой добавлено
около тысячи новых функций.
Ознакомившись с найденной литературой, можно сделать вывод, что
до сих пор не хватает полноценного сравнения математических пакетов. По
этой причине основной задачей для достижения поставленной цели реферата
является:
выбор результативного символьного пакета для решения задач по
функциональному анализу.
Глава 2 Методика исследования
В ходе написания работы автором использовались, прежде всего,
общенаучные логические методы исследования, такие как: анализ и синтез,
индукция и дедукция, аналогия и сравнение. В частности, данные методы
использовались автором в анализе Интернет-ресурсов, посвящённых
предмету работы, в выявлении положительных и отрицательных сторон
5
математических пакетов при решении разнообразных задач в
рассматриваемой области.
Работа соответствует ключевым принципам методологии: принцип
комплексного подхода лежит в основе структурирования работы и анализа
соответствующих глав, равно как и принцип объективности, служащий
достижению поставленных целей.
Глава 3 Основные результаты
1. Обзор программных пакетов
Mathematica
Пакет Mathematica, разработанный компанией Wolfram Reseach Inc.,
применяется при расчетах в современных научных исследованиях и получил
широкую известность в научной и образовательной среде. Несмотря на свою
направленность на серьезные математические вычисления и специфику
языка, Mathematica проста в освоении и может использоваться довольно
широкой категорией пользователей.
Пакет состоит из двух частей – ядра, которое производит вычисления,
выполняя заданные команды, и интерфейсного процессора, который
определяет внешнее оформление и характер взаимодействия с пользователем
и системой. В системах класса Mathematica ядро математических операций
машинно-независимое. Поэтому оно позволяет переносить систему на
различные компьютерные платформы. Для переноса системы на другую
компьютерную платформу используется программный интерфейсный
процессор Front End. Именно он определяет, какой вид имеет
пользовательский интерфейс системы, то есть интерфейсные процессоры
систем Mathematica для других платформ могут обладать своими нюансами.
Ядро сделано достаточно компактным для того, чтобы можно было очень
быстро вызвать из него любую функцию. Для расширения набора функций
служат библиотека (Library) и набор пакетов расширения (Add-on Packages).
Пакеты расширений готовятся на собственном языке программирования
систем Mathematica и являются главным средством для развития
возможностей системы и их адаптации к решению конкретных классов задач
пользователя.
Интерфейс пакета строится из нескольких базовых понятий: тетрадь
(Notebooks), ячейка (Cell) и палитра (Palletes). Тетрадью называется файл, с
которым работает пользователь. В нем создаются и вычисляются формулы,
строятся графики и таблицы. При желании, в тетради можно даже проиграть
звуковой файл или фильм. Тетрадь состоит из ячеек. Все информация,
которая есть в тетради, храниться в его ячейках. Как только в пустом новом
6
файле набирается хотя бы один символ, Mathematica создаст для него ячейку.
Все ячейки можно разделить на три типа: ячейки ввода – в них задаются
команды (формулы), которые будут вычислены; ячейки результата, в
которых выводятся результаты вычислений; другие ячейки – ячейки с
текстом, заголовки и все остальное, что вводит пользователь и вычислять не
надо. Необходимые числа, буквы, символы можно вводить как с клавиатуры
с помощью комбинаций клавиш, так и с помощью многочисленных палитр.
Палитры содержат окна с кнопками, которые выполняют различные
действия: от добавления греческой буквы, до раскрытия скобок в
алгебраическом выражение. Если возникают какие - то вопросы, то можно
обратиться к встроенной электронной справочной системе Help, которая
содержит очень качественное описание функций с примерами, а также
учебник.
Главным
достоинством
Mathematica
является
выполнение
арифметических действий в символьном виде, то есть так, как это делает
человек. При работе с дробями и корнями программа не приводит их в
процессе вычислений к десятичному виду, а производит необходимые
сокращения и преобразования в столбик, что позволяет избежать ошибок при
округлении. Кроме того, Mathematica cодержит библиотеки и для численных
вычислений. Например, функция Solve ищет решение в символьном виде, а
NSolve в численном. Пакет обладает очень большим набором функций. Он
способен решать упражнения из линейной алгебры (включая такие
нетривиальные вещи как приведение квадратичных форм к каноническому
виду, приведение линейного оператора к жордановой форме),
математического анализа (вычислять определенные, неопределенные,
криволинейные интегралы, пределы числовых и функциональных
последовательностей),
теории
дифференциальных
уравнений
(как
обыкновенных, так и в частных производных). Может совершать
алгебраические и логические операции. По сути дела все алгоритмы,
содержащиеся в курсе высшей математики технического вуза, заложены в
память компьютерной системы Mathematica.
В пакете Mathematica можно программировать. Отличие программы от
других универсальных языков программирования высокого уровня в том,
что, во – первых - работа проходит интерактивно, т.е. пользователь вводит
команды и тут же видит на экране результат их выполнения. Однако можно
пользоваться и программными вычислениями. Во – вторых, здесь не надо
объявлять типы переменных, величины списков и матриц, управлять
распределением памяти, что очень удобно. В – третьих, не надо
придерживаться одного стиля программирования.
7
Mathematica обладает очень большими графическими возможностями.
Результаты можно отображать в виде диаграмм и графиков, 3D-графиков,
контурных графиков, плотностных графиков, параметрических графиков,
видеографиков, 3D-видеографиков, Log-графиков, полярных графиков,
графиков неявных функций.
Mathematica имеет развитые средства форматирования текста. В пакете
можно разбивать тетрадь на главы и разделы, вводить поясняющий текст,
задавать цвет, шрифт, начертание, стиль ячейке, фразе в ячейке или всему
листу. Для любой ячейки ввода можно сделать рамку произвольного вида и
цвета.
Mathematica может читать данные, хранящиеся во всевозможных
форматах: GIF, EPS, JPEG,AU,WAV,HDF. Кроме того, можно создавать
готовые к размещению на сайте HTML-программы и графические файлы,
сохранять выражения и целые тексты в форме ввода TeX.
Таким образом, преимущества пакета Mathematica - это возможность
символьных вычислений, решения задач различного уровня сложности,
реализации анимационных графиков, воспроизводства звуков, наличие
справочной системы с большим количеством практических примеров,
развитого языка программирования.
Недостаток - специализированный язык записи операторов и
программирования, что очень сложно для людей не очень разбирающихся в
математике и программировании. Прежде чем начать работу в пакете,
необходимо изучить специальную литературу или Help.
Maple
Программа
Maple
предоставляет
пользователю
удобную
интеллектуальную среду для математических исследований любого уровня и
пользуется особой популярностью в научной среде. Символьный анализатор
программы Maple является наиболее сильной частью этого ПО.
Пакет Maple состоит из ядра (процедур, написанных на языке С и
хорошо оптимизированных), библиотеки, написанной на Maple-языке, и
развитого внешнего интерфейса. Ядро выполняет большинство базовых
операций, а библиотека содержит множество команд — процедур,
выполняемых в режиме интерпретации.
Интерфейс Maple основан на концепции рабочего поля (worksheet) или
документа, содержащего строки ввода-вывода, текст, а также графику.
Работа с пакетом происходит в режиме интерпретатора. В строке ввода
пользователь задает команду, нажимает клавишу Enter и получает результат
— строку (или строки) вывода либо сообщение об ошибочно введенной
команде. Тут же выдается приглашение вводить новую команду и т.д.
8
Рабочие окна (листы) системы Maple могут быть использованы не только как
интерактивные среды для решения задач, но и как система для подготовки
технических документов. Для облегчения документирования и организации
результатов вычислений в системе имеются опции разбиения на параграфы и
разделы, а также добавления гиперссылок. Гиперссылка является
навигационным средством. Одним щелчком мыши по ней можно перейти к
другой точке в пределах рабочего листа, к другому рабочему листу, к
странице помощи, к рабочему листу на Web-сервере или к любой другой
Web-странице. Также система Maple, подобно другим текстовым редакторам,
поддерживает опцию закладок. В пакете имеются все возможности
форматирования текста: шрифты, размер шрифта, начертание, цвет,
выравнивание по центру, по левому, правому краю. Средства пакета
позволяют даже создавать звук. Также можно организовывать презентации,
публиковать документы в Интернете.
Систему Maple можно использовать как очень мощный калькулятор
для подсчетов по заданным формулам и как чрезвычайно сильный пакет для
различного рода вычислений. Достоинство Maple - это способность
выполнять арифметические действия в символьном виде. Maple
поддерживает сотни специальных функций и чисел, встречающихся во
многих областях математики, науки и техники. Программу можно
использовать для решения задач дифференциального и интегрального
исчисления, вычисления пределов, разложений в ряды, суммирования рядов,
умножения, интегральных преобразований (таких как преобразование
Лапласа, Z-преобразование, преобразование Меллина или Фурье), а также
для исследования непрерывных или кусочно-непрерывных функций. Maple
может вычислять пределы функций, как конечные, так и стремящиеся к
бесконечности, а также распознает неопределенности в пределах. В этой
системе можно решать множество обычных дифференциальных уравнений
(ODE), а также дифференциальные уравнения в частных производных (PDE),
в том числе задачи с начальными условиями (IVP) и задачи с граничными
условиями (BVP). Одним из наиболее часто используемых в системе Maple
пакетов программ является пакет линейной алгебры, содержащий мощный
набор команд для работы с векторами и матрицами. Maple может находить
собственные значения и собственные векторы операторов, вычислять
криволинейные координаты, находить матричные нормы и вычислять
множество различных типов разложения матриц. В Maple включены также
пакеты подпрограмм для решения задач евклидовой и аналитической
геометрии, теории чисел, теории вероятностей и математической статистики,
комбинаторики, теории групп, численной аппроксимации и линейной
оптимизации (симплекс-метод), а также задач финансовой математики и
9
многих других. Для технических применений в Maple включены
справочники физических констант и единицы физических величин с
автоматическим пересчетом формул.
Система Maple поддерживает как двумерную, так и трехмерную
графику. Можно представить явные, неявные и параметрические функции, а
также многомерные функции и просто наборы данных в графическом виде,
двумерные графики сразу нескольких функций, создавать графики
конформных преобразований функций с комплексными числами и строить
графики функций в логарифмической, двойной логарифмической,
параметрической, фазовой, полярной и контурной форме. Можно графически
представлять
неравенства,
неявно
заданные
функции,
решения
дифференциальных уравнений. Maple может строить поверхности и кривые в
трехмерном представлении, включая поверхности, заданные явной и
параметрической функциями, а также решениями дифференциальных
уравнений. При этом есть возможность представления в виде двух- или
трехмерной анимации.
При программировании система Maple использует процедурный язык
4-го поколения (4GL). Этот язык специально предназначен для быстрой
разработки математических подпрограмм и пользовательских приложений.
Синтаксис данного языка аналогичен синтаксису универсальных языков
высокого уровня: C, Fortran, Basic и Pascal. Maple может генерировать код,
совместимый с такими языками программирования, как Fortran, C, и с
языком набора текста LaTeX. Одно из преимуществ этого свойства —
способность обеспечивать доступ к специализированным числовым
программам, максимально ускоряющим решение сложных задач. Например,
используя систему Maple, можно разработать определенную математическую
модель, а затем с ее помощью сгенерировать код на языке C,
соответствующий этой модели.
Таким образом, преимущества Maple — это символьные вычисления,
что дает большую точность, возможность доступа к специализированным
числовым программам, огромное количество специальных функций и чисел,
встроенных пакетов, что позволяет производить вычисления любой
сложности и направленности.
Недостаток специализированный язык записи операторов и
программирования.
MathCad
Программа MathCad — это простой, но продвинутый редактор
математических текстов с широкими возможностями символьных
вычислений и очень простым интерфейсом. MathCad как такового языка
10
программирования не имеет, движок символьных вычислений заимствован
из пакета Maple. Все выражения записываются в естественной
математической форме. Вычисления происходят в автоматическом режиме,
по мере пролистывания документа (принцип живых страниц). Текст,
формулы и графики можно свободно сочетать, передвигая их как
выделенные штриховой рамкой объекты, и помещать их в произвольной
точке экрана; при изменении хотя бы в одном из объектов последовательно
пересчитываются все остальные данные. Кроме этого можно устанавливать
метки табуляции, центрировать и выравнивать напечатанное, а также для
наглядности выделять фрагменты текста и проверять орфографию, можно
экспортировать содержимое рабочей области в Word в формате RTF. Пакет
располагает широким набором панелей интерфейса, содержащих
практически все известные в элементарной и высшей математике операторы
и нотационные элементы формул.
Пакет имеет расширенный Help: содержит справочник по основным
математическим и физико-химическим формулам и константам, которые
можно автоматически переносить в документ без опасения внести в них
искажения, нередкие при ручной работе, множество иллюстраций, примеры
решений конкретных задач. Также программа обладает функцией обучения
использованию, целым рядом дополнительных модулей. Обновление этой
программы происходит очень часто. Новые версии MathCad появляются
практически раз в полгода, причем каждая из версий (6 / 7 / 8.0 / 8.1 / 2000 /
2001 и т.д.) появляется в трех изданиях: Student, Standard, Professional.
Однако каждая новая версия не отличается от предыдущей коренной
переработкой, так как это у пакетов Maple, Mathematica.
Математические возможности MathCad значительно уступают
системам Maple, Mathematica. Для небольшого объема вычислений MathCad
идеален — здесь все можно проделать очень быстро и эффективно. Однако с
огромными, сложными примерами программа справится не в состоянии. Тем
не менее пакет имеет множество встроенных функций, которые позволяют
решать задачи практически из любой области. Это функции Бесселя
,функции комплексных чисел, функции решения дифференциальных
уравнений и систем (задача Коши, краевая задача, уравнения в частных
производных), функции типа выражения, функции работы с файлами,
функции преобразований Фурье, гиперболические функции, функции
обработки
образов,
функции
интерполяции
и
экстраполяции,
логарифмические и экспоненциальные функции, функции теории чисел и
комбинаторики, функции ступенек и условия, функции плотности
вероятности, функции распределения вероятности, функции случайных
чисел, функции регрессии и сглаживания, функции обработки сигналов,
11
функции решения алгебраических уравнений и систем, а также решения
оптимизационных задач, функции сортировки, статистические функции,
тригонометрические функции, функции округления и работы с частью числа,
функции работы с векторами и матрицами, функции волнового
преобразования. Кроме того, что очень хорошо для инженеров, физиков,
пакет Mathcad поддерживает основные системы физических величин (СИ,
килограмм-метр-секунда, грамм-сантиметр-секунда и британскую систему
единиц) и автоматически отслеживает конвертирование между различными
системами.
Пакет имеет хорошие графические возможности. Результат можно
изобразить в форме 2D и 3D графиков. Вычерчивание графиков возможно в
декартовой и полярной системе координат, сами графики могут быть
представлены в виде кривых, поверхностей, столбиковых, разнесённых,
секторных и векторных диаграмм. Любые составляющие документа в
MathCad, включая численные данные, графики и изображения, могут быть
анимированы.
Пакет имеет удобные возможности импорта/экспорта данных.
Например, можно работать с электронными таблицами Microsoft Excel прямо
внутри MathCad-документа. Есть возможность сохранения документов как в
виде HTML-файлов (для выдачи результатов в Интернет), так и в качестве
Word-документов.
Итак, преимущества MathCad – это простота, естественная запись
математических формул и, как следствие этому, отсутствие необходимости
изучения специализированного языка, возможность оформления документа в
любой форме, наличие справочника математических формул и констант,
способность работы на платформах с самыми скромными вычислительными
и системными ресурсами.
Недостаток, очень большой для математиков, - отсутствие
возможности решения сложных, специфических, с огромными вычислениями
задач.
В общем, MathCad - это простая и удобная программа, которую можно
рекомендовать широкому кругу пользователей, в том числе не очень
разбирающимся в математике и программирование.
Сравнение систем непродуктивно. У каждой программы есть свои
достоинства и недостатки, свои приверженцы. К тому же сопоставления
Mathematica, Maple и MathCad вообще не имеют смысла. Разработчики
каждого из пакетов преследовали разные цели. Для разработчиков
Mathematica, Maple
- это возможность решения специфических,
12
узконаправленных, серьезных, с большими вычислениями задач. Для
разработчиков MathCad – это простота в использовании, наглядность,
ориентация на широкую аудиторию, включая и тех, кто не очень
ориентируется в математике и программировании. Поэтому каждый сам для
себя выбирает, какой пакет использовать в силу своих потребностей, знаний,
умений разбираться в новом. Конечно, те, кто всерьез применяет системы
компьютерной математики, должны работать с несколькими системами.
2. Проблема применения Mathematica и любого другого пакета для
решения задач по функциональному анализу состоит в том, что все
программы проводят вычисления над полем действительных чисел R.
Функциональный анализ же работает с метрическими, топологическими,
гильбертовыми, банаховыми пространствами. Поэтому найти тот же предел,
определить, является функция непрерывной или разрывной, решить
интегральное уравнение без дополнительных действий нельзя. А при
вычислении интеграла Лебега вообще программные пакеты мало чем
помогут.
nt
n
Пример. Найти предел последовательности xn (t) = t точек
метрического пространства С[0, 2].
Решение. Если в пакете Mathematica выполнить действие
Limit
nt
,n
,
то программа выдаст ответ 0.
Однако предел последовательности xn (t) точек метрического
пространства С[0, 2] равен не 0, а t. Действительно, оценим расстояние
между xn и пределом а = t в пространстве С[0, 2].
( xn, a) = max xn (t )  a .
n
t
0t 2
Поскольку встроенные функции (Max, Maximize, FindMaximum,
NMaximize) Mathematica не ищут максимум функций, содержащих
независимые переменные (в нашем случае n), то будем искать его по
стандартному алгоритму.
Вычислим разность xn (t )  a :
m t_ : Together
n t
n
t
t ;
m t
Она равна
t2
n t
Найдем нули производной от разности xn (t )  a :
Solve D m t , t
t
0 , t
0, t
2n
13
-2n  [0, 2]. Поэтому ищем только значения функции на концах
отрезка, то есть в точках t = 0, t = 2.
m 0
0
l
m 2
4
4
Понятно, что максимум находится в t = 2 и он равен 2  п . Находим
2 n
предел этого максимума
Limit l, n
0
Значит, действительно предел последовательности xn (t) точек
метрического пространства С[0, 2] равен t.
Пример. Выяснить является ли отображение F:l1  C, заданное
F ( x)  x
(1)   x ( k )
Формулой
непрерывным,
равномерно непрерывным, удовлетворяющим условию Липшица.
Решение. Покажем, что данное отображение непрерывное, то есть надо
показать

 | x ( k )  x ( k ) |    F ( x)  F ( x )  
0
0
k
 > 0  (, x0) > 0 1
.
Зададим в Mathematica отображение F(х).

3
k 1
f x_ :
3
x 1
x k
k 1
Найдем расстояние между точками
r
Abs f x
Abs
f x0
x k
x0 k
k 1
3
x 1
x0 1
3
k 1
Но модуль от суммы меньше суммы модулей, поэтому верно
x k
x0 k
Factor
x 1
3
x0 1
x 1
2
3
k 1
x k
x0 k
x 1
x0 1

k 1
 | x(k )  x
x 1 x0 1
x0 1
(k ) |  
2
По условию
, отсюда, можно заменить в предыдущем
выражении сумму на  и, так как сумма меньше , то и каждое слагаемое
меньше, значит, заменяем и x(1)  x0 (1) на , одновременно преобразуем
вторую скобку.
0
k 1
x 1
x0 1
2
3 x 1 x0 1
2
pr
1
e
2
3
3
x0 1
Factor
x0 1
ReplaceAll pr,
1
2 3 x0 1
Solve e
,
2
3 x0 1
14
Таким образом, отображение F(х) непрерывное
Покажем, что F(х).не равномерно непрерывное. Для этого надо
привести контрпример. Понятно, что никакой пакет не в состоянии его
сгенерировать. Необходимо самим придумать что-нибудь подходящее.
xx : n, 0,две
0, 0,
0, 0
Возьмем
последовательности
yy :
n 1 n, 0, 0, 0, 0, 0
Оценим расстояние между ними:
6
r
xx k
1
yy k
k 1
n
Limit r, n
0
Оценим расстояние между F(хх) и F(уу):
f x_
:
x 1
3
6
x k
k 1
f
Abs f xx
Abs
Limit
1
4
n3
n
f yy
Expand
3n
f, n

Значит, F(х) не равномерно
удовлетворяет условию Липшица.
непрерывное, а отсюда оно не
Глава 4 Обсуждение результатов
Как видно из примеров, пакет Mathematica мало чем помогает при
решении задач по функциональному анализу. Возникает ряд трудностей.
Необходимо в совершенстве владеть специфическим языком пакета, нет
единого алгоритма решения примеров несмотря на одинаковую постановку
вопроса. Все основные шаги к решению принимаются пользователем. Пакет
бесполезен при решении задач на приведение контрпримеров. В данном
случае его можно использовать только для проверки гипотезы.
Хотелось бы, чтобы в пакете было возможным производить
вычисления хотя бы в основных специфических пространствах, чтобы какието общие закономерности решений были выявлены и реализованы.
Заключение
Применение ИТ в математических исследованиях открыло перед
математиками огромные возможности. Анализируя возможности, специфику,
15
достоинства и недостатки пакетов MathCAD, Maple и Mathematica, можно
сказать, что последний пакет наиболее универсален. Рассмотрев пакет
Mathematica на примере решения задач функционального анализа можно
сделать следующие выводы, что данный пакет содержит операторы для
базовых вычислений и многие алгоритмы, отсутствующие в стандартных
функциях, можно реализовать посредством написания собственной
программы Mathematica. Данный пакет обладает огромными графическими и
мультимедийными возможностями, с помощью которых можно
визуализировать полученные результаты. С помощью описываемого пакета
можно избежать многих ошибок при математических вычислениях. Но при
этом необходимо хорошо разбираться в математической постановке вопроса
и владеть возможностями самой программы. Не одна программ не заменяет
математического мышления. Прежде чем применять какую-либо формулу,
нужно проанализировать выполнение условий ее применимости и, при
необходимости, преобразовать задачу так, чтобы можно было ее употребить.
Список литературы к реферату
1. Дьяконов, В. Mathematica 5.1/5.2/6 в математических и научнотехнических расчетах / В. Дьяконов. – Солон-пресс, 2008. – 744 с.
2. Гандер, В.
Решение задач в научных вычислениях с
применением Maple и Matlab / В. Гандер, И. Гржебичек. – Москва:
Вассамедина, 2005. – 520 с.
3. Тарасевич, Ю.Ю. Информационные технологии в математике /
Ю.Ю. Тарасевич. – Москва: СОЛОН-Пресс, 2003. – 144 с.
4. Режим доступа: http://www.matsoft.ru. – Дата доступа: 22.11.2008.
5. Иллюстрированный самоучитель по Maple [Электронный
ресурс]/
Библиотека
plusby.com.
–
Режим
доступа:
http://maple.plusby.com/. – Дата доступа: 12.11.2008.
6. Режим доступа: http://www.wolfram.com. – Дата доступа:
22.11.2008.
7. NoNaMe – С миру по нитке [Электронный ресурс] / Проект
NoNaMe. – Режим доступа: http://nitki.nnm.ru/ – 25.11.2008.
8. CIT Forum [Электронный ресурс] / CIT Forum. – Режим доступа:
http://www.citforum.ru/. – Дата доступа: 20.11.2008.
9. Википедия,
свободная
энциклопедия,
которую
может
редактировать каждый [Электронный ресурс] / Википедия. – 2008. –
Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/. – Дата доступа: 01.12.2008.
16
10. Wright, E.M. On the coefficients of power series having exponential
singularities / E.M. Wright // J. London Math. Soc. – 1933. – №8 – P.71-79.
17
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ К РЕФЕРАТУ
M
Maple ................................................................................... 4,5,8,9,10, 11, 12, 15, 16
MathCAD ....................................................................................... 4,5, 10, 12, 13, 15
Mathematica ............................................................... 4,5,6, 7, 8, 10, 11,12,13, 15,16
18
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ В ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ
ИССЛЕДОВАНИЯ
1. http://library.wolfram.com – на этом сайте вы найдете различные
пособия в формате *.nb для начинающих. Также здесь собраны
примеры использования программы Mathematica во взаимодействии с
другими программами, которые разбиты на группы по областям
применения.
2. http://vak.org.by – сайт Высшей аттестационной комиссии
Республики Беларусь. Здесь собраны все нормативные акты,
касающиеся оформления и защиты диссертаций. Сайт, без которого не
может обойтись ни один научный деятель.
3. http://www.elbook.bsu.by – сайт научно-методического центра
"Электронная книга БГУ". Здесь представлены материалы по системе
Mathematica - информация о продуктах Wolfram Research, разработках
на базе Mathematica, справочное пособие по Mathematica, статьи,
примеры, литература.
4.
5. http://elibrary.ru – научная электронная библиотека. Один из
наиболее полезных источников информации. Теперь совсем
необязательно выходить из дому, чтобы прочитать новую книжку, ведь
ее можно найти на этом сайте.
6. http://www.exponenta.ru – сайт для математиков, которые только
начинают изучение математики, продолжают учиться или углубляют
свои знания – этот сайт полезен всем. Здесь можно найти электронные
книги, статьи по популярным математическим пакетам, ознакомиться с
примерами их применения, получит новую информацию. Если вы
пользователь одного из математических пакетов, вы можете обсудить
свои проблемы на форуме, посвящённом ему.
7. http://lib.mexmat.ru – в этом разделе вы увидите аннотации на
различные книги, журналы и статьи. Существуют форумы по разным
естественным дисциплинам, в том числе и по механике. На форуме
можно обсудить имеющиеся у вас проблемы, посмотреть ссылки на
литературу по интересующей теме. На сайт постоянно появляются
свежие новости из мира науки.
8. http://library.wolfram.com/conferences/ – если вас интересуют
материалы по всем конференциям, посвященным системе Mathematica,
то вам сюда.
9. http://library.wolfram.com/graphics/ – ни один математик не может
обойтись без рисования графиков, а пакет Mathematica справляется с
19
этим просто отлично. Хороший помощник для создания двумерной,
трехмерной графики, анимации, диаграмм и многого другого.
10. http://novamedium.infolib.mexmat.ru –решение типовых задач по
различным разделам высшей и элементарной математики с помощью
пакета Mathematica.
11. http://support.wolfram.com/ – этот сайт представляет для
ознакомления ответы на часто встречающиеся вопросы по продукции
Wolfram Research.
20
ДЕЙСТВУЮЩИЙ ЛИЧНЫЙ САЙТ В WWW
http://ole4km.narod.ru
21
ГРАФ НАУЧНЫХ ИНТЕРЕСОВ
магистранта Мукосей О.И. механико-математический факультет
Специальность математика
Смежные специальности
Основная специальность
Сопутствующие
специальности
01.01.06 –
Математическая логика,
алгебра и теория
чисел
1. Теории полугрупп,
групп, колец, модулей и
алгебр,
полей
и
многочленов; линейная и
полилинейная
алгебра,
гомологическая алгебра и
алгебраическая K-теория;
алгебраическая
геометрия,
топологическая алгебра;
теории
категорий,
т
структур
и
универсальных алгебр.
01.01.02 –
Дифференциальные
уравнения
1.
Обоснования
численных
методов
решения
дифференциальных
уравнений.
2.
Развитие
теории
уравнений в частных
производных.
01.01.04 – геометрия
и топология
1.
общая
топология,
геометрическая
топология,
теория
экстензоров,
дискриптивная
теория
множеств,
теория
размерности,
топологические группы
преобразований,
дифференциальная
топология,
алгебраическая
топология, исследование
05.13.18 –
Математическое
моделирование,
численные методы и
комплексы программ
Развитие качественных,
аналитических,
приближенных,
численных
и
имитационных методов
для
подготовки
и
реализации
этапов
вычислительного
эксперимента.
2. Развитие, обоснование
и
применение
математических моделей
для решения актуальных
научных
задач
естествознания (физики,
химии, биологии и др.), а
также
техники,
медицины,
экологии,
экономик, социологии и
других
отраслей,
рассмотрение вопросов
точности, устойчивости и
достоверности
математического
моделирования.
3.
Разработка
специализированных
численных
и
имитационных методов с
целью
создания
проблемноориентированных
комплексов
программ
для решения актуальных
научнотехнических
задач.
1.
01.01.01 –
математический анализ
1.
Теория
функций
действительного
и
комплексного
переменного,
обобщенные функции.
2.
Специальные
функции и интегральные
преобразования.
3.
Абстрактные
и
функциональные
пространства,
наделенные
алгебраическими,
топологическими,
метрическими,
порядковыми
и
др.
структурами.
Измеримые
пространства.
22
многообразий различных
категорий и клеточных
комплексов.
23
ПРЕЗЕНТАЦИЯ МАГИСТЕРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ
Тема магистерской диссертации: «Теория меры и интеграл Лебега».
Презентация.ppt
Перечень слайдов находится в приложении.
24
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ
1. Попов, В.Б. Основы компьютерных технологий: учеб. пособие /
В.Б. Попов; Финансы и статистика. – М., 2002. – 703 с.
2. Коцюбинский, А.О. Microsoft Office XP: Новейшие версии
программ / А.О. Коцюбинский. – М.: Триумф, 2001. – 469 с.
3. Ахметов, К.С. Знакомство с Microsoft Windows XP / К.С.
Ахметов. – М.: Русская Редакция, 2001. – 210 с.
4. Виллетт, Э. Office XP. Библия пользователя / Э. Виллетт; [Пер. с
англ. Дериевой Е.Н. и др.], 2002. – 843 с.
5. Каймин, В.А. Информатика: практикум на ЭВМ: учебное пособие
/ В.А. Каймин, Б.С. Касаев; Инфра-М. – М, 2001. – 215c.
6. Кишик, А.Н. Office XP. Эффективный самоучитель: Быстро...
Просто... Наглядно. / А.Н. Кишик. – М.: 2002. – 426 с.
7. Крупский, А.Ю. Текстовый редактор Microsoft Word.
Электронные таблицы Microsoft Excel: учебное пособие / А.Ю.
Крупский, Н.А. Феоктистов; М-во образования Рос. Федерации, Моск.
ин-т гос. и корпоратив. упр. М. : Дашков и К. – М., 2004. – 135 с.
8. Учебник по HTML для чайников [Электронный ресурс] / Портал
Постройка.ру.
М.,
2007.
–
Режим
доступа:
http://www.postroika.ru/html/content2.html. – Дата доступа: 21.09.2008.
9. Высшая аттестационная комиссия Республики Беларусь
[Электронный ресурс] / ВАК Беларуси. – Минск, 2007. – Режим
доступа: http://vak.org.by/ – Дата доступа: 18.11.2008.
25
ПРИЛОЖЕНИЕ
Презентация магистерской диссертации
Белорусский
Белорусский государственный
государственный университет
университет
Механико-математический факультет
Механико
Механико-математический
факультет
Кафедра
Кафедра функционально
функционально анализа
анализа
ТЕОРИЯ МЕРЫ И
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
• Руководитель:
кандидат физ - мат. наук,
доцент кафедры
функционального
анализа
Мазель Майя Хаимовна
Мукосей Ольга Ивановна
Актуальность
Содержание
1. Актуальность.
2. Поставленные цели и задачи.
3. Содержание методического
пособия.
4. Примеры.
• существует необходимость
обновить ранее используемые
лабораторные работы, увеличить
количество задач по каждой теме,
предложить дополнительные
задачи.
Задача
Цель
• состояла не просто в подборе
любых задач, а таких, которые
хорошо решаются и имеют не
огромные вычисления.
• подготовка материала для нового
издания методического пособия
по лабораторным и практическим
занятиям по курсу
функционального анализа и
интегральных уравнений, часть 1.
26
Содержание
методического пособия
Часть 1
Излагается необходимая теория, которая носит
справочный характер, т.е определения,
теоремы и следствия из них прописаны без
доказательств.
• Рабата состоит из трех частей
Часть 2
• Приведены задачи к 6
лабораторным и 3 практическим
занятиям по темам «ТЕОРИЯ МЕРЫ И
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА».
Вся теория разбита на главы, а главы на
параграфы. Каждый параграф относится к
одной из лабораторных. К какой именно, видно
из названий параграфов. Это облегчает поиск
необходимой теории для каждой лабораторной
в отдельности.
• В начале каждой лабораторной и
практической работы приведены
вопросы к математическому диктанту.
Это теория, которой необходимо владеть
для решения заданий, а также для
успешного освоения курса в целом.
Часть 3
В конце каждой лабораторной
есть дополнительные задания, в которых
надо что-то доказать, привести пример,
контр пример либо решить.
Эти задачи разноуровневые: от легких до
повышенной сложности. Они
предназначены для интересующихся
курсом студентов, а также могут
использоваться в качестве
дополнительных задач на экзамене.
• В каждой лабораторной из каждого
задания выбраны по одной наиболее
сложной задаче и приведены их
решения.
27
Примеры
• Множество {( x, y) | x2  y 2  rk }
2
является замкнутым в ,
следовательно, оно борелевское.
Так как борелевская  - алгебра на
прямой замкнута относительно
счетного объединения, то
множество В также борелевское.
Так как A  2 \ B , то оно тоже
борелевское.
• 1. Доказать, что множество является
борелевским.
Решение.
Рассмотрим множество
B  2 \ A  {( x, y) | x2  y 2  } 
{( x, y) | x2  y 2  rk }
{0,0}
rk 0, rk 
Примеры
Решение.
Так как функция F ограничена на множестве Х,то
m является отображением S в . Аксиома
аддитивности в определении меры выполняется.
Возьмем произвольный полуинтервал
[a, b[ [a, c[ [c, b[ , тогда m([a, b[)  F (b)  F (a) ,
m([a, c[)  m([c, b[)  F (c)  F (a)  F (b)  F (c)  m([a, b[) .
Для выполнения второй аксиомы в определении
меры необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось неравенство F (b)  F (a)  0 , если b  a ,
т.е., чтобы функция F была монотонно
возрастающей. Функция F монотонно возрастает,
если   [1, 2] . Итак, функция F порождает меру
при   [1, 2] .
• 2. Пусть X  [1,2[, S  {[a, b[ X }, m([a, b[)  F (b)  F (a) ,
где
t , t  [1,1[,

F (t )   , t  1,
2, t ]1, 2].

При каких значениях параметра  эта формула
задает меру,  - аддитивную меру? Если мера
не является  -аддитивной, то указать
полуинтервал
А и его разбиение A  Ak такое,

k 1
что m( A)   m( Ak ) .
k 1
• Тогда
1
1
m( A)  F (1)  F ( )   
,
2
2


 k 1 k 
k 1 k
m( Ak )   

m( Ak )  F (ak 1 )  F (ak ) 


; 
k 1 
k 1
k 1  k  2
k  2 k 1
По теореме о  -аддитивности меры ЛебегаСтилтьеса: F порождает -аддитивную меру
тогда и только тогда, когда функция F является
непрерывной слева в каждой точке. Это
условие выполняется только при   1 .Пусть  ]1, 2]
Вычислим сумму ряда по
определению:
2 1
3 2
n 1
n
n 1 1
Sn  (  )  (  )  ...  (

)

3 2
4 3
n  2 n 1 n  2 2
1 1 .
lim Sn  1  
n 
2 2
1
и A  [ 2 ,1[ . Рассмотрим последовательность
an 
A
n
lim an  1 . Представим полуинтервал
n  1 , n 

Ak
k 1
Итак, мы получили, что
1 1
m( A)       m( A ) , если  ]1, 2] .
2 2
, где Ak  [ak , ak 1[ .

k 1
28
k
,
.
Спасибо
за внимание!
29