УДК 539.3 ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ ДЛЯ РАСЧЕТА КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ НАКЛАДКАМИ ПРИ ТЕМПЕРАТУРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ С. В. Плотникова, Г. М. Куликов Тамбовский государственный технический университет, Тамбов, Россия На основе теории оболочек c учетом поперечного обжатия предложена математическая модель, описывающая термоэлектроупругое состояние многослойных анизотропных оболочек с пьезоэлектрическими накладками. Разработан смешанный геометрически точный пьезоэлектрический элемент оболочки. Приведен численный пример, подтверждающий состоятельность предложенной модели. В процессе эксплуатации конструкций из композитных материалов в них могут возникать деформации и напряжения, вызванные изменением температуры окружающей среды. Эффективным методом компенсации таких деформаций является применение пьезоэлектрических накладок, внедренных в тело конструкции или закрепленных на ее поверхностях. В настоящее время активно разрабатываются аналитические и численные методы расчета таких конструкций [1, 2]. Разработанный в [3] геометрически точный пьезоэлектрический элемент оболочки, подверженной механическому нагружению, превосходит по производительности аналогичные конечные элементы оболочки, так как использует трехмерное аналитическое интегрирование, не требует численного обращения матриц и позволяет использовать достаточно редкие конечноэлементные сетки. В данной работе построен более общий термопьезоэлектрический элемент. Рассмотрим оболочку, представляющую собой композитную основу с наклеенными на лицевых поверхностях накладками из пьезоэлектрического материала. На отсчетной поверхности S выбираем криволинейную ортогональную систему координат α1, α2, оси которой совпадают с линиями главных кривизн поверхности, e1 и e2 – единичные векторы, направленные вдоль координатных линий. Пусть e3 – единичный вектор, направленный по нормали к отсчетной Рис. 1. Композитная оболочка с поверхности, α3 – координатная ось в пьезоэлектрическими накладками направлении e3, δk – координаты поверхностей раздела k-го и k+1-го слоев, hb и ht – толщины нижнего и верхнего пьезоэлектрических слоев (рис. 1). Предположим, что оболочка разбита на два вида элементов: базовые, содержащие только композитную основу, и пьезоэлектрические, которые наряду с композитной основой содержат пьезоэлектрические слои. В качестве независимых перемещений выбираем ui и ui – перемещения точек лицевых поверхностей S и S в направлениях координатных осей отсчетной поверхности ( i 1, 2, 3 ), u3M – поперечные перемещения точек серединной поверхности. Для тангенциальных перемещений используем линейную аппроксимацию по толщине оболочки, а для поперечного перемещения – квадратичную аппроксимацию. Полагаем также, что деформации распределены по толщине оболочки согласно линейному закону. Предлагаемая модель позволяет избежать пуассоновского запирания оболочки в поперечном направлении путем использования полных определяющих соотношений пространственной теории упругости [4]. При построении матрицы жесткости пьезоэлектрических элементов используем следующие определяющие уравнения термопьезоэлектроупругости: A dT E α, D d E p, где 11 22 33 23 13 12 вектор деформаций, T – вектор напряжений, 11 22 33 223 213 212 T – D D1 D2 D3 T – вектор смещения электрического поля, E E1 E2 E3 – вектор напряженности электрического поля, A – матрица податливостей материала, d – матрица пьезоэлектрических постоянных, – матрица диэлектрических T постоянных, α 11 22 33 0 0 12 T – вектор коэффициентов термического расширения, p 0 0 p3 – вектор пироэлектрических постоянных, θ – прирост температуры от естественного состояния. Предполагается, что электрический потенциал l 1 , 2 , где l b, t , имеет линейное распределение по толщине пьезоэлектрического слоя, в то время как температура θ распределена линейно по толщине оболочки. При реализации смешанного геометрически точного четырехузлового элемента оболочки были использованы билинейные аппроксимации перемещений лицевых и срединной поверхностей, электрических потенциалов и температуры. Для независимых от перемещений деформаций и результирующих напряжений приняты упрощенные аппроксимации [4]. В данной работе рассмотрена задача, когда на электроды на внешних поверхностях пьезоэлектрических накладок подается заданное напряжение, а на поверхностях раздела композитной основы и пьезоэлектрических слоев напряжение принимается равным 0. Для таких задач конечно-элементное уравнение может быть записано в виде t b K M V K ME t K ME b FM F , T где V – вектор узловых перемещений на элементе, l – вектор узловых потенциалов l l-го слоя, K M и K ME – механическая и электромеханические матрицы жесткости, FM и F – векторы механической и температурной нагрузок. Углепластик AS4/3501: E11=150 ГПа E22=E33=9 ГПа ν12= ν13= ν23=0,3 G12=G13=7,1 Гпа G23=2,5 ГПа α11= –1,1·10-6 0С-1 α22= α33=25,2·10-6 0С-1 Пьезокерамика G-1195: E11= E22=E33=63 ГПа ν12= ν13= ν23=0,3 G12= G13= G23=24,2 ГПа α11=α22=α33=9·10-7 0С-1 d31=d32=2,54·10-10м/В d33=3,74·10-10м/В Рис. 2. Композитная пластина с 30 пьезоэлектрическими накладками Для верификации предложенной модели был проведен расчет шестислойной пластины, изготовленной из углепластика AS4/3501 с направлением укладки слоев [0/±45]s. На лицевые поверхности пластины наклеены 30 накладок из пьезокерамики G1195 [1]. Пластина подвергается температурному нагружению: 500С на верхней поверхности и –500С на нижней при начальной температуре окружающей среды 20 0С. Геометрия конструкции, конечноэлементная сетка и свойства материалов приведены на рис. 2. Пластина шарнирно оперта вдоль сторон, параллельных оси oy, а стороны, параллельные оси ox, свободны. На рис. 3 приведены поперечные перемещения средней линии пластины при отсутствии электрического воздействия, а также при воздействии электрической нагрузки 31 В и 61 В, приложенной к накладкам. Приведено сравнение с результатами [1, 2], полученными с использованием трехмерного изопараметрического элемента и с помощью оболочечного Рис. 3. Поперечные перемещения центральной линии композитной пластины элемента, основанного на послойной аппроксимации поля перемещений без учета поперечного обжатия. Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 2.1.1/660). ЛИТЕРАТУРА 1. Ha S.K., Keilers C., Chang F.-K. Finite element analysis of composite structures containing distributed piezoceramic sensors and actuators // AIAA Journal. – 1992. – Vol. 30. – № 3. – P. 772–780. 2. Lee H.-J. Finite element analysis of active and sensory thermopiezoelectric composite materials // NASA – 2001. – TM-2001-210892. 3. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Geometrically exact four-node piezoelectric solid-shell element // Mechanics of Advanced Materials and Structures. – 2008. – Vol. 15. – P. 199– 207. 4. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Finite rotation geometrically exact four-node solid-shell element with seven displacement degrees of freedom // Computer Modeling in Engineering & Sciences. – 2008. – Vol. 28. – № 1. – P. 15–38.