Диссертация Жубат К.Ж._23_12_2013_startx

Министерство образования и науки Республики Казахстан Казахский национальный университет имени аль-Фараби УДК 519.6: 532.517.4 На правах рукописи ЖУБАТ КУАНЫШ ЖАЙЛАУБАЙУЛЫ Численное моделирование крупных динамических неоднородностей техногенного происхождения в атмосфере Диссертация на соискание академической степени доктора философии (PhD) в области математики по специальности – математическое и компьютерное моделирование Научные руководители: доктор технических наук, профессор, академик Жумагулов Б.Т., доктор физико-математических наук, профессор Абдибеков У.С., доктор PhD Жакебаев Д.Б. доктор естественных наук, профессор Кемо Ханжалик Республика Казахстан Алматы, 2013 СОДЕРЖАНИЕ НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ ..................................................................................... 3 ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА НА ОСНОВЕ ОСРЕДНЕННЫХ ПО РЕЙНОЛЬДСУ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА ............ 8 1.1 Выбор направления исследования и его обоснование ............................. 8 1.2 Принципы применения методов математического моделирования .. 12 2 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНЕРЦИОННОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ АЭРОЗОЛЬНОГО ОБЛАКА НА ОСНОВЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ВИХРЕЙ ... 13 2.1 Основные уравнения..................................................................................... 13 2.2 Граничные условия ....................................................................................... 14 2.3 Приведение уравнений к безразмерному виду ........................................ 14 2.4 Численный алгоритм решения с использованием компактных схем 16 2.5 Расчет поля концентрации .......................................................................... 21 2.6 Результаты моделирования ......................................................................... 25 3 МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОСТАТОЧНОГО РАКЕТНОГО ТОПЛИВА ПЕРВОЙ СТУПЕНИ РАКЕТ-НОСИТЕЛЕЙ ПРИ ДРЕНАЖЕ В ВЕРХНЕЙ СТРАТОСФЕРЕ НА ОСНОВЕ RANS МЕТОДА ............................... 41 3.1 Осредненное по Рейнольдсу уравнение Навье-Стокса .......................... 41 3.2 Математическая модель ............................................................................... 56 3.3 Модель турбулентной атмосферы .............................................................. 57 3.4 Расчет поля вектора скорости..................................................................... 63 3.5 Расчет температуры и концентрации ....................................................... 70 3.6 Результаты численного моделирования ................................................... 73 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................................... 93 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ............................................... 96 ПРИЛОЖЕНИЕ А ................................................................................................... 102 2 НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ В настоящей диссертационной работе использованы ссылки на следующие стандарты: ГОСТ 7.1-84 Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Библиографическое описание документа. Общие требования и правила оформления. ГОСТ 7.9-95 (ИСО214-76) Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Реферат и аннотация. Общие требования. ГОСТ 7.12-93 Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Библиографическая запись. Сокращения слов на русском языке. Общие требования и правила. ГОСТ 7.32-2001 Межгосударственный стандарт. Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Отчет о научноисследовательской работе. Структура и правила оформления. ГОСТ 8.417-81 Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы физических величин. 3 ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ u r , u , u u r , u , u u1 , u 2 , u 3 u i' u1 , u 2 , u 3 p  Re t    ij  i, j CS  x1 , x2 , x3 N1 , N 2 , N 3 r ,  , r   R x1 , x 2 , x3    U  xi x j q xi x j H компоненты скоростии в физической области пульсационные составляющие скорости компоненты скоростии в вычислительной области пульсационные составляющие скорости осредненные компоненты скорости Давление кинематическая вязкость число Рейнольдса Время безразмерное время шаг по времени символ Кронекера тензор скоростей деформации коэффициент Смагоринского характерная длина фильтра шаг по вычисляемой сетке в направлении соответствующей оси x1 , x2 , x3  количество узлов в направлении соответствующей оси x1 , x2 , x3  координаты физической области Радиус радиальный угол кольцевой угол радиус кривизны координаты вычислительной области диссипативная функция оператор набла произвольный скаляр произвольный вектор Оператор Оператор Высота 4 ВВЕДЕНИЕ Общая характеристика работы. Данная работа посвящена математическому и численному моделированию процессов генерации и эволюции крупномасштабных неоднородностей в средней атмосфере и созданию программных комплексов для прогнозирования воздействия техногенных возмущений на динамику стратосферы. Актуальность проблемы. Ракетно-космическая деятельность (РКД), которая в последние годы так интенсивно развивается в Республике Казахстан, породила огромное количество проблем и стала привлекать внимание не только специалистов, но и широкие слои населения. Как известно, негативным моментом РКД относится, прежде всего, загрязнение окружающей среды отделяющимися деталями ракетоносителей, а также токсическими компонентами ракетного топлива (гептил и его производные, азотный тетраоксид и др.). При этом происходят сверхмощные пиковые воздействия, залповые выбросы тепловой энергии и опасных веществ, загрязнение окружающей среды ракетно-космическим мусором и ядовитым ракетным топливом, причем, как жидким, так и твердым. Все стадии цикла РКД, могут представлять экологическую опасность, что зачастую определяет очень большие, фактически, глобальные, масштабы проблемы. В первую очередь, это непосредственное загрязнение окружающей среды токсичными компонентами самого ракетного топлива, а также продуктами его горения. Так при запуске ракетоносителя «Протон» только плановый выброс в атмосферу остатков неотработанного гептила из 1-й и 2-й ступеней составляет 2,7 тонны, а в случае аварии ракетоносителя в атмосферу выбрасываются десятки тонн этого высокотоксичного горючего. В приземном слое атмосферы высотой до 1 километра, выбросы, образующиеся при стартах космических кораблей, могут приводить к токсичному загрязнению облаков, выпадению кислотных дождей и изменениям погодных условий в районе старта на территории до 200 квадратных километров. При этом сильные турбулентные потоки в атмосфере приводят к быстрому перемешиванию выброшенных химических компонентов с большими объемами воздуха и распространению их на большие расстояния. Научная новизна. В диссертационной работе впервые реализованы полуэмпирические модели для пульсационных составляющих и корреляций полей концентрации, температуры и динамического поля. В работе получены следующие новые результаты: – проведено моделирование инерционного турбулентного распространения примеси в направлении движения ракетоносителя с учетом образования аэрозольного облака на основе метода крупных вихрей; – проведено численное моделирование на основе осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса распространения примеси в средней атмосфере в следе ракетоносителя. На основе моделирования определено влияние динамического поля на стратосферу; 5 – проведено моделирование турбулентного распространения остаточного ракетного топлива первой ступени ракетоносителя при дренаже в верхней стратосфере на основе комбинированного RANS/LES метода; – разработан модифицированный метод дробных шагов при использовании компактных схем с разностями против потока на разнесенной сетке; – реализована полуэмпирическая модель турбулентности для замыкания уравнений Рейнольдса в присутствии внешних сил; – разработан численный алгоритм решения уравнения динамики атмосферы. Предмет исследования. В работе изучаются закономерности изменения параметров атмосферы – крупномасштабные возмущения в средней атмосфере, появляющиеся в результате взаимодействия этих слоев с продуктами горения ракетного топлива. Цель исследования – разработка математических моделей генерации и эволюции крупномасштабных неоднородностей в средней атмосфере; моделирование влияния внешних факторов и техногенных возмущений на динамические процессы в стратосфере. Моделирование крупных динамических неоднородностей техногенного происхождения в атмосфере. Моделирование распространения компонентов ракетного топлива в средней атмосфере в следе ракетоносителя на базе осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса; моделирование распространения остаточного ракетного топлива первой ступени ракетоносителя при дренаже в верхних слоях атмосферы, с целью определения зоны его распространения на основе метода крупных вихрей. Задачи исследования: – моделирование инерционного распространения аэрозольного облака на основе метода крупных вихрей; – моделирование распространения остаточного ракетного топлива первой ступени ракет-носителей при дренаже в верхней стратосфере на основе комбинированного RANS/LES метода; – моделирование распространения примеси в средней атмосфере в следе ракетоносителя на основе осредненных по Рейнольдсу уравнений НавьеСтокса. Объектом исследования является влияние крупных атмосферных неоднородностей техногенного происхождения на турбулентную структуру средней атмосферы. Положения, выносимые на защиту: – сформулирован и построен метод крупных вихрей для исследования инерционного турбулентного распространения примеси; – математическая модель на основе осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса распространения примеси в средней атмосфере в следе ракетоносителя; – математическая модель турбулентного распространения остаточного ракетного топлива первой ступени ракетоносителя при дренаже в верхней стратосфере на основе комбинированного RANS/LES метода; 6 – модифицированный метод дробных шагов, с использованием компактных схем с разностями против потока на разнесенной сетке; – полуэмпирическая модель турбулентности для замыкания уравнений Рейнольдса в присутствии внешних сил. Достоверность и обоснованность научных положений, выводов и результатов диссертационной работы определяется использованием фундаментальных законов сохранения количества движения, энергии, вещества и непрерывности при построении математических моделей, удовлетворительным согласием полученных результатов с известными экспериментальными и теоретическими данными. Теоретическая и практическая значимость полученных результатов. Полученные в диссертации результаты увеличивают потенциальные возможности для моделирования турбулентных атмосферных течений, поскольку предложенный метод крупных вихрей позволяет исследовать турбулентные течения с существенно более высокими числами Рейнольдса, что особенно важно для задач космических исследований. Предложен эффективный численный алгоритм с использованием компактных схем для конвективных и диффузионных членов уравнений динамики атмосферы. Полученные в работе результаты, используются для научной оценки экологических проблем связанных с эксплуатацией космодрома «Байконур» (Акт № 01-13/711 06.11.2013г.). Результаты исследований атмосферной турбулентности также могут быть использованы для прогнозирования влияния техногенных возмущений на динамические характеристики средней атмосферы. Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на: – Научно-практическая конференция «Актуальные проблемы естествознания, физико-математических наук, экологии и информационных технологий». – Атырау, 2010; – Third Congress of the world mathematicial society of Turkic countries. – Almaty, – Kazakhstan, – 2009; – Научно-практическая конференция «Обеспечение экологической безопасности ракетно-космической деятельности». – Россия, – Москва, – 2011; – Moderni vymozenosti vedy, MEZINÁRODNÍ VĚDECKO – PRAKTICKÁ KONFERENCE – Praha, – 2011, – №6, – C.11-16; – European Turbulence Conference 14.– 2013.ENS Lyon, France. Публикации по теме диссертации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 18 научных работах. В совместных работах Жумагулову Б.Т. принадлежат постановки задач и руководство работой. Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка использованных источников из 77 наименований. Работа изложена на 102 страницах, содержит 60 иллюстраций. 7 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА НА ОСНОВЕ ОСРЕДНЕННЫХ ПО РЕЙНОЛЬДСУ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА 1.1 Выбор направления исследования и его обоснование Актуальность решения задач, связанных с проблемой турбулентного движения в гидродинамике, не теряется, несмотря на то, что большое количество исследований на протяжении десятилетий посвящено этому удивительному, с точки зрения физики и математики, явлению. Это попрежнему одна из фундаментальных проблем современной теоретической физики. Как известно, турбулентное движение очень часто встречается в природе и, даже, в большинстве технических устройств. Знание характеристик турбулентности необходимо для расчетов движения газов и жидкостей в трубах и каналах, турбулентного перемешивания атмосферных потоков, перемешивания водных масс в океане, обтекание летательных аппаратов воздухом и другие. Исследование турбулентности имеет большое прикладное и общефизическое значение. Практическая направленность исследований турбулентных течений определяется не только конкретными техническими вопросами, но и необходимостью познания глобальных физических процессов, происходящих при движении газов и жидкостей, где турбулентность среды существенно влияет на основные закономерности формирования течений, тепло и массообмена, погоды и климата на земном шаре. Хаотичность движения, приводящего к случайному изменению во времени и в пространстве мгновенных значений скорости, давления, температуры и т.п. – это то, что характеризует турбулентный поток. В изучении турбулентных потоков наиболее важной является проблема возникновения дополнительных сил хаотического движения. Скорость турбулентного переноса количества движения, тепла и диффузии оказываются много выше по величине, чем скорость обусловленные механизмом молекулярного переноса. Отдельные частицы жидкости в турбулентном потоке движутся со своими индивидуальными скоростями, которые отличаются друг от друга по значению и по направлению. Через любую точку потока с различной вероятностью могут пройти разные частицы, поэтому происходит непрерывная смена скоростей, а в условиях теплообмена наблюдается так же изменение во времени температуры жидкости. Условно турбулентное движение можно рассматривать как совокупность движения отдельных объемов жидкости, совершающих в потоке как поступательное, так и вращательное движение. Экспериментальные данные показывают наличие в турбулентном потоке широкого спектра частот, что указывает на существование вихрей различного масштаба и энергий. В момент возникновения вихри имеют крупные размеры, низкие частоты и особенности, связанные с геометрией течения, а в дальнейшем происходит перенос таких вихрей потоком, их перемешивание и диффузия. При этом крупные вихри разрушаются, образуются более мелкие вихри, частота пульсации скорости возрастает. При уменьшении размеров вихрей, они теряют индивидуальность, наблюдается тенденция к локальной изотропии мелкомасштабной структуры турбулентного потока. Чем меньше вихрь, тем больше он подвержен влиянию 8 вязких напряжений трений, препятствующих вихревому движению. Поэтому в любом турбулентном потоке существуют нижние пределы размеров вихря, которые определяются вязкостью жидкости. При прочих равных условиях минимальные размеры вихрей уменьшаются с ростом средней скорости потока. Стационарное турбулентное движение для своего поддержания требует непрерывного подвода энергии, которая образуется в результате потери давления по потоку. Энергия, приобретаемая в основном крупномасштабными вихрями, передается с малыми потерями вихрям меньшего размера и так далее до самых мелких вихрей, в которых кинетическая энергия турбулентности под действием вязкости переходит в тепло, происходит диссипация энергии. Наличие диссипации энергии указывает на необратимость турбулентного движения. В 90 годах XIX в. известному ученому О.Рейнольдсу впервые удалось найти объяснение указанному явлению. На основе кинематического анализа потока в круглой трубе, он связал линейное сопротивление с ламинарным движением, а квадратичное сопротивление с турбулентным движением. Им же был определен путь динамического анализа турбулентного движения и установлен теоретический критерий перехода движения из ламинарного течения в турбулентный. О. Рейнольдс, дал следующую характеристику турбулентного движения: в потоке жидкости, в которой среднее движение происходит в виде параллельных струй, помимо внутреннего трения происходит передача касательных напряжений путем переноса количества движения, возникающая в результате нерегулярного хаотического перемещения масс жидкости. Прямые методы численного моделирования предназначены для возможно более полного решения задач турбулентных течений на основе исходных законов движения. Рассматривая уравнения Навье - Стокса как основу простейшей теории турбулентности, можно попытаться проследить, используя некоторые подходящие начальные данные, за динамикой течения. Полученные в результате расчета поля характеристик течения, которые даже в случае простейшей геометрии области течения и при статистически стационарных начальных и граничных условиях остаются трехмерными и нестационарными, позволяют затем определить любые необходимые средние величины. В настоящее время для получения характеристик сложных трехмерных течений необходимо проведение численных экспериментов. Это связано с трудоемкостью и высокой ценой хорошего эксперимента, и также с принципиальной невозможностью получить на основе физического эксперимента полную картину течения, а не только данные в отдельных точках. В связи с этим развитию методов прямого численного моделирования турбулентных течений во всем мире уделяется большое внимание [1 – 11]. Численное решение этих уравнений основано на использовании разностных методов, в которых поле течения аппроксимируется конечным числом расчетных точек. Основная трудность такого расчета обусловлена тем, что в турбулентных течениях одним из главных значении имеют движения с масштабами намного меньше расстояний между узловыми точками даже в 9 самых мелких сетках, используемых на практике. Однако имеется принципиальные трудности, которые не позволяют применения данного подхода к исследовательским и инженерным расчетам. Одним из наиболее существенных препятствий является большая величина отношения характерных наибольших масштабов к наименьшим. Величина этого отношения определяет число степеней свободы, необходимое для численного представления поля течения в любом из трех измерений. Наибольшие масштабы в случае течения в ограниченной области имеют порядок размеров этой области, а в случае однородной турбулентности – размеров наибольших вихрей. В качестве характерного наименьшего масштаба длины, можно выбрать либо толщину вязкого слоя около стенки, либо диаметр, вихрей, вклад которых в процесс диссипации энергии под действием вязкости максимален. Выше изложенное утверждение приводит к тому, что размер сетки должен быть меньше самого маленького вихря, т.е. должен иметь порядок Колмогоровского масштаба. В тоже время, если бы расчеты поля скоростей в турбулентных течениях были бы возможны вплоть до самых малых представляющих интерес масштабов, то пришлось бы столкнуться с другой проблемой. Вследствие случайности флуктуаций поля скоростей в турбулентных потоках важными с практической точки зрения характеристиками течения являются средние по времени или ансамблю значения пульсационных переменных. Чтобы рассчитать эти средние величины, необходимо многократно проводить подробные расчеты, причем каждый раз с начальными условиями, незначительно пульсирующими около среднего значения, а затем вычислить средние по ансамблю. По этим причинам прямые численные расчеты полей турбулентных течений практически крайне затруднительны. Например, только при расчете для инерционного интервала однородной турбулентности при некоторых условиях, даже при быстродействии ЭВМ в 1 млрд. операций в секунду требуется около 30 лет. Именно это обстоятельство послужило для появления двух важных выводов. Первое, моделировать турбулентные течения при низких числах Рейнольдса, в частности такой подход применим к задачам о затухании турбулентности. Второе, основные свойства турбулентного течения, обусловленные крупномасштабным движением, остаются почти неизменными, что позволяет введения моделей мелкомасштабной турбулентности для описания непосредственно неразрешимых движений с масштабами меньшими типа расчетной сетки, при этом становится возможным прямое численное исследование крупномасштабных движений на относительно грубых сетках. Развитие экспериментальной техники при исследовании турбулентных течений, значительный скачок в реализации численных методов расчета на ЭВМ и появление фундаментальных идей в теории турбулентности привело к развитию методов расчета, позволяющих перейти к более глубокому пониманию процессов турбулентного переноса. Это относится, в частности, к моделям второго порядка, которые являются естественным развитием модели первого порядка. Последние, как было указано выше, включают уравнения моментов первого порядка и содержат в себе одноточечные моменты второго 10 порядка. Теперь для замыкания этих уравнений используются не полуэмпирические гипотезы, а уравнения моментов второго порядка, где появляются новые неизвестные: тензоры турбулентных напряжений, кинетическая пульсационная энергия, скорость диссипаций, масштаб длины, корреляции различных величин. Это значительно расширяет возможности построения различных моделей замыкания, включающих уравнения для тех или иных указанных выше величин. Необходимо остановится на достигнутых сегодня успехах моделей турбулентности, основанные на уравнениях вторых моментов и их аналогов. Модель турбулентной вязкости, основанная на градиенте скорости, имела большое приложение в инженерных расчетах. С увеличением вычислительной мощности современных компьютеров и появлением новых сложных задач, когда необходимо учитывать неоднородность турбулентного потока (температура, концентрация, магнитное поле, кривизна течения и т.д.) появилась потребность в более информативных моделях турбулентности. Одним из успешных моделей явилось модель турбулентности Колмогорова–Прандтля, где турбулентная вязкость определяется как корень квадратный из кинетической энергии турбулентности умноженный на масштаб турбулентности. Уравнение кинетической энергии турбулентности выводится из уравнения Навье–Стокса. При использовании такой модели привлекается четыре констант. Данная модель успешно использовалась при решении задач турбулентного пограничного слоя атмосферы. Далее появились различные модификации и разновидности этой модели для решения различных задач турбулентных течении [12,13,14,15,16,17]. Область применимости модели с уравнением кинетической энергии ограничена, поскольку для сложных течений трудно получить эмпирические распределения характеристик линейных масштабов. Это послужило появлению моделей с двумя дифференциальными уравнениями, которые получили наибольшее распространение. Модель состоит из двух уравнений, первый как всегда уравнение кинетической энергии турбулентности, а второй представляет перенос скорости диссипаций турбулентности, хотя физическую интерпретацию этой переменной представит проблематично. Эта модель впервые была предложена в работе [18]. В дальнейшем модель получил наибольшее распространение в различных задачах [19 – 29]. Несмотря на энтузиазм, который возникал время от времени в отношении моделей с двумя уравнениями, необходимо отметить, что модель имеет свои недостатки. Это относится тому, что модель с двумя уравнениями в стандартной форме имеет шесть констант, в случае неоднородных течении прибавляется к ним еще несколько констант. В моделях, рассмотренных до сих пор, предполагалось, что для описания турбулентности в точке достаточно знать один масштаб скорости, а компоненты напряжений Рейнольдса можно выразить через этот масштаб. Однако перенос отдельных компонент напряжений иногда отражается этим соотношением неадекватно, если даже верно описан перенос масштаба скорости. А в моделях рейнольдсовых напряжений отсутствует такого рода ограничения, но они содержат наибольшее количество уравнений. Поэтому эти 11 модели имеют больше шансов стать окончательными моделями турбулентности. Тем не менее, в реализуя данные модели все еще необходимо делать допущения относительно входящих в состав уравнений членов, которые в настоящее время никак нельзя измерить. Модели рейнольдсовых напряжений находятся еще в стадий разработки, и пройдет еще некоторое время прежде, чем они будут использоваться в инженерных расчетах. В тоже время имеется определенные успехи в применении моделей этого класса [30 – 52]. Необходимо отметить, что вычислительный эксперимент, проводимый на основании решения нелинейных задач прикладной математики, описывающих турбулентные течения, в настоящее время стал реальностью, поскольку человечеством созданы достаточно мощные вычислительные средства. При неизменной ценности физического эксперимента вычислительный эксперимент занял самостоятельное место в процессе познания сложных физических явлений. Поэтому в настоящее время модель турбулентности, основанная на уравнениях переноса напряжений Рейнольдса, хотя и самая сложная среди моделей, но и наиболее информативная, все чаще составляет основу для моделирования сложных турбулентных течений. 1.2 Принципы применения методов математического моделирования Комплексную оценку степени антропогенного загрязнения окружающей среды не возможно получить, не используя методов математического моделирования. В частности, подтверждением этого тезиса является история с аварией Протона несколько лет назад, когда попытки найти следы гептила и его производных в районе аварии чисто измерительными методами с использованием самых современных приборов закончились провалом. Что, впрочем, было достаточно ожидаемо, поскольку прежде чем, что-то пытаться обнаружить с помощью приборов, необходимо знать что искать, как искать и где искать. Но для этого нужно знать какие процессы имели место и в каких условиях и как они протекали, т.е. провести комплексное исследование. Такое исследование можно провести только с помощью эксперимента, натурного или смоделированного. Натурные эксперименты очень дороги, а в некоторых случаях как, например авария, опасны и практически невыполнимы. Поэтому методы математического моделирования или моделирование эксперимента являются основным инструментом такого исследования. Ниже предлагается математическая модель переноса аэрозольной примеси в турбулентной стратифицированной атмосфере, позволяющая выполнить расчет полей скорости, температуры и концентрации и произвести приближенную оценку пульсационных характеристик течения. 12 2 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНЕРЦИОННОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ АЭРОЗОЛЬНОГО ОБЛАКА НА ОСНОВЕ МЕТОДА КРУПНЫХ ВИХРЕЙ 2.1 Основные уравнения Основные уравнения турбулентного течения несжимаемой жидкости представлены уравнениями Навье-Стокса, уравнением неразрывности, уравнением для концентрации и имеют вид ui  2 ui  1 p    ui u j     gC , t x j  xi x j x j (2.1) u i  0, xi (2.2) C C  2C  uj a 2 t x j x j (2.3) Применяя фильтр следующие уравнения: к основным уравнениям  ijR ui  2 ui  1 p uiu j        gC, t x j  xi x j x j x j u j x j  0, (2.1)-(2.3), получены (2.4) (2.5) C C  2C Q j  uj a 2  , t x j x j x j (2.6)  ijR  u i u j  u i u j , (2.7) Q j  u jC  u jC . вводятся обозначения: 1 k r   ijR , 2 2 3 1 3  ijr   ijR  k r ij   ijR   ijR ij , p p (2.8) 2 1 k r  p   ijR . 3 3 Используя данные обозначения, преобразованная система уравнений имеет следующий вид: 13 r ui  uiu j    1 p   ij  gC.  t x j  xi x j (2.9) C C  2C Q j  uj a 2  , t x j x j x j u j x j (2.10)  0, (2.11) где  i, j – подсеточный тензор, отвечающий за мелкомасштабные структуры, который нужно моделировать. Для моделирования подсеточного тензора использовалась модель Смагоринского, которая представляется в виде  ij  2 t S ij , где vt  C S 2 2S ij S ij  2 1 – турбулентная вязкость; CS – это коэффициент, зависящий от характера течения;   i  j k  3 – ширина сеточного фильтра; 1 S ij  1  u i u j  2  x j xi   – величина тензора скоростей деформации [64,65].   2.2 Граничные условия Для расчета ставятся на боковых сторонах свободные граничные условия, то есть отсутствует массообмен и теплообмен. На верхней и нижней границах ставятся отсутствие инерционных сил. При этом начальными условиями ставятся ветра: В первой задаче попутный ветер, т.е. по направлению движения ракетоносителя, а во второй боковой сносящий ветер, направленный под острым углом к траектории движения ракетоносителя. 2.3 Приведение уравнений к безразмерному виду Для привидения уравнений к безразмерному виду выбраны некоторые характерные значения скорости U 0 , длины L1 , ширины L2 и высоты H . Используя данные величины, введены обозначения 14 x1*  x x1 x , x 2*  2 , x3*  3 , L1 L2 H u1*  u u1 u , u 2*  2 , u 3*  3 , U0 U0 U0 t*  tU 0 , H p*  (2.12) HU 0 U 02 1 U H p , Re  , Fr  , Pe  0 2  gH C a U 0 где Re - число Рейнольдса, Fr - число Фруда, Pe  число Пекле. Рассматривается уравнение для горизонтальной составляющей скорости u1 u1 u1u1  u2u1  u3u1  1 p   2u1  2u1  2u1    11r  12r  13r              t x1 x2 x3  x1  x12 x22 x32   x1 x2 x3  При использовании безразмерных величин, уравнение (знак безразмерности опускается): получено следующее u1 H  u1u1  H  u 2 u1   u 3 u1  H p      t L1 x1 L2 x 2 x3 L1 x1 1  H 2  2 u1 H 2  2 u1  2 u1  H  11r H  12r  13r  2         . Re  L1 x12 L1 x1 L2 x 2 x3 L22 x 22 x32  (2.13) Рассматривается уравнение для горизонтальной составляющей скорости u2 u2 u1u2  u2u2  u3u2  1 p   2u2  2u2  2u2    21r  22r  23r              t x1 x2 x3  x2  x12 x22 x32   x1 x2 x3  При использовании безразмерных величин, получено: u 2 H  u1u 2  H  u 2 u 2   u 3 u 2  H p     t L1 x1 L2 x 2 x3 L2 x 2 1  H 2  2u2 H 2  2u2  2u2    2  Re  L12 x12 L2 x 22 x32 r r r  H  21  23 H  22    .  L x L2 x 2 x3 1 1  Рассматривается уравнение для вертикальной составляющей скорости u3 u3 u u u 1 p  u1 3  u 2 3  u3 3    t x1 x2 x3  x3 r r r   2u   2 u3  2 u3    31  32  33     gC    23      2 2   x  x  x  x  x  x 2 3  2 3   1  1 15 (2.14) При использовании безразмерных величин, получено: u 3 H  u1u 3  H  u 2 u 3   u 3 u 3  p     t L1 x1 L2 x 2 x3 x3 r r r  33 1  H 2  2 u 3 H 2  2 u 3  2 u 3  H  31 H  32 1     2      . 2 2 2 2   Re  L1 x1 x3 Fr L2 x 2 x3  L1 x1 L2 x 2 (2.15) Подставляя безразмерные величины в уравнение неразрывности, получено: H u1 H u 2 u3    0. L1 x1 L2 x2 x3 (2.16) Рассматривается уравнение теплового баланса.   2C  2C  2C  Q Q Q C C C C  u1  u2  u3  k  2  2  2   1  2  3 , t x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3 Подставляя безразмерные величины, получено: C H C H C C 1  H 2  2C H 2  2C  2C   u1  u2  u3   2  2 t L1 x1 L2 x2 x3 Pe  L12 x12 L2 x22 x3 H Q1 H Q2 Q3    L1 x1 L2 x2 x3     (2.17) 2.4 Численный алгоритм решения с использованием компактных схем Для решения уравнения Навье-Стокса используется схема расщепления по физическим параметрам, которая состоит из трех этапов. На первом этапе решается уравнение Навье-Стокса без учета давления. Для аппроксимации конвективных и диффузионных членов уравнения используется компактная схема повышенного порядка точности [66]. Указанный алгоритм апробирован в работе [67], осуществлена его параллельная реализация [68]. Промежуточное поле скорости находится методом дробных шагов, при использовании метода прогонки. Используется метод дробных шагов для горизонтальной составляющей компоненты скорости u1 в точке сетки i  1 , j, k . Для использования компактных схем модифицируется метод 2   дробных шагов. На первом этапе: 16  u1 * 1  u1 n 1 i  , j ,k  i  2 , j ,k 1  1 2    1k u1*i  1 , j ,k   1k u1 n 1    2 u1 n 1   3 u1 n 1  i  , j , k i  , j ,k i  , j ,k  2 2 2 2 2  2  1  n  u1 13  u1*i  1 , j ,k n 1 1  2 1  i  2 , j ,k 3    u   1d u1*i  1 , j ,k  1 d 1  1 , j ,k  i   2 2 2 2   (2.18) где  1k u1 i  1 , j ,k 2  u1   u1  x1 ; 1 i , j, k 2  1d u1 i  1 , j ,k 2  1   u1    Re x1  x1  . 1 i , j, k 2 (2.19) Второй этап:  u1* 1  u1n 13 1 i  2 , j,k 1  * n n  i  2 , j,k    2 k u1i  1 , j , k   2 k u1i  1 , j , k    2u1i  1 , j , k 2 2 2   2 2   n  23 *  u1i  12 , j , k  u1i  12 , j , k  1 1  n 2 *    2 d u1i  13, j , k   2 d u1i  1 , j , k   2 2  2 2   1 (2.20) где  2 k u1i  1 , j , k  u2 2    u1  i  1 , j , k ; 2d u1i  12 , j , k  1   u1  i  1 , j , k . x2 Re x2  x2  2 2 (2.21) Третий этап:  u1* 1  u1n 13 1 i  2 , j,k 1  * n n  i  2 , j,k    3k u1i  1 , j , k   3k u1i  1 , j , k    3u1i  1 , j , k 2 2 2   2 2   n 1 * 1  u1i  12 , j , k  u1i  12 , j , k  1  n 1 *    3d u1i  1 , j , k   3d u1i  1 , j , k   2 2  2 2   2 (2.22) где 3k u1i  1 , j , k  u3 2    u1  i  1 , j , k ; 3d u1i  12 , j , k  1   u1  i  1 , j , k . x3 Re x3  x3  2 2 (2.23) Используя схему с разностями против потока [69] и компактную схему, получим схему высокого порядка точности. Компактная схема для конвективных членов уравнений, при A  u1  0 имеет следующий вид: 1k u1i 1 , j ,k  u1 2   u1 . x1 (2.24) Традиционное представление аппроксимации производной (2.24) имеет вид: 17 1k u1i , j , k  u1i , j , k  u1i 1, j , k ,A0  A x    u  u1i , j , k  A 1i 1, j , k ,A0  x Введем обозначения: fi , j , k   u1i , j , k  u1i 1, j , k x , A  0. (2.25) Компактная аппроксимация соотношения (2.25) выглядит следующим образом:   fi 1, j , k    fi , j , k    fi 1, j , k   Подберем неопределенные соотношение:   f i 1, j , k u1i , j , k  u1i 1, j , k (2.26) x коэффициенты  u1  u1i 1, j , k    fi , j , k    fi 1, j , k     i , j , k  x  так, чтобы    O h3     выполнялось (2.27) Для этого подставим в (2.27) разложения в ряды Тейлора функций f x, y, z  и ux, y, z  в точке x  xi :     fi  xfx    x 2 x 3 x 4 f xx  f xxx  f xxxx     fi  2 6 24    x 2 x 3 x 4     fi  xfx  f xx  f xxx  f xxxx   2 6 24   (2.28)  1 1  x 2 x 3 x 4  ui  xux    ui , j , k  u xx  u xxx  u xxxx   O h 4 x x  2 6 24    Из (2.28) получим систему:         1  1        2   1      3  (2.29) 18 Решая систему (2.29), определим:  1 8 5 , ,  12 12 12 (2.30) Компактная схема для диффузионных членов уравнений: 1d u1i  1 , j , k  2 1   u1   . Re x1  x1  (2.31) Традиционное представление аппроксимации производной (2.31) имеет вид:  1 u1i 1, j , k  2 u1i , j , k  u1i 1, j , k 1d u1i , j , k    Re x 2   .   Введем обозначения (2.32): fi , j , k  u1i 1, j , k  2u1i , j , k  u1i 1, j , k x 2 (2.32) ; компактная аппроксимация (2.33):   fi 1, j , k    fi , j , k    fi 1, j , k  Подберем неопределенные соотношение:   f i 1, j , k u1i 1, j , k  2 u1i , j , k  u1i 1, j , k x 2 коэффициенты так,  u1  2 u1i , j , k  u1i 1, j , k    fi , j , k    fi 1, j , k    i 1, j , k  x 2  разложения в ряды Тейлора: 19 (2.33) . чтобы    O h4     выполнялось     f i  xfx    x 2 x 3 x 4 f xx  f xxx  f xxxx     f i  2 6 24    x 2 x 3 x 4     f i  xfx  f xx  f xxx  f xxxx   2 6 24     1  x 2 x 3 x 4  u   xu  u  u  u xxxx   x xx xxx 2  i x  2 6 24  (2.34) 2 ui , j , k  x 2  1  x 2 x 3 x 4  2  ui  xux  u xx  u xxx  u xxxx   O h 4 x  2 6 24     Из (2.34) получим систему (2.35):         1       0  1      6  (2.35) Отсюда находим  1 5 1 ,  ,  12 6 12 (2.36) Введем разностный оператор M k : M k fi , j , k   k  fi 1, j , k  k  fi , j , k   k  fi 1, j , k , где  k , k ,  k – коэффициенты для конвективного члена, определены в (2.30).  u1i , j , k  u1i 1, j , k  x  Тогда (2.26) можем переписать в виде: fi , j , k  M k1    , и уравнение   (2.24) примет следующий вид: 1k u i , j ,k  u1  u1i 1, j , k  M k1 A   i , j , k  x      (2.37) Введем разностный оператор M d : M d fi , j , k   d  fi 1, j , k   d  fi , j , k   d  fi 1, j , k , где d , d ,  d – коэффициенты для диффузионного члена, определены в (2.36).Тогда (2.31) примет следующий вид:  1 u1i 1, j , k  2 u1i , j , k  u1i 1, j , k 1d u1i , j , k  M d1   Re x 2  20  .   (2.38) Подставляя (2.37) и (2.38) в формулу (2.18), получим окончательный модифицированный первый этап:   k u1*i  3 , j , k  k u1*i  1 , j , k   k u1*i  1 , j , k  k u1in 3 , j , k  k u1in 1 , j , k   k u1in 1 , j , k 2 2 2 2 2 2        1 1  * n n n   1k u1i  1 , j , k  1k u1i  1 , j , k    2u1i  1 , j , k   3u1i  1 , j , k  2 2 2 2 2 2     * * *   u n  13   u n  13   u n  13  d u1i  3 , j , k  d u1i  1 , j , k   d u1i  1 , j , k d 1i  1 , j , k d 1i  1 , j , k  d 1i  32 , j , k 2 2 2 2 2       1 1  n 1 *    1d u1i  13, j , k  1d u1i  1 , j , k  2 2 2 2   (2.39) Разностное решение (2.39) эффективно вычисляется с помощью трехточечной прогонки. Для второго (2.20) и третьего (2.22) этапа процедура повторяется. Другие компоненты скорости находятся аналогично. Таким образом, получаем компактную аппроксимацию для конвективных членов уравнений движения третьего, а для диффузионных членов четвертого порядка точности. На втором этапе решается уравнение Пуассона, полученное из уравнения неразрывности с учетом поля скоростей первого этапа. Для решения трехмерного уравнения Пуассона разработан оригинальный алгоритм решения – спектральное преобразование в комбинации с матричной прогонкой [70]. Полученное поле давления на третьем этапе используется для пересчета окончательного поля скоростей. 2.5 Расчет поля концентрации 0, A x  0 1, A x  0 0, Bx  0 1, B  0 S1   S2   S3   S4   x 1, A x  0 0, A x  0 1, Bx  0 0, Bx  0 Ax  u1 i1  u1 i 2 , Bx  u1 i  u1 i1 2 , На первом этапе поле концентрация C ищется в направлении координаты x1 : n 1 Ci , j ,3k  Cin, j ,k  1 n 1 1     1Ci , j ,3k   1Cin, j ,k    2 Cin, j ,k   3Cin, j ,k 2 2  где 21 (2.40)  1C    S1  Ax   C i 1, j , k  S 2  Ax   S 3 B x   C i , j , k  S 4 B x C i 1, j , k 2x 1 C i 1, j , k  2  C i , j , k  C i 1, j , k  Re x 2 C i 1, j , k  C i , j , k C i , j , k  C i , j 1, k   2 1  2   1  2  2 i x x 2 2  i  2 , j ,k  2C    2  2  2  2y  1 1 i  , j  ,k 2 2 1 1 i  , j  ,k 2 2 1  Ci , j ,k  Ci , j 1,k Ci 1, j 1,k  Ci , j 1,k   2y  y x Az Ci , j ,k 1  Ci , j ,k   B z Ci , j ,k  Ci , j ,k 1  1 1 i  , j ,k  2 2 1 1 i  , j ,k  2 2      1 Ci , j 1.k  2Ci , j ,k  Ci , j 1,k  Re y 2 1  Ci , j 1,k  Ci , j ,k Ci 1, j ,k  Ci , j ,k   2y  y x  3C    2 Ay C i , j 1,k  Ci , j ,k   B y Ci , j ,k  Ci , j 1,k          1 Ci , j ,k 1  2Ci , j ,k  Ci , j ,k 1  Re z 2 2z 1  Ci , j ,k 1  Ci , j ,k Ci 1, j ,k  Ci , j ,k      2z  z x  1  Ci , j ,k  Ci , j ,k 1 Ci 1, j ,k 1  Ci , j ,k 1     2z  z x  1 C s *  2 S ij S ij S ij Prt S ij  1  u i u j  2  x j xi     Prt  турбулентное число Прандтля. Данное уравнение решается методом прогонки, после применения, n которого находится Ci , j ,k 1 3 22 n 1 C i , j ,3k  C in, j ,k  1 1 1   n n n 3 3  S1  Ax   C i 1, j ,k  S 2  Ax   S 3 B x   C i , j ,k  S 4 B x C i 1,3j ,k     2x   1 1 1   n n n  1  1 C i 1,3j ,k  2  C i , j ,3k  C i 1,3j ,k     2 2  Re x  1 1 1 1 n n n n     C i 1,3j ,k  C i , j ,3k C i , j ,3k  C i 1,3j ,k     n  1  2     1C i , j , k   2 i  1 , j ,k  2  2 2 i x x  2   2        2 C in, j ,k   3 C in, j ,k AC 1 3 i 1, j , k n  BC 1 3 i , j ,k n  DC 1 3 i 1, j , k n  E  1 1 1 1 1    A    S1  Ax       4  1 2 2   i 4  x Re 2 2  x  x  2   1   1 S 2  Ax   S 3 Bx   1 1 2  1  4 i  1 1 2  4 i  1 1 2  B  Re x 2 x x   4x 2 2  1 1 1 1 1    D  S 4 B x       4  1 Re 2x 2 2  i  2 x 2   4x E Cin, j ,k  1  1Cin, j ,k   2 Cin, j ,k   3Cin, j ,k 2 На втором этапе поле концентрация C ищется в направлении координаты x 2 : n 2 n 1 C i , j ,3k  C i , j ,3k  Ay  By  1 n 2 1     2 Ci , j ,3k   2 C in, j ,k    2 C in, j ,k 2 2   1 u 2 i , j ,k  u 2 i 1, j ,k 2  u 2 i , j 1,k  u 2 i 1, j 1,k 2 0, A y  0 0, B y  0 1, B y  0 1, A y  0 S1   S3   S4   S2   1, A y  0 1, B y  0 0, B y  0 0, A y  0 23 n 2 n 1 C i , j ,3k  C i , j ,3k  AC 2 3 i , j 1, k n 2 2 2 n n n   3 3 3           S A  C  S A  S B  C  S B C  1 y  i , j 1, k 2 y 3 y i , j ,k 4 y i , j 1, k   2x   2 2 2 n n n   3 3 3  1 C i , j 1,k  2  C i , j ,k  C i , j 1,k   2  Re  y   2 2     n n   n n 1    1  C i , j 31,k  C i , j ,3k C i 1, j ,k  C i , j ,k       2C n          1 1 2 i  , j  ,k y x      2 2 y        2    2 2  n n   n n    1  C i , j ,3k  C i , j 31,k C i , j 1,k  C i 1, j 1,k      1 1       y x   i  2 , j  2 ,k y            n   2 C   BC 2 3 i , j ,k n  DC 2 3 i , j 1, k n  E  1 1 1 1  A    S1  A y        1 1 i  , j  , k y 2 Re 2y 2 2 2  4x  1 1    4x S 2 Ay   S 3 B y     B 1 1   1 1    1 1 1 1  Re y 2 i  , j  , k y 2 i  , j  , k y 2  2 2 2 2    1 1 1 1  D  S 4 B y     1 1  2  2 i  , j  , k y Re 2y 2 2  4y  E  C 1 3 i , j ,k n  1 1 i  , j  ,k 2 2 1  2 C in, j ,k   2 C in, j ,k  2 n n n n 1  C i 1, j ,k  C i , j ,k  1  C i , j 1,k  C i 1, j 1,k     i  1 , j  1 , k y  y  x x 2 2        На третьем этапе поле концентрация C ищется в направлении координаты x3 : Az   1 u3 i , j ,k  u3 i 1, j ,k 2  24 Bz  u3 i , j ,k 1  u3 i 1, j ,k 1 2 0, A z  0 1, A z  0 0, B z  0 1, B  0 S1   S3   S4   z S2   1, A z  0 1, B z  0 0, B z  0 0, A z  0  S  A  C n 1  S 2 Az  S 3 B z   C in, j ,1k  S 4 B z C in, j ,1k 1 1  1 z i , j ,k 1   2z   2  n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 C i , j ,k 1  2  C i , j ,k  C i , j ,k 1 1  C i , j ,k 1  C i , j ,k C i 1, j ,k  C i , j ,k   1 1   i  , j ,k  Re z  z x z 2 2 2 C n 1 i , j ,k  C 2 3 i , j , k 1 n 1 1 i  , j ,k  2 2      n 1 n 1 n n 1  C i , j ,k  C i , j ,k 1 C i 1, j ,k 1  C i , j ,k 1     3C n   3C n   z  z x   A  Cin, j ,1k 1  B  Cin, j ,1k  D  Cin, j ,1k 1  E  1  1 1 1    A    S1  Az    2    i  1 , j ,k  1 2z 2  Re 2z 2  4z  2 2  1 1    4z S1 Az  S 3 B z     B 1 1   1 1    1 1 1 1  Re z 2 i  , j , k  z 2 i  , j , k  z 2  2 2 2 2    1 1 1 1 1  D  S 4  Bz     1 1 2 2  2 Re 2z 2 i  2 , j ,k  2 z   4z n 2 C i , j ,3k 1   3 C in, j ,k   3 C in, j ,k   2 n n n n 1  C i 1, j ,k  C i , j ,k  1  C i 1, j ,k 1  C i , j ,k 1   1 1     i  1 , j ,k  1 z   i  , j ,k  z  x x 2 2 2 2    E 2.6 Результаты моделирования Рассматривается моделирование дренажа 1-й ступени ракетоносителя «Протон-М» на высоте 42 км. На высотах более 40 км компоненты ракетного 25 топлива не вступают в химические реакции. Здесь можно выделить два этапа. Первый очень скоротечный этап образования аэрозольного облака, включающий быстрые процессы истечения, расширения и конденсации гептила в стратосфере и, второй достаточно длительный этап динамики перемещения и распространения этого облака в стратосфере и тропосфере. Для расчёта параметров состояния воздуха на различных высотах пользуются стандартной атмосферой (СА) – условным распределением, не зависящим от погодных условий, времени года и времени суток. На территории СНГ принято пользоваться стандартной атмосферой - ГОСТ 4401-81. Таблица 1 – Входные данные Высота, км Средне годовая температура, С Давление, Па Плотность, кг/м3 36 38 40 42 44 46 48 50 -24,5 -19,4 -16,2 -9,83 -5,92 6,83 3,67 -1,83 4,98*102 3,77*102 2,87*102 2,19*102 1,69*102 1,31*102 1,02*102 7,97*101 7,25*10-3 5,38*10-3 3,99*10-3 2,99*10-3 2,25*10-3 1,71*10-3 1,31*10-3 1,02*10-3 Ускорение свободного падения, м/с2 9,69 9,69 9,68 9,67 9,67 9,66 9,65 9,65 Для моделирования формирования аэрозольного облака и влияния на него турбулентных потоков, использовался метод LES. Использование данного метода позволяет улучшить точность и информативность описания турбулентных течений. Тем более вычислительные возможности кластера используемые нами при расчетах, делают данный метод эффективным. Второй метод моделирования RANS применяется для определения ареала распространения аэрозольного облака и его фрагментов, и дальнейшая динамика концентрации. В данном разделе описываются результаты численного моделирования формирования и переноса аэрозольного облака сформировавшегося в результате разлива компонентов ракетного топлива в атмосферу при их дренаже на 1-й ступени РН «Протон-М». Для детального исследования загрязнения стратосферы решаются две задачи. Первая задача связана с инерционным распространением КРТ в направлении движения ракетоносителя и образованием аэрозольного облака, а вторая задача посвящена моделированию переноса сформировавшегося аэрозольного облака в направлении ветра. Для решения задач были заданы начальные и граничные условия, геострофический ветер на высотах и количество остаточного топлива первой ступени РН. Из количества остаточного топлива был определен объем аэрозольного облака образовавшегося при дренаже 1-ой ступени в зависимости от высоты и давления окружающей среды. 26 В первой задаче моделируется инерционное образование аэрозольного облака. Расчеты проводились в прямоугольной области с размерами по обоим горизонтальным направлениям 65 км, а по высоте от 16 до 81 км. Расчетная сетка 65х65х65. Объем сброшенного топлива 1200 кг. Результаты расчетов приведены на рисунках 2.1-2.7. Как видно из рисунков в начальный момент времени на облако КРТ воздействует сила инерции и движение направлено в сторону противоположную движению ракетоносителя. Как только энергия ветра начинает преобладать над энергией инерционных сил облако начинает движение в сторону направления ветра, рисунки 2.4-2.7. На рисунках 2.8-2.14 представлена динамика изменения объема облака КРТ на высоте 42 км, при скорости ветра равной 50 м/c, в различные моменты времени. В таблице 2 приведены расчетное время, размеры облака, высота нахождения облака и максимальная концентрация КРТ. Таблица 2 – Информация о распространении гептила Время прошедшее После образования облака 1 мин 5 мин 10 мин 20 мин 30 мин 40 мин 50 мин 60 мин Размеры облака, км Высота нахождения Максимальная облака, км концентрация, мг/м3 1х1х1 2х3х3 3х5х5 6х7х7 6х8х8 6х8х9 6х8х10 6х8х10 40-41 40-42 39-42 39-45 38-46 38-46 38-46 38-46 1,2 0,07 0,016 0,0041 0,0032 0,003 0,0025 0,0025 На рисунках 2.15-2.18 показано соотношение размера облака концентрации КРТ к размерам расчетной области. Как видно из рисунков и Таблицы 2 концентрация КРТ в начальный момент времени максимальна, равна 1,2 мг/м3 и является стержнем начального распространения. Под действием сил инерции облако расширяется и движется в направлении ветра, достигая границы расчетной области через 1 час после дренажа 1-ой ступени ракетоносителя «Протон-М», причем концентрация КРТ уменьшается до 0, 0025 мг/м3 равномерно распределяясь по объему облака. Движение и распределение облака находится на высотах от 38 до 46 км, это значит, что его динамика происходит в стратосфере, и не выходит в другие слои атмосферы. На рисунках 2.19-2.25 изображено изменение температуры облака КРТ в различные моменты времени. Как видно из рисунков в начальный момент времени температура облака КРТ максимальна, через час она становится равной температуре окружающей среды. 27 Через 1 час концентрация КРТ и динамические возмущения достигают границы расчетной области. Анализ данных по расчетам показывает, что возмущение вызванное РН носит локальный характер для динамических характеристик атмосферы, концентрация компонентов ракетного топлива образует бесформенное расширяющиеся облако до 8 км в высоту и 10 км в длину размеров и переносится ветрами на высоте 38-46 км, при этом концентрация КРТ уменьшается и распределяется равномерно по всему объему облака, а температура облака становиться равной температуре окружающей среды. Таким образом, созданный пакет программ позволяет в режиме реального времени моделировать перенос выброшенного при дренаже ракетного топлива в стратосфере и отслеживать динамику его распространения. Для дальнейшего моделирования перемещения аэрозольного облака необходимо использовать модель циркуляции атмосферы планетарного масштаба, добавить уравнения химической кинетики, что требует больших вычислительных ресурсов, и выходит за рамки этого проекта. Рисунок 2.1- Распределение облака концентрации КРТ в начальный момент времени дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c 28 Рисунок 2.2- Распределение облака концентрации КРТ через 10 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c Рисунок 2.3- Распределение облака концентрации КРТ через 20 мин дренажа 1ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c 29 Рисунок 2.4- Распределение облака концентрации КРТ через 30 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c Рисунок 2.5- Распределение облака концентрации КРТ через 40 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c 30 Рисунок 2.6- Распределение облака концентрации КРТ через 50 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c Рисунок 2.7- Распределение облака концентрации КРТ через 1 час после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c 31 Рисунок 2.8- Размер облака концентрации КРТ в начальный момент времени дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c Рисунок 2.9- Размер облака концентрации КРТ через 10 мин после дренажа 1ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c 32 Рисунок 2.10- Размер облака концентрации КРТ через 20 мин после дренажа 1ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c Рисунок 2.11- Размер облака концентрации КРТ через 30 мин после дренажа 1ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c 33 Рисунок 2.12- Размер облака концентрации КРТ через 40 мин после дренажа 1ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c Рисунок 2.13- Размер облака концентрации КРТ через 50 мин после дренажа 1ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c 34 Рисунок 2.14- Размер облака концентрации КРТ через 1 час после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c Рисунок 2.15 - Изменение размера облака концентрации КРТ в расчетной области, в начальный момент времени дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c 35 Рисунок 2.16- Изменение размера облака концентрации КРТ в расчетной области, через 20 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c Рисунок 2.17- Изменение размера облака концентрации КРТ в расчетной области, через 35 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c 36 Рисунок 2.18- Изменение размера облака концентрации КРТ в расчетной области, через 50 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c Рисунок 2.19 - Распределение температуры облака КРТ, в начальный момент времени дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c. Токр = -100С 37 Рисунок 2.20- Распределение температуры облака КРТ, через 10 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c. Токр = -100С Рисунок 2.21- Распределение температуры облака КРТ, через 20 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c. Токр = -100С 38 Рисунок 2.22- Распределение температуры облака КРТ, через 30 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c. Токр = -100С Рисунок 2.23- Распределение температуры облака КРТ, через 40 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c. Токр = -100С 39 Рисунок 2.24- Распределение температуры облака КРТ, через 50 мин после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c. Токр = -100С Рисунок 2.25- Распределение температуры облака КРТ, через 1 час после дренажа 1-ой ступени РН «Протон-М». Высота 42 км. Скорость ветра 50 м/c. Токр = -100С 40 3 МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОСТАТОЧНОГО РАКЕТНОГО ТОПЛИВА ПЕРВОЙ СТУПЕНИ РАКЕТ-НОСИТЕЛЕЙ ПРИ ДРЕНАЖЕ В ВЕРХНЕЙ СТРАТОСФЕРЕ НА ОСНОВЕ RANS МЕТОДА 3.1 Осредненное по Рейнольдсу уравнение Навье-Стокса Методы прямого численного моделирования крупномасштабной турбулентности, описывающие во времени все детали эволюции поля скорости и скалярных полей для большинства практических задач не приемлемы в силу потребности больших ресурсов вычислительных средств и дороговизны расчетов. В настоящее время существует единственный экономически оправданный выход, решать уравнения осредненного движения, которые определяют распределение осредненных во времени величин. Для изучения турбулентных течений, необходимо получить осредненное уравнение Рейнольдса из уравнений Навье–Стокса, и вывести основные уравнения для тензоров турбулентных напряжений. Турбулентность представляет собой сложное физическое явление, теоретическое изучение которого опирается на основные законы физики, находя свое выражение в уравнениях гидродинамики. Для несжимаемой жидкости, движущейся в изотермических условиях, они сводятся к уравнениям баланса количества движения (импульса) и закону сохранения вещества, которые, записываются в виде:  U i Ui  2U i 1P  U      Fi  k  xk   xi  xk  xk     U k  0   x k (3.1) Система уравнении записаны в декартовой системе координат x i ( i =1, 2, 3), три компонента скорости U i и давление P являются неизвестными функциями, определяются из системы четырех дифференциальных уравнений (3.1),  время,  - кинематическая вязкость среды,  - плотность среды, Fi - некоторая объемная сила, действующая на среду, и далее опускаем ее в общей части и вернемся к ней в решений конкретных задач. В уравнениях (3.1) и ниже по повторяющимся индексам следует производить суммирование. Приведенные нестационарные уравнения Навье-Стокса, как известно, описывают реальные течения жидкостей до чисел Рейнольдса меньше критических (ламинарное течение). При дальнейшем увеличении числа Re (в переходном режиме) из уравнения (3.1) также можно извлечь информацию о закономерности развития течения. Однако при развитом турбулентном течении возникают принципиальные трудности, которые делают неприменимым использование прямого численного моделирования для изучения реальных турбулентных 41 течений. Характерной особенностью турбулентного движения является наличие беспорядочных флуктуаций гидродинамических характеристик потока во времени и в пространстве. Хотя неупорядоченность, хаотичность является основным признаком турбулентного движения, в нем, тем не менее, оказывается возможным выделить точные средние значения различных величин (скорости, давления и т.п.). Поэтому в настоящее время можно придерживаться следующего определения турбулентности, что турбулентное движение жидкости предполагает наличие неупорядоченности течения, в котором различные величины претерпевают хаотическое изменение по времени и пространственным координатам и при этом могут быть выделены статистически точные их средние значения. При изучении турбулентности в силу его определения необходимо использовать какие-либо методы осреднения, позволяющие перейти от исходных гидродинамических уравнений, описывающих мгновенные значения гидродинамических элементов к более плавным и регулярным средним значениям характеристик потока, которые можно исследовать с помощью обычных методов математического анализа. Для вычисления средних значений обычно используются временное или пространственное осреднения по какому-либо промежутку времени или области пространства или пространственно-временное осреднение. Исходя из того требования, что применение рассматриваемого осреднения к дифференциальным уравнениям гидродинамики позволило бы получить достаточно простые уравнения относительно средних значений полей. О. Рейнольдс использовал простейшее осреднение по временному интервалу. Регистрируя во времени в данной точке потока какой-либо из параметров, характеризующих течение, можно положить: GG  f где G - действительно существующее в потоке мгновенное (актуальное) значение этой величины; G - осредненное по времени его значение; f пульсационное значение. Под обозначаемым G подразумевается обычное интегральное среднее по времени  за промежуток времени T , называемым периодом осреднения t G T 2 1  G d T t T 2 Предполагается, что для каждого турбулентного движения существует такой достаточно большой по сравнению с периодом турбулентных пульсаций, но малый по сравнению с характерным для осредненного турбулентного движения интервалом времени постоянный период осреднения T, что 42 сглаживание во времени приводит к осредненной величине, при повторном сглаживании уже не изменяющейся. Это значит, что GG Если в результате осреднения, проведенной в данной точке в разные моменты времени  , будут получаться одни и те же значения G , очевидно что осредненное значение пульсационных величин f равно нулю f 0 Осреднения по времени, используемые ниже, должны подчиняться правилам: G Y  G  Y , f f  , x x GY  G Y , G  G    (3.2) Перейдем к выводу уравнений Рейнольдса для осреднений скорости. Представим актуальные значения скорости U i и давления P в виде суммы осредненных U i , P и пульсационных величин ui , p Ui U i ui PP  p (3.3) Подставляя эти выражения в уравнения Навье-Стокса и неразрывности, и произведя осреднение по правилам, приведенным выше, получим:  U i U i 1 P  Uk     xk   xk  xk     U k  0  x  k  Ui    u i u k    xk  43 (3.4) Заметим, что индекс i принимает значения, соответствующие осям декартовой системы координат, равные i =1, 2, 3. Сравнивая уравнения для осредненного движения (3.4) с уравнениями Навье-Стокса (3.1), можно сказать, что первые отличаются от вторых наличием дополнительного тензора турбулентных напряжений. Компоненты тензора называются рейнольдсовыми напряжениями. Физический смысл этих напряжений состоит в том, что они выражают перенос количества пульсационного движения пульсационными скоростями. Наличие в уравнениях переноса импульса (3.4) рейнольдсовых напряжений делают эту систему незамкнутой. Для замыкания ее следует получить уравнения для одноточечных моментов второго порядка ui uk . Уравнения Рейнольдса можно рассматривать как первые в общем случае системы уравнений переноса турбулентных характеристик потока, а именно как уравнения переноса количества движения и, соответственно этому, уравнение (3.4), содержащее в качестве искомых U i и P называть уравнениями моментов первого порядка. Проблема замыкания этих уравнений не получила до сих пор рационального решения и требует в каждом отдельном случае введения дополнительных, имеющих только приближенный характер, допущений. Применяя тот же метод осреднения (3.2) для уравнения переноса тепла и примеси можно получить следующие уравнения:  T T      Uk  xk   xk    Q      Uk  T   a   c p t uk    xk  (3.5)  Q    Q    d   quk   xk   xk   xk  (3.6) где  - плотность, c p - коэффициенты теплоемкости, a -теплопроводности и d - коэффициент молекулярной диффузии вещества в смеси постоянными  c p tu k выражает турбулентный поток тепла,   quk -турбулентный поток вещества. В уравнениях (3.5) и (3.6) знаки осреднения опушены и в дальнейшем будут применяться в таком виде. Как уже отмечалось, что из-за появления в уравнениях Рейнольдса для среднего движения дополнительных членов, содержащих напряжения Рейнольдса, система этих уравнений оказывается незамкнутой. Естественно попытаться замкнуть ее, дополнив уравнения Рейнольдса новыми уравнениями, описывающими изменения во времени самих напряжений. Для вывода уравнений, описывающих изменения во времени напряжений Рейнольдса, можно воспользоваться общим методом составления уравнений для моментов. Для этого обратимся к уравнению Навье-Стокса и выразим в нем каждую актуальную величину как сумму осредненной и пульсирующей величин. Тогда получим 44 U i  ui U i U i  ui   U k  uk U k  uu     xk  xk  xk  xk i k (3.7) 1P 1 p 2 U i  ui       xi   xi  xk  xk Произведем осреднение по времени, используя приведенные выше правила осреднения, получим U i U i 1 P   Uk     xk   xk  xk   Ui    ui uk    xk  Вычитая почленно из предыдущего уравнения последнее, получим уравнение для пульсации скорости ui :    ui  ui  Ui   Uk  uk  u u  ui u k    xk  xk  xk i k (3.8) 1  p  2 ui     xi  xk2 Запишем уравнение, аналогичное (3.8 ) для пульсации  uj  uj U j   Uk  uk  u u  u j uk    xk  xk  xk j k  uj   2u j 1p     xj  xk2 (3.9) Умножим уравнения для ui на u j , а уравнения для u j на ui . Складывая эти уравнения после осреднения по времени, получим искомые уравнения для одноточечных моментов второго порядка [53,54] 45 U j U i   ui u j U k ui u j  u j u k  ui u k    xk  xk  xk   1  p    p   u j  u u  u u u  u  u i  x i k  xk j k    j  xi i  x j  k  (3.10)   2u  2u j  i   u j u   xk2 i  xk2    Для преобразования уравнений к виду, позволяющему выполнить физическую интерпретацию его отдельных членов, используем соотношения, записанные с учетом уравнения неразрывности: uj uj p   pu j  p  xi  xi  xi ui u p   pui  p i  xj  xj  xj uj  ui     ui uk ui u j uk  u j uk ui u j uk  uu u  xk  xk  xk  xk  xk i j k  2u j  2ui  2  ui  u ui  u  u u  2 j i j  xk2  xk2  xk2  xk  xk j Подставляя эти соотношения в (3.10), получим систему уравнений для одноточечных моментов второго порядка:   ui u j U k uu    xk i j  u j uk (I) U j U i  ui u k   xk  xk  p   u j  ui     xi  x j    xk (II)     (III)   p  ui u j  ui u j uk   j k ui   ik u j       xi 46 (IV) (3.11) 2  ui  u  xk  xk (V) j здесь  i j  символ Кронекера  i j  1 при i  j ,  i j  0 при i  j Очевидно, что уравнения кроме средней скорости и напряжений Рейнольдса, содержит ряд новых неизвестных. Этими новыми неизвестными являются, третьи центральные моменты, умноженные на  вторые моменты пульсаций скорости и ее пространственных производных, а так же взаимные вторые моменты полей давления и скорости. Уравнения Рейнольдса (3.4 ) и уравнения для тензоров напряжений (3.11) снова не образуют замкнутой системы. Если попытаться дополнить эту систему уравнениями для новых неизвестных, входящих в (3.11), т.е. уравнениями для третьих моментов, то в эти уравнения в свою очередь войдут многие другие дополнительные неизвестные и разность между числом неизвестных и числом уравнений станет только еще больше. Таким образом, составление уравнений для высших порядков не замыкаются ни на каком этапе, а система уравнений всегда остается открытой и не замкнутой. Полученное уравнение (3.11) имеет важное значение для последующего изложения в виду чего поясним подробно физический смысл отдельных его членов. В уравнении члены (I) описывают полное изменение в единицу времени субстанции ui u j , (II) – описывает их порождение за счет работы среднего движения против Рейнольдсовых напряжений, член с порождением не обязательно имеет тот же знак, что ui u j , и очевидно, что ui u j затухает гораздо быстрее в том случае, когда знаки различны. (III) – порождение, или перераспределение между компонентами посредством пульсаций давления, и называется членом давления - деформация, поскольку это среднее произведение пульсаций давления на пульсацию скорости деформации. В общем, пульсации давления делают турбулентность изотропной, увеличивая более слабые нормальные напряжения за счет более сильных напряжений и уменьшая величину сдвиговых напряжений. (IV) – перенос пульсациями скорости ui u j uk представляет перенос ui u j в направлении xk по причинам, приведенным при объяснении скорости переноса количества движения ui u j , а физическая интерпретация переноса пульсациями давления весьма затруднительна, перенос пульсациями вязкого напряжения, которые обычно малы, за исключением случая когда пространственные градиенты напряжения Рейнольдса крайне велики. (V) – разрушение или порождение посредством пульсации вязкого напряжения. Вязкие источниковые члены в уравнениях для нормальных напряжений является отрицательными, и обеспечивают диссипацию турбулентности, также диссипативный член можно интерпретировать как среднюю скорость, с которой турбулентность совершает работу против вязких напряжений. 47 В дальнейшем наряду с гидродинамикой различных течений будут рассматриваться вопросы тепло-массообмена в потоках, а также температурнонеоднородные среды. Поэтому необходимо получение уравнения переноса тепла для турбулентных потоков. Что касается турбулентного переноса вещества, то полуэмпирическая теория этих процессов совпадает с аналогичной теорией процессов распространения тепла, поэтому все что будет изложено в этом разделе в одинаковой степени относится к тому и другому процессу. В уравнении (3.5) поле скоростей определяется из уравнений движения (3.4) и поэтому предполагается заданным. Таким образом, при решении тепловой задачи возникает проблема замыкания для определения четырех величин ( T, tui ) имеется всего лишь одно уравнение (3.5). Искомое уравнение теплопроводности, или уравнение баланса тепла имеет вид: T T  2T  Uk a   xk  xk2 (3.12) Представляя в (3.12) актуальную температуру T в виде суммы осредненной T и пульсационной t температур T  T  t , а скорость в виде U k  U k  u k получим T t T T t t  Uk  uk Uk  uk      xk  xk  xk  xk  2T  2t a  a  xk2  xk2 (3.13) Для замыкания уравнений получим уравнение для турбулентных потоков тепла tui . Для этого из уравнения (3.13) вычтем уравнение (3.5) тогда получим   t t T   2t  Uk  uk  uk t  uk t  a 2   xk  xk  x k  xk (3.14) запишем аналогичное уравнение для пульсации скорости ui    ui  ui  Ui  Uk  uk  u u u u    xk  xk  xk k i k i  2 ui 1 P     xi  xk2 Теперь умножим уравнения (3.14) на ui , а уравнения (3.15) на их. После осреднения этого уравнения получим 48 (3.15) t и сложим   uk t  ui t  ui t  Ui u u T Uk  ui u k  uk t   ui t i k   xk  xk  xk  xk   xk      2 ui 1 P  2t  t  t  au i   xk  xk2  xk2 (3.16) Преобразуем уравнение (3.16) используя соотношения ui    uk t  t u k ui  u ut  xk  xk  xk k i  2 ui  2t 2  t  ui , t  ui  ut2 2 2 2 i  xk  xk  x  xk  xk P  t t  pt  p  xi  xk  xk Окончательно будем иметь следующие уравнения для корреляции tu i [53]  ui t  ui t  Ui T  Uk ui u k  uk t   I  xk  xk II  xk     ui t p  p t  t  ui  ui u k t  t    2a a  x   xk III    IV  xi  xk V  xk (3.17) B этих уравнениях два первых члена характеризуют полное изменение в единицу времени пульсационного потока тепла, третий член непосредственное порождение uit из среднего температурного поля, четвертый - производство пульсационного теплового потока за счет взаимодействия пульсационного движения и среднего течения, последующие члены определяют молекулярную диффузию, изменение uit за счет внешних сил и диффузию за счет турбулентного переноса энергии пульсационного движения. Получим теперь уравнения осредненного квадрата пульсации температуры. Для этого умножим уравнение пульсации температуры на t и произведем осреднение    t2  t2 T   2t  Uk  uk t  uk t  uk t  at 2  2  xk 2  xk  xk  xk используя соотношение 2t   uk t  uk t 2  xk  xk 49 (3.18) 2t  2t  2 2 t t  2 t 2 2  xk  xk  xk  xk получим из (3.18 ) искомое уравнение [55] 2 t t2 T   Uk  2 uk t    xk  xk  xk  t2  t t  u k t 2   2a a  xk  xk   xk  (3.19) 2 Это уравнение выражает баланс между полным изменением величины t в единицу времени, ее созданием за счет взаимодействия между средним и пульсационным характеристиками температурного поля, молекулярной и турбулентной диффузией, уменьшением за счет термического сопротивления среды (диссипация). Таким же методом можно получить уравнения для турбулентного переноса концентрации [3, с.200]  ui q  ui q  Ui Q  Uk ui u k  uk q   I  xk  xk II  xk     ui q p  p q  q  ui  ui u k q  q    2d d  x   xk III    IV  xi  x k V  xk 2 2 q q Q   Uk  2 uk q    xk  xk  xk   q2  q q  u k q 2   2d d  xk  x k   xk  (3.20) (3.21) Из выполненного выше анализа следует, что в уравнение для момента любого порядка входят корреляции более высокого порядка. Следовательно, для точного описания поля турбулентного течения необходима бесконечная система уравнений, содержащая бесконечное число корреляционных функций. Поэтому в практических методах расчета для замыкания такой системы уравнений требуется обращение к эмпирическим данным. Для исследования турбулентных сдвиговых течении при наличии внешних сил необходимо использовать различные методы расчета турбулентных течений. Очевидно, что аналитическая теория турбулентности для рассматриваемой задачи не применима, поскольку она развита в основном для однородной турбулентности. Как уже говорилось, прямое численное интегрирование нестационарных уравнений Навье-Стокса на ЭВМ в настоящее время встречает пока непреодолимые трудности. Поэтому, основные успехи в расчете турбулентных течений связаны с построением моделей течений описывающих поведение осредненных параметров потока (скорости, скалярных полей и пульсационных характеристик). Эти модели различаются детальностью представления поля течения, точностью описания различных классов течений и сложностью расчета. Первой и успешно применимой в 50 настоящее время является модель Прандля-Кармана, основу которой составляют уравнения пограничного слоя и теория пути смещения Прандтля. Эта модель и ее модификации позволяют рассчитать поля осредненных скоростей и распределение напряжений Рейнольдса различных типов турбулентных течений, путем подбора ряда эмпирических констант. Указанное направление, названное полуэмпирическим методом, получило развитие в последние десятилетия благодаря основополагающим идеям КолмогороваПрандтля-Ротта [12, с.15; 13, с.65; 56]. Известно много работ, развивающих эти идеи применительно к расчету конкретных задач [57- 61]. Как правило, в число определяющих уравнений, наряду с уравнениями движения, включаются уравнения для различных пульсационных характеристик (кинетическая энергия, вихревая вязкость, напряжения Рейнольдса и т.д.), которые замыкаются применением полуэмпирических гипотез для появившихся в уравнениях новых неизвестных величин (тензорные величины третьего порядка, корреляции пульсаций давления и скорости и др.). Все полуэмпирические гипотезы, сводятся к выражению входящих в уравнения переноса сложных корреляций через более простые, которые входят в число искомых величин или относительно которых легче выдвинуть дополнительные соображения, замыкающие постановку задачи. Одним из основных выводов Ротта состоит в том, что поперечные компоненты u 2 и u3 возрастают за счет осевой компоненты u1 благодаря переносу энергии посредством корреляции, приводит к выравниванию всех трех компонент скорости, т.е. к тому, что турбулентность становится изотропной. Логично предположить, что перенос энергии от компоненты с большей интенсивностью к компоненте с меньшей интенсивностью через посредство корреляции давление-градиент скорости пропорционален разности интенсивностей, и произведя количественную оценку корреляции и используя соображения размерности, Ротта получил следующее выражение p   ui  u j  E 2   k uiu j   i j E        x j  xi  l  3  (3.22) Соотношение (3.22) Ротта оказало существенное влияние на развитие полуэмпирической теории для расчета структуры турбулентных течений, поскольку теперь отыскание касательных напряжений Рейнольдса рассматривается как часть общей задачи расчета моментов второго порядка. В дальнейшем гипотеза Ротта подвергалась различным модификациям, вызванным стремлением улучшить совпадение расчетов с экспериментом. Результаты, полученные выше, показывают, что турбулентное напряжение сдвига может возникнуть только в том случае, когда осредненный поток является неравномерным. При этом корреляция давление-градиент “скорости” имеет тенденцию ослабить неизотропность путем выравнивания всех трех компонент турбулентных пульсаций скорости и уменьшения напряжения трения. Тенденция к изотропности сильнее всего проявляется в зоне 51 мелкомасштабной турбулентности. В связи с тем, что влияние вязкости через диссипацию с увеличением интенсивности турбулентности возрастает, но при неизотропной турбулентности оно должно приводить к более быстрому затуханию компонент с высокой интенсивностью, иначе говоря, этот фактор также имеет тенденцию к выравниванию компонент. В этом случае рассмотренный эффект в диапазоне больших волновых чисел (или малых элементах жидкости) тоже проявляется сильнее. В уравнении (3.11) имеется диссипативный член, который характеризует влияние вязкой диссипации на структуру напряжений Рейнольдса. Для качественного анализа этого процесса выделим в этом выражении две его составляющие величины u uj 2 i  xk  xk и   ui    xk    2 поскольку в предельном случае изотропной турбулентности значение этих слагаемых различаются. Для получения выражения этих членов рассмотрим два предельных случая: бесконечно больших и бесконечно малых значений чисел Рейнольдса, вычисленных по среднекинетической энергии. При очень больших числах Рейнольдса турбулентное движение состоит из элементов, размеры которых различаются на много порядков. Кинетическая энергия в основном содержится  u в больших турбулентных элементах, в то время как основной вклад в  i   xk    2 вносит мелкие элементы. По А.Н.Колмогорову турбулентность обладает свойством локальной изотропности, т.е. пульсации вектора скорости в произвольной точке изотропны, если рассматриваемые точки расположены внутри достаточно малой области. Даже, если действуют внешние воздействия, то они действуют в основном на большие турбулентные элементы, так что  u малые элементы можно считать изотропными. Поэтому, в выражение  i   xk    2 вносится одинаковый вклад при различных индексах (i=1,2,3). Согласно гипотезе А.Н. Колмогорова, диссипации на единицу массы жидкости и другие определяющие величины зависят только от осредненной пульсационной энергии E и величины l пропорциональной “некоторому среднему масштабу вихрей в данной точке”. Поэтому для больших чисел Рейнольдса можно записать:  u   i   xk 2  c E3 2   3 l  52 Из-за локальной изотропности у малых элементов не может существовать uj корреляции между  ui и . Поэтому полагается, что  xk   xk  ui  u j 0  xk  xk При малых числах Рейнольдса турбулентность состоит из элементов, весьма мало отличающихся друг от друга. Элементы, определяющие поведение   ui    xk    2 заключают в себе значительную долю энергии. Поэтому энергия рассеянная компонентой ui пропорциональна кинетической энергии. Следовательно  u   i   xk содержащейся в ней 2  c u2    1 i2 2 l  по этой же причине  ui  u j пропорционально ui u j ,  xk  xk  ui  u j c1 ui u j   xk  x k 2 l 2 В окончательном виде интерполяционную формулу для диссипативного члена записывают в виде следующего соотношения ui u j 2  ui  u j E3 2 2   c1 2  c i j  xk  xk 3 l l (3.23) В дальнейшем наряду с гидродинамикой различных течений будут рассматриваться вопросы тепломассообмена в потоках, а также температурнонеоднородные среды. Поэтому в этом разделе будут рассмотрены гипотезы для уравнения переноса тепла в турбулентных потоках. Что касается турбулентного переноса вещества, то полуэмпирическая теория этих процессов совпадает с аналогичной теорией процессов распространения тепла. Рассмотрим уравнения для вторых моментов поля температуры и скорости. В них, как и в динамических уравнениях, необходимо привлечение дополнительных гипотез, позволяющих выразить новые неизвестные величины через первые и вторые моменты. Это выполняется по аналогии с гипотезами Ротта-Колмогорова. 53 Простейшим предположением о связи корреляции “пульсации давлениеградиент пульсации температуры” со вторыми моментами ui t является допущение об их пропорциональности P t E  kt ui t   xk l (3.24) Для выражения диссипативных членов, как и ранее, рассмотрим предельные случаи больших и малых значений турбулентного числа Рейнольдса. В первом случае, принимая приближенно справедливую гипотезу А.Н.Колмогорова, о локальной изотропии и используя условие равенства нулю в изотропной турбулентности корреляционного тензора первого ранга получим: 2a  ui  t  0,  xk  xk 2 ui t , t t E 2  ct t  xk  xk l В области малых чисел Re диссипацию предполагают пропорциональной диссипируемой величине 2a  ui  t ut t t t2  ctu i2 , 2a  ct a 2  xk  xk l  xk  xk l Суперпозиция диссипативных эффектов при больших и малых значениях турбулентного числа Рейнольдса приводит к следующим простейшим выражениям 2a  ui  t ut  ct u i2  xk  xk l (3.25) 2a t t t2 E 2  c1t 2  ct t  xk  xk l l (3.26) Гипотезы (3.22) - (3.26) позволяют замкнуть систему уравнений для определения полей скорости, температуры и их одноточечных моментов второго порядка. Как известно, характерной особенностью широко распространенных основных типов турбулентных течений является резкое изменение различных поперечных градиентов характеристик среднего движения по сравнению с продольным градиентом этих же величин. Это позволяет принять в качестве моделей указанных движений жидкости чисто сдвиговое течение. При этом в уравнениях для ui u j выпадают конвективные члены, замечено, что после достаточно продолжительного времени вырождения 54 энергии турбулентности убывает, как время в степени – 5/2. Это обстоятельство объясняется как одно из следствий пренебрежимо малости нелинейных инерционных членов [62, с.98]. Диффузионный член описывает перераспределение энергии за счет вязкой и турбулентной диффузии и диффузии энергии пульсаций давления. Для его описания часто употребляется градиентная модель, однако она не является тензорно инвариантной. Тем не менее, даже простейшая тензорно инвариантная форма модели оказывается существенно сложнее, а при вычислениях по такой модели результаты не улучаются. По этим причинам при рассмотрении сдвиговых течений для приближенного расчета пульсационных характеристик диффузионным членом можно пренебречь [63, с.14]. Пренебрежем также и вязкой диффузией. Это связано с тем, что вязкая диффузия пульсации, как показывают опыты, проявляется лишь в весьма тонком слое у стенки (в ламинарном подслое и примыкающей к нему части переходной области). В большинстве практически важных случаях включая теплообмен и диффузию при числах Прандтля и Шмидта (не превышающих примерно 10), вязкая диффузия незначительна. При принятых допущениях пренебрежение конвективными и диффузионными членами система дифференциальных уравнений (3.11), (3.17), (3.19) - (3.21) для одноточечных моментов переходит в алгебраическую и приобретает локальный характер. U j   Ui uiu j u j uk uiuk    xk  xk k ui u j 2 E 2 E3 2  0  ui u j   i j E   c1 2  c i j l  3 l 3 l  (3.27)  uit T  Ui ut E  ui uk  uk t  kt ui t  ctu i2  0   xk  xk l l (3.28)  2 T t2 t2 t  uk t  c1t 2  ct E 0   xk l l (3.29)  ui q  Ui Q uq E  ui u k  uk q  kq ui q  cqu i2  0 l l   xk  xk (3.30)  2 Q q2 q2 q  uk q  c1q 2  cq E 0   xk l l (3.31) Приведенные уравнения используются для дальнейших исследований. 55 3.2 Математическая модель Рассматривается развитое пространственное турбулентное течение стратифицированной атмосферы. Для исследования используются система уравнений динамики атмосферы записанная в изобарической системе координат [71] U1 U1 U1 U1 H  U1  U2  U3  U 2    t x1 x2  x1 U1  U1  U1  g    3 2  1  2    x1 x1 x2 x2  RT   U 2 U 2 U 2 U 2 H  U1 U2  U3  U1    t x1 x2  x2 U 2  U 2  U 2  g    3 2  1  2    x1 x1 x2 x2  RT   (3.32) (3.33) H RT    (3.34) U 1 U 2 U 3   0 x1 x2  (3.35) U T T T T  a    T  U1 U2  U3  RT 3  T 1  t x1 x2  g  x1 x1  T  g   T T 2  3 2 1  x2 x2  RT    S S S S  S  U1 U2  U3  S1  t x1 x2  x1 x1  S  S S 2  S 3 x2 x2   (3.36) (3.37) Для данной задачи ставятся следующие граничные условия: U1  0;  U 2 T S H  0;  0;  0;  U3;    t при   H 0 t 3 (3.38) T S U1  kt T  Te ;  0;  3  ku U 1 U 1 ;    56 3 U 2  ku U 2 U 2 ; U 3  0 ; при   h  (3.39) 3.3 Модель турбулентной атмосферы На характер турбулентности очень сильное влияние оказывают пульсирующие объемные силы, если они взаимосвязаны с пульсациями скорости. Самым простым примером является сильное влияние сил тяжести на течение с пульсациями плотности. Если пульсации плотности появляются в результате того, что имеется средний градиент плотности в том направлении, что и средний градиент скорости, или когда течение фактический возникает изза разности средних плотностей, то между пульсациями плотности и скорости имеется хорошая корреляция и влияние сил плавучести может быть очень велико. В случае, когда плотность увеличивается в вертикальном направлении снизу вверх, имеем неустойчивое течение, и взаимосвязь плотности и скорости может привести к преобразованию потенциальной энергии в турбулентную кинетическую энергию. Наоборот, когда плотность уменьшается снизу вверх быстрее, чем это необходимо для сохранения гидростатического равновесия жидкости, то имеющаяся турбулентная энергия может быть преобразована в потенциальную энергию, это значит, что турбулентное перемешивание стремится уменьшить градиент плотности и таким образом повысить центр тяжести объема жидкости. В рассматриваемой проблеме основной задачей является получение в явном виде выражения для турбулентных характеристик через средние характеристики турбулентного потока. Для описания сложных турбулентных течений, где присутствуют температура и концентрация используются дополнительные уравнения для моментов второго порядка полей температуры и концентраций. В течениях общего вида имеются в силу симметрии шесть компонент тензора напряжений Рейнольдса ui u j и по три компоненты корреляций вида ui t и ui q , два компонента t 2 и q 2 , и уравнение для корреляции вида tq . Следовательно, требуется решить пятнадцать уравнений в частных производных. Для определения некоторых членов системы уравнения используются приближенные полуэмпирические соотношения. Рассматривая сдвиговые турбулентные течения, предполагается приближение Буссинеска, т.е. изменения плотности малы, и она учитывается только в массовых силах [72, 73]    Fui  g  3i tu j  3 j tui  g  3i qu j  3 j qui  Fti  g 3i   t 2   tq    Fqi  g 3i   tq   q 2 (3.40)  Используя уравнения одноточечных моментов второго порядка с учетом (3.40) получим следующую систему уравнений [63,74,75] 57 U j U i E 2 E3 2  2  ui u k k u u   E  c   i j ij  ij  xk  xk l  3 l  3 u j uk      g  3i tu j  3 j tui  g  3i qu j  3 j qui  0   uk t  Ui T E  ui u k  kt ui t  g 3i   t 2   tq  0 l  xk  xk uk t T t2 E  ct 0  xk l uk q  Ui Q E  ui u k  kq u i q  g 3i   tq   q 2  0 l  xk  xk uk q uk t  (3.41)  Q q2 E  cq 0  xk l Q T E  uk q  cq tq  0 l  xk  xk Решение системы в уравнении (3.41) относительно пульсационных характеристик, считая параметры средних течений известными, получим в следующем виде, где решение состоит их двух сомножителей. Первый, из которых соответствуют течению в однородной среде, а второй учитывает влияние архимедовых сил, вызванных полем температуры и концентрации. E  E 0 , u1 u3 u1  1  u3 tu  qu   qt   tu3  3 qu 3  qt  u   u1 2 0 3 0 9 0 , 13  2   u2 2 0 4 , 0 t u1  , 1 ,  u2 u3  u  u2 u3    qu   tu1  7 qu1  0 1 0 2 , 2 tu2  11 ,   2 ,  u3 2 0 5 u1 , u   u u   u t t   tu  qu   0 2 0 8 qu 2  2 0 15 где выражения для однородной среды: 2      u 2   2 1  c  1 l 2   U 1     U 2 2/3  3 0 3  k  c   x3    x3    58       2 2  3  2 12 2  3 0 1 2 2 0 2 , q  0 6 , q   10 2 0 14 (3.42)  u 2   2 c 1 l  k  1  U   1  3 k c  c   x  u 2   2 c 1 l  k  1  U   2  3 k c  c   x 2  k   U1  2     2   c   x3  3  2 2/3 0 2 2 1 2/3 3 0 2     k   U2      2   c  x  3    2   U U U  u u   l  2    1   1  2   x3    x3    x3  1 3 0 2 2   U 2    U1    U 2    u u   l          x3    x3    x3    U1    U 2  c   u u   2 k l      x3    x3  T  c  k    U1    u t   2 k 1  k l        x  x 3 3    2 2 3 0 1/ 3 2 1 2 0 1/ 3 2 1 0 t t T  c1 / 3  k  2   U 2     u 2 t 0  2 1  l  kt  kt       x3    x3      U 2    U1    T         x   x   x   3   3  3 2   k  u 3t 0  l 2 kt t   kk cc c 1 2 0 2/3 t t l2  T     x   3 2 2 2 Q c1 / 3  k  2   U 1    u1 q 0  2 1 l  k q  k q      x3    x3   59        2    Q c1/ 3  k  2   U 2    u2 q 0  2 1 l  k q  k q    x  x  3  3     U 2    U1    Q       x   x   x   3   3  3 2   k  u3 q 0  l 2 kq q   kk cc c 1 2 0 2/3 q q     l2  Q     x   3 2 2 2 2   1 2   U 1    U 2      E 0  2 / 3 l    c   x3    x3     Функции, учитывающие влияние стратификации на турбулентный поток имеют следующий вид, отметим, что некоторые функции совпадают в силу симметрии исходных уравнений.   k k Pr  k k Sc    k Pr  k   2      2    Rt    2   Rq    2   Rt 2   cs Sc  ct   ct cs Sc    cq cs Pr  k k Sc k  k k  c c  2    Rt  Rq   2   t  q  Pr cs  cq  cs  cq ct   ct cq   k k Pr   k k Sc        Rq   3   2    Rt   c   c c Sc c Pr s s   q    t  k  k Pr k Sc  k k    Rt 2  Rq 2  Rt  Rq  cs  ct Sc cq Pr  ct cq   2   c 2 c   k k Pr   2    4  1    2      Rt   2      2 c  3 k 3 k c c Sc     s  t     2    3 k 2   c   k k Sc   k Pr  2  c k    Rq   2       4  Rt 2 2    4    k   cq cs Pr   cs Sc  3  k  ct  3    k  c cq  2   k Sc  2  c k c  k k   t    Rq 2 2   4  Rt  Rq 4   2             cs Pr  3  k  cq k  ct cq     cs  cq ct  3    Rq 2 2  1 60    k k Pr 1  k k  2       Rq    Rt    c   Rt  Rq     ct cs Sc Pr   q cs  k  c 1 cq   k 1 k k 1  k   1  Rq 2  Rt 2  1  Rt  Rq   t    c Pr c cs Sc  ct cs Pr  cq c  s q t      3/ 2 4  Sc 1    Pr Sc  1  k k       Sc  ct cq     c    1 k  Pr   5   4 , 6  4 9   3 / 2    Rt  Rq t    cs  Sc cq        2  kt k Pr   1  Pr   7   1  Pr     Rt     Rt  Rq 1  Pr    ct cs Sc   k kq  Pr k ct  k kt Pr k  kq c    Rq  t   1    Rt 2  Rq 2   t  1  c  Sc cs cq  cs ct Sc cs  cq cq  q cs   k  Pr cq 1  kt k      Rt  Rq      cs  Sc ct Sc  ct cq   c   k  Pr 10     Rt  Rq t  8   7   cs  Sc cq   1  k  cq Sc   13   3 / 2    Rt  Rq     cs  ct Pr     2  k q k Sc   1  Sc   11   1  Sc     Rq     Rt  Rq 1  Sc    cq cs Pr  k k  Sc k cq  k kq Sc k k c   Rq 2    Rt  t  q  1    Rt 2  t  q  1  Pr cs ct  cs cq Pr cs  ct ct  cs ct   k  Sc c 1  kq k      Rt  Rq    t      cs  Pr cq Pr  cq ct      k  cq Sc  14     Rt  Rq  12  11  cs  ct Pr      k  cq k c 15    Sc  Pr   Rt Pr  1  Rq Sc t  1 Sc  Pr   cs  ct c s  cq   1/ 3 1/ 3   1 k Pr  k Sc    Rq  2             1  Rt  1  3 cs Sc  cs Pr              6 2 3 3 2k 3c  k 3  ct 1    1  3  3  2         3 9  2k  k 2    1   3 3  c  cq 2 k 2 k  c cq  k k  2   t    cs 3  c  cq ct  ct cq 61      k Pr  k Sc    Rq  2    1 c Sc c Pr s s       k Pr     k Sc     Rt 2 1   1  1  Rq 2 2   1  1  c Sc c Pr s s          k  Sc Pr    Rt  Rq       2  1  2  3    cs  Pr Sc     Rt  1   1 k Sc k   1 k Pr k   Rt      Rq      Sc c Pr c  s q   Pr cs Sc ct      k Pr 1  1  Rq 2 k Sc 2  1  Rt  Rq  3     Rt  Rq  Rt 2 cs Sc cs Pr     Rt 2 k 1  kt 1  cs Sc  ct  k 1  k q  k   Rq 2 1  Rt  Rq  cs Pr  cq  cs   k ct 1 cq 1       c c Pr c Sc  s q t   - числа Ричардсона, зависящие от температуры и концентрации соответственно. Rt, Rq g Rt  2 3 2 2  k   U1   U 2    Pr  1    c   x3   x3   g Rq  2 3 T x 3 Q x 3 2 2  k   U1   U 2    Sc  1    c   x3   x3   числа Прандтля и Шмидта соответственно, которые зависят от физических свойств жидкости. Все константы cq , ct , cs , kt , k q определяются через k и с . Pr, Sc -турбулентные c  2  k  k   1 k  3  c  где 3/ 4 c c  k 3/ 2  2  k   3  c  1    3/ 4 k не зависит от типов течения и определяется из теории изотропной c турбулентности как коэффициент анизотропии и равно 7. А другие коэффициенты имеют следующие значения 62 Pr  c k k  0,75 Sc   0,75 t  1 cs  ct  cq kt kt cq Таким образом, полученные выражения позволяют замкнуть уравнения Рейнольдса для сложных течений атмосферы и океанологии, где в потоке одновременно присутствуют температура и концентрация, и рассчитать как основные, так и турбулентные пульсационные характеристики потока. 3.4 Расчет поля вектора скорости Разностные схемы, используемые для аппроксимации данной системы уравнений должны удовлетворять не только обычным требованиям аппроксимации и устойчивости, но и ряду дополнительных условий, например экономичности. Рассмотрим область D   x1  L1 , x2  L2 , h    H  и введем на этой области сетку D h  x1,i , x2, j ,  k , i  1, n, j  1, m, k  1, l с соответствующими шагами n x1,i , x2, j , x3,k . Теперь введем следующее обозначение f i , j ,k  f x1,i , x2, j , x3,k , t n , где tn  n n  0,1,2,...,   шаг по времени. Введем обозначение U m  {U1 ,U 2 }, m  1,2. Уравнения (1.1)-(1.2) заменяются трехшаговой разностной схемой [69,76, 77]. n 1 Um n 2 Um 3  3  U mn  n 1 Um  n 2 U mn1  U m  3 3 1 1 n 1 L1U m 3  L1U mn  L2U mn  L3U mn 2 2   1 1 n 2 L2U m 3  L2U mn 2 2 (3.43) 1 1 H L3U mn1  L3U mn  Gm  Fm 2 2 xm Здесь использованы следующие обозначения: L1U m  U 1 L2U m  U 2 L3U m  U 3 U m i 1  U m i 1 U m i 1  U m i U m i  U m i 1   1,i  1   1,i  1 2 2 2 2 2x1 x1 x1 U m j 1  U m j 1 2x2   2, j  1 U m j 1  U m j 2 x 2 2   2, j  1 U m j  U m j 1 2 x2 2 U m k 1  U m k 1 U m k 1  U m k U m k  U m k 1   3, k  1   3, k  1 2 2 2 2 2x3 x3 x3 Рассмотрим I этап: 63 Um n 1 3 Um n   3 3 U  U m i 1 3 U  U mi 1   U 1 m i 1   1,i  1 m i 1 2  2 2 2x1 x1  n 1 n 1 n 1 n 1 3 n 1   1,i  1 U mi 2 n 1  U m i 1 3  n n  L2U m  L3U m 2  x1  3 выделим коэффициенты при соответствующих переменных n  13 слоя.  1,i  1   1,i  1  1,i  1   U  n 1 n 1  1 2  2 2  3 U m i 1 3  1   U    mi  4x1 2x 2    2x 2 2x 2  1 1 1      1,i  1   U n 1  n 1 2  3 U m i 1    F Um  4x1 2x 2  1     Введем обозначение: Ai  U 1  1,i  12  , 4x1 2x12 Ci   Bi  U 1  1,i  12  , 4x1 2x12 1  1,i 12  1,i 12   ,  2x12 2x12   Di  F U mn Таким образом, мы получаем следующее уравнение n 1 n 1 AiU m i 1 3  BiU m i 3 n 1  CiU m i 1 3  Di , которое решается методом скалярной прогонки, 1 и откуда находится U m n 3 II этап: Um n 2 3 Um n 1  3  n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2  U m j 1 3  U m j 1 3 U m j 1 3  U m j 3 U m j 3  U m j 1 3 1 U2   2, j  1   2, j  1 2 2 2 2 2  2x 2 x 2 x 2    1 n   2 L2U m   выделим коэффициенты при соответствующих переменных n  2 3 слоя.  2, j  1   2, j  1  2, j  1   2, j  1   U   U n 2 n 2  n 2  1 2  2 2  2 2  3 3 U m j 1 3  2   U    U    m m j j 1  2   4x 2 2x 2    2x 2 2x 2  4  x 2  x 2 2  2 2  2     F U m ,U m  n n 1 3   64 Введем обозначение: Aj  U 2  2, j  12  ,. 4x2 2x2 2 Cj   Bj  U 2  2,i  12  , 4x2 2x2 2 1  2, j  12  2, j  12   ,  2x2 2 2x2 2 n 1 D j  F U mn ,U m 3    уравнение примет вид n 2 n 2 A jU m j 1 3  B jU m j находим U m n 2 3 n 2  C jU m j 1 3  D j решается методом скалярной прогонки, откуда 3 III этап: Um n 1 U m  n 2 3  n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 U m k 1  U m k 1 U m k 1  U m k U m k  U m k 1  1   U3   3, k  1   3, k  1 2 2  2 2 2  2x3 x3 x3  1 H n  L3U m  Gm  Fm 2 xm преобразуем уравнение соответственно коэффициентам при U.  3, k  1  U n 1 3 2 U m k 1    4x3 2x3 2        U n1  1  3,k  1 2  3,k  12 mk    2x3 2 2x3 2    3, k  1  U n 1 3 2 U m k 1     4x3 2x3 2     F U n 2 3 , U n   G H m m   m  xm  Обозначение: U 3  3,k  12 Ak   ; 4x3 2x3 2 U 3  3, k  1 2 Ck    ; 4x3 2x3 2 1  3, k  1 2  3 , k  1 2 Bk    ;  2x3 2 2x3 2 n 2 Dk  F U m 3 ,U mn    Тогда мы получим следующее уравнение: 65     n 1 n 1 n 1 AkU m k 1  BkU m k  CkU m k 1  Dk  Gm H xm Так как полученное уравнение зависит от H , то необходимо найти H . x m Применяя замену U 1n1   n1   n1 U 2n1   n1  n1 H x1 (3.44) H x2 (3.45)  m   ,  , m   , , m  1,2. то получим:    H  H  H    Bk   m,k   m,k   Ck   m,k 1   m,k 1  Ak   m,k 1   m,k 1 xm  xm  xm     H Dk  Gm xm из этого уравнения выделяем систему:  Ak  m,k 1  Bk  m,k  Ck  m,k 1  Dk ,  H H H H  A   B   C   G . k m , k  1 k m , k k m , k m   x  x  x  x m m m m  второе уравнение разделим на H тогда получим следующее: x m  Ak  m,k 1  Bk  m,k  Ck  m,k 1  Dk ,   Ak m,k 1  Bk m,k  Ck m,k 1  Gm . откуда методом прогонки и в соответствии заменам найдем  ,  ,  , . Используя уравнения неразрывности U1 U 2 U 3   0 x1 x2  и кинематическое условие на верхней границе, получим уравнения для H 66 H   t x1  2H d   2 0 x1 x1 H  t  H x2  H   0    x1 d  x2 H0 H0 H0 H0 H  d  0 2  0 H 0 d  x1 H0       x  0 x1 d  H0  2H 0 d   d 2 0 x2 x2 0 H0   x d  0 0 2 Введем обозначение:  b1   d ; x1 0 H0 b4   0 x2 d ; H0 H0 b2   d ;  d ; x1 0 H0 b3   0 H0 b5   d ; b6  H0  0 2 0  x d Представим производные и интегралы в виде сумм:  n1  k ,i 1   k 1,i 1 n1  k ,i   k 1,i    2 2 k 1 k 1  b1  x1  x3  ;  n1    k 1,i  x3 ; b2    k ,i 2  k 1  n 1    k 1,i 1 n1  k ,i   k 1,i     k ,i 1 x3  2 2 k 1 k 1   b3  ; x1  n1  k , j 1   k 1, j 1 n1  k , j   k 1, j    2 2 k 1 k 1  b4  x2  x3  ;  n1 k , j  k 1, j  x3 ; b5    2  k 1   n1 k , j 1  k 1, j 1 n1 k , j  k 1, j    2 2 k 1 k 1  b6  x2  x3  ; Тогда уравнение для H примет вид: 67 H H 2H H 2H H  b2  b  b  b6  b1  b4 3 5 2 2 t x1 x2 x1 x2 Запишем соответствующую разностную схему для данного уравнения:  n1  2 in1   in11  in11   in11  n1   n  b2 i 1  b  3 2  2x1 x1 b5  nj11  2 nj1   nj11 x2 2  nj11   nj11  b6  b1  b4 2x2 Разностное уравнение запишем в векторной форме:     Aii1  Bii  Cii1  di . (3.46) где матрицы Ai , Bi , Ci , Di и вектор  ij выглядят следующим образом: 1 ij   , N i  Ai  b b2  3 2 x1 2x1 0  0 2b 2b2  52 2  x1 x2 b b  52  6 2x2 x2 1 Bi  ,   0  b b2  3 2 x1 2x1 b5 b  6 2 2x2 x2 0      b5 b  6 2 2  x2 x2 68 b5 b  6 2 2x2 x2 2b 1 2b2   52 2  x1 x2   Ci  b b2  3 2 2x1 x1 0 ,  b b  22  3 2x1 x1 0 Di  n  b1  b4  0    b1  b4  . n 0 Решения векторного уравнения (3.46) находятся с помощью матричной прогонки. Рекуррентная форма решения представляется в виде    i1  Eii  f i , а коэффициенты находятся следующим образом        Ai Eii  f i  Bii  Cii1  di      i  Ai Ei  Bi   Cii1  di  Ai fi        i  Ci  Ai Ei  Bi 1i1  di  Ai f i  Ai Ei  Bi 1 используя замену: Ei1  Ci  Ai Ei  Bi  ; 1      1 fi1  di  Ai fi  Ai Ei  Bi   Таким образом, полученное значение  i подставляется в уравнения (3.13) (3.14) и находятся значения скорости U1 ,U 2 . Третья компонента вектора скорости U 3 находится из уравнения неразрывности с использованием ранее найденных U1 ,U 2 . U1 U 2 U 3   0 x1 x2  уравнение неразрывности аппроксимируется следующим выражением: 69  U 1,i , j ,k  U 1,i , j ,k 1 U 1,i 1, j ,k  U 1,i 1, j ,k 1   2 2  U 3,i , j ,k  U 3,i , j ,k 1  x3  x1    U 2,i , j ,k  U 2,i , j 1,k U 2,i 1, j ,k  U 2,i 1, j 1,k     2 2   x3    x2           Таким образом, вычислены все компоненты вектора скорости атмосферы. 3.5 Расчет температуры и концентрации Теперь обратимся к решению уравнений, связанных с T и S. Здесь мы также воспользуемся методом дробных шагов. U T T T T  a    T  U1 U2  U3  RT 3  T 1  t x1 x2  g  x1 x1  T  g   2 T1 T 2    3  x2 x2  RT    S S S S  S  U1 U2  U3  S1  t x1 x2  x1 x1  S  S S 2  S 3 x2 x2   Введем обозначение: f m  T , S , m  1,2 и mj  T j , S j , j  1,2,3 . Трехшаговая разностная схема для этих уравнений запишется в виде: fm fm fm n 1 n 2 3  3  fm  fm n 1  n1  fm  n 2 3 3 n 1 1 n 1 n n n 3  L1 f m L1 f m  L2 f m  L3 f m 2 2 1 1 n 2 n  L2 f m 3  L2 f m 2 2   1 1 n1 n 1 L3 f m  L3 f m 3 2 2 где операторы Li имеют вид: 70 f m f    m1 m x1 x1 x1 L1 f m  U1 L2 f m  U 2 f m f   m 2 m x2 x2 x2 L3 f m  U 3 f m f   m3 m    или подробнее в разностной форме: f m , i 1  f m , i 1 f  f   m1, i  1 m , i 1 2 m , i  2 2x1 x1 L1 f m  U1  m1, i  1 f m , i  f m , i 1 x1 2 L2 f m  U 2  m 2, j  1 f m , j 1  f m , j 1 2x2   m 2, j  1 f m , j 1  f m , j x2 2 2  f m , j  f m , j 1 x2 2 L3 f m  U 3  m 3, k  1 2 2 f m , k 1  f m , k 1 f  f   m 3 , k  1 m , k 1 2 m , k  2 2x3 x3 f m , k  f m , k 1 x3 2 2 Рассмотрим I этап: fm n 1 3  fm  n f 3  f m i 1 3 f 3f 1    U 1 m i 1   m1, i  1 m i 1 2 m i 2 2 2x1 x1   L2 f m  L3 f m n n 1 n 1 n 1 n 1 3 n 1   m1, i  1 n соберем все одинаковые элементы и их коэффициенты  m1, i  1   m1, i  1  m1, i  1   U  n 1 n 1  1 2  2 2  3 f m i 1 3  1   f    2   4x1 2x 2  m i   2x 2 2  x 1 1 1      m1, i  1   U n 1  n 1 2  3 f m i 1    F fm  4x1 2x 2  1     Введем обозначение: 71 fmi 2 n 1  f m i 1 3  2  x1  3 Ai   m1, i  1 U1 2  , 4x1 2x1 2 Bi   m1, i  1 U1 2  , 4x1 2x1 2 Ci   1    m1, i  1 2x1 2 2   m1, i  1 2x1 2 2 ,   Di  F f m . n Разностное уравнение решается методом прогонки, т.е. n 1 n 1 Ai f m i 1 3  Bi f m i 3 n 1  Ci f m i 1 3  Di откуда находим f m n 1 3 II этап: fm n 2 3  fm  n 1 3 n 2 n 2 n 2 n 1 n 2 n 1  f m j 1 3  f m j 1 3 f m j 1 3  f m j 3 f m j 3  f m j 1 3 1  U2   m 2, j  1   m 2, j  1 2 2 2 2 2 2x 2 x 2 x 2  1 n  L2 f m 2 тогда уравнение в сокращенном виде:  m 2, j  1   m 2, j  1  m 2, j  1   U  n 2 n 2  1 2  2 2  3 f m j 1 3  2   f    mj 2 2 2  4x 2  2x 2  2x 2 2x 2       m 2, j  1   U n 2 n n 1 2  f m j 1 3   2   F fm , fm 3 2   4x 2 2x 2     Введем обозначение: Aj   m 2, j  1 U2 2  , 2 4x2 2x2 Cj   Bj   m 2, j  1 U2 2  , 2 4x2 2x2 1    m 2, j  1 2x2  2 2 D j  F fm , fm n  n 1  m 2, j  1 2x2 3 2 2 , . Это уравнение решаем методом прогонки, т.е. n 2 n 2 A j f m j 1 3  B j f m j 3 n 2  C j f m j 1 3  D j откуда находим f m n 2 3 III этап: fm n 1  fm  n 2 3  n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 f m k 1  f m k 1 f m k 1  f m k f m k  f m k 1  1 1    L3 f m n  u3   m 3, k  1   m 3, k  1 2 2   2 2 2 2 2x3 x3 x3  сократим уравнение по переменным 72       m 3, k  1   m 3, k  1  m 3, k  1   u  n 1 n 1  1 2  2 2  f m k 1  3   f    2   4x3 2x 2  m k   2x 2 2  x 3 3 3      m 3, k  1   u n 1 n n 2 2  f m k 1   3   F fm , fm 3 2  4x3 2x  3     Введем обозначение Ak   m 3, k  1 U3 2  , 2 4x3 2x3 Ck   Bk   m 3, k  1 U3 2  , 2 4x3 2x3 1    m 3, k  1 2x3  2 2 Dk  F f m , f m n  n 2  m 3, k  1 2x3 3 2 2 , . Это уравнение решаем методом прогонки, т.е. n1 n1 n1 Ak f m k 1  Bk f m k  Ck f m k 1  Dk откуда находим f m n 1 Построена модель стратифицированной атмосферы, основанная на уравнениях Навье Стокса для скорости, температуры и концентрации. Модель позволяет рассчитать поле скорости, температуры и концентрации и корреляции их полей, а также математически описать нестационарные физические процессы, происходящие в атмосфере. Предложенный алгоритм имеет высокую вычислительную эффективность при численном моделировании и оценке распространения аэрозоли в свободной атмосфере. 3.6 Результаты численного моделирования В данном разделе описываются результаты численного моделирования загрязнения атмосферы в результате запуска типа ракетоносителя «Протон К». Для детального исследования загрязнения стратосферы решаются три задачи. Первая задача связана с моделированием запуска РН «ПРОТОН К» в условиях отсутствия сносящих боковых потоков воздуха в средней атмосфере. Вторая задача посвящена моделированию при наличии боковых потоков. В третьей задаче моделируется взаимодействие боковых ветров на распространения продуктов горения в следе РН при прохождении через стратосферу. При этом последняя задача решается для большого масштаба расчетной области. Для решения задач были заданы начальные и граничные условия, геострофический ветер на высотах и количество отработанного топлива первой ступени РН. Из количества отработанного топлива была определена объем продуктов горения в зависимости от высоты и давления окружающей среды. Первой задаче моделируется запуск РН при отсутствии боковых ветров. Расчеты проводились в прямоугольной области с размерами по обоим горизонтальным направлениям 65 км, а по высоте от 15 до 45 км. Результаты 73 этих расчетов приведены на рис. 3.1- 3.10. На рис. 1 представлено вертикальное сечение расчетной области, проходящее через стартовую траекторию РН через 1 час после старта. Следующие рисунки 3.2-3.4 показывают динамику эволюции возмущения воздушной массы в последующие моменты времени после прохождения РН. Как видно из рисунков возмущение, вызванное диффузионно-конвективными потоками, распространяется до границы расчетной области и достигает ее за 910 часов, при этом на распространение и развитие возмущения не влияло работа двигателей. На рис. 3.5-3.7 представлены распространения концентраций продуктов горения на горизонтальной плоскости на высоте 30 км в различные моменты времени после старта РН. Эти данные представлены также в виде объемного распределения концентрации на рис. 3.8-3.10. Во второй задаче моделировался после стартовая ситуация при наличии юго-западного геострофического ветра умеренной силы, характерной для района космодрома. При наличии сносящего ветра картина распространения концентраций сильно меняется. На рис. 3.11-3.13 приведены распространения концентраций продуктов горения в следе РН в вертикальном сечений западвосток в различные моменты времени после старта РН. А в последующих рис. 3.15-3.17 изображены распределения концентрации продуктов горения на горизонтальной плоскости относительно поверхности земли на высоте 30 км в различные моменты времени. Некоторые из этих данных приводятся в виде изоповерхностей на рис. 3.18-3.20. На рис. 3.21-3.24 представлены поля скорости формировавшегося в результате взаимодействия ветра и конвективнодиффузионных потоков отработанных газов за РН в различные моменты времени на высоте 30 км. В предыдущих задачах через определенное время концентрация и динамические возмущения достигали границы расчетной области. Поэтому была поведена дополнительная серия расчетов, в которой размеры расчетной области по горизонтальным направлениям были увеличены до 130 км, а по высоте остались прежними 30 км. На рис. 3.25 – 3.29 приведены результаты моделирования полей скорости уже для этой увеличенной расчетной области и полная динамика возмущения воздушной массы в плод до затухания находится в пределах расчетной области. Теперь рассмотрим эволюцию распространения концентрации продуктов горения. На рис.3.29-3.32 приводятся распределения концентраций в следе за РН в вертикальной плоскости. А распределение в горизонтальной плоскости представлены в рис. 3.33-3.35. К моменту времени t = 15 часов после старта аэрозольное облако вплотную подходит к границе расчетной области. В рассматриваемом сечении на высоте 30 км по мере продвижения происходит уменьшение концентрации аэрозоли внутри облака. Анализ данных по расчетам показывает, что возмущение вызванный РН носит локальный характер для динамических характеристик атмосферы. А концентрация продуктов горения образует расширяющиеся облако до 74 определенных размеров и переносится геострофическими ветрами на различных высотах. Таким образом, созданный пакет программ позволяет в режиме реального времени моделировать перенос продуктов сгорания ракетного топлива в свободной атмосфере, отслеживать динамику распространения, который будет определять область взаимодействия с озонным слоем. 36 26 6.08 9.07 054 15. 3 18.0 2 21.0 24.0 30.00 01 27. 0.10 16 12.06 0.10 21 3.09 3.09 Z 31 11 10 20 30 40 X Рисунок 3.1- Распределение концентрации продуктов горения в следе РН 75 X2 X1 X2 Рисунок 3.2- Поле скорости в горизонтальной плоскости через 3 часа после старта при штиле X1 Рисунок 3.3- Поле скорости в горизонтальной плоскости через 6 часов после старта при штиле 76 X2 X1 Рисунок 3.4- Поле скорости в горизонтальной плоскости через 9 часов после старта при штиле 60 50 1.00 2.20 2.80 0 1.6 X2 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 X1 Рисунок 3.5- Распространение концентраций продуктов горения через 3 часа после старта РН на высоте 30 км. 77 60 50 40 X2 3 1.2 30 1.02 0.82 0.61 20 0.41 0.20 10 10 20 30 X1 40 50 60 Рисунок 3.6- Распространение концентраций продуктов горения через 6 часов после старта РН на высоте 30 км. 60 0.1 0 0. 10 50 40 X2 0.48 30 0 0.4 33 0. 20 0.25 10 0. 7 0.1 10 0. 10 10 20 30 40 50 60 X1 Рисунок 3.7- Распространение концентраций продуктов горения через 9 часов после старта РН на высоте 30 км. 78 Рисунок 3.8- Распределение концентраций продуктов горения через 3 часа после старта РН на высоте 30 км. Рисунок 3.9- Распределение концентраций продуктов горения через 6 часов после старта РН на высоте 30 км. 79 Рисунок 3.10- Распределение концентраций продуктов горения через 9 часов после старта РН на высоте 30 км. 40 7.19 X3 35 30 7.19 6 3.013 5. 7.19 1 3 11. 1.00 3.06 9.25 20 10 20 1.00 25 30 40 X1 Рисунок 3.11- Распределение концентраций продуктов горения в следе РН 80 2.38 1.91 40 30 0.97 0.97 0.50 20 1.44 1.4 4 25 10 0.50 X3 35 20 30 40 X1 Рисунок 3.12- Распределение концентраций продуктов горения в следе РН через 3 часа после старта 0.4 91 40 0.20 0 20 30 0.236 0.345 0.309 0.273 0.41 8 0.38 2 0.45 5 0.418 0.345 0.455 0.273 10 0.309 20 0.382 25 0.236 30 0.200 X3 35 40 X1 Рисунок 3.13- Распределение концентраций продуктов горения в следе РН через 9 часов после старта 81 60 50 3. 53 40 X2 5.0 0 2.07 30 0.60 20 10 10 20 30 40 50 60 X1 Рисунок 3.14- Распределение концентраций продуктов горения через 3 часа после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 60 50 15 0. 0.7 6 X2 40 30 0.64 0.52 20 39 0. 0.27 10 10 20 30 X1 40 50 60 Рисунок 3.15- Распределение концентраций продуктов горения через 9 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 82 60 0.2 4 0.2 9 50 40 X1 4 0.3 30 0.24 20 0.20 0.15 10 10 20 30 X1 40 50 60 Рисунок 3.16- Распределение концентраций продуктов горения через 12 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 0 25 0. 60 50 0.265 X2 40 0.250 30 0.235 0.220 20 10 10 20 30 X1 40 50 60 Рисунок 3.17- Распределение концентраций продуктов горения через 15 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 83 Рисунок 3.18- Распределение концентраций продуктов горения через 3 часа после старта РН, высота 30 км. Рисунок 3.19- Распределение концентраций продуктов горения через 12 часов после старта РН, высота 30 км. 84 X2 Рисунок 3.20- Распределение концентраций продуктов горения через 12 часов после старта РН, высота 30 км. X1 Рисунок 3.21- Поле скорости, сформировавшегося на момент 3 часа после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 85 X2 X1 X2 Рисунок 3.22- Поле скорости сформировавшегося на момент 6 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. X1 Рисунок 3.23- Поле скорости сформировавшегося на момент 9 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 86 X2 X1 X2 Рисунок 3.24- Поле скорости сформировавшегося на момент 12 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. X1 Рисунок 3.25- Поле скорости, сформировавшегося на момент 3 часа после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 87 X2 X1 X2 Рисунок 3.26- Поле скорости, сформировавшегося на момент 6 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. X1 Рисунок 3.27- Поле скорости, сформировавшегося на момент 9 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 88 X2 X1 X2 Рисунок 3.28- Поле скорости, сформировавшегося на момент 12 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. X1 Рисунок 3.29- Поле скорости, сформировавшегося на момент 15 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 89 40 30 0.6 X3 35 3 2. 0.6.4 5 2.5 20 1.5 5.3 6.2 7.2 8.1 4.4 10.0 11.9 10.9 12.8 13.7 9.0 191.4 6 14.7 .4 16.6 50 15. 8 20.3 21.2 17. 22.2 25. .1 23 24 1.5 25 0 20 40 60 80 100 120 X1 Рисунок 3.30- Распределение концентраций продуктов горения в следе РН 40 4.75 0 20 40 3.25 15 1.00 1.75 20 4.00 2.50 1.75 25 3.25 1.00 2.50 30 4.00 75 4. 75 4. X3 35 60 80 100 120 X1 Рисунок 3.31- Распределение концентраций продуктов горения в следе РН через 6 часов после старта. 90 1.58 1.98 40 35 X3 30 0.40 0 20 40 1.19 0.79 15 1.19 20 60 0.79 0.40 25 80 100 120 X1 Рисунок 3.32- Распределение концентрации продуктов горения в следе РН через 9 часов после старта. 120 100 X2 80 1 3 .00 5.8 .44 8.39 3 10.78 60 40 20 0 0 20 40 60 X 1 80 100 120 Рисунок 3.33- Распределение концентраций продуктов горения через 3 часа после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 91 120 100 X2 0.62 0.7 0 80 60 4 0.5 0.46 0.38 0.30 40 20 0 0 20 40 60 80 X1 100 120 Рисунок 3.34- Распределение концентраций продуктов горения через 9 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 120 100 20 0. 51 0. X2 80 0. 20 0.46 60 0.41 0.35 0.30 0.25 40 20 0 0 20 40 60 X1 80 100 120 Рисунок 3.35- Распределение концентраций продуктов горения через 15 часов после старта РН, высота 30 км при наличии бокового ветра. 92 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Краткие выводы по результатам диссертационных исследований. В настоящей диссертационной работе была построена среднемасштабная модель динамики свободной атмосферы, с помощью которой можно рассчитывать крупномасштабные возмущения, вызванные аэрозольной примесью в стратосфере. Для оценки влияния техногенных возмущений на стратосферу была исследована задача выброса ракетного топлива по трассе ракетоносителя до верхних слоев стратосферы при различных режимных параметрах метеорологических полей, наиболее часто встречающихся в районе старта ракет от кривизны области и скорости вращения лопастей пропеллера. Оценка полноты решений поставленных задач: – проведено моделирование инерционного распространением примеси в направлении движения ракетоносителя и образования аэрозольного облака на основе метода крупных вихрей. Использование данного метода позволило улучшить точность и информативность описания турбулентных течений. Вычислительные возможности высокопроизводительного кластера, используемые при расчетах, делают данный метод эффективным. Анализ результатов моделирования показал, что в начальный момент времени на облако компонент ракетного топлива воздействует сила инерции и движение направлено в сторону противоположную движению ракетоносителя. Как только энергия ветра начинает преобладать над энергией инерционных сил облако начинает движение в сторону направления ветра; – проведено моделирование на основе осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье Стокса распространения примеси в средней атмосфере в следе ракетоносителя. На основе моделирования определены влияние динамического поля на стратосферу; – проведено моделирование распространения остаточного ракетного топлива первой ступени ракетоносителя при дренаже в верхней стратосфере на основе комбинированного RANS/LES метода. Для детального моделирования разлива компонентов ракетного топлива в начальный момент времени, при малых масштабах исследуемых процессов, используется метод LES. Второй метод моделирования RANS применяется для определения ареала распространения аэрозольного облака и его фрагментов, и дальнейшая динамика концентрации. Разработанная модель динамики атмосферы позволяет исследовать нестационарные процессы в атмосфере с учетом сил плавучести и турбулентных характеристик; – на основе метода RANS определен ареал дальнейшего распространения образовавшегося аэрозольного облака. Представленные графические данные показывают динамику распространения аэрозольного облака в стратифицированной атмосфере при наличии попутного и бокового ветра; – реализована полуэмпирическая модель турбулентности для замыкания уравнений Рейнольдса в присутствий внешних сил; 93 – разработан модифицированный метод дробных шагов, с использованием компактных схем с разностями против потока на разнесенной сетке. Для оценки загрязнения атмосферы в результате эксплуатации космодрома Байконур решены следующие задачи: – задача выбросов ракетного топлива по трассе ракетоносителя при их дренаже на 1-й ступени РН до верхних слоев стратосферы; – основе анализа физических процессов, происходящих при выбросе ракетного топлива в стратосферу, с учетом разреженности атмосферы на расчетных высотах, была отработана методика корректной постановки начальных условий для задачи моделирования динамики аэрозольного облака из компонентов ракетного топлива; – разработан численный алгоритм решения уравнений динамики атмосферы. Разработанные модели и алгоритмы, несмотря на свою высокую вычислительную эффективность в силу сложности решаемых задач имеют большую трудоемкость. Таким образом, все поставленные в диссертационной работе задачи решены полностью. Рекомендации по конкретному использованию результатов. Результаты исследования могут быть применены для экологической оценки влияния эксплуатации ракетоносителей на стратосферу. Разработанная модель динамики атмосферы позволяет исследовать нестационарные процессы в стратосфере с учетом сил плавучести и турбулентных характеристик, без привлечения экспериментальных данных.Необходимо заметить, что разработанные в диссертации математические модели являются полууниверсальными, поэтому область их применения достаточно широка. Полученные результаты были использованы при расчетах оценки ущерба нанесённого окружающей среде в рамках плана совместных российскоказахстанских научно-исследовательских работ по сопровождению пусков РН и МБР с космодрома Байконур. Оценка технико-экономической эффективности внедрения. Эффективность внедрения определяется построением новых алгоритмов для решения задач распространения примеси в средней атмосфере. Разработанный алгоритм численного моделирования методом крупных вихрей позволяет строить новые алгоритмы повышенной точности для решения задач атмосферы. Также в данной работе был применен метод параллельного программирования, что существенно снизило затраты на вычисления по времени. Данные результаты могут быть применены в дальнейшем для разработки новых методов расчетов. Оценка научного уровня выполненной работы в сравнении с лучшими достижениями в данной области. Высокий научный уровень исследований, проводимых в диссертации, связан с развитием эффективных методов решения и применения этих методов к решению конкретных задач аэродинамики. Реализованные модели турбулентности, и созданные новые 94 алгоритмы расчетов, а также новые методы вычислений являются серьёзным прорывом в моделирования такого сложного физического явления, как турбулентность. В современном этапе численные моделирования турбулентности наряду с экспериментальными исследованиями является мощным инструментом в исследовании проблем турбулентности, а полученные результаты являются серьезным вкладом в изучение проблем турбулентности, а разработанные численные алгоритмы расширяет возможности методов прикладной математики для решения сложных задач атмосферы. 95 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1 Orszag S.A., Patterson G.S. Numerical Simulation of Three-Dimensional Homogeneous Isotropic Turbulence // Phys. Rev. Lett. –1972.–Vol. 28.–P. 76-79. 2 Krettenauer K., Sсhuman U. Numerical simulation of turbulent convection over wavy terrain // J. Fluid Mech. - 1992. - Vol 237.- P. 261-299. 3 Иевлев В.М. Численное моделирование турбулентных течений. М.:Наука, 1990. - 273 с. 4 Tsai W.-T. A numerical study of the evolution and structure of a turbulent shear layer under a free surface // J. Fluid Mech. - 1998. – Vol. 354.- P. 239-276. 5 Moser R.D., Moin P. The effects of curvature in wall bounded turbulent flows // J. Fluid Mech. - 1987. - Vol. 175.- P. 479-510. 6 Gerz T., Sсhuman U., Elghobashi S.E. Direct numerical simulation of stratified homogeneous turbulent shear flows// J. Fluid Mech. - 1989.-Vol. 200. - P. 563-594. 7 Holt S.E., Koseff J.R., Ferziger J.J. A numerical study of the evolution and structure of homogeneous stably stratified sheared turbulence // J. Fluid Mech. 1992. – Vol. 237.- P. 499-539. 8 Metais O., Herring J.R. Numerical simulations of freely evolving turbulence in stably stratified fluids // // J. Fluid Mech. - 1989. – Vol. 202.- P. 117-148. 9 Moin P., Kim J. Numerical investigation of turbulent channel flow // J. Fluid Mech. - 1982.-Vol. 118. P. 341-377. 10 Белоцерковский О.М. Прямое численное моделирование «переходных» течений газа и задач турбулентности // Механика турбулентных потоков. –М.: Наука, 1980. – С. 70-109 11 Белоцерковский О.М. Прямое численное моделирование свободной развитой турбулентности // Журн. Вычисл. математики и мат. Физики. –1985. – Т. 25, № 12. –С. 1856-1882. 12 Колмогоров А. Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. // Изв. АН СССР, сер. физ. – 1942. -Т. 6, №12. - C. 56-58. 13 Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. – 1941. Т. 30, -№ 4. - C. 299-305. 14 Глушко Г.С. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине в несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - № 4. - С.12-23. 15 Обухов А.М. Турбулентность и динамика атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1988. - 414 с. 16 Вулис Л.А., Джаугаштин К.Е. О распределении пульсационной энергии вблизи стенки // Теплофизика высоких температур. –1970. –Т. 8, -№ 1. –С. 101105. 17 Bradshaw P., Ferris D.H., Atwell N.P. Calculation of boundary layer development using the turbulent energy equation.// J. Fluid Mech. - 1967. - Vol 28.P. 593-616. 18 Harlow F. H., Nakayama P.I. Turbulence transport equations // Phys. Fluids. - 1967.- Vol 10, № 11.- P.2332-2333. 96 19 Rodi W. A note on the empirical constant in the Kolmogorov-Prandtl eddyviscosity expression // Trans. ASME. J. of Fluids Eng. -1975.- № 9.- P.386-389. 20 Plumb O.A., Kennedy L.A. Application of the k-e turbulence model to natural convection from a vertical isothermal surface // Trans. ASME. J. Heat Transfer. - 1977.- C1.- Vol. 99 - P.79-85. 21 Gibson M.M., Launder B.E. On the calculation of horizontal turbulent free shear flow under gravitational influence // Trans. ASME. J. Heat Transfer. -1976.C1.- Vol. 98 - P.81-87. 22 Lumley J.L. Computational modeling of turbulent flows // Adv. Appl. Mech. -1978. - Vol 18. -P.123-176. 23 Абдибеков У.С. К численному моделированию температурностратифицированного течения в открытом канале.// Известия АН КазССР, сер. физ.-мат. –1988. - № 5. - С.72-74. 24 Pope S.B. A more general effective viscosity hypothesis // J. Fluid Mech. 1975. - Vol. 72.- P. 331-340. 25 Yoshizawa A. Statistical analysis of the deviation of the Reynolds stress from its eddy viscosity representation // Phys. Fluids. -1984.-Vol. 27.-P.1377-1387. 26 Speziale C.G. On nonlinear K-l and K-e models of turbulence // J. Fluid Mech. -1987. - Vol. 178.- P. 459-475. 27 Launder B.E., Spalding D.B. The numerical computation of turbulent flows // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 1974.- Vol. 3.- P.269-289. 28 Durbin P.A. A Reynolds stress model for near-wall turbulence // J. Fluid Mech. -1993. - Vol. 249.- P. 465-498. 29 Chambers T.L., Wilcox D.C. Critical examination of two-equation closure models for boundary layers // AIAA J. - 1977. - Vol. 15, № 6.- P.821-828. 30 Launder B.E., Reece G.J., Rodi W. Progress in the development of a Reynolds stress turbulence // J.Fluid Mech. -1975.-Vol.68, № 3. - P.537-569. 31 Rodi W. A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses // ZAMM. - 1976.-Vol. 56.- P.219-221. 32 Moreney R.N. An algebraic stress model for stratified turbulent shear flows // Computer and Fluids. - 1976.- № 4.- P.93-107. 33 Guirk J.J., Rodi W. A depth-averaged mathematical model for the near field of side discharges into open channel flow // J. Fluid Mech. -1978.-Vol.86, № 4. P.761-781. 34 Gibson M.M., Launder B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layers // // J. Fluid Mech. -1978.-Vol.86, № 3. - P.491- 511. 35 Hanjalic K., Launder B.E. A Reynolds stress model of turbulence and its application to thin shear flows // J. Fluid Mech. -1972.-Vol. 52, № 4. - P.609 - 638. 36 Donaldson C. du P. Calculation of turbulent shear flows of atmosphere and vortex motions // AIAA J. - 1972. - Vol. 10, № 1.- P.4 - 12. 37 Джаугаштин К.Е. К теории пограничного слоя в стратифицированной среде // Proc. Mechanics Fourth Congress. - Varna, 1981. - P.756-761. 38 Курбацкий А.Ф. Моделирование нелокального турбулентного переноса импульса и тепла. - Новосибирск: Наука, 1988. - 240 с. 97 39 Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. -М.: Наука, 1989. - 344 с. 40 Графов Б.М., Мартемьянов С.А., Некрасов Л.Н. Турбулентный диффузионный слой в электрохимических системах. -М.: Наука, 1990. - 294 с. 41 Варзи З.У.А., Амлике Б.Б. Усовершенствованное алгебраическое соотношения для расчета напряжений Рейнольдса // Ракетная техника и космонавтика. -1976. - Т.14, № 12. - С.135-137. 42 Максин П.Л., Петухов Б.С., Поляков А.Ф. Расчет турбулентного переноса импульса и тепла при течении в трубах несжимаемой жидкости и газа с переменными физическими свойствами. // Вопросы конвективного и радиационно-кондуктивного теплообмена. -М.:Наука, 1980. - С.5-42. 43 Лакшминараяна Б. Модели турбулентности для сложных сдвиговых течений // Аэрокосмическая техника. -1987. -№ 5. - С.104-129. 44 Лаундер Б.Э. Обобщенная алгебраическая модель переноса напряжения // Аэрокосмическая техника. -1982. - Т.20, № 4.- С.131- 132. 45 Левеллен В.С., Теске М.Е., Дональдсон С.П. Расчет течений переменной плотности с помощью замыкания уравнений вторых моментов для турбулентного движения // Ракетная техника и космонавтика. - 1976. -Т.14, № 3. - С.115-122. 46 Нетюхайло А.П. Замыкание уравнений турбулентного течений с поперечным сдвигом // ИФЖ. - 1981. -Т.41, № 4. -С.625-634. 47 Меллор Г. Л., Херринг Х. Дж. Обзор моделей для замыкания уравнений осредненного турбулентного течения // Ракетная техника и космонавтика. – 1973. – Т. 11, -№ 5. – С. 17 - 29. 48 Dzhaugashtin K.E. To the boundary layer theory in a stratified medium //Proc. Of the 5-th EPS Liquid State Conference. – Moscow: 1989. -P.81-82. 49 Gatski T.B., Speziale C.G. On explicit algebraic stress model for complex turbulent flows // J. Fluid Mech. -1993.-Vol. 254. - P.59 -78. 50 Shih T-S., Zhu J., Lumley J.L. A new Reynolds stress algebraic equation model // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 1995.- Vol. 125.- C.287-302. 51 Ершин Ш.А.,Жапбасбаев У.К., Исаханова Г.З. Установившееся турбулентное течение в плоском канале с постоянным поперечным переносом массы // Докл. МН-АНРК. –1998. -№ 3. – С.27-36. 52 Weinstock J. A theory of turbulent transport // J. Fluid Mech. -1989.Vol.202. - P.319-338. 53 Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. – М.:Наука,1965. - Ч. 1, - 676 с. 54 Хинце И.О. Турбулентность. М.:Физматгиз, 1963. - 680 с. 55 Corrsin S. Heat transfer in isotropic turbulence // J. Appl. Phys. – 1952. – Vol. 23, -№ 1. – P. 113-118. 56 Rotta J.C. Statistishetheorie nichthomogener Turbulenz // Z.Phys. - 1951. Vol. 129. - P.547-572. 57 Баренблат Г. И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. // Примен. матем. мех. - 1953. - Т. 17. - № 3. - С. 261-274. 98 58 Атмосферная турбулентность и моделирование распределения примесей. - Л. : Гидрометеоиздат,1985. - 351с. 59 Иевлев В. М. Турбулентные движения высокотемпературных сплошных сред. -М.: Наука, 1975. - 256 с. 60 Акатнов Н. И. Двухмасштабная полуэмпирическая теория турбулентных пограничных слоев и струй // Механика жидкости и газов. –1982. - № 6. - C. 17-21. 61 Турбулентность. Принципы и применения. - М.: Мир, 1980. - 535 с. 62 Бэтчелор Дж. Теория однородной турбулентности. - М.: ИЛ., 1955. 245с. 63 Методы расчета турбулентных течений. - М.: Мир, 1984. -464 с. 64 Ferziger J.H. Large eddy simulation of turbulent flows / / AIAA J. 1977. Vol. 15, N 9. P. 1261-1267. 65 Sagaut P. Large eddy simulation for incompressible flows. Heidelberg: Springer-Verl., 2002. 423 p. 66 Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. – M.: Наука, 1990. – 230 с. 67 Абдибеков У.С., Жумагулов Б.Т., Жакебаев Д.Б., Жубат К.Ж. Моделирование вырождения изотропной турбулентности на основе метода крупных вихрей // Матем. моделирование, 25:1 (2013), 18–32. 68 Zhumagulov B.T., Zhakebaev D. , Zhubat K. Parallel numerical algorithm for simulation of a three-dimensional lid-driven cavity flow problem with the use of compact schemes // Applied Mathematical Sciences, Vol. 7, 2013, no. 68, P. 33933401. 69 Роуч П. Вычислительная гидродинамика. – М.: Мир, 1980. – 616 с. 70 Abdibekov U.S., Zhumagulov B.T. , Zhakebaev D.B.Numerical modeling of non-homogeneous turbulence on cluster computing system // Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design, 2011, v.115,p. 327–338. 71 Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1967, - 298 с 72 Атмосферная турбулентность и моделирование распределения примесей // Под.ред. Ф. Т. М. Ньюстадта и Х. Ван Допа.-Л.:Гидрометеоиздат, 1985, - 351с. 73 Абдибеков У.С., Джаугаштин К.Е. О полуэмпирической модели турбулентного стратифицированного течения// Изв. РАН. МЖГ. 1992. №3. С.29-34. 74 Турбулентность. Принципы и применения. // Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена. Пер. с. англ. М. , Мир, 1980, - 535 с. 75 Launder B.E., Reece G.J., Rodi W. Progress in the development of a Reynolds stress turbulence //J.Fluid Mech. 1975.,v.68, N3., pp.537-569. 76 Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. –Новосибирск: Наука, 1967. – 196 с 77 Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. - М.: Мир, 1991. – Т. 2 – 552 с 99 Список опубликованных работ по теме диссертации 1 Жумагулов Б.Т., Исахов А.А., Хикметов А.К., Жубат К.Ж. Моделирование загрязнения окружающей среды в результате эксплуатации ракетоносителей. // Вестник НИА РК, – 2009, – №4(34), – С.37-42. 2 Абдибеков У.С., Хикметов А.К., Жубат К.Ж.. Математические методы решения проблем охраны окружающей среды. //Материалы научнопрактической конференции «Актуальные проблемы естествознания, физикоматематических наук, экологии и информационных технологий». – Атырау, 2010. – Т1, – С.7-10. 3 Isakhov A., Abdibekov A., Zhubat K. Modelling of turbulent mixing of concentration by using parallel technologies // Reports of the third Congress of the world mathematicial society of Turkic countries. – Almaty, – Kazakhstan, – 2009, pp.167-173. 4 Zhumagulov B.,Isakhov A., Zhubat K. Numerical simulation of turbulent mixing by LES method. // Abstracts of the third Congress of the world mathematicial society of Turkic countries. – Almaty, – Kazakhstan , – 2009, – p.195. 5 Zhumagulov B., Abdibekov U., Zhubat K. Closure of heat and mass transport equations for shear turbulence.// Reports of the third Congress of the world mathematicial society of Turkic countries. – Almaty, – Kazakhstan, – 2009, pp.316325. 6 Жубат К.Ж. Математическое моделирование распространения компонентов ракетного топлива в стратосфере. // Вестник КазНУ, – 2010, №3(66), – С.249-251. 7 Isakhov A., Zhubat K., Zhakebaev D. Mathematical modeling of spread of concentration in stratosphere from exploitation of carrier rockets. // Moderni vymozenosti vedy, – Praha, – 2011, – №6, – C.11-16. 8 Жумагулов Б.Т., Жакебаев Д. Б., Жубат К.Ж., Каржаубаев К. К. Вычисление энергетического спектра на основе численного решения уравнения Навье-Стокса. // Вестник НИА РК, – 2011, – № 2(40), – С. 19-25. 9 Хикметов А.К., Жубат К.Ж., Исахов А.А. Моделирование формирования переноса аэрозольного облака сформировавшегося в результате разлива компонентов ракетного топлива в стратосфере. // Вестник КазНАЕН, – Астана, 2011, – №1, – С.83-86. 10 Абдибеков У.С., Жакебаев Д.Б., Исахов А.А., Жубат К.Ж. Моделирование вырождения изотропной турбулентности методом крупных вихрей. // Вестник КазНАЕН, – Астана, 2011, – №1, – С.74-78. 11 Жумагулов Б.Т., Жакебаев Д.Б., Жубат К.Ж. Моделирование распространения КРТ в атмосфере при нештатных разливах. // Материалы научно-практической конференции «Обеспечение экологической безопасности ракетно-космической деятельности». – Россия, – Москва, – 2011, – С.70-74. 12 Жумагулов Б.Т., Жубат К.Ж. Численное моделирование распространения КРТ в стратосфере при их дренаже на 1-й ступени РН. Материалы научнопрактической конференции «Обеспечение экологической безопасности ракетно-космической деятельности». – Россия, – Москва, – 2011, – С.65-70. 100 13 Abdibekov U.S., Zhubat K., Issakhov A.A. Numerical simulation of the rocket fuel components propagation in the stratosphere during their drainage on the 1-st stage of launch vehicle.//Nauka I studia. – Poland, 2011 14 Абдибеков У.С., Жумагулов Б.Т., Жакебаев Д.Б., Жубат К.Ж. Моделирование вырождения изотропной турбулентности на основе метода крупных вихрей // Матем. моделирование, 25:1 (2013), 18–32. 15 Zhumagulov B.T., Zhakebaev D. ,Zhubat K.Modelling of the decay of isotropic turbulence by the LES // Mathematical Models and Computer Simulations, Springer, 2013,Vol.5 No. 4, pp. 360–370. 16 Zhumagulov B., Abdibekov U., Karzhaubayev K., Khikmetov A., Zhubat K. Assessment of earth surface pollution due to residual rocket fuel // Applied and Computational Mathematics 2013; 2(3): 92-95. doi: 10.11648/j.acm.20130203.14 17 Zhumagulov B., Zhubat K., Abdigaliyeva A. Numerical modeling of inhomogeneous turbulent flows by LES) // European Turbulence Conference 14. – 2013./ http://etc14.ens-lyon.fr/etc-14-proceedings 18 Zhumagulov B.T., Zhakebaev D. , Zhubat K. Parallel numerical algorithm for simulation of a three-dimensional lid-driven cavity flow problem with the use of compact schemes // Applied Mathematical Sciences, Vol. 7, 2013, no. 68, P. 33933401 /http://dx.doi.org/10.12988/ams.2013.34222 101 ПРИЛОЖЕНИЕ А 102

Диссертация Жубат К.Ж._23_12_2013_startx

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Диссертация Жубат К.Ж._23_12_2013_startx

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib