Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Факультет экономики Программа дисциплины МАТЕМАТИКА КОНФЛИКТОВ для направления 08.1100.68 "Государственное и муниципальное управление" подготовки магистра Автор: доцент, к.т.н. А.А. Рубчинский [email protected] Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры высшей математики на ф-те экономики Зав. кафедрой проф. Алескеров Ф.Т. Председатель _____________________________ ________________________________ «_____» __________________ 20__ г. «____»__________________ 20__ г Утверждена УС факультета Государственного и муниципального управления Ученый секретарь _________________________________ « ____» ___________________20__ г. Москва 2011 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы. 1 Тематический план учебной дисциплины № Всего часов Название темы Аудиторные часы СамостояСеминарские тельная Лекции работа занятия Раздел I. Содержательные описания и формальные модели конфликтов Общесистемная проблема достижения цели и её блок-схема Естественность и имманентность конф2 ликтов в мире Игровые модели и конфликтные ситуа3 ции 1 Всего 5 1 − 4 6 1 1 4 7 2 1 4 18 4 2 12 Раздел II. Теория игр – базовая модель конфликтов 4 Принцип гарантированного результата 9 2 2 5 5 Матричная игра, седловые точки, чистые и смешанные стратегии 11 2 2 7 6 Равновесия Нэша 8 2 1 5 7 Дилемма заключённого и размывание социального капитала 8 2 1 5 36 8 6 22 Всего Раздел III. Повторяющиеся игры и коллективное поведение 8 9 10 Экспериментальное исследование дилеммы заключённого. Коллективное взаимодействие и гипотеза индикаторного поведения. Модели и примеры коллективного поведения в конфликте Всего 10 2 2 6 12 2 2 8 14 4 2 8 36 8 6 22 Раздел IV. Неигровые конфликты 11 Обобщённые паросочетания 8 2 2 4 12 Задача голосования и парадокс Эрроу 10 2 2 6 13 Пропорциональное представительство 6 2 − 4 14 Коалиции и индексы влияния 10 2 2 6 15 Манипулирование или стратегическое поведение? 10 2 2 6 44 10 8 26 Всего 2 Раздел V. Задача справедливого дележа 16 Модель Брамса-Тэйлора 7 2 1 4 17 Условия справедливости дележа 9 2 1 6 18 Задачи дележа в разрешении конфликтов 10 2 2 6 Всего 26 6 4 16 Итого 108 38 26 98 Базовый учебник: Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с. Формы контроля Текущий контроль: письменная аудиторная контрольная работа (80 мин.; модуль 1), письменная аудиторная контрольная работа (80 мин.; модуль 2). Итоговый контроль: письменная зачётная работа (80 мин., модуль 1), письменная зачётная работа (80 мин., модуль 2) Оценки за контрольную работу ОКР в каждом из двух модулей, работу студента на семинарских занятиях в первом и втором модулях ОС, зачётную работу ОЗ в первом и втором модулях, а также итоговая оценка студента за дисциплину в целом ОИ ставятся в десятибалльной шкале. Все эти оценки округляются до целого числа баллов. Итоговая десятибалльная оценка успеваемости студента по дисциплине в целом ОИ в каждом модуле определяется по формуле ОИ = 0,3 ОКР + 0,5 ОЗ + 0,2 ОС . Перевод итоговой десятибалльной оценки в пятибалльную осуществляется по правилу: 0 ОИ 3 – неудовлетворительно, 4 ОИ 5 – удовлетворительно, 6 ОИ 7– хорошо, 8 ОИ 10 – отлично. Содержание программы Раздел 1. Содержатедьные описания и формальные модели конфликтов Общесистемная задача достижения цели. Основная блок-схема. Оперирующие стороны и метаигроки. Естественность и имманентность конфликтов в мире. Закон и Практика – постоянные источники конфликтов. Основные задачи принятия решений в конфликтных ситуациях: условия определённости, риска, неопределённости и противодействия. Игровые модели и конфликтные ситуации. Примеры конфликтов. Основная литература: 1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 10, 11. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с. 2. Шеллинг Т. Стратегия конфликта. М.: ИРИСЭН, 2007. 3. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. Учебное пособие. 5-е изд., стер. М.: КноРус, 2010. 192с. Дополнительная литература: 1. Воробьёв Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. Предисловие и введение.М.: Наука, 1985. 272 с. 3 2. Барсукова С.Ю. Неформальная экономика. М.: Изд. дом ВШЭ, 2009. 354с. 3. Дальгрен Л. Вопреки абсурду (воспоминания бывшего генерального директора ИКЕА в России). М.: ООО «Юнайтед Пресс». 2010. 229с. 4. Коэн Г. Обо всём можно договориться. М.: АСТ: АСТ МОСКВА. 2010. 284с. 5. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. Часть I. Введение. М.: Сов. Радио, 1977. 304с. Раздел 2. Теория игр – базовая модель конфликтов Игра с природой. Оптимизация в условиях неопределённости и многокритериальная оптимизация. Принцип гарантированного результата. Другие принципы. Матричная игра – простейшая игровая модель. Седловая точка. Чистые и смешанные стратегии. Биматричные игры. Равновесие Нэша. Случай нескольких игроков. Дилемма заключённого и размывание социального капитала. Игра Аумана. Координационные игры. Общественные блага и игра в цыпленка. Фокальные равновесия. Игровые модели контроля над вооружениями. Модели нарушения соглашений. Основная литература: 1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 10, 11. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с. Дополнительная литература: 1. Мюллер Д. Общественный выбор III. М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 2007. Глава 1 (Введение); глава 2 (Причина коллективного выбора – аллокативная эффективность), §§ 2.1 – 2.3. 2. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. Часть I. Введение. М.: Сов. Радио, 1977. 304с. Раздел 3. Повторяющиеся игры и коллективное поведение Экспериментальное исследование дилеммы заключённого. Повторяющиеся игры. Более широкая модель: коллективное поведение и гипотеза индикаторного поведения. Модель распределения сырья. Модель распределения операционных помещений. Основная литература: 1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 10, 11. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с. Дополнительная литература: 1. Мюллер Д. Общественный выбор III. Глава 1 (Введение); глава 2 (Причина коллективного выбора – аллокативная эффективность), §§ 2.1 – 2.3. М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 2007. 2. Бурков, В.И. Опойцев. Теория активных систем. Главы 1, 2. М.: Наука, 1975. 3. Rubchinsky A. Time Allocation in Surgery Coordination Center. International Conference on Control Sciences, Book of Abstracts, vol.2, pp.41-42. Institute of Control Science, Moscow, 1999. Раздел 4. Неигровые конфликты Обобщённые паросочетания. Задача голосования и парадокс Эрроу. Коллективные решения. Системы пропорционального представительства. Коалиции и влияние групп в выборных органах. Пространственные модели в политологии и теорема о медианном голосовании. Манипулирование или стратегическое поведение? Основная литература: 1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 2, 4, 5, 6, 7. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с. 2. Алескеров Ф.Т., Ортешук П. Выборы. Голосование. Партии. – М., 1995. – 213 с. Дополнительная литература: 4 1. Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Сатаров Г.А., Соколова А.В., Якуба В.И. Влияние и структурная устойчивость в российском парламенте. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 312 с. 2. Hinich M.J., Munger M.C. Analytical Politics. Cambridge University Press, 1997. 320 c. Раздел 5. Задача справедливого дележа Разрешение конфликтов как задача справедливого дележа. Модель Брамса-Тэйлора и метод подстраивающегося победителя. Делимые и неделимые пункты. Условия справедливости. Задача дележа при двух и нескольких участниках. Алгоритмы нахождения справедливых дележей. Другие модели дележа. Основная литература: 1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 9. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с. Дополнительная литература: 1. Brams, S.J., Taylor, A.D. The Win-Win Solution. W.W. Norton & Company, 1999 (русский перевод: С.Д. Брамс, А.Д. Тэйлор. Делим по справедливости. М.: СИНТЕГ, 2002). 3. Rubchinsky A. Fair Division with Divisible and Indivisible Items: Working paper WP7/2009/ 05. Moscow: NRU Higher School of Economics, 2009. Тематика заданий по различным формам контроля Аудиторная контрольная работа 1: задачи по темам 1 – 6. Аудиторная контрольная работа 2: задачи по темам 10 –15. Зачётная аудиторная работа 1: задачи и вопросы по темам 4 – 9. Зачётная аудиторная работа 2: задачи и вопросы по темам 13 – 18. Вариант аудиторной контрольной работы 1 1. Есть ли седловая точка у функции x2 y2 ? 2. Есть ли седловая точка у функции y2 x 2 ? 3. Найти max min 𝐹(𝑥, 𝑦) и min max 𝐹(𝑥, 𝑦), если 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 F(x,y) = (x – y)2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1; F(x,y) = (x – y)2 – 0,5x2, -1 ≤ x ≤ 1, -0,5 ≤ y ≤ 0,5. 4. Найти решение в чистых стратегиях в игре с матрицей A = (aij)35, где aij = i – j. 5. Найти оптимальные чистые стратегии в игре и чистую цену игры с платёжной матрицей Q 7 6 5 6 1 8 2 3 8 1 3 2 6. Найти оптимальные смешанные стратегии обоих игроков в игре с матрицей 1 9 4 6 4 3 2 8 7. Удалить доминируемые стратегии в игре с матрицей 5 2 8 3 7 3 6 4 5 6 6 1 5 3 8 1 8 6 3 9 8. Пусть задана следующая игра с участием двух игроков: Первый игрок загадывает любое целое число от 1 до 3. Второй игрок должен отгадать это число. Если второй игрок указывает число правильно, он получает выигрыш, равный значению этого числа. В противном случае этот выигрыш получает первый игрок. 1. Определить число стратегий игроков и составить платёжную матрицу задачи. 5 2. Определить нижнюю и верхнюю цену игры. 3. Установить, существует ли в данной игре решение в чистых стратегиях. Вариант аудиторной контрольной работы 2 1. Пусть М = {m1, m2, m3}, W = {w1, w2, w3} и предпочтения участников имеют вид: P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m1, m2. Найти устойчивое паросочетание μM 2. Постройте мажоритарный граф при следующих предпочтениях участников на множестве N = {1,2,3,4} относительно кандидатов из множества А = {x1, x2, x3, x4, x5}: Р1 : x5 x1 x4 x3 x2; Р2 : x1 x5 x3 x4 x2; Р3 : x4 x1 x2 x5 x3; Р4 : x5 x1 x3 x4 x2. 3. Пусть семья из трех человек, т.е. N = {1, 2, 3}, собирается купить автомобиль. В качестве альтернатив рассматриваются элементы множества А = {«фольксваген» (W), «рено» (R), «пежо» (Р)}. Предпочтения членов семьи выглядят следующим образом: P1 P2 P3 W P R P W W R R P Пусть коллективное решение, которое строится по локальному правилу, имеет вид: W R P. Каким будет коллективное решение, если исключить из рассмотрения альтернативу W? 4. Разделить 13 ассистентских позиций между тремя колледжами методом Джефферсона для следующих данных: Количество Колледж Число студентов выделяемых позиций образования 940 ? либеральных искусств 1470 ? бизнеса 1600 ? 5. Комитет состоит из пяти членов. Решения принимаются большинством голосов, однако, если председатель голосует «против», то решение не принимаются. Члены комитета B и C по всем вопросам голосуют одинаково, а члены комитета D и E – противоположно. К тому же D лично обязан председателю А и потому всегда голосует так, как он. Насколько сбалансирован комитет? 6. Перечислить все выигрывающие коалиции в следующих голосованиях с квотой и вычислить для каждого участника индекс Банцафа: (51; 35, 35, 30) (20; 10, 10, 10, 1) Вариант аудиторной зачётной работы 1 1. Пусть (x1,y1) и (x2,y2) две седловые точки функции f(x,y). Доказать, что f(x1,y1) = f (x2,y2) 2. Пусть (x1,y1) и (x2,y2) две седловые точки функции f(x,y). Доказать, что (x1,y2) и (x2,y1) седловые точки той же функции. 3. Может ли у функции быть ровно 3 седловые точки? 4.Заяц может выбрать одно из двух направлений, чтобы убежать, а Волк – одно из двух направлений, чтобы догнать. Если волк угадал, то он догоняет зайца и выигрывает 3, а Заяц проигрывает 10. Если не угадал, то Заяц с Волком не встречается и оба получают по 0. Построить платёжную матрицу и найти равновесие Нэша в чистых и смешанных стратегиях. 5. Привести пример выполнения гипотезы индикаторного поведения. 6 6. Привести пример невыполнения гипотезы индикаторного поведения. Вариант аудиторной зачётной работы 2 1. Пусть М = {m1, m2, m3}, W = {w1, w2, w3} и предпочтения участников имеют вид: P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m2, m1. Найти устойчивое паросочетание μM 2. В чём состоит система передачи голосов при выработке коллективного решения? 3. Разделить 15 ассистентских позиций между тремя колледжами методом Адамса для следующих данных: Количество Число Колледж выделяемых студентов позиций образования 940 ? либеральных 1470 ? искусств бизнеса 1600 ? 4. Разделить квоты методом Хантингтона-Хилла для данных из задачи 2. (Указание: начать с выделения по одному месту каждой фирме и затем последовательно добавлять по одному месту одной из фирм таким образом, чтобы максимальное из трёх чисел 12 , 13 и 23 было как можно меньше.) 5. Найти справедливый делёж при данных ниже оценках важности пяти пунктов участниками А и B методом «подстраивающийся победитель». пп 1 A 16 B 8 2 18 24 3 14 25 4 22 18 5 30 25 6. Найти справедливый делёж при данных ниже оценках важности пяти пунктов участниками А и B, из которых только последний является делимым. пп 1 A 26 B 12 2 11 28 3 27 10 4 13 21 5 23 29 Автор программы доцент А.А. Рубчинский 7 8