Линейные преобразования линейного пространства

Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется
линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
:LL
Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных
преобразованиях, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.
1. Если в пространстве Ln зафиксирован базис е = (е1, е2, … , еn ), то матрица А линейного
преобразования  : Ln  Ln имеет вид
11 12 ... 1n
  (e1 )  11e1   21e2  ...   n1en ,
 21  22 ...  2 n
 (e )   e   e  ...   e ,
А=
,
 2
12 1
22 2
n2 n
.
. ... .
(35)

..........
..........
..........
....
 n1  n 2 ...  nn

 (en )  1ne1   2 ne2  ...   nnen .
столбцы
которой
– координаты
образов
базисных векторов е.
2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид (е) = еА.
3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х1 = Ах
(36)
4. Если в пространстве Ln зафиксированы два базиса е = (е1, е2, … , еn) и е1 = (е11,е21, … , еn1)
и Т – матрица перехода от е к е1, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах
задаётся формулой А1 = ТАТ–1 (37).
Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует
такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С–1АС.
5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.
6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над
полем Р и любого линейного пространства Ln над полем Р в Ln существуют такие базисы е и
е1, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.
Доказательство. Пусть В = С–1АС. Зафиксируем в Ln какой-нибудь базис. Матрица А
в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это ). Так как матрица С
невырожденная, то С–1 может быть матрицей перехода. Пусть е1 = еС–1. Тогда преобразование
 в базисе е1 будет иметь матрицу С–1А(С–1 )–1 = С–1АС = В.
7. dim ((Ln )) + dim (Ker ) = n.
8. Множество всех линейных преобразований пространства Ln есть тоже линейное
пространство над тем же полем Р, что и пространство Ln .
Определение 37. Линейное пространство линейных преобразований линейного
пространства Ln называется линейным пространством, сопряжённым пространству Ln .
Пространство, сопряжённое Ln , обозначается Ln.
9. Пространство Ln изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка n с
элементами из поля Р. Следовательно, dim (Ln ) = n2.
Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть  : Ln  Ln –
линейное преобразование. Если А –матрица этого преобразования в некотором базисе е, то в
любом другом базисе  задаётся матрицей, подобной А, т.е. матрицей вида А1 = ТАТ–1 . Так
как матрица Т невырожденная, то rang (A1) = rang (A).
Определение 38. Рангом линейного преобразования линейного пространства
называется ранг его матрицы в любом базисе этого пространства.
Определение 39. Линейное преобразование линейного пространства называется
невырожденным, если его ранг равен размерности пространства.
Теорема 36. Линейное преобразование  линейного пространства Ln является
невырожденным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
1)  (Ln ) = Ln ;
2) Ker() = 0;
3)  – взаимнооднозначное отображение Ln на себя;
4) при преобразовании  различные векторы имеют различные образы.
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р,  : Ln  Ln
– линейное
преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.
Определение 40. Ненулевой вектор
а
называется собственным вектором
преобразования , если (а) = а для некоторого   Р. Элемент  называется собственным
значением преобразования .
По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования  
  Р : (а) = а. Перепишем это равенство в координатах, получим Ах = х. Отсюда
Ах – (Е)х = О, или (А –Е)х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования  
столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –Е)х = О (38).
Матрица (А –Е) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное
уравнение (38) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор
преобразования   (х1, х2, … , хn ) – ненулевое решение
 (11   ) x1   21x2  ...   n1 xn  0,
 x  (   ) x  ...   x  0,
системы (39), при этом все хк принадлежат полю Р. Так
 12 1
22
2
n2 n
как (39) система линейных однородных уравнений и
(39)

......................................
число уравнений равнее числу неизвестных, то она имеет

1n x1   2 n x2  ...  ( nn   ) xn  0.
ненулевое решение тогда и только тогда, когда её
определитель равен нулю, т.е.
имеет место равенство (40). Уравнение (40) называется
11  
 21
...
 n1
характеристическим
уравнением
матрицы
А.
12
 22   ...  n 2
Определитель системы, т.е.  А – Е , называется
 0 (40)
.
.
...
.
характеристическим многочленом матрицы А.
1n
 2n
...  nn  
Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы
А. ( Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех
характеристических корней матрицы А называется её спектром.
Согласно определению 40,   Р. Пусть 0  Р и является характеристическим корнем
матрицы А. При 0 система (39) имеет ненулевое решение, т. е.  будет иметь собственный
вектор и 0 будет собственным значением преобразования , заданного матрицей А.
Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.
Доказательство. Пусть В = С–1АС. Так как матрица Е перестановочна с любой
матрицей, то  В – Е  =  С–1АС – Е  =  С–1АС – С–1 (Е)С  =  С–1(А – Е)С  =
С–1  А – Е С =  А – Е .
Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобна, то
Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же
спектр.
Определение 41. Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе
называется спектром линейного преобразования.
Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования
 : Ln  Ln ,
действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни
этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.
Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.
Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и
собственных векторов линейного преобразования.
1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.
2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т.е.
найти собственные значения).
 (11  0 ) x1   21x2  ...   n1 xn  0,
 x  (   ) x  ...   x  0,

22
0
2
n2 n
3. Если 0 – собственное значение, то составить систему  12 1
и
......................................

1n x1   2 n x2  ...  ( nn  0 ) xn  0.
найти её ненулевые решения.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
 : L4  L4 (над полем R), если это преобразование в базисе е = (е1, е2, е3,е4) имеет матрицу А.
Решение. Составим
1 
1
0
0
1 1 0 0


характеристическое
уравнение
().
1
1 
0
0
1 1 0 0
А= 
.
 0. ()
Используя
теорему
Лапласа,
2 1 1 2
2
1 1  
2
раскроем
определитель,
получим


 3 5 3 3
3
5
3
3
уравнение:


1 
1 1 
2

 0 , (1 –  )2 – 1(1–  )(3 – ) – 6 = 0. Возможны два случая:
1
1 
3
3
1) (1 – )2 – 1 = 0, 1 –  =  1. Отсюда 1 = 0, 2 = 2.
2) (1–  )(3 – ) – 6 = 0, 2 – 4 – 3 = 0, 3 = 2  7 , 4 = 2  7 . Итак, характеристическое
уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет
четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для
нахождения собственных векторов.
Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое
x1  x2  0,

уравнения, получим

x1  x2  0,

1) При  = 0. 
 3x1  x3  2 x4  0,
 x3  2 x4  3x1 ,
2
x

x

x

2
x

0
,
Отсюда


1
2
3
4

 2 x1  3x3  3x3  0.
 3x3  3x4  2 x1.

3x1  5 x2  3x3  3x4  0.
11
13
x1 . Если х1 = 3С, то х2 = –3С,
Решив последнюю систему, получим х4 =  x1 , х3 =
3
3
х3 = 13С, х4 = –11С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными
векторами, принадлежащими собственному значению  = 0, являются все ненулевые векторы
вида (3С, –3С, 13С, –11С ).
Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое
 x1  x2  0,

уравнения.

x1  x2  0,

2) При  = 2. 
 x1  x3  2 x4  0,
 x3  2 x4  x1,
2
x

x

x

2
x

0
,
Отсюда


1
2
3
4

8 x  3x3  x4  0.
3x3  x4  8 x1.
3x1  5 x2  3x3  x4  0.  1
15
11
Решив последнюю систему, получим х3 =  x1 , х4 =  x1. Если х1 = 7С, то х2 = 7С, х3 =
7
7
–15С, х4 = –11С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными
векторами, принадлежащими собственному значению  = 2, являются все ненулевые векторы
вида (7С, 7С, –15С, –11С ).
Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0.

 (1  7 ) x1  x2  0,
Подставив в третье и четвёртое

x1  (1  7 ) x2  0,

уравнения, получим
3) При  = 2  7 . 
2
x

x

(
1

7
)
x

2
x

0
,
1
2
3
4

 (1  7 ) x3  2 x4  0,
3 x  5 x  3 x  (1  7 ) x  0.

2
3
4
 1
 3 x3  (1  7 ) x4  0.
 (1  7 )
x3 , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если
2
х3 = 2С, то x4  (1  7 )C . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному
Из этой системы x4 
значению  = 2 +
7 , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С,  (1  7 )C ).
Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0 . Подставив
4) При  = 2  7 .
в третье и четвёртое уравнения, получим

(1  7 ) x1  x2  0,
(1  7 ) x3  2 x4  0,

x1  (1  7 ) x2  0,



 3 x3  (1  7 ) x4  0.
2 x1  x2  (1  7 ) x3  2 x4  0,
 3 x  5 x  3 x  (1  7 ) x  0.
2
3
4
 1
Из полученной системы
Если
х3 = 2С, то
1 7
x3 , х3 – любое отличное от нуля действительное число.
2
x4  (1  7 )C . Итак, собственными векторами, принадлежащими
x4 
7 , являются все ненулевые векторы вида
собственному значению  = 2 +
(0, 0, 2С, (1  7 )С).
Свойства собственных векторов.
0
1 . Если вектор а – собственный вектор преобразования , принадлежащий собственному
значению  и   0, то а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же
собственному значению.
Если  (а ) = а, то (а) =(а) = (а) = (а).
20. Множество всех собственных векторов линейного преобразования  : Ln  Ln ,
принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой
вектор), есть линейное подпространство в Ln .
Пусть а и в два собственных вектора и (а ) = а, (в) = в. Тогда (а + в) = (а) +
(в) = (а) + (в) = (а + в).
30. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно
независимы.
Пусть (а ) = а, (в) = 1в,   1. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы
один из них линейно выражался через другой пусть в = а. Так как в – собственный
вектор, то   0. Тогда (в) = (а). Отсюда 1в = (а), 1(а) = (а), (1 – )а = 0. Но
в левой части   0, 1 –   0, а  0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно
независимы.
40. Если в базисе е = (е1, е2, ... , ек, … , еn ) вектор ек – собственный вектор линейного
преобразования , принадлежащий собственному значению , то в к-ом столбце матрицы этого
преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и акк = .
Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с
простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование  линейного пространства Ln над полем Р
имеет в базисе е = (е1, е2, ... , еn ) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все
векторы базиса являются собственными векторами преобразования .
Доказательство.  Пусть матрица А линейного преобразования  в базисе е –
диагональная. Тогда (ек) = к для любого к = 1, 2, … , n. Но это значит, что все базисные
векторы – собственные..
 Пусть все базисные векторы – собственные. Тогда (ек) = к . Следовательно, в к-ом
столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и акк = к.
Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.
Следствие. Квадратная матрица n-го порядка подобна диагональной тогда и только
тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис
из собственных векторов.
Определение 42. Говорят, что линейное преобразование  линейного пространства Ln
над полем Р имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и
принадлежат полю Р.
Теорема 40. Если линейное преобразование  линейного пространства Ln над полем
Р имеет простой спектр, то в Ln существует такой базис, в котором это преобразование имеет
диагональную матрицу.
Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р . Если все
характеристические корни матрицы А различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна
диагональной.