587.50Kb - G

Управление эволюцией мировой динамики на модели Форрестера параметрическим
регулированием
Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Адилов Ж.М., Боровский Ю.В., Айдарханов Д.Т., Ю Яогуо
В работе приведена компонента оптимальной (в смысле выбранного критерия) траектории развития
мировой динамики, полученной на базе модели Форрестера методом теории параметрического регулирования.
Проверена структурная устойчивость модели мировой динамики Форрестера без параметрического
регулирования и с параметрическим регулированием.
Ключевые слова: мировая динамика, математическая модель,
параметрическое регулирование, мультипликативный эффект.
слабая
структурная
устойчивость,
Введение
В современном сложном мире обостренно стоит проблема оценки рациональных тенденций его
развития [1, 2]. Одной из первых попыток рассмотрения этой проблемы была работа [2]. В этой работе на базе
социально-эколого-экономической модели мировой динамики был проведен сценарный анализ влияния
различных экзогенных параметров модели на основные мировые социально-экономические показатели.
Так в [2] рассматривалось влияния таких экзогенных параметров модели, как нормальное потребление
природных ресурсов, нормальное загрязнение, нормальный темп рождаемости, нормальное фондообразование,
коэффициент питания. В результате исследования влияний были установлены различные возможные варианты
эволюции мировой динамики.
Анализ ранее полученных в рамках данной модели результатов [2] показывает, что:
- не исчерпана возможность нахождения методами теории управления оптимальных значений
регулируемых параметров системы для поиска лучших сценариев развития мировой динамики.
- не проверена структурная устойчивость модели Форрестера, оценка которой является необходимым
условием для переноса полученных результатов исследования на реальную систему [3].
Одним из путей решения указанных задач является подход теории параметрического регулирования
развития динамических систем [4, 5]. Этот подход ранее показал свою эффективность на отдельных примерах
[6, 7].
В данной работе приводятся:
- проверка слабой структурной устойчивости (грубости) модели Форрестера без параметрического
регулирования.
- результаты нахождения (методами теории параметрического регулирования) оптимальных значений
управляемых параметров модели Форрестера, дающих возможность найти оптимальный (в смысле некоторого
критерия – показателя рациональности эволюции) вариант развития мировой динамики;
- проверка слабой структурной устойчивости (грубости) модели Форрестера с параметрическим
регулированием.
- результаты исследования зависимости найденных оптимальных значений критерия от неуправляемых
параметров модели.
1 Описание модели
Математическая модель модели «Мировой динамики» Форрестера [2] представлена следующей
системой обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений (здесь t - время):
(1)
P (t )  P(t )( Bn(t )  D(t ))
(2)
V (t )  CVG P(t )VM (M )  CVDV (t )
(3)
Z (t )  C Z P(t )ZV (VR )  Z (t ) / TZ (Z R )
R (t )  C R P(t ) RM (M )
S (t )  (CS SQ QM (M )S F ( F ) / QF ( F )  S (t )) / TS
M (t )  VR (t )(1  S (t )) E R ( RR ) /[(1  S N ) E N ]
F (t )  FS (S R ) FZ (Z R ) FP ( PR ) FC / FN
Bn(t )  P(t )C B BM (M ) BP ( PR ) BF ( F ) BZ (Z R )
D(t )  P(t )C D DM (M ) DP ( PR ) DF ( F ) DZ (Z R )
Q(t )  CQ QM ( M )QP ( PR )QF ( F )QZ ( Z R )
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
1
PR (t )  P(t ) / PN ,
VR (t )  V (t ) / P(t ) ,
S R (t )  VR (t )S (t ) / S N ,
RR (t )  R(t ) / R0 ,
Z R (t )  Z (t ) / Z N .
Рассматриваемая модель содержит следующие экзогенные константы
C Q - стандартное качество жизни,
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
C B - нормальный темп рождаемости,
C D - нормальный темп смертности,
FC - коэффициент питания,
C Z - нормальное загрязнение,
C R - нормальное потребление природных ресурсов,
FN - нормальный уровень питания,
E N - нормальная эффективность относительной величины фондов,
CVD - нормальный износ фондов,
CVG - нормальное фондообразование,
TS - коэффициент влияния загрязнения.
Экзогенные функции модели:
BM - множитель зависимости рождаемости от материального уровня жизни,
BP - множитель зависимости рождаемости от плотности населения,
BF - множитель зависимости рождаемости от питания,
BZ - множитель зависимости рождаемости от загрязнения,
DM - множитель зависимости смертности от материального уровня жизни,
DP - множитель зависимости смертности от плотности населения,
DF - множитель зависимости смертности от питания,
DZ - множитель зависимости смертности от загрязнения,
QM - множитель зависимости качества жизни от материального уровня жизни,
QP - множитель зависимости качества жизни от плотности населения,
QF - множитель зависимости качества жизни от питания,
QZ - множитель зависимости качества жизни от загрязнения,
FS - пищевой потенциал фондов,
FZ - множитель зависимости производства пищи от загрязнения,
FP - множитель зависимости производства пищи от плотности населения,
E R - множитель зависимости стоимости добычи природных ресурсов,
ZV - множитель зависимости загрязнения от удельного объема фондов,
TZ - время разложения загрязнения (отражает затрудненность естественного разложения при
увеличении загрязнения),
RM - множитель зависимости темпа добычи природных ресурсов от материального уровня жизни,
S Q - множитель зависимости доли фондов в сельском хозяйстве от относительного качества жизни,
SF
RR
PR
VR
ZR
SR
- множитель зависимости доли фондов в сельском хозяйстве от уровня питания,
- доля оставшихся ресурсов,
- относительная плотность населения,
- удельный капитал,
- относительное загрязнение,
- относительная величина сельскохозяйственных фондов,
2
Эндогенные переменные модели:
P - численность население мира,
V - основные фонды,
Z - уровень загрязнения,
R - остающаяся часть природных ресурсов,
S - доля фондов в сельском хозяйстве (т.е. в отрасли обеспечения пищей),
M - материальный уровень жизни,
F - относительный уровень питания (количество пищи на человека),
Q - уровень качества жизни,
Bn - темп рождаемости,
D - темп смертности.
В [2] использовались следующие значения коэффициентов и констант:
C B  0.04 , C D  0.028 , C Z  1 , C R  1 , C Q  1 , FC  1 , FN  1 , E N  1 ,
(16)
PN  3.6·109 , Z N  3.6·109 , S N  0.3 , TS  15 , TVD  40 , CVG  0.05 ;
а также следующие начальные условия для дифференциальных уравнений:
P0  1.65·109 , V0  0.4·109 , S 0  0.2 , Z 0  0.2·109 , R0  9·1011 ,
соответствующие начальному значению времени t 0  1900 . Эти данные были получены на основе наблюдений
за 1900-1970 годы.
В настоящей работе значения параметров C D , C Z , C R , C Q , TS , TVD из (16) принимаются равными
выше указанным данным. Значения параметров C B , CVG , и FC были заново оценены на основе данных о
численности населения Земли за 1901-2009 годы [8] и расчетных данных по функциям состояния V * (t ) , S * (t ) ,
R * (t ) , Z * (t ) (принятых при решении задачи параметрической идентификации в качестве наблюдаемых) на
основе модели (1-15). Эти значения определялись с помощью решения задачи параметрической идентификации
поисковым методом в смысле минимума критерия:
K
1
545
 [ P(t ) / P * (t )  1]2  [S (t ) / S * (t )  1]2  [ R(t ) / R * (t )  1]2  [Z (t ) / Z * (t )  1]2  [V (t ) / V * (t )  1]2  .
2009
t 1901
Здесь P * (t ) и P(t ) – соответственно наблюдаемые и модельные (расчетные) значения численности населения,
значения V (t ) , S (t ) , R(t ) , Z (t ) – расчетные данные системы (1-15). В результате решения указанной выше
задачи параметрической идентификации были получены следующие оценки значений оцениваемых параметров:
C B = 0.042095, CVG = 0.049644, FC = 1.078077. При этом относительная величина среднеквадратического
отклонения расчетных значений переменных от соответствующих наблюдаемых значений составила
приблизительно 100 K = 4.27% .
2. Исследование грубости (структурной устойчивости) математической модели без
параметрического регулирования
Математические результаты по регулированию (управлению) полученные на основе математических
моделей рассматриваемых объектов управления имеют ценность лишь в случае структурной устойчивости
используемых математических моделей [3].
Проведем проверку грубости (слабой структурной устойчивости) рассматриваемой модели (1-15) с
определенными выше значениями параметров в компактной области N с непустой внутренностью, лежащей в
области положительных значений фазовых переменных: {P  0, V  0, S  0, Z  0, R  0 } . Доказательство
опираясь на теорему о достаточных условиях грубости [9, Теорема А]. The conditions are as follows.
Let N  be some set and N be such a compact subset N  that the closure of interior of N would be N. Let some
vector field be given in the area of set N in N  , then this field would determine the C1 flow f in this area. The chain
recurrent set of the flow f on the N is marked as R( f , N ) .
Let the R( f , N ) be contained inside the N and have a hyperbolical structure; besides this, the f on the R( f , N )
would satisfy the transversality conditions on stable and unstable manifolds. Then the flow f on the N is weakly
structurally stable. Particularly, if the R( f , N ) is an empty subset, then the flow f weakly structurally stable on the N.
3
Statement 1. Let N be a compact set in area {P  0, V  0, S  0, Z  0, R  0 } , of the phase space of
differential equations system obtained from the (1-15), i.е. five-dimension space of variables {P, V , S , Z , R} ; closure of
interior of N coincides with the N. Then the flow f determined by the (1-15) is weakly structurally stable on the N.
F.i., a parallelepiped could be chosen as the N, with boundaries P  Pmin , P  Pmax , V  Vmin , V  Vmax ,
S  S min , S  Vmax , Z  Z min , Z  Z max , R  Rmin , R  Rmax . Here 0  Pmin  Pmax , 0  Vmin  Vmax , 0  S min  S max ,
0  Z min  Z max , 0  Rmin  Rmax .
The proof. To start with, let us make sure that the half-trajectory of the flow f beginning in any point of the set
N under a certain value of t (t>0) comes out from the N. Let us consider any half-trajectory starting in the N. There are
two cases possible for it if t  0 : all the half-trajectory points are left in the N, or for a certain t a point of the trajectory
does not belong to the N. It follows in the first case from equation (4) of the system R (t )  C R P(t ) RM (M ) that the
variable R(t) for all the t  0 has got a derivative that is less some negative constant in N, that is, the R(t) unlimitedly
tends to zero under the unlimited increase of the t. This is why, the first case is impossible, the orbit of any point from
the N comes out from the N.
As far as any chain recurrent set R( f , N ) is an invariant set of this flow, in case of its non-emptiness it should
consist of whole orbits. Consequently, in our case the R( f , N ) is empty. Для случая пустоты R( f , N ) слабая
структурная устойчивость рассматриваемой модели следует из теоремы А [9].
3 Выбор оптимальных законов параметрического регулирования и исследование грубости
(структурной устойчивости) математической модели с параметрическим регулированием
3.1 Выбор оптимальных законов параметрического регулирования
Рассмотрим возможность выработки рекомендаций по выбору рационального сценария развития
мировой политики (в смысле цели – максимизации среднего значения качества жизни за 1971-2100 годы) через
выбор оптимальных законов регулирования на примере экономических параметров FC коэффициент питания
(j=1) и C B - нормальный темп рождаемости (j=2).
Указанная задача выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне параметра
решалась в среде набора следующих зависимостей:
1) U1 j  const j  k1 j ( P(t ) / P(t 0 )  1) ;
2) U 2 j  const j  k 2 j ( P(t ) / P(t 0 )  1) ;
3) U 3 j  const j  k3 j ( R(t ) / R(t 0 )  1) ;
4) U 4 j  const j  k 4 j ( P(t ) / P(t 0 )  1) ;
5) U 5 j  const j  k5 j (Z (t ) / Z (t 0 )  1) ;
6)
U 6 j  const j  k 6 j (Z (t ) / Z (t 0 )  1) ;
(17)
7) U 71 j  const j  k 7 j (V (t ) / V (t 0 )  1) ;
8) U 8 j  const j  k8 j (V (t ) / V (t 0 )  1) ;
9) U 9 j  const j  k9 j (S (t ) / S (t 0 )  1) ;
10) U10 j  const j  k10 j (S (t ) / S (t 0 )  1) ;
11) U11 j  const j  k11 j (Q(t ) / Q(t 0 )  1) ;
12) U12 j  const j  k12 j (Q(t ) / Q(t 0 )  1) .


Здесь k ij  0 – настраиваемый коэффициент соответствующего закона Uij i  1, 12, j  1,2 ; const j –
базовое значение (без параметрического регулирования) коэффициента питания F C* (при j=1) или нормального
темпа рождаемости C *B (при j=2) соответственно; время начала регулирования t0 соответствует 1971 году.
Использование одного из законов (17) означает подстановку соответствующей функции из правой части
соответствующего соотношения (17) в уравнение (7) или (8) системы (1-15) вместо параметра FC или C B .
Задача выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне параметр FC в среде
набора алгоритмов (17) ставилась следующим образом. Найти на основе математической модели (1-15)
4
оптимальный закон параметрического регулирования в среде набора алгоритмов (17), то есть, найти
оптимальный закон из этого множества алгоритмов и его настраиваемый коэффициент, который обеспечил бы
максимум критерия, характеризующего среднее значение уровня качества жизни на отрезке времени от 1971 до
2100 года:
1 2100
(18)
K1 
 Q(t )
130 t 1971
при ограничениях:
2100
 Z (t )  Z ,
FC (t )  [0.9; 1.1] .
(19)
t 1971
Здесь Z - суммарное значение уровней загрязнения за 1971-2100 г.г. без параметрического регулирования.
Сформулированная задача решается в два этапа:
- на первом этапе определяются оптимальные значения коэффициентов kij для каждого закона (17)
путем перебора значений настраиваемых коэффициентов в промежутках вида [0, kijm ) квантованных с
достаточно малым шагом, обеспечивающих максимум критерия K1 при ограничениях (19). Здесь k ijm - первое
значение коэффициента, при котором нарушается (19).
- на втором этапе выбирается закон оптимального регулирования параметра (из двенадцати) на основе
результатов первого этапа по максимальному значению критерия K1.
Результаты численного решения задачи выбора оптимального закона параметрического регулирования
экономической системы на уровне указанного экономического параметра показывают, что наилучший результат
K1  0.70827 может быть получен при использовании следующего закона регулирования вида 8) из (17)
(20)
FC  FC*  0.158(V (t ) / V (t0 )  1) .
Заметим, что значение критерия (18) без параметрического регулирования составляет K1  0.6515 ,
приращение значения критерия при указанном параметрическом регулировании по сравнению с базовым
вариантом составляет 5.025%. (См. рис.1)
Рис. 1. Траектории, характеризующие изменение качества жизни Q.
5
Задача выбора оптимальной пары законов параметрического регулирования на уровне параметров FC и
C B в среде набора алгоритмов (17) ставилась следующим образом. Найти на основе математической модели (115) оптимальную пару законов параметрического регулирования в среде набора алгоритмов (17), то есть, найти
оптимальную пару законов из этого множества алгоритмов и их настраиваемые коэффициенты, которые
обеспечивали бы максимум критерия (18) при ограничениях (19).
Результаты численного решения задачи выбора оптимальной пары законов параметрического
регулирования экономической системы государства на уровне двух параметров FC и C B показывают, что
наилучший результат K1  0.703135 может быть получен при использовании следующей пары законов
FC  FC*  0.15(V (t ) / V (t 0 )  1) , C B  C *B  0.01( P(t ) / P(t 0 )  1) .
(21)
В этом случае при указанном параметрическом регулировании приращение значения критерия K1 по
сравнению с базовым вариантом составляет 7.93%.
Сравним полученные результаты параметрического регулирования эволюции динамической системы
(1-15) с найденными оптимальными законами на уровне одного (20), двух (21) параметров и результаты
сценария – увеличения параметра FC на 25% по сравнению с базовым решением (полученным для следующих
значений констант C B  0.042095 , C D  0.028 , C Z  1 , C R  1 , C Q  1 , FC  1.078077 , FN  1 , E N  1 ,
PN  3.6·109 , Z N  3.6·109 , S N  0.3 , TS  15 , TVD  40 , CVG  0.049644 и следующих начальных условий для
дифференциальных уравнений: P0  1.65·109 , V0  0.4·109 , S 0  0.2 , Z 0  0.2·109 , R0  9·1011 ).
Сравнение показывает, что при указанном выше сценарии (увеличении параметра FC на 25%) среднее
значение качества жизни (критерий K1) в промежутке времени с 1971 по 2100 годы уменьшается на 9.77% по
1 2100
сравнению с базовым вариантом, а среднее значение загрязнения
 Z (t ) увеличивается на 4.97% по
130 t 1971
сравнению с базовым вариантом. При использовании оптимального закона (20) по параметру FC , показатель
качества жизни по сравнению с базовым улучшается на 5.025%, а среднее значение загрязнения по сравнению с
базовым уменьшается на 3.5%. При этом значение коэффициента питания FC по оптимальному закону (19)
изменяется не более чем на 10% по сравнению с базовым значением этого коэффициента FC = 1.078077. При
использовании оптимальной пары законов вида (21) показатель качества жизни улучшается на 7.93%, а среднее
значение загрязнения уменьшается на 1% по сравнению с базовым вариантом.
3.2 Results of research of rigidness (structural stability) of the mathematical model with parametrical
regulation
Application of the found above optimal laws of parametrical regulation (21), means replacement of parameters
FC and C B by the relevant functions in the equations (7, 8), the rest equations of the model remain unchanged. The
proof of the weak structural stability of the mathematical model given in i.2 and basing on equation (4), allows finding
the following.
Statement 2. Let N be a compact set in area {P  0, V  0, S  0, Z  0, R  0 } , of the phase space of the
differential equations system obtained from the (1-15), i.e. five-dimension area of variables {P, V , S , Z , R} ; closure of
interior of N coincides with the N. Then the flow f determined by the (1-15) and (20) or (21) is weakly structurally stable
on the N.
4 Анализ мультипликативных эффектов
Как видно из [4], подход параметрического регулирования предоставляет возможность регулирования
параметров, которые входят в уравнения математической модели мультипликативно и это, также, видно из
рассматриваемой модели (1-15). Поэтому, естественно представить мультипликативные эффекты
параметрического регулирования развития мировой динамики как результат изменения регулируемых
параметров на соответствующие их приращения.
Процесс возникновения мультипликативных эффектов проиллюстрируем на полученных выше
результатах выбора оптимальных законов параметрического регулирования на уровне одного параметров n0 средняя норма накопления.
В результате решения задачи выбора оптимального закона параметрического регулирования, получены
законы вида (17), которые обеспечили прирост (уменьшение) критерия K соответственно на 5.025%, и 7.93%.
6
Эти изменения критериев (мультипликативный эффект) имеют место за счет приращений регулируемых
параметров FC  k 8,1 (V (t ) / V (t 0 )  1) и C B  k1, 2 ( P(t ) / P(t 0 )  1) с различными значениями настраиваемых
коэффициентов - результатов применения подхода параметрического регулирования.
5. Research of dependence of the optimum law of parametrical regulation on the values of uncontrolled
parameters
The given task of variational calculation considered its dependence on a two-dimensional factor ( C VG , C VD ) of
the mathematical model, whose possible values belong to some area (rectangle)  on the plane.
As a result of calculation experiment dependence graphs of the optimal value of criterion K on the values of
parameters C VG , C VD were obtained for each of the 24 possible laws U ij , i  1,12, j  1,2 . Figure 1 demonstrates the
given graphs for four laws U 2,1 , U 6,1 , U 11,1 , U 8,1 which give the biggest value of the criterion in area  and an
intersection lines of corresponding surfaces. Projection of this intersection lines upon the plane of values C VG , C VD ,
состоит из the bifurcation points of this two-dimensional parameter ( C VG , C VD ). This projection divides the rectangle
 into parts; в каждой из которых оптимальным является один из законов ( U 2,1 , U 6,1 , U 11,1 , U 8,1 )
параметрического регулирования. На границах этих областей оптимальными являются два (или три)
соответствующих закона.
7
Fig. 1. Graph of dependences of the criterion’s K optimal values on the parameters ( C VG , C VD ). Здесь цвета
соответствуют законам параметрического регулирования следующим образом:
U 11,1 ,
- U 2,1 ,
- U 6,1 ,
-
- U 8,1 .
6. Заключение
1. В рамках развития теории параметрического регулирования сформулированы и доказаны теоремы о
структурной устойчивости модели Форрестера без параметрического регулирования и с параметрическим
регулированием.
2. Методами теории параметрического регулирования найдены оптимальные законы параметрического
регулирования развития мировой динамики на уровне одного, двух экономических параметров и показан один
из эффективных путей выбора сценария рационального развития мировой динамики.
3. Оценены мультипликативные эффекты параметрического регулирования развития мировой
динамики.
4. Установлена зависимость оптимальных законов параметрического регулирования развития мировой
динамики от значений неуправляемых параметров.
5. Полученные результаты являются заметным вкладом в развитие теории управления нелинейными
динамическими системами.
References
[1] Матросов В.М., Измоденова-Матросова К.В. Учение о ноосфере, глобальное моделирование и
устойчивое развитие. Москва, Академия, 2005. (in Russian)
[2] Forrester J.W., World Dynamics Pegasus Communications, 1973
[3] Arnold V.I., Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag,
1988.
[4] Ashimov A.A., Sagadiyev K.A., Borovskiy Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov As.A.. On the market
economy development parametrical regulation theory. Kybernetes, The international journal of cybernetics, systems and
management sciences. Vol.37, No. 5, 2008. P.623-636.
[5] Ashimov A.A., Borovsky Yu.V., Sultanov B.T., Iskakov N.A., Ashimov As.A. The elements of
parametrical regulation theory of economical system evolution of a country. Moscow: Physmathlit, 2009. (in Russian).
[6] Ashimov A.A., Sagadiyev K.A., Borovskiy Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov As.A.. Multi-targeted
parametrical regulation of market economy development with the account of non-controlled parameters influence.
8
Proceedings of the 10th IASTED International Conference on Intelligent Systems and Control, November 19-21, 2007,
Cambridge, MA, USA. P. 280-284.
[7] Ashimov A.A., Iskakov N.A., Borovsky Yu.V., Sultanov B.T., Ashimov As.A.. On the development of
usage of the market economy parametrical regulation theory on the basis of one-class mathematical models, Proceedings
of 19th International Conference on Systems Engineering ICSEng 2008. 19-21 August, 2008. Las Vegas, Nevada, USA.
P. 43-48.
[8] CIA World Factbook – https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/index.html.
[9] Robinson C., Structural Stability on Manifolds with Boundary, Journal of differential equations, No.
37, 1980. P. 1-11.
9