БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Выпускная работа по «Основам информационных технологий»

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»
Магистрант
кафедры геометрии, топологии и методики преподавания
Сергеева Юлия Валерьевна
Руководители:
кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Балащенко Виталий Владимирович
ст. преподаватель: Высоцкий Михаил Михайлович
Минск – 2012 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ .............................................................................................. 2
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ КО ВСЕЙ ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ ..................3
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ «ПРИМЕНЕНИЕ ИТ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ» ............................................................................................... 4
Введение ....................................................................................................................... 4
Глава 1. Обзор литературы ..................................................................................... 6
Глава 2. Методика исследования ............................................................................ 7
Глава 3. Основные результаты ............................................................................... 7
1. Mathematica .......................................................................................................... 7
Примеры решения задач с помощью пакета Mathematica ................................. 10
2. Maple .................................................................................................................... 12
Примеры решения задач в графической среде Maple ....................................... 15
Глава 4. Обсуждение результатов ....................................................................... 19
Заключение.............................................................................................................. 19
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К РЕФЕРАТУ ..................................................... 20
ПРИЛОЖЕНИЯ ........................................................................................... 21
А. Предметный указатель к реферату ................................................................ 21
Б. Интернет-ресурсы в предметной области исследования .......................... 22
В. Действующий личный сайт в WWW ............................................................. 24
Г. Граф научных интересов ................................................................................... 25
Д. Презентация магистерской диссертации ..................................................... 26
2
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ КО ВСЕЙ ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ
ИТ – информационные технологии
ПО – программное обеспечение
WWW – World Wide Web
СИ - Международная система единиц
HTML - Hypertext Markup Language
3
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ
«ПРИМЕНЕНИЕ ИТ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ»
Введение
Современные информационные технологии все шире внедряются в сферу
науки, обеспечивая принципиально новый уровень получения обобщения знаний, их распространения и использования.
В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные и популярные системы компьютерной математики, проанализирована эффективность
их применения в предметной области, будет детально рассмотрен примеры решения конкретных задач с помощью различных приложений.
Дифференциальная геометрия традиционно считается одним из наиболее
трудных предметов на математических факультетах вузов. В ней интегрируются знания, полученные студентами на курсах алгебры, аналитической геометрии, математического анализа одной и нескольких переменных, дифференциальных уравнений. Кроме того, геометрические образы, а также соответствующие вычислительные процедуры, сопровождающие этот курс, являются чрезвычайно сложными и громоздкими. Все это делает указанный курс мало
наглядным и сложным для усвоения, несмотря на чрезвычайную простоту и
прозрачность основных идей дифференциальной геометрии. С другой стороны,
методы дифференциальной геометрии кривых и поверхностей находят огромное количество приложений в самых различных областях прикладной математики, теории поля, механики, оптики и т.п. Поэтому задача повышения наглядности этого курса становится чрезвычайно важной. Эта задача может быть решена графическими средствами компьютерной математики, в частности, пакетов Maple и Mathematica.
Данные компьютерные математические пакеты имеют весьма широкие,
гибкие и универсальные возможности для применения в процессе преподава4
ния курса дифференциальной геометрии, включающих в себя существенные
математические понятия и обладающих богатым выбором методов для решения
общих математических, научно-технических, психолого-педагогических и дидактических задач, к тому же данные математические пакеты представляют собой в том числе педагогические программные средства. Эти средства обеспечивают высококачественные управляемые пользователем возможности отображения информации на экране; работы в различных режимах (текстовых, графических, символьных); программирования; выполнения аналитических и численных расчетов; подключения дополнительных библиотек для расширения круга
решаемых задач.
Использование информационных технологий и соответствующих инструментов (компьютер, программные продукты) позволяет студентам визуализировать дифференциально-геометрические закономерности и их внутренние взаимосвязи. Изменяя исходные данные, студенты лучше понимают сущность различных
дифференциально-геометрических понятий: кривой, поверхности, гладкости, кривизны, кручения и т.д. Так, при изучении свойств кривых на поверхности, используя, например, среду Maple можно, задавая различные дифференциальные
уравнения, визуализировать соответствующие кривые на поверхности: линии
кривизны, асимптотические линии, геодезические линии, а также увидеть заданную фигуру или поверхность в 3-d формате, что обычно является сложно изобразить с помощью карандаша и линейки.
В данной работе представлен краткий обзор пакетов Maple, Mathematica, описаны их преимущества и недостатки. Показаны примеры решения графических задач по дифференциальной геометрии с помощью указанных приложений компьютерной математики.
5
Глава 1. Обзор литературы
Применения ИТ при решении задач в настоящее время является актуальный вопросом. Достаточное количество книг посвящено этой тематике.
В «Электронном пособии по высшей математике на базе системы Mathematica» А.А. Кулешова изложен курс высшей математике. Приведено множество примеров решения в пакете Mathematica задач высшей математики и
других дисциплин.
Нужно отметить также такие издания, как «Информационные технологии
в математике» Ю.Ю. Тарасевич, где рассматриваются вопросы, касающиеся
решения математических задач с использованием пакетов Maple и MathCAD,
подготовки математических и естественнонаучных текстов с использованием
издательской системы LaTeX. Так же в книге приводятся необходимые сведения по численным методам.
«Практическое введение в пакет MATHEMATICA» В. Муравьев, Д. Бурланкова. Учебное пособие предназначено для изучения языка символьной математики "MATHEMATICA". На практических примерах показаны аналитические, численные и графические возможности пакета. Изложены принципы программирования в системе "MATHEMATICA". Даны рекомендации по работе в
среде пакета. Приведены примеры программ, освоив которые, студент сможет
работать далее самостоятельно.
Ознакомившись с найденной литературой, можно сделать вывод, что до
сих пор не хватает полноценного сравнения математических пакетов. По
этой причине, TomTom Start 20 Europa (mapy 45 krajów) 4,3"
основной задачей для достижения поставленной цели реферата является:
выбор результативного символьного пакета для решения наглядных графических задач по дифференциальной геометрии.
6
Глава 2. Методика исследования
В ходе написания работы автором использовались, прежде всего, общенаучные логические методы исследования, такие как: анализ и синтез, индукция и дедукция, аналогия и сравнение. В частности, данные методы использовались автором в анализе Интернет-ресурсов, посвящённых предмету работы, в
выявлении положительных и отрицательных сторон математических пакетов
при решении разнообразных задач в рассматриваемой области.
Глава 3. Основные результаты
1. Mathematica
Пакет Mathematica, разработанный компанией Wolfram Reseach Inc., применяется при расчетах в современных научных исследованиях и получил широкую известность в научной и образовательной среде. Несмотря на свою
направленность на серьезные математические вычисления и специфику языка,
Mathematica проста в освоении и может использоваться довольно широкой категорией пользователей.
Пакет состоит из двух частей – ядра, которое производит вычисления,
выполняя заданные команды, и интерфейсного процессора, который определяет
внешнее оформление и характер взаимодействия с пользователем и системой. В
системах класса Mathematica ядро математических операций машиннонезависимое. Поэтому оно позволяет переносить систему на различные компьютерные платформы. Для переноса системы на другую компьютерную платформу используется программный интерфейсный процессор Front End. Именно
он определяет, какой вид имеет пользовательский интерфейс системы, то есть
интерфейсные процессоры систем Mathematica для других платформ могут обладать своими нюансами. Ядро сделано достаточно компактным для того, что7
бы можно было очень быстро вызвать из него любую функцию. Для расширения набора функций служат библиотека (Library) и набор пакетов расширения
(Add-on Packages). Пакеты расширений готовятся на собственном языке программирования систем Mathematica и являются главным средством для развития возможностей системы и их адаптации к решению конкретных классов задач пользователя.
Интерфейс пакета строится из нескольких базовых понятий: тетрадь
(Notebooks), ячейка (Cell) и палитра (Palletes). Тетрадью называется файл, с которым работает пользователь. В нем создаются и вычисляются формулы, строятся графики и таблицы. При желании, в тетради можно даже проиграть звуковой файл или фильм. Тетрадь состоит из ячеек. Все информация, которая есть в
тетради, храниться в его ячейках. Как только в пустом новом файле набирается
хотя бы один символ, Mathematica создаст для него ячейку. Все ячейки можно
разделить на три типа: ячейки ввода – в них задаются команды (формулы), которые будут вычислены; ячейки результата, в которых выводятся результаты
вычислений; другие ячейки – ячейки с текстом, заголовки и все остальное, что
вводит пользователь и вычислять не надо. Необходимые числа, буквы, символы
можно вводить как с клавиатуры с помощью комбинаций клавиш, так и с помощью многочисленных палитр. Если возникают какие-то вопросы, то можно
обратиться к встроенной электронной справочной системе Help, которая содержит очень качественное описание функций с примерами, а также учебник.
Главным достоинством Mathematica является выполнение арифметических действий в символьном виде, то есть так, как это делает человек. При работе с дробями и корнями программа не приводит их в процессе вычислений к
десятичному виду, а производит необходимые сокращения и преобразования в
столбик, что позволяет избежать ошибок при округлении. Кроме того,
Mathematica cодержит библиотеки и для численных вычислений. Например,
функция Solve ищет решение в символьном виде, а NSolve в численном. Пакет
обладает очень большим набором функций. Он способен решать упражнения из
линейной алгебры (включая такие нетривиальные вещи как приведение квадра8
тичных форм к каноническому виду, приведение линейного оператора к жордановой форме), математического анализа (вычислять определенные, неопределенные, криволинейные интегралы, пределы числовых и функциональных
последовательностей), теории дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных). Может совершать алгебраические и логические операции. По сути дела все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей
математики технического вуза, заложены в память компьютерной системы
Mathematica.
Mathematica обладает очень большими графическими возможностями. Результаты можно отображать в виде диаграмм и графиков, 3D-рафиков, контурных графиков, плотностных графиков, параметрических графиков, видеографиков, 3D-идеографиков, Log-графиков, полярных графиков, графиков неявных
функций.
Mathematica имеет развитые средства форматирования текста. В пакете
можно разбивать тетрадь на главы и разделы, вводить поясняющий текст, задавать цвет, шрифт, начертание, стиль ячейке, фразе в ячейке или всему листу.
Для любой ячейки ввода можно сделать рамку произвольного вида и цвета.
Mathematica может читать данные, хранящиеся во всевозможных форматах: GIF, EPS, JPEG,AU,WAV,HDF. Кроме того, можно создавать готовые к
размещению на сайте HTML-программы и графические файлы, сохранять выражения и целые тексты в форме ввода TeX.
Таким образом, преимущества пакета Mathematica – это возможность
символьных вычислений, решения задач различного уровня сложности, реализации анимационных графиков, воспроизводства звуков, наличие справочной
системы с большим количеством практических примеров, развитого языка программирования.
Недостаток – специализированный язык записи операторов и программирования, что очень сложно для людей не очень разбирающихся в математике и
программировании. Прежде чем начать работу в пакете, необходимо изучить
специальную литературу или Help.
9
Приведём примеры решения геометрических задач с помощью пакета
Mathematica.
Примеры решения задач с помощью пакета Mathematica
По заданным уравнениям построить поверхности
 x  u sin t ,

а)  y  u cost ,
 z  t ,  1  u  1, 0  t  12.

10
 x  x,

б)  y  cost sin x,
 z  sin t sin x,    x   , 0  t  2 .

 x  cost (2  cosu ),

в)  y  sin t (2  cosu ),
 z  6  sin u, 0  u  2 , 0  t  2  1.

11
 x  u cosv,

г)  y  u sin v,
 z  u 2 cos2v,  1  u  1,  1  v  1.

2. Maple
Программа Maple предоставляет пользователю удобную интеллектуальную среду для математических исследований любого уровня и пользуется особой популярностью в научной среде. Символьный анализатор программы
Maple является наиболее сильной частью этого ПО.
Пакет Maple состоит из ядра (процедур, написанных на языке С и хорошо
оптимизированных), библиотеки, написанной на Maple-языке, и развитого
внешнего интерфейса. Ядро выполняет большинство базовых операций, а библиотека содержит множество команд-процедур, выполняемых в режиме интерпретации.
Интерфейс Maple основан на концепции рабочего поля (worksheet) или
документа, содержащего строки ввода-вывода, текст, а также графику. Работа с
пакетом происходит в режиме интерпретатора. В строке ввода пользователь за12
дает команду, нажимает клавишу Enter и получает результат – строку (или
строки) вывода либо сообщение об ошибочно введенной команде. Тут же выдается приглашение вводить новую команду и т.д. Рабочие окна (листы) системы
Maple могут быть использованы не только как интерактивные среды для решения задач, но и как система для подготовки технических документов. Для облегчения документирования и организации результатов вычислений в системе
имеются опции разбиения на параграфы и разделы, а также добавления гиперссылок. Гиперссылка является навигационным средством. Одним щелчком мыши по ней можно перейти к другой точке в пределах рабочего листа, к другому
рабочему листу, к странице помощи, к рабочему листу на Web-сервере или к
любой другой Web-странице. Также система Maple, подобно другим текстовым
редакторам, поддерживает опцию закладок. В пакете имеются все возможности
форматирования текста: шрифты, размер шрифта, начертание, цвет, выравнивание по центру, по левому, правому краю. Средства пакета позволяют даже
создавать звук. Также можно организовывать презентации, публиковать документы в Интернете.
Достоинство Maple – это способность выполнять арифметические действия в символьном виде. Maple поддерживает сотни специальных функций и
чисел, встречающихся во многих областях математики, науки и техники. Программу можно использовать для решения задач дифференциального и интегрального исчисления, вычисления пределов, разложений в ряды, суммирования рядов, умножения, интегральных преобразований, а также для исследования непрерывных или кусочно-непрерывных функций. Maple может вычислять
пределы функций, как конечные, так и стремящиеся к бесконечности, а также
распознает неопределенности в пределах. В этой системе можно решать множество обычных дифференциальных уравнений (ODE), а также дифференциальные уравнения в частных производных (PDE), в том числе задачи с начальными условиями (IVP) и задачи с граничными условиями (BVP). Одним из
наиболее часто используемых в системе Maple пакетов программ является пакет линейной алгебры, содержащий мощный набор команд для работы с векто13
рами и матрицами. Maple может находить собственные значения и собственные
векторы операторов, вычислять криволинейные координаты, находить матричные нормы и вычислять множество различных типов разложения матриц. В
Maple включены также пакеты подпрограмм для решения задач евклидовой и
аналитической геометрии, теории чисел, теории вероятностей и математической статистики, комбинаторики, теории групп, численной аппроксимации и
линейной оптимизации (симплекс-метод), а также задач финансовой математики и многих других.
Система Maple поддерживает как двумерную, так и трехмерную графику.
Можно представить явные, неявные и параметрические функции, а также многомерные функции и просто наборы данных в графическом виде, двумерные
графики сразу нескольких функций, создавать графики конформных преобразований функций с комплексными числами и строить графики функций в логарифмической, двойной логарифмической, параметрической, фазовой, полярной
и контурной форме. Можно графически представлять неравенства, неявно заданные функции, решения дифференциальных уравнений. Maple может строить
поверхности и кривые в трехмерном представлении, включая поверхности, заданные явной и параметрической функциями, а также решениями дифференциальных уравнений. При этом есть возможность представления в виде двух или
трехмерной анимации.
Таким образом, преимущества Maple – то символьные вычисления, что
дает большую точность, возможность доступа к специализированным числовым программам, огромное количество специальных функций и чисел, встроенных пакетов, что позволяет производить вычисления любой сложности и
направленности.
Недостаток – специализированный язык записи операторов и программирования.
В процессе изучения элементов дифференциальной геометрии формируется единая картина естественно-научного мира; в сознании студентов выделяются глубинные взаимосвязи сложных естественных процессов, описываемых с
14
помощью базовых понятий дифференциальной геометрии и топологии: гомеоморфизмов топологических пространств, структур на гладких многообразиях,
дифференциальных операторов, связностей, дифференциальных уравнений и
их систем. Изучение основ дифференциальной геометрии и топологии, в том
числе с применением информационных технологий, способствует развитию
математических компетенций студентов. Для того чтобы читатель оценил ту
простоту, с которой решаются задачи в Maple и, автор решил привести несколько примеров решения задач в этой действительно великолепной и простой
системе аналитических вычислений.
Примеры решения задач в графической среде Maple
По заданным уравнениям построить поверхности
а) z  x 2  y 2 ,  1  x  1;  1  y  1.
б) z  x 2  y 2 ,  10  x  10;  10  y  10.
15
в) z  x 2 , 0  x  4; ( x  2)0,5  y  7  x.
г) z  1,3 sin y,  1  x  2 ; 0  y   .
x
16

 x  cosu cosv,

д)  y  sin u cosv,



 z  sin v, 0  u  2 ,   v  .
3
2

17
 x  5  cosu cosv,

е)  y  5  3 sin v cosu,
 z  sin u, 0  u  2 ,    v   .

ж) Построить пересечение поверхностей
z  x 2  y 2 , z  x 2  y 2 ,  1  x  1;  1  y  1.
18
Глава 4. Обсуждение результатов
Применение ИТ в математических исследованиях открыло перед математиками огромные возможности. Все вышеизложенное позволяет сделать выводы, что применение программных математических пакетов в процессе обучения
дифференциальной геометрии в сочетании с классическими методиками способствует качественной реализации основных принципов дидактики.
Анализируя возможности, специфику, достоинства и недостатки пакетов
Maple и Mathematica, следует заметить, что пакет компьютерной математики
Maple, начиная уже с самых ранних версий, имеет несомненные преимущества
в области 3d-графики, особенно интерактивной и динамической, по сравнению
с пакетом "Mathematica". Данный пакет обладает огромными графическими и
мультимедийными возможностями, с помощью которых можно визуализировать полученные результаты. С помощью описываемого пакета можно избежать многих ошибок при математических вычислениях. Но при этом необходимо хорошо разбираться в математической постановке вопроса и владеть возможностями самой программы. Не одна программ не заменяет математического
мышления. Прежде чем применять какую-либо формулу, нужно проанализировать выполнение условий ее применимости и, при необходимости, преобразовать задачу так, чтобы можно было ее употребить.
Заключение
Однако следует отметить, что с помощью описываемых пакетов можно
сэкономить массу времени и избежать многих ошибок при математических вычислениях. Естественно, системы не ограничиваются только этими возможностями. Спектр задач, решаемых подобными системами, очень широк и каждый
пользователь может выбрать ту, которая ему больше подходит.
19
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К РЕФЕРАТУ
1. Дьяконов В. П. Maple 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2001.
2.
Дьяконов В. П. Математическая система Maple VR3/R4/R5. М.: Со-
лон, 1998.
3. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М.: Филинь, 1998.
4. Говорухин В. Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997.
5. Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных
вычислений Maple V. М.: Петит, 1997.
6.
«Практическое введение в пакет MATHEMATICA» В. Муравьев,
Д. Бурланкова. Издательство Нижегородского университета, 2000. - 124 с.
7. Электронное учебное пособие по высшей математике на базе системы MATHEMATICA. Авторы: Кулешов А.А., Земсков С В., Позняк
Ю.В.
8. Гандер, В. Решение задач в научных вычислениях с применением
Maple и Matlab / В. Гандер, И. Гржебичек. – Москва: Вассамедина, 2005. –
520 с.
9. Тарасевич, Ю.Ю. Информационные технологии в математике /
Ю.Ю. Тарасевич. – Москва: СОЛОН-Пресс, 2003. – 144 с.
20
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Предметный указатель к реферату
Д
H
Дифференциальная геометрия, 4
дифференциальной геометрии, 4, 5, 15, 19
HTML, 3, 9
M
И
Maple, 2, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 15, 19, 20
Mathematica, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 22, 23
Интернет, 2, 7, 22
П
W
поверхности, 5, 10, 14, 15
примеры, 4, 5, 6, 10, 22
Wolfram Reseach Inc, 7
21
Б. Интернет-ресурсы в предметной области исследования
1. http://library.wolfram.com – на этом сайте вы найдете различные пособия в формате *.nb для начинающих. Также здесь собраны примеры использования программы Mathematica во взаимодействии с другими программами, которые разбиты на группы по областям применения.
2. http://vak.org.by – сайт Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь. Здесь собраны все нормативные акты, касающиеся оформления и защиты диссертаций. Сайт, без которого не может обойтись ни
один научный деятель.
3. http://www.elbook.bsu.by – сайт научно-методического центра
"Электронная книга БГУ". Здесь представлены материалы по системе
Mathematica - информация о продуктах Wolfram Research, разработках на
базе Mathematica, справочное пособие по Mathematica, статьи, примеры,
литература.
4. http://elibrary.ru – научная электронная библиотека. Один из наиболее полезных источников информации. Теперь совсем необязательно выходить из дому, чтобы прочитать новую книжку, ведь ее можно найти на
этом сайте.
5. http://www.exponenta.ru – сайт для математиков, которые только
начинают изучение математики, продолжают учиться или углубляют свои
знания – этот сайт полезен всем. Здесь можно найти электронные книги,
статьи по популярным математическим пакетам, ознакомиться с примерами их применения, получит новую информацию. Если вы пользователь
одного из математических пакетов, вы можете обсудить свои проблемы на
форуме, посвящённом ему.
6. http://lib.mexmat.ru – в этом разделе вы увидите аннотации на различные книги, журналы и статьи. Существуют форумы по разным естественным дисциплинам, в том числе и по механике. На форуме можно обсудить имеющиеся у вас проблемы, посмотреть ссылки на литературу по
22
интересующей теме. На сайт постоянно появляются свежие новости из
мира науки.
7. http://www.library.bsu.by/ – электронная библиотека мехмата БГУ.
8. http://library.wolfram.com/graphics/ – ни один математик не может
обойтись без рисования графиков, а пакет Mathematica справляется с этим
просто отлично. Хороший помощник для создания двумерной, трехмерной графики, анимации, диаграмм и многого другого.
9. http://novamedium.infolib.mexmat.ru – решение типовых задач по
различным разделам высшей и элементарной математики с помощью пакета Mathematica.
10. http://ru.wikipedia.org– материал по математике в русскоязычной
Википедии.
23
В. Действующий личный сайт в WWW
http://sergeeva-yuly.narod.ru/index.html
24
Г. Граф научных интересов
магистранта Сергеева Ю. В. механико-математического факультета
Специальность математика
Смежные специальности
Основная специальность
Сопутствующие специальности
01.01.04 – геометрия и
топология
Общая топология, гео01.01.06 – математическая логика, алгебра и
теория чисел
Теории полугрупп, групп,
колец, модулей и алгебр, полей и многочленов; линейная и полилинейная алгебра,
гомологическая алгебра и
алгебраическая K-теория;
алгебраическая геометрия,
топологическая алгебра;
теории категорий, т структур и универсальных алгебр.
метрическая топология,
теория тензоров, теория
размерности, топологи-
01.01.01 – математический
анализ
ческие группы преобразований, теория групп и
алгебр Ли, локальная и
1. Теория функций дей-
глобальная дифферен-
ствительного и комплекс-
циальная геометрия
ного переменного, обоб-
классических про-
щенные функции.
странств, алгебраиче-
2. Специальные функции и
ская топология, исследо-
интегральные преобразова-
вание гладких многооб-
ния.
разий и подмногообра-
3. Абстрактные и функцио-
зий и связанных с ними
нальные пространства,
дифференциально-
наделенные алгебраиче-
геометрических струк-
скими, топологическими,
тур
метрическими, порядковыми и др. структурами. Измеримые пространства.
25
Д. Презентация магистерской диссертации
Ссылка для скачивания презентации
26
27
28
29