Below are given the findings of the research on the conditions that

УДК 517.9
Боровский Ю.В., к. ф.-м. н., доцент, сениор лектор Казахстанско-Британского
Технического Университета, г. Алматы, Республика Казахстан
О МНОГОЦЕЛЕВОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕГУЛИРОВАНИИ РАЗВИТИЯ
РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ
ПАРАМЕТРОВ
В работе представлены некоторые результаты по разработке подхода к
параметрическому регулированию развития экономической системы с различными ее
подобластями функционирования, и исследования зависимостей оптимальных
параметрических воздействий от изменения неуправляемых параметров. Построены
бифуркационные линии экстремалей задачи вариационного исчисления по выбору
оптимальных законов параметрического регулирования в среде заданного конечного
набора алгоритмов при двухпараметрическом возмущении.
Ключевые
слова:
математическая
модель
экономической
системы,
параметрическое регулирование, задача вариационного исчисления, экстремаль,
бифуркация.
Borovskiy Yu.V., the candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer, Kazakh–
British Technical University, Almaty, Kazakhstan
MULTI-TARGETED PARAMETRICAL REGULATION OF MARKET ECONOMY
DEVELOPMENT with the ACCOUNT of NON-CONTROLLED PARAMETERS
INFLUENCE
The paper presents the findings on working out an approach to a parametrical
regulation of market economy system developing with a variety of its functioning subareas,
and the studies of optimal parametrical impacts dependences on non-controlled parameters
alterations. The bifurcation lines of extremals are formed up for a task of variational
calculation at the choice of the optimum laws of parametrical regulation in the framework of
the given finite set of algorithms under a bi-parametrical perturbation.
Key words: Mathematical model of economy, parametrical regulation, extremal, task
of calculus of variations, bifurcation.
1. ВВЕДЕНИЕ
Известно, что экономическая система страны может быть описана с помощью
системы обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида.
dx
 f ( x, u ,  ) , x(t 0 )  x0 .
(1)
dt
Здесь вектор состояния системы - x  ( x1 , x 2 ,..., x n )  X  R n ; вектор
(регулирующих) параметрических воздействий - u  (u 1 , u 2 ,..., u l )  W  R l ; W, Х –
компактные множества c непустыми внутренностями - Int (W ) и Int (X )
соответственно;   (1 , 2 , , m )    R m , 
- открытое связное множество;
1
f
f
f
,
,
непрерывны в X W   ;
x u 
[t 0 , t 0  T ] - фиксированный промежуток (времени); t  [t 0 , t 0  T ] ; x0  Int ( X ) .
В [1] предложен состав и в [1-7] представлены результаты по разработке
элементов теории параметрического регулирования развития рыночной экономической
системы (1). Данная теория позволяет выбирать законы параметрического
регулирования в среде компонентов вектора u в заданном множестве алгоритмов.
Выбор указанных законов осуществляется из условия экстремума некоторого
функционала.
Эти
функционалы
характеризуют
эффективность
развития
экономической системы (1).
Область функционирования экономической системы (1) в рамках некоторых
компонентов вектора х – эндогенных показателей может быть представлена двумя
подобластями – допустимой и недопустимой подобластями. Например, для
эндогенного показателя - уровня цен естественно задать допустимую и недопустимую
подобласти. Недопустимая подобласть может характеризовать недопустимые уровни
инфляции и дефляции. Естественно, также, предположить существование
соответствующих целей регулирования для каждой подобласти функционирования
экономической системы.
Как показывает предложенная теория параметрического регулирования [2],
результаты по выбору оптимальных параметрических воздействий зависят от
изменения вектора  . Изменение вектора  может привести к бифуркации
экстремалей задачи вариационного исчисления по выбору оптимального набора
законно параметрического регулирования в среде заданного множества алгоритмов [2].
В известной нам литературе отсутствует решение задачи выбора оптимальных
наборов законов параметрического регулирования развития рыночной экономики для
соответствующих подобластей функционирования рассматриваемого объекта с учетом
влияния неуправляемых параметров.
В данной работе предлагается на основе применения теории параметрического
регулирования решение вышеуказанной задачи с учетом изменения вектора  .
отображения f ( x, u,  ) : X  W    R n и
2. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ МНОГОЦЕЛЕВОГО
ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ РАЗВИТИЯ РЫНОЧНОЙ
ЭКОНОМИКИ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
Рассматриваемая задача решается на базе теории параметрического
регулирования и на примере следующей математической модели [8], в которой фазовые
ограничения и ограничения в разрешенной форме исследуемой задачи вариационного
исчисления по выбору законов параметрического регулирования представлены
следующими соотношениями:
dM  I

 M ,
dt
pb
dQ

 Mf  ,
dt
p
G
dL
 rG LG   G  n p   nL sR L  nO (d P  d B ) ,
dt
dp
Q
 
p,
dt
M
(2)
(3)
(4)
(5)
2
 Rd  RS  L
ds s
d
S
 max 0,
, R  min{ R , R } ,
S
dt 
R


1 G
Lp 
L ,
(6)
(7)

dp 
1

r2 LG ,
(8)
d B  r2 LG ,
(9)

   s 
x
1   
1     p 
1


R d  Mx ,
 0   0 pMf ,


,


(10)
(11)
(12)
 G  pMf ,
(13)
1
 1    1
f  1  1 
x ,



L
d
  (1  n L ) sR ,
I 
(14)
(15)
1

  (1   )n p
(1  n )
p
G

 
(16)
 n0 (d  d )  n p   nL  (1  nL )n p sR  (   rG ) L ,
B
P
  0  G   L   I ,
1
R S  P0A exp(  p t )
,
1  
0
L
*
p
(17)


.
pP0 exp(  p t )
L
(18)
Здесь обозначены: М – суммарная производственная мощность; Q – общий
запас товаров на рынке; LG – общий объем государственного долга; p– уровень цен; s –
ставка заработной платы; Lp – объем задолженности производства; dp и dB–
соответственно предпринимательские и банковские дивиденды; Rd и RS –
соответственно спрос и предложение рабочей силы; δ, v - параметры функции f(x), x –
решение уравнения f ( x)  s ; ФL и Ф0 – соответственно потребительские расходы
p
трудящихся и собственников; ФI – поток инвестиций; ФG – потребительские расходы
государства; ξ - норма резервирования; β – отношение средней нормы прибыли от
коммерческой деятельности к норме прибыли рантье; r2 – ставка процента по
депозитам; rG – ставка процента по облигациям государственных займов; η0 –
коэффициент склонности собственников к потреблению; π – доля потребительских
расходов государства от внутреннего валового продукта; np, n0, nL – соответственно
ставки налогов на поток платежей, дивиденды и доход трудящихся; b – норма
фондоёмкости единицы мощности; μ – коэффициент выбытия единицы мощности
вследствие деградации; μ* - норма амортизации; α – постоянная времени; Δ –
постоянная времени, задающая характерный временной масштаб процесса релаксации
заработной платы; P0, P0A – соответственно начальные значения численности
трудящихся и общей численности трудоспособных; λp>0 – заданный темп
демографического роста; ω – душевое потребление в группе трудящихся.
3
Параметры модели и начальные условия для дифференциальных уравнений (7)(11) были получены на основе данных экономики Республики Казахстан за 1996-2000
годы.
В рамках рассматриваемой модели для уровня цен можно условно выделить две
подобласти: допустимую и недопустимую подобласти изменения уровня цен.
Недопустимую подобласть (А) изменения уровня цен можно определить с помощью
неравенств: p(t )  pl (t ) или p(t )  pt (t ) , где pl (t ) - нижняя допустимая граница
изменения уровня цен, а pt (t ) - верхняя допустимая граница изменения уровня цен
( pl (t )  pt (t ) , t  [t 0 , t 0  T ] ). Выполнение неравенства p(t )  pl (t ) показывает наличие
процесса некоторой дефляции, а выполнение - p(t )  pt (t ) показывает наличие
некоторой излишней инфляции. Допустимая подобласть (В) изменения уровня цен
можно задать с помощью неравенства pl (t )  p(t )  pt (t ) , t  [t 0 , t 0  T ] .
В зависимости от нахождения значений уровня цен в подобласти А или В
постановка задачи выбора оптимальных законов параметрического регулирования
(воздействия) сводится к следующим задачам:
- в подобласти А необходимо найти и реализовать такие законы
параметрического регулирования в среде некоторого заданного набора алгоритмов с
учетом влияния нерегулируемых параметров, которые обеспечивают минимум
критерия, характеризующего качество переходных процессов при наложенных
ограничениях на возможные значения соответствующих показателей состояния
экономики и параметров регулирования (блок А).
- в подобласти В необходимо найти и реализовать такие законы
параметрического регулирования в среде некоторого заданного набора алгоритмов с
учетом влияния нерегулируемых параметров, которые обеспечивают максимум
среднего ВВП на заданном интервале времени при наложенных ограничениях на
возможные значения соответствующих показателей состояния экономики и параметров
регулирования (блок В);
Предлагаемый подход реализуется следующим образом. В начале по
результатам решения задачи параметрической идентификации запускается процесс
моделирования экономической системы. Предварительно, по результатам
моделирования определяются подобласти А и В для значений p (t ) . В алгоритме
вычислительного эксперимента имеется логическое условие, определяющее
нахождение значения уровня цен в той или иной подобласти. Если в процессе этой
оценки окажется, что значение p (t ) находится в подобласти А, то включается блок А
решения задачи вывода объекта из недопустимой подобласти А в допустимую
подобласть В. Если же значение p (t ) оказывается в подобласти В, то включается блок
В, обеспечивающий достижение максимума среднего уровня ВВП на заданном
интервале времени.
2.1. Блок А
Рассмотрим теперь возможность осуществления эффективной государственной
политики в рамках блока А через выбор оптимальных законов регулирования с учетом
влияния вектора   (r2 , nO ) в среде следующих экономических параметров: доля
потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта (  ), ставка
процента по облигациям государственных займов ( rG ) и норма резервирования (  ).
4
0, если pl (t )  p(t )  pt (t ),

Пусть p(t )   p(t )  pl (t ), если p(t )  pl (t ),
 p(t )  p (t ), если p(t )  p (t ).
t
t

В работе при нахождении уровня цен в недопустимой подобласти А выбор
оптимальных законов параметрического регулирования осуществляется среде набора
следующих зависимостей (законов регулирования):
k 2 j t0 t p(t )
p(t )
1) V1 j  k1 j
 const j , 2) V2 j  
dt  const j ,

p(t 0 )
t t0 p(t 0 )
 p(t ) 1 t0 t p(t ) 
3) V3 j  k 3 j 
 
dt   const j
 p(t 0 ) t t0 p(t 0 ) 
(19)
Здесь случай j=1 соответствует параметру ξ; j=2 – параметру π; j=3 –
параметру rG ; k ij – настраиваемый коэффициент i-го закона регулирования j-го
параметра, k ij  0 ; constj – постоянная, равная оценке значения j-го параметра по
результатам параметрической идентификации.
Задачу выбора оптимального закона параметрического регулирования на
уровне одного из экономических параметров ( , , rG ) с учетом влияния
нерегулируемых параметров можно сформулировать в следующем виде. Найти на
основе математической модели (2–18) для каждого возможного значения вектора   
оптимальный закон параметрического регулирования на уровне одного из трёх
экономических параметров ( , , rG ) в среде набора алгоритмов (19), то есть, найти
оптимальный закон из множества { Vij }, который обеспечил бы минимум критерия
K1 
1 t0 T
p(t ) 2 dt  min .

{Vij ,kij }
T1 t0
(20)
при ограничениях
M (t )  M ** (t )  0,09M ** (t ) , ( M (t ), Q(t ), LG (t ), p(t ), s(t ))  X ,
0  Vij (t )  a j , i  1,3, j  1,3, где t  [t 0 , t 0  T ],
(21)
  .
Здесь  - некоторая область на плоскости (r2 , nO ) , a j - наибольшее возможное
значение j-го параметра, M ** (t ) модельные (расчетные) значения ВВП без
параметрического регулирования, X - компактное множество допустимых значений
указанных параметров.
Алгоритм регулирования апробировался на модели экономики Республики
Казахстан для границ изменения уровня цен pl (t )  0,9 и pt (t )  1,1 . В результате
вычислительного эксперимента были получены графики зависимостей оптимального
значения критерия K от значений параметров (r2 , nO ) для каждого из 9 возможных
законов Vij , i  1,3, j  1,3 . На рисунке 1 представлены указанные графики для четырех
законов ( V11,V12 ,V21,V22 ), дающих наименьшие значения критерия K1 в области  ,
линии пересечения соответствующих поверхностей и проекция этих линий пересечения
на плоскость значений  . Указанные проекции линий состоят из точек бифуркации
этого двумерного параметра  которые делят прямоугольник  на части, внутри
5
каждой из которых оптимальным является только один закон управления, на самой
проекции линий два или три различных закона являются оптимальными.
Рис. 1. Оптимальные значения критерия K1 .
2.2. Блок В
При нахождении уровня цен в допустимой подобласти В возможность выбора
оптимального набора законов параметрического регулирования на уровне двух
параметров  (j = 1) и  (j = 2) с учетом влияния нерегулируемых параметров и в
интервале времени [t 0 , t 0  T ] исследуется в среде следующих алгоритмов.
M  M0
1)U 1 j (t )  k1 j
 const j ,
M0
3)U 3 j (t )  k 3 j
p  p0
 const j ,
p0
2)U 2 j (t )  k 2 j
M  M0
 const j ,
M0
4)U 4 j (t )  k 4 j
p  p0
 const j ,
p0
(22)
 M  M 0 p  p0 
 M  M 0 p  p0 
  const j .
6)U 6 j (t )  k 6 j 

  const j ,
5)U 5 j (t )  k 5 j 


p0 
p0 
 M0
 M0
Здесь M 0 , p0 - начальные значения соответствующих переменных, а const j - оценка
соответствующего параметра, полученная по результатам параметрической
идентификации модели.
Задачу выбора оптимального закона параметрического регулирования на
уровне одного из экономических параметров ( ,  ) с учетом влияния нерегулируемых
параметров можно сформулировать в следующем виде. Найти на основе
6
математической модели (2–18) для каждого возможного значения вектора   
оптимальный закон параметрического регулирования на уровне одного из двух
экономических параметров ( ,  ) в среде набора алгоритмов (22), то есть, найти
оптимальный закон из множества { U ij }, который обеспечил бы максимум критерия
K
1 t0 T
,
 Mfdt  {Umax
T t0
ij , kij }
(23)
при ограничениях
p(t )  p ** (t )  0.09 p ** (t ),
( M (t ), Q(t ), LG (t ), p(t ), s(t ))  X ,
0  U ij (t )  a j , i  1,6, j  1,2, t  [t 0 , t 0  T ],
(24)
  .
**
Здесь p (t ) - модельные (расчетные) значения уровня цен без параметрического
регулирования.
Сформулированная задача решается методом, аналогичным методу решения
задачи из блока А. В результате вычислительного эксперимента были получены
графики зависимостей оптимального значения критерия K от значений параметров
(r2 , nO ) для каждого из 12 возможных законов U ij , i  1,6, j  1,2 . На рисунке 1
представлены указанные графики для двух законов U 21 и U 41 , дающих наибольшее
значение критерия в области  , линия пересечения соответствующих поверхностей и
проекция этой линии пересечения на плоскость значений  , состоящая из точек
бифуркации этого двумерного параметра. Эта проекция делит прямоугольник  на две
части, в одной из которых оптимальным является закон управления U 21 , а в другой U 41 , на самой проекции линии оба указанных закона являются оптимальными.
7
Рис. 2. Оптимальные значения критерия K.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе теории параметрического регулирования предложен подход к
решению задачи многоцелевого параметрического регулирования развития рыночной
экономики с учетом влияния неуправляемых параметров.
Установлены факты бифуркаций экстремалей задач вариационного исчисления
по
выбору
законов
параметрического
регулирования
для
подобластей
функционирования экономической системы при двухпараметрических возмущениях.
Выявлен более сложный характер бифуркационных линий при выборе закона
параметрического регулирования для недопустимой подобласти.
Полученные результаты могут быть рекомендованы для использования при
разработке и осуществлении эффективной государственной политики.
ИСТОЧНИКИ И ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ashimov A.A., Sagadiev K.A., Borovsky Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov As.A.
Elements of the Market Development Parametrical Regulation Theory. A Publication
of the International Association of Science and Technology for Development.
Proceedings of the Ninth IASTED International Conference on Control and
Applications. - Montreal, Quebec, Canada, 2007. P. 296-301
Ashimov A.A., Sagadiev K.A., Borovsky Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov As.A. On
bifurcation of extremals of one class of variational calculus tasks at the choice of the
optimum law of a dynamic system’s parametric regulation. Proceedings of Eighteenth
International Conference on Systems Engineering. - Coventry, UK, 2006. P. 15-19.
Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Волобуева О.П., Ашимов Ас.А. О выборе
эффективных законов параметрического регулирования механизмов рыночной
экономики // Автоматика и телемеханика. 2005. № 3. С. 105-112.
Ashimov A., Borovskiy Yu., Ashimov As. Parametrical Regulation of Market
Economy Mechanisms // Proc. 18th International Conference on Systems Engineering
ICSEng - Las Vegas, Nevada, USA, 2005, P. 189-193.
Kulekeev Zh., Borovskiy Yu., Ashimov A., Volobueva O. Methods of the
parametrical regulation of market economy mechanisms. Proceedings of the 15th
international conference on systems science. V. 3. – Wroclaw: OWPW, 2004, P. 439446.
Ashimov A., Borovskiy Yu., Ashimov As. Parametrical Regulation Methods of the
Market Economy Mechanisms. Systems Science. Vol. 35, 2005. No. 1, P. 89-103.
Ashimov A.A., Sagadiev K.A., Borovsky Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov As.A
Parametrical regulation of nonlinear dynamic systems development. Proceedings of
the 26th IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. Innsbruck, Austria, 2007. P. 212-217.
Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического
моделирования экономики. - Москва: Энергоатомиздат, 1996.
8