Использование тренировочных упражнений при подготовке учащихся к ЕГЭ по математике

Ракитянская С.В.,
учитель математики
МОУ «Гимназия № 1»
г. Калачинска
Использование тренировочных упражнений
при подготовке учащихся к ЕГЭ по математике
по теме «Логарифмы»
В своей работе я предлагаю рассмотреть тему «Логарифмы», включающую задания
I и II частей (В3, В7, В11, С3).
Возможные варианты заданий по данной теме:
 Тождественные преобразования логарифмических выражений
 Решение простейших уравнений и неравенств
 Решение уравнений (неравенств) с использованием свойств логарифма
 Нахождение наибольшего или наименьшего значения функции
Непосредственные преобразования логарифмических выражений содержатся в
заданиях части I. Различаются задания количеством шагов, необходимых для нахождения
значения логарифмического выражения. В этих заданиях требуется найти значение
некоторого логарифмического выражения или упростить его. Следует отметить, что с
преобразованиями логарифмических выражений можно встретиться и при решении
уравнений или исследовании функций, поэтому в неявном виде они могут присутствовать в
заданиях части II.
Теоретические сведения
Определение. Логарифмом числа b по основанию а (а > 0; а  1)
называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы
получить b:
loga b = х  ах = b.
lgb — обозначение десятичного логарифма, т.е. логарифма числа b по
основанию 10, lnb — обозначение натурального логарифма, т.е. логарифма числа b по
основанию е (е = 2,7...).
Основное логарифмическое тождество:
a loga b = b (a > 0, а  1, b > 0).
Свойства логарифмов (a > 0, а  1, b > 0,с > 0):
1) loga a = 1
2) loga 1 = 0
3) loga (b • с) = loga b + loga с
4) loga
b
= loga b - loga с
c
5) loga bP = p loga b
6) logap b =
9)
1
loga b, p  0
p
7) loga b =
log c b
,c  1
log c a
8) loga b =
1 ,b
log b a
a logb c = c logb a, c
 1
 1, b  1
Решение типовых заданий
Учащиеся должны применять полученные знания через решение практических задач.
Задание 1. Найдите значение выражения log 0,3 0,09.
Решение.
Преобразуем выражение и используем определение логарифма:
log 0,3 (0,09) -1 = log 0,3((0,3)2) -1 = log0,3(0,3) -2 = - 2.
Ответ: -2.
Задание 2. Найдите значение выражения log2 log2
4
2.
Решение.
Преобразуем выражение, начиная с внутреннего логарифма, и воспользуемся определением
логарифма:
1
log2 log2
4
1
1
2 = log2 log2 2 4 = log 2 ( log22) = log2 = -2.
4
4
Ответ: -2.
Для преобразования суммы (или разности) логарифмических выражений иногда
достаточно использовать определение логарифма, а чаще свойства логарифма (3) и (4). Если
основания логарифмов разные, то можно привести логарифмы к одному основанию и затем
применить свойства (3) и (4).
Задание 3. Найдите значение выражения log3 81 – log3 27.
Решение.
1 способ. Используя определение логарифма, получим
log3 81 – log3 27 = 4 – 3 = 1.
2 способ. Используя
свойство
(4) логарифма,
log3 81 – log3 27 = log3
получим
81
= log3 3 = 1.
27
Ответ: 1.
Задание 4. Найдите значение выражения log 315 – log 3
5
1
+ log3
9
81
Решение.
Преобразуем выражение с помощью свойства (4 ) логарифма:
log 315 – log 3
5
1
5
1
1
+ log3
= log 3 (15 : ) + log3
= log3 27 + log3
= 3 + (-4) = -1.
9
81
9
81
81
Ответ: -1.
Основное логарифмическое тождество используется при преобразовании выражений,
содержащих логарифм в показателе степени. Идея таких преобразований заключается в
получении равных основания степени и основания логарифма.
Задание 5. Найдите значение выражения 101 – lg 5.
Решение.
Используя свойства степеней и основное логарифмическое тождество, получим
101 – lg 5 =
10
10 1
=
= 2.
lg 5
5
10
Ответ: 2.
Задание 6. Вычислите
5 log516
Решение.
Преобразуем выражение, используя свойства степеней
5
log 16
5
=
5
1
log5 16
2
1
= (5 log516) 2
Применяя основное логарифмическое тождество, получим
1
(5 log 16) 2
5
= 16
1
2
= 4.
Ответ: 4.
1
4
49
log 1
Задание 7. Найдите значение выражения
7
Решение.
Используя свойство (6) логарифма и основное логарифмическое тождество, получим
1
4
49
log 1
7
log
= 7
( 7 )2
1
4
log
= (7
7
1
4
)
1
2
1
1
1 
= ( ) 2 = 4 2 = 2.
4
Ответ: 2.
Иногда можно легко перейти от одного основания логарифма к другому с помощью
свойства логарифма (6),
например, от log9 а к 0,51og3 а (9 = З2). В других случаях следует использовать свойства (7)
или (8).
Задание 8.
Найдите значение выражения
(log5 36 + log5 2 - log5 8) • log9
1
.
25
Решение.
Преобразовав выражение в скобках с помощью свойств (3) и (4), получим
(log5 36 + log5 2 - log5 8) = log 5
36  2
= log 5 9.
8
Используем формулу (7) перехода к новому основанию.
1 способ.
log 5 9 • log 9
1
= log 5 9 •
25
1
25 = log 1 = -2.
5
log 5 9
25
log 5
2 способ.
log 9 9
1
1
log 5 9 • log 9
=
• log 9
=
log 9 5
25
25
1
25 = log 1 = -2.
5
log 9 5
25
1  log 9
3 способ.
Используя свойство (5) и (8) получим
log 5 9 • log 9
1
= log 5 9  (-2) log 9 5 = -2.
25
Ответ: -2.
Задание 9.
Найдите значение выражения log3 12 - log3 7 • log7 5  log5 4
Решение.
Преобразуем вычитаемое с помощью применения дважды формулы перехода к новому
основанию
log3 7 • log7 5  log5 4 = log3 7 •
log 3 5
log 3 4
= log3 4.
 log5 4 = log3 5  log5 4 = log3 5 
log 3 7
log 3 5
Первоначальное выражение теперь имеет вид
12 log3 12 - log3 4 = log3
12
= 1.
4
Ответ: 1.
В заданиях, требующих выразить некоторое логарифмическое выражение через одно
или два заданных значения логарифма, обычно надо использовать свойства логарифма
произведения или частного (3) или свойство (8) перехода к новому основанию.
Задание 10. Чему равен lg15, если lg2 = a, lg3 = b.
Решение.
Выразим lg15 через lg 2 и lg3, учитывая, что
15 = 3 • 5 = 3(
lgl5 = lg(3 • 5) = lg3 + lg5 = lg3 + lg
10
).
2
10
= Ig3 + lgl0 - lg2 = b + l – a.
2
Ответ: b + l – a.
Наибольшую сложность представляют преобразования логарифмических выражений,
находящихся под радикалом. В процессе преобразований приходится рассматривать модули
логарифмических выражений, для раскрытия которых требуется сравнить иррациональные
числа (например, log2 3 и log3 2) или рациональное и иррациональное число (например, log2 3
и 1).
Задание 11. Представьте в виде разности логарифмов
4
4
1
2
1
2
((log3 2 + log2 3+2) - 2) .
Решение.
Будем действовать последовательно. Рассмотрим выражение log3 4 2 + log2 43+2.
Перейдем к основанию 3:
log3 4 2 + log2 43+2 = log3 4 2 +
1
+ 2.
4
log 3 2
Приведем к общему знаменателю и применим формулу квадрата суммы двух
выражений.
log 3 2  1
4
Получим: (
2
log 3 2
)2.
Имеем: (log3 2 + log2 3+2)
4
4
1
2
log 3 2  1
4
=
2
log 3 2
.
Тогда:
4
4
log 3 2  1  2 log 3 2
2
1
2
(log3 2 + log2 3+2) =
2
2
log 3 2
2
 log 3 2 2  1 
 .
= 

log
2
3


Окончательно получаем:
1
1
((log3 4 2 + log2 43+2) 2 - 2) 2 =
Раскрываем
модули,
log 3 2  1
.
log 3 2
2
учитывая,
что
0 < log3 2 < 1
и 0 < log3 2 2 < 1.
1  log 3 2
1
=
- log3 2 = log2 3 – log3 2.
log 3 2
log 3 2
2
A=
Ответ: log2 3 - log3 2.
Задачи для самостоятельного решения
Часть I
Ответом в заданиях этой части может быть целое число или число, записанное в виде
десятичной дроби.
1.
Вычислите: log625 25.
2.
Вычислите: log5 8 - log5 2 + log5
3.
Вычислите: log35 7 +
1
log 5 35
25
.
4
log
1
+3
7
4.
Найдите значение выражения log
5.
Найдите значение выражения log36 16 - log6
6.
Вычислите:
( 6)
1
7. Вычислите:  
3
8.
Найдите
9.
Вычислите: log2
2
log9 6
7
3
7
.
1
.
9
.
4 log1 2
3
.
log8 log4 log2 16.
2
9
+ log4 .
3
4
10. Найдите значение выражения log0,5 32 - log7
11. Найдите значение выражения
12. Вычислите: 2
13. Вычислите:
log8 125
25
1
log6 5
7
.
49
 49
1
log8 7
 log 2 log 5 8 5 .
lg 128
.
lg 4
14. Найдите
значение
15. Найдите
значение
выражения
выражения
16. Найдите значение выражения
log6
36
, если log6 a = -6.
a
log3(27a), если log3 a = 4.
log 2 4  log 2 10
.
log 2 20  3 log 2 2
17. Вычислите: log9 15 + log9 18 - 2 log9 10 .
18. Найдите значение выражения
6 log3 2 • log4 3  log5 4 • log6 5 • log7 6 • log8 7.
19. Вычислите: log2 14 - log2 5 • log5 3 • log3 7.
20. Найдите значение выражения
(log3 4 + log2 9)2 - (log3 4 - log2 9)2.
21. Найдите значение выражения
log 2 24 log 2 192
.

log 96 2
log 12 2
22. Вычислите: log4 24 - log4 9 • log9 13 • log13 6.
23. Найдите значение выражения
(log7 22 - log7 12 + log7 6)  log11 7.
24. Найдите значение выражения
3 log5 7  7 log5 3 .
25. Найдите значение выражения
9 log3 (1 0,5 0, 25...) .
Часть II
Решите следующие задания с полным обоснованием решения.
3
1. Вычислите: log 3
2. Вычислите: log 2
2
18
, если log9 6 = а.
12
18
3 3
12
если log4 6 = а.
3. Найдите значение выражения
log 7 14  log 7 14  log 7 2  2 log 7 2
.
log 7 14  2 log 7 2
4. Найдите значение выражения
2 log 3 2  log 3 18  (log 3 2)  log 3 18
.
2 log 3 2  log 3 18
5. Найдите значение выражения
 log 4 2 3  1
1

 2 log 4 3
2
2
2
1
2
2
1
1
 2  log 4 2 3  1  2 
  
 1  2 log 4 3 .
  2 log 4 3
 
1
 log 3 4  1
1

 2 log 3 4
  log 32 4  1  2 
  
 1  2 log 4 3
  2 log 3 4
 
7. Найдите значение выражения


 log 4 4 3  log 34 4  2  2  .


2
6. Вычислите:


1
2
1
2
Среди заданий части I обязательно есть задания на решение логарифмических
уравнений и логарифмических неравенств. Для решения этих заданий требуется применить
определение логарифма и его свойства. Это задания обязательного уровня. В заданиях части
II могут встретиться задания на исследование некоторой функции, при решении которых
необходимо решить логарифмическое уравнение (неравенство). Также среди заданий части
II могут быть задания на решение систем логарифмических уравнений.
Теоретические сведения
log а х = b (а > 0, а  1). Область определения (ООУ) этого уравнения х = ab > 0.
log a f(x) = b (а > 0, а  1). Область определения этого уравнения f(х) > 0.
На этой области
уравнение может иметь любое количество корней, в зависимости от функции f(х).
log a f(x)= log a g (х) (a > 0, а  1 ). Область определения этого уравнения задается системой
 f ( x) 0,

 g ( x) 0.
На этой
области
уравнение
имеет
корни,
которые
можно найти, решая
уравнение f (x) = g (x).
При решении логарифмических уравнений используются тождественные преобразования
логарифмических выражений
Кроме тождеств, при решении уравнений надо помнить следующие формулы для любых х, у,
таких, что ху > 0:
loga (xy) = log a |x| + log a |у|.
(1)
loga х = loga|x| - loga|y|.
(2)
log a x 2n = 2n log a |x|, x  0, n  N.
(3)
у
Для решения логарифмических уравнений и неравенств используются свойства
логарифмической функции
у = loga х, a > 0, a  1.
- Область определения: D (у) = (0; +  ).
- Область значений: Е (у) = (-  ; +  ).
- Монотонность: при a > 1 функция у возрастает на D (у),
при 0 < a < 1 функция у убывает
на D (у).
При решении логарифмических уравнений и неравенств можно использовать любой из
следующих способов рассуждений.
1-й способ. Решать уравнение, используя любые преобразования (кроме сужающих его
область определения). Затем обязательно выполнять проверку, для того чтобы отбросить
посторонние корни. Причем проверку проводить непосредственной подстановкой в
уравнение. При этом находить область определения уравнения (ее еще называют областью
допустимых значений х) не обязательно. Это полезно только в том случае, когда надо
отбросить часть корней, тем самым упростив непосредственную подстановку в уравнение.
К преобразованиям, сужающим область определения логарифмических уравнений, относятся
логарифмирование обеих частей уравнения, деление на выражение с переменной,
извлечение
корня
четной
степени
и
формальное
применение
некоторых
логарифмических формул (без модулей).
2-й способ. Для решения логарифмических уравнений (неравенств) использовать только
равносильные преобразования. Это можно сделать двумя способами: находить ОДЗ
(область определения) уравнения (неравенства) и выполнять только равносильные
преобразования на данной области определения или сразу использовать схемы равносильных
преобразований.
Схемы равносильных преобразований при решении уравнений
 f ( x)  g ( x),
log a f(x)= log a g (х), a > 0, а  1  
 f ( x) 0.
Если неравенство f (х) > 0 решить сложно, а проще решить неравенство g (х) > 0, то
используем следующую схему:
 f ( x)  g ( x),
log a f(x)= log a g (х), a > 0, а  1  
 g ( x) 0.
Схемы равносильных преобразований при решении неравенств
Знаки в исходных неравенствах могут быть следующими:  (меньше или равно),
 (больше или равно), < (меньше) или > (больше). Приведем пример схемы решения
логарифмического неравенства для одного знака (  ). Схемы для остальных типов
неравенств строятся аналогично с учетом изменения знака неравенства.
Если 0 < а < 1,
то
 f ( x)  g ( x),
log a f(x)  log a g (х)  
 g ( x) 0.
 f ( x)  g ( x),
Если a > 1, то log a f(x)  log a g (х) 
 f ( x) 0.
Если в основании логарифма находится функция g(x), то используем следующую схему:
 f ( x) 0,

0 g ( x)1,
 f ( x)  g b ( x);

Log g(x) f(x)  b  
 f ( x) 0,

 g ( x)1,
 f ( x)  g b ( x)

0 g ( x)1,

b
 f ( x)  g ( x);
  f ( x) 0,

 g ( x)1,

b
 f ( x)  g ( x).
Решение типовых заданий
(Простейшие уравнения и неравенства)
Задание 1. Решите уравнение log 0,5 (x - 1) = 2.
Решение.
Используя определение логарифма, получаем х - 1 = (0,5) 2, х = 1 + 0,25, х = 1,25.
Ответ: 1,25.
При решении логарифмических уравнений только с помощью определения логарифма
(как в задании 1) не требуется проверка. В остальных случаях, если решение происходит без
применения равносильных преобразований, проверка должна быть обязательным этапом
решения уравнения. Например, при решении уравнения
log3(x + l) = log3(-x - l) без равносильных преобразований получаем х = -1.
Проверка показывает, что х = -1 — посторонний корень.
Задание 2. Решите неравенство log 0,5 (х - 1) < 2.
Решение.
1-й способ. Представим 2 в виде логарифма по основанию 0,5.
log0,5(x - 1) < log0,5 0,25. Область определения неравенства х > 1. Поскольку логарифмическая
функция log 05 t с основанием
0 < 0,5 < 1 убывает, имеем х-1>0,25, х > 1,25. С учетом области определения получаем х >
1,25.
2-й способ. С помощью равносильных преобразований решение неравенства можно записать
следующим образом:
 x  1 0,
log0,5 (x – 1) < 2  
2
 x  1 (0,5)
 x1,

 x1,25.
Решением системы является промежуток (1,25; +  ).
Ответ: (1,25; +  ).
Задание 3. Решите неравенство log3(x + 7) < log3(5 - х).
Решение. Учитывая возрастание и область определения логарифмической функции у = log3 t,
получим, что исходное неравенство равносильно системе неравенств:
 х  7 0,

5  х 0,
 х  75  х


 7 х5,

2 х2

 7 х5,

 х1.
Решением системы неравенств является промежуток (-7;-1).
Ответ: (-7;-1).
Задание 4. Решите уравнение log 5 log 2 log 7 x = 0.
Решение. Преобразуем уравнение, начиная с внешнего логарифма. По определению
логарифма:
log 2 log 7 х = 50, log 7 х = 21, х = 7 2, х = 49.
Ответ: 49.
(Решение уравнений (неравенств) с использованием свойств логарифма)
Задание 5. Решите уравнение lg x2 + lg(x + 4)2 = -lg
1
.
9
Решение.
1-й способ. Преобразуя уравнение с учетом свойств логарифма и формул (3) и (2), получим
уравнение, равносильное данному:
2lg|x| + 2lg|x + 4| = 2lg3

lg|x (х + 4)| = lg3

 х( х  4)  3,
х( х  4)  3  
 х( х  4)  3.
Решая каждое из уравнений совокупности, получим
четыре корня: х1 = -2 +
7 , х2 = -2 –
7 , х 3 = -1, х4 = -3.
Проверку делать не нужно, так как все преобразования были равносильными.
2-й способ. Применим свойство «логарифма произведения», т.е. lg x2 + lg (x + 4)2 = lg (x(x +
4))
и решим уравнение (х(х + 4)) = 9.
Ответ: -2 +
7 , -2 –
7 , -1, -3.
Задание 6. Решите неравенство
log3 (х + 7) < log3 (5 - х) - log 1 (3 - х).
3
Решение. Сначала преобразуем неравенство с помощью свойств логарифма. Затем применим
свойство логарифма произведения: log3 х + log3 у =log3 (х у) (для х > 0, у > 0) и схему
равносильных преобразований.
log3 (х + 7) < log3 (5 - х) + log3 (3 - х)
log 3 ( x  7)log 3 ((5  x)(3  x)),

 5  x 0,
3  x 0

-7

1

 x  7 x 2  8 x  15,

 x  7 0,

 x5,
 x3
3
  x8

  x 1

 x  7

 x 3
8
х
Ответ: (-7; 1).
Метод введения новой переменной
Задание 7. Решите неравенство
1
1

log 9 (27 x) log 3 ( x)
Решение.
Преобразуем неравенство
с помощью свойств логарифма.
2
1

,
log 3 27  log 3 ( x) log 3 ( x)
2
1

.
3  log 3 ( x) log 3 ( x)
Введем новую переменную t = log 3 (- x). Неравенство примет вид:
2
1
t 3
 ,
 0.
3  t t t (3  t )
Решая неравенство с помощью метода интервалов, получим - 3 < t < 0 или t >3.
Остается решить неравенства: -3 < log3 (-х) < 0, log 3 (- х) > 3.
Область определения первоначального неравенства: х  -1, х  -3 -3 , х < 0.
Так как основание логарифма больше единицы, то, решая первое неравенство, получим -1<
х < -3 -3.
Решая второе неравенство, получим х < -27. Объединяя решения, получим ответ.
Ответ: (-  ; -27)  (1;
1
).
27
Метод разложения на множители
Задание 8. Решите уравнение log53x + 31og52 x = 
1
log x 5
.
В ответе запишите число корней уравнения.
Решение. Преобразуем уравнение с помощью свойств логарифма (ООУ: х  1, х > 0).
log53x + 31og52 x = - log
5
x,
log53x + 31og52x = -21og5 x.
Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим на множители:
(log5 2 х + 3log5 х + 2) • log5 x = 0.
Полученное уравнение на ООУ равносильно совокупности
log5 х = 0,
log52 х + 31og5 x + 2 = 0.
Решая каждое уравнение совокупности отдельно, получим х = 1, х = 0,2 и х = 0,04. С учетом
области определения получаем, что корнями уравнения являются числа 0,2 и 0,04.
Ответ: 2.
При решении уравнения произошло расширение области определения уравнения.
Действительно, ООУ начального уравнения задавалась условиями х  1, х > 0. После
преобразований с помощью свойств логарифма (переход к новому основанию) ООУ
уравнения стала х > 0. Обращайте внимание на изменение области определения уравнения
при применении этого свойства логарифмов.
Задание 9. Решите неравенство
3
2
log5 x + 3log5 x
1

log x 5
Решение. Преобразуем неравенство с помощью свойств логарифма (ООУ: х  1, х > 0), как
это сделано в предыдущем задании. Получим
(log5 2 x + 3log5 x + 2)log5x  0,
(log5 x + 2) (log5 x + 1)log5x  0.
Введем новую переменную t = log5 x и решим неравенство (t + 2) (t + 1) t  0 с помощью
метода интервалов, учитывая, что t  0 .
Получим, что решением неравенства относительно t является объединение двух
промежутков:
[- 2; -1]  (0; +  ). Переходя к прежней переменной х, получим:
-2 
log5 х  -1 или log5 х > 0.
Так как основание логарифма больше единицы, то, решая первое неравенство, получим
0,04  х  0,2.
Решим второе неравенство: х > 1. Объединим решения.
Ответ: (0,04; 0,2)  (1; +  ).
Функционально-графический метод
Применение функционально-графического метода при решении логарифмических уравнений
основано на свойствах монотонных и ограниченных функций. Обычно этот метод
применяют, когда в уравнение входит логарифмическая функция и любая другая (степенная,
показательная, тригонометрическая).
Задание 10. Решите уравнение log2 (3 - х) = 6 х 2005 - 5.
Решение. Можно заметить, что корнем уравнения является число 1. Докажем, что других
корней нет.
Функция у = log2 (3 - х) = 6х200 - 5 убывает на своей области определения.
Функция у = 6 х
200
- 5 возрастает на (-  ; +  ). Следовательно, графики этих функций
могут иметь не более одной точки пересечения. Абсцисса этой точки уже найдена.
Получаем, что единственным корнем уравнения является х = 1.
Ответ: 1.
Задание 11. Решите неравенство
(10x – x2 – 24) log2 (sin2
п
x +1)  1.
2
Решение. Введем в рассмотрение две функции у1 = 10x – x 2 – 24 и у 2 = log2 ( sin2
п
x + 11).
2
Найдем области значений этих функций.
Графиком функции у1 является парабола с вершиной х0 = 5 и направленными вниз ветвями,
значит,
у 1 принимает значения от -  до У1 (5) = 1, т.е. У1 (x)  1.
Так как 0  sin2
0  log2 (sin2
п
п
x  1, то 1  sin2 x + 1  2 и
2
2
п
x + 1)  1. Значит, у2 принимает значения от 0 до 1, т.е. 0  у2(х)  1.
2
Произведение у, и у2 может быть не меньше единицы только в том случае, когда обе эти
функции принимают значения, равные единице. Поэтому
(10x – x2 – 24) log2 (sin2

п
x +1)  1 
2
10 х  х 2  24  1,


2 п
х  1)  1.
log 2 (sin
2

Решение второго уравнения системы заведомо сложнее решения первого, но
решением системы могут являться только те х, которые удовлетворяют как второму
уравнению, так и первому, поэтому решения системы будут содержаться среди решений
первого уравнения. Достаточно их найти и подставить во второе уравнение для проверки.
Решением первого уравнения системы является х = 5. Подставим его во второе уравнение
системы, получим верное равенство, следовательно, 5 - решение системы.
Ответ: 5.
Задание 12. Решите уравнение
log2 (x2 + 3x + 3) +
х3  4 х  5  0 .
Решение. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда
каждое из них равно нулю. Поэтому
log2 (x2 + 3x + 3) +
х3  4 х  5  0


log 2 ( x 2  3x  3)  0,
 3
 x  4 x  5  0

 x 2  3 x  3  1,
 3
 x  4 x  5  0.
Корнями первого уравнения являются числа -1 и -2.
Решения системы содержатся среди этих чисел, поэтому достаточно проверить, являются ли
они корнями второго уравнения. Непосредственная подстановка показывает, что корнем
второго уравнения является число -1. Значит, оно является решением системы.
Ответ: – 1 .
При
решении
логарифмических
уравнений
и
неравенств,
содержащих
логарифмические выражения в показателе степени, используют логарифмирование обеих
частей уравнения.
Задание 13. Решите уравнение 101 - lg x = 1002 + lg x.
Решение.
ООУ: х > 0. Выражения в разных частях уравнения принимают только положительные
значения, значит, логарифмирование уравнения не приведет к потере корней.
Прологарифмируем уравнение: lg (101 – lg x ) = lg (100 2 + lg x).
Применяя свойства логарифма, получим
(1 – lg x )  lg 10 = (2 + lg x)  lg 100, 1 – lg x = 4 + 21g x,
31g x = -3,
lg x = -1,
x = 0,1.
Сужение области определения уравнения не произошло, значит, корни не потеряны.
Ответ: 0,1.
Наибольшую сложность представляют логарифмические уравнения и неравенства,
содержащие
переменную в основании логарифма. Они решаются с помощью схем
равносильных преобразований уравнений и неравенств.
Задание 14. Решите неравенство log x - 2 (x - 3)  0.
Решение. log x - 2 (x - 3)  0  log x - 2 (x - 3)  log x - 2 1.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем. Каждая из этих систем
характеризует один из двух возможных случаев для основания логарифма: x - 2 > 1 или 0 < x
- 2 < 1.
 х  21,

 х  3  1,
 х  3 0;

0 х  21,
 х  3  1


 х 3,

 х  4,
 х 3;

2 х 3,
 х  4


3 < x  4.
Ответ: (3; 4].
Задания для самостоятельного решения
Часть I
Ответом в заданиях этой части может быть целое число или число, записанное в виде
десятичной дроби.
1.
Решите уравнение 5  3
2.
Решите уравнение log2 х + log2 3 = log2 48.
3.
Решите уравнение log5 (2х + 1) - log5 4 = log5 2.
4.
Решите уравнение log7 (2x + 5) = 2.
5.
Решите уравнение log2(x + 3) = (log2(x + 17)) • log2(x + 3).
6.
Решите уравнение log4 (х - 2) + log 1 (x - 2) =
log3 x
= х + 6.
2
1
.
2
7.
Укажите
наименьшее целое решение неравенства log2(x-2)>l.
8.
Найдите
наибольшее
целое
решение
неравенства log 1 (х2 +3х + 12) < log 1 (9 3
3
х).
9.
х7
0
2х  5
Найдите наименьшее натуральное решение неравенства log 3
10. Найдите произведение корней уравнения
2 log4 2 x + log4 х – 1 = 0.
11. Найдите количество целочисленных решений неравенства log5(2x - 4) < log5(x + 3).
12. Найдите количество целочисленных решений неравенства log 1 (-x)  log 1 (2x + 9).
3
3
13. Решите уравнение lg(log3(log5 x)) = 0.
14. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций у1 = log3(2x -1) и у2 = 2 - log3(x +
1).
15. Сколько целых чисел входит в область определения функции у = 1 log 3 x ?
16. Сколько целых чисел входит в область определения функции у = 4 1  log 0,5 x ?
17. Укажите наименьшее целое число, входящее в область определения функции у =
1
.
log 2 ( x  4)  1
18. Укажите наименьшее целое решение уравнения log2 х  logx 2 = 1.
19. Укажите число корней уравнения log 1 (x4 + 1) = log 1 (2x2).
3
20. Укажите число корней уравнения
3
log 1 (x4 – 1) = log 1 (2x2 – 2).
3
3
21. Укажите число корней уравнения log2(х - 6) = 0,51og2 x.
22. Укажите сумму целых решений неравенства log3x > log3(5-x).
23.
Укажите число целых решений неравенства log 1 (2x + 3) < log 1 (3x-2).
7
24.
7
Укажите наибольшее целое решение неравенства 8
log8 ( 3  2 x )
 3
25. Решите неравенство log2 24 > log2(16 - х) + log2(2x - 6). В ответе укажите число целых
решений неравенства.
26. Решите уравнение log4 (7 - х)2 + log4 (x + 9)2 = 4 + log4 (x + 9)2.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его
корней.)
27. Укажите число корней уравнения
log3x2 + log
3
(x – 8)=4.
29. Укажите число корней уравнения log2 х2 + log2(x + 3)2 =2.
30. Укажите число корней уравнения log3(5 - х) =
х 1 .
2
31. Решите уравнение (3x - 81)lg(l - x) = 0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его
корней.)
x
= 2x.
32
2
32. Укажите число корней log 1
33. Решите уравнение log2 x - 2  log 2 x -3 = 0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех
его корней.)
2  log 5 (16  x 2 )
 0.
x 2  3x
2
34. Найдите количество целочисленных решений неравенства
35. Найдите значение выражения х  у, если (х; у) — решение системы
5 log 3 x  3 log 3 y  12,

4 log 3 x  3 log 1 y  15.

3
Часть II
Решите следующие задания с полным обоснованием решения.
1. Решите уравнение
log2 3 х - 3 log2 2 x =
10
log x 2
2. Решите уравнение log5 (х - 1,75) + 0,5 log5 (4 - 4х)2 =0.
3. Решите уравнение log 3 3 x – 2log 3 2x = 1 –
1
log x 3
.
4. Решите неравенство (-х2 - 8х - 15) log3(2 cos2 (ПX) +1)  1.
5. Решите уравнение lg2(x2 + х - 5) +
 х3  9 х  10 =0.
6. Решите уравнение lg2(2x3 + х2 + 12) + log25(2x2 + 5х + 3) = 0.
5 х  1 = 0.
2
7. Решите уравнение log 3 2 (2000 x3 – 1999 x2 + 1) +
8. Решите уравнение log 3 2 (200 x3 – 199 x2 – 1) +
9.
Укажите корни уравнения
5 х  5 = 0.
2
log cosx 2  log cos 2 x 3 = log 2 3
принадлежащие отрезку [-п; 2п].
10.
Решите уравнение
log 2x – 1 (х2 + Зх - 1) = 2.
11.
Решите уравнение log 1 – 2x (6x2 - 5х + 1) – log 1 -3x (4x2 -4x +1) = 2.
12.
Решите неравенство log x - 1(x + 2)  0.
13.
Решите неравенство log|x| - 1 |x: + 2|  0.
14.
Решите неравенство log
15.
lg 2 x  lg 2 y  1,
Решите систему уравнений 
log 2 x  log 2 y  log 2 5  1.
7 3
(4x – х2 - 2)  0.
16. Найдите все значения х, для которых точки графика функции у =
выше соответствующих точек графика функции у =
log 3 (2 x  1)
2 x
лежат
2
2х
17. Найдите все значения х, для которых точки графика функции у =
log 3 (2 x  1)
лежат не
2 x
ниже соответствующих
1
.
2х
точек графика функции у =
18. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими
точками графиков функций
f(x) = log2(0,5x - 1) и g(x) = 1 меньше 3.
19. Решите уравнение log3 2 x + log3 x = ( 6  х 2 )2 + x2.
2
20. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения 17log 11 (9  4 х ) и
17log 11(2 х  3)
 17log11 ( 2 x
2
 3 x  6)
принимают равные значения.
21.
Решите неравенство log7 (7 + |х - 5|) < sin
Пх
.
2
22. Найдите все значения х, при каждом из которых произведение значений выражений
216-6х и log2(3x - l) - 5 положительно.
23.
Найдите все значения х, при каждом из которых произведение значений выражений
3х - 729 и log5(2x - l) - 2 неположительно.
Среди заданий части I обязательно есть задания на нахождение наименьшего и
наибольшего значений функций.
Покажем примеры заданий с кратким ответом.
Задание 1. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log3(16-x2) на промежутке
0; 7 

Замечание. Можно заметить, что на промежутке 0; 7
 функция у = 16 - х убывает, т. е.
2
у(0) > у( 7 ). Функция g{t) = log 3 t возрастает на всей области определения. Значит,


наименьшее значение на промежутке 0; 7 функция g{x) = log3(16 - х2) принимает в точке
х0 =
7.
Решение. g ( 7 ) = log3(l6 - ( 7 )2 ) = log3(16 - 7) = log39 = 2.
Ответ: 2.
Задание 2. Укажите наибольшее целое число из области определения функции у = ln (35 — |
Зх - 11| ).
Решение. Областью определения логарифмической функции является промежуток (0; +  ),
значит, 35 - |3х- 11| > 0.
Решим неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, используя геометрическую
интерпретацию «модуля разности».
35 - |Зх - 11| > 0  |3x - 11| < 35  11 - 35 < 3x < 11 + 35.
35
35
- 24
11
-24 < Зх < 46

46
х
-8 < х < 15
Наибольшим целым числом из области определения является число 15.
Ответ: 15.
Задание 3. Укажите наибольшее значение функции у = 2 - log8 (2-x ); на отрезке [-3; 6].
Решение. Упростим выражение, стоящее в правой части формулы, |задающей функцию:
2 -log8 (2-x ) = 2 + x log82 = 2 + х 
1 1
= x+2
3 3
Получаем линейную функцию: у =
1
1
х + 2. Эта функция возрастает на R, т. к. k =
> 0.
3
3
Значит, наибольшее значение функция; принимает при х = 6.
y(6) =
1
 6 + 2 = 4.
3
О т в е т: 4.
Задания для самостоятельного решения
1. Найдите наибольшее значение функции g(x) = log0,5(x2 - 9) на промежутке [5; 7].
2. Найдите точку минимума функции f(x) = log2 (х2 - 9х + 21).
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
5. Найдите наименьшее значение функции
.
6. Найдите наибольшее значение функции
7. Найдите наименьшее значение функции
.
.
.
на отрезке
на отрезке
на отрезке
.