ЕН.Ф.1 Математика
реклама
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(МГПУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.01
МАТЕМАТИКА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ
СПЕЦИАЛИСТА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
040201 СОЦИОЛОГИЯ
(код и наименование специальности/тей)
Утверждено на заседании кафедры
математики и МОМ
ФФМОИиП
(протокол № 1 от 16 сентября 2010 г.)
Зав. кафедрой
_______________/Мартынов О.М./
Структура учебно-методического комплекса дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Авторы программы: старший преподаватель Филимонов В.Ю., старший
преподаватель Зайнутдинова Э.Г.
1.2 Рецензенты: кандидат ф.-м. н., доцент Богомолов Р.А., кандидат ф.-м. н.,
доцент Мартынов О.М.
1.3. Пояснительная записка:
Целью изучения дисциплины
• «Математика» является подготовка социолога в соответствии с квалификационной характеристикой специалиста и типовым учебным планом специальности 040200 «Социология»,
• подготовка базы для изучения студентами прикладных дисциплин,
овладение ими математического аппарата как инструмента познания,
повышение их интеллектуального потенциала.
Новые требования, предъявляемые к математическому образованию современных социологов выдвигают на первый план следующие задачи в процессе преподавания математики:
• повышение уровня фундаментальной математической подготовки,
• усиление прикладной направленности курса высшей математики,
• развитие алгоритмического и логического мышления,
• умения самостоятельно расширять и углублять математические знания.
Место курса в общей системе подготовки специалиста:
Математика является не только мощным средством решения прикладных
задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки специалиста.
Целью математического образования является развитие:
1) навыков математического мышления;
2) навыков использования математических методов и основ математического моделирования;
3) математической культуры у обучающегося.
Учебная дисциплина «Математика» не требует предварительных знаний,
выходящих за рамки программы полной средней школы.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины (должны знать,
должны уметь):
Знать:
- основные математические понятия и определения, приводить соответствующие примеры,
- основные правила работы с математическими объектами и уметь применять их при решении задач.
Уметь:
- логически мыслить,
- оперировать с абстрактными объектами
- корректно использовать математические понятия и символы для выражения количественных и качественных отношений.
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке:
• Кириллов А.И., Михайлова В.П., Плис А.И. Примерная программа
дисциплины «Математика» для направления 521200 — Социология, 2000.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО.
ЕН.Ф.01 Аналитическая геометрия и линейная алгебра; последова- 600
тельности и ряды; дифференциальное и интегральное исчисления; векторный анализ и элементы теории поля; гармонический анализ; дифференциальные уравнения; численные методы; функции комплексного переменного; элементы функционального анализа; вероятность и статистика: теория вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
№
Наименование раздела,
Трудоемкость
Всего
аудит.
Семестр
Курс
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы:
№
Шифр и
Виды учебной работы в часах Вид итогоп/п наименование
ЛК ПР/ ЛБ Сам вого конспециальности
троля
СМ
.
ра- (форма отчетности)
бота
040200
1
1
1
182 92 50 42 90
Зачет
Социология
040200
2
1
2
198 98 50 48 - 100
Зачет
Социология
040200
3
2
3
220 110 54 56
- 110
Экзамен
Социология
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:
Количество часов
п/п
темы
1
Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии.
Введение в математический анализ.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Интегральное исчисление функций одной переменной.
Числовые и функциональные ряды.
Функции
нескольких
переменных.
Дифференциальные
уравнения.
Численные методы
Элементы теории вероятностей и математической статистики.
2
3
4
5
6
7
8
9
Всего аудит.
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Сам.
работа
36
20
16
-
33
38
20
18
-
32
38
20
18
-
34
38
20
18
-
34
24
12
12
-
32
34
16
18
-
34
32
16
16
-
34
20
10
10
-
33
40
20
20
-
34
1.6.2 Содержание разделов дисциплины.
Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Тема 1.1. Множества, отображения, мощности. Алгебра множеств. Матрицы,
действия с ними. Обратимые матрицы. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Определители второго, третьего и n-го порядков, их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса. Ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
Тема 1.2. Пространства (действительное n-мерное, арифметическое, линейные, векторные, евклидовы). Неравенство Коши – Буняковского. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации. Разложение вектора по ортогональному базису.
Тема 1.3. Векторы и прямые на плоскости и в пространстве. Метод координат. Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты, длина,
направляющие косинусы и норма вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Условия ортогональности и коллинеарности
двух векторов. Уравнение прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Тема 1.4. Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола,
их геометрические свойства и уравнения.
Тема 1.5. Плоскости и прямые в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве. Угол между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. Полярные координаты на плоскости.
Тема 1.6. Поверхности второго порядка. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений.
Тема 1.7. Комплексные числа, модуль, аргумент комплексного числа, алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действия над комплексными числами.
Глава 2. Введение в математический анализ.
Тема 2.1. Числовые множества. Множество действительных чисел. Понятие
функции. Числовые функции. Способы задания функции. Основные характеристики функций. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции: показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические и обратные тригонометрические.
Тема 2.2. Числовые последовательности. Предел последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей.
Тема 2.3. Определение предела функции по Гейне и по Коши. Односторонние пределы. Теоремы о пределах функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего
значений, существование промежуточных значений. Бесконечно малые и
бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые функции.
Непрерывность функций. Классификация точек разрыва функции. Непрерывность основных элементарных функций. Замечательные пределы.
Глава 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Тема 3.1. Определение производной. Правила дифференцирования. Таблица
производных основных элементарных функций. Логарифмическая производная. Производная функции, заданной параметрически. Дифференциал функции. Правила Лопиталя раскрытия неопределённостей. Теоремы о дифференцируемых функциях. Производные и дифференциалы высших порядков.
Тема 3.2. Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. Наибольшее
и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость графика функции.
точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Исследование
функций с помощью производных.
Глава 4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
Тема 4.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства
первообразных и неопределенных интегралов. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной
интегрирования и метод интегрирования по частям.
Тема 4.2. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл
определенного интеграла. Свойства определённого интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования в определенном интеграле. Интегрирование четных и нечетных
функций. Геометрические приложения определённых интегралов: вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах и объемов тел
вращения.
Тема 4.3. Несобственные интегралы первого и второго рода.
Глава 5. Числовые и функциональные ряды.
Тема 5.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие
сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.
Тема 5.2. Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.
Тема 5.3. Ряды Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды
Фурье. Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях.
Глава 6. Функции нескольких переменных.
Тема 6.1. Понятие функции двух переменных. Предел и непрерывность
функции двух переменных. Частные производные. Полный дифференциал,
его связь с частными производными. Производная сложной функции. полная
производная. Производная по направлению и градиент функции. Дифференцирование неявной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции нескольких переменных. Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области.
Тема 6.2. Двойные и тройные интегралы: геометрический смысл, свойства,
сведение к повторным интегралам, замена переменной. Некоторые приложения двойных и тройных интегралов.
Глава 7. Дифференциальные уравнения.
Тема 7.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (экономика,
социология и др.). Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача
Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
Тема 7.2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Задача Коши. Линейные дифференциальные
уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
Тема 7.3. Системы дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Матричная запись нормальной системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных
уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
Глава 8. Численные методы.
Тема 8.1. Приближенной решение уравнений. Отделение корней уравнения.
Метод хорд. Метод касательных. Метод итераций.
Тема 8.2. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формулы
прямоугольников. Формула трапеций. Формула парабол. Приближенной вычисление определенных интегралов с помощью рядов.
Глава 9. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Тема 9.1. Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Классическое и геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность событий. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли.
Тема 9.2. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины.
Закон распределения дискретной случайной величины, ее свойства. Операции над случайными величинами. Математическое ожидание и дисперсия
дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плот-
ность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание
и дисперсия непрерывной случайной величины.
Тема 9.3. Основные законы распределения. Биномиальный закон распределения. Нормальное распределение. показательный закон распределения. Закон
распределения Пуассона.
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения.
Наименование раздела Форма самостоя№
дисциплины.
тельной работы
п/п
Тема.
1.1. Векторы и прямые на
плоскости и в пространстве.
1.2. Кривые второго порядка.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
2.1.
2.2.
вопросы для самостоятельного
изучения
вопросы для самостоятельного
изучения
Плоскости и прямые в вопросы для самопространстве, поверх- стоятельного изуности в пространстве, чения
криволинейные координаты.
Матрицы и определи- вопросы для сатели, системы линей- мостоятельного
ных уравнений.
изучения
Пространства
(дей- вопросы для самоствительное n-мерное стоятельного изуарифметическое, ли- чения
нейные
векторные,
евклидовы).
Сопряженный опера- вопросы для сатор, собственные век- мостоятельного
торы и собственные изучения
значения
линейных
операторов.
Элементы
теории вопросы для самножеств.
Действи- мостоятельного
тельные числа, ком- изучения
плексные числа, числовые множества, числовые функции.
Последовательности,
вопросы для сапредел числовой по- мостоятельного
Колво часов
Форма контроля
выполнения самостоятельной
работы
коллоквиум
5
5
выполнение
тестов
выполнение
тестов
5
8
выполнение
тестов
выполнение
тестов
5
5
коллоквиум
выполнение
тестов
коллоквиум
10
10
написание самостоятельной
следовательности.
изучения
2.3 Предел функции и не- вопросы для сапрерывность.
мостоятельного
изучения
3.1 Производные и диф- вопросы для саференциалы. Исследо- мостоятельного
вание функций с по- изучения
мощью производных.
4.1 Первообразные и не- вопросы для саопределенные
инте- мостоятельного
гралы.
изучения
4.2 Определенные инте- вопросы для сагралы.
мостоятельного
изучения
5.1 Числовые ряды.
вопросы для самостоятельного
изучения
6.1 Функции многих пе- вопросы для саременных.
мостоятельного
изучения
7.1. Дифференциальные
уравнения
первого
порядка.
7.2. Дифференциальные
уравнения
высших
порядков.
7.3. Системы дифференциальных уравнений.
вопросы для самостоятельного
изучения
вопросы для самостоятельного
изучения
длительное
домашнее задание
8.1. Приближенное решение
уравнений
8.2. Интерполирование
функций
вопросы для
стоятельного
чения
вопросы для
стоятельного
чения
длительное
машнее
задание
вопросы для
стоятельного
чения
вопросы для
стоятельного
8.3. Приближенное вычисление
интегралов
8.4. Приближенной решение дифференциальных уравнений
9.1 Элементы теории вероятностей
12
34
коллоквиум
17
коллоквиум
17
коллоквиум
33
72
12
10
8
самоизу-
8
до9
самоизу-
коллоквиум
контрольная
работа
коллоквиум
выполнение
тестов
коллоквиум
11
самоизу-
самоизу-
работы
коллоквиум
выполнение
тестов
коллоквиум
8
17
написание самостоятельной
работы
коллоквиум
выполнение
тестов
коллоквиум
написание самостоятельной работы
контрольная
работа
контрольная
работа
чения
9.2 Элементы математи- вопросы для самоческой статистики
стоятельного изучения
17
контрольная
работа
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы последовательного проведения практических занятий.
Практическое занятие. Тема 1. Элементы теории множеств.
1. Множества. Алгебра множеств.
2. Множества и подмножества, способы задания множеств. Операции над
множествами.
3. Взаимно однозначное соответствие и мощность множеств. Отображения на множествах и их виды.
Практическое занятие. Тема 2. Матрицы и определители, системы линейных уравнений.
1. Матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица. Элементарные
преобразования матрицы. Ранг матрицы, его вычисление.
2. Определители второго и третьего порядка. Миноры и алгебраические
дополнения. Определители n - го порядка. Свойства определителей.
Методы вычисления определителей.
3. Применение матриц и определителей к решению систем линейных алгебраических уравнений.
4. Теорема Кронекера – Капели. Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений. Решение однородных систем уравнений.
Практическое занятие. Тема 3. Пространства. Линейные отображения.
Ранг матрицы.
1. Линейное пространство. Подпространство.
2. Размерность пространства. Изоморфизм линейных пространств.
3. Ранг системы векторов линейного пространства.
Практическое занятие. Тема 4. Векторы и прямые на плоскости и в
пространстве.
1. Линейные операции над векторами.
2. Проекция вектора на ось, ее свойства.
3. Линейная зависимость векторов. Базис. Направляющие косинусы вектора.
4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, приложения.
Практическое занятие. Тема 5. Кривые второго порядка.
1. Окружность.
2. Эллипс.
3. Гипербола.
4. Парабола.
5. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Практическое занятие. Тема 6. Плоскости и прямые в пространстве, поверхности в пространстве.
1. Уравнение плоскости.
2. Метрические задачи, связанные с плоскостями.
3. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
4. Уравнение прямой в пространстве.
5. Взаимное расположение прямой и плоскости.
6. Взаимное расположение двух прямых.
7. Уравнение поверхности.
8. Различные виды уравнения прямой в пространстве.
9. Задачи, относящиеся к плоскостям, прямым в пространстве.
Практическое занятие. Тема 7. Действительные числа, комплексные
числа.
1. Действительные числа, предел числовой последовательности.
2. Числовая прямая. Числовые множества.
3. Комплексные числа, модуль, аргумент комплексного числа, алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Геометрическое изображение комплексных чисел.
4. Действия над комплексными числами.
Практическое занятие. Тема 8. Числовые последовательности.
1. Числовые последовательности.
2. Предел последовательности. Единственность предела.
3. Переход к пределу в неравенствах.
4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности.
5. Предел суммы, разности, произведения и частного.
Практическое занятие. Тема 9. Числовые функции.
1. Числовые функции.
2. Обратная функция.
3. Сложные функции.
4. Основные элементарные функции: показательная, логарифмическая,
степенная, тригонометрические и обратные тригонометрические.
Практическое занятие. Тема 10. Предел, свойства пределов функций и
непрерывность.
1. Предел функции.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
3. Свойства пределов функции.
4. Замечательные пределы.
5. Непрерывность функции.
Практическое занятие. Тема 11. Производные и дифференциалы.
1. Геометрический, физический смысл производной.
2. Основные правила и формулы дифференцирования.
3. Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях.
Практическое занятие. Тема 12. Исследование функций с помощью
производных и правила Лопиталя.
1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.
2. Экстремум функции.
3. Направления выпуклости, точки перегиба.
4. Асимптоты.
5. Построение графиков.
6. Правила Лопиталя.
Практическое занятие. Тема 13. Первообразные и неопределенные интегралы.
1. Основные неопределенные интегралы.
2. Свойства неопределенных интегралов.
3. Метод подстановки.
4. Интегрирование по частям.
5. Интегрирование рациональных дробей.
Практическое занятие. Тема 14. Определенные интегралы.
1. Геометрический смысл и свойства определенного интеграла. Формула
Ньютона-Лейбница.
2. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
3. Несобственные интегралы.
4. Площадь криволинейной фигуры.
5. Объем тела. Площадь поверхности вращения.
Практическое занятие. Тема 15. Числовые ряды. Сходимость и сумма
ряда.
1. Необходимый признак сходимости.
2. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Интегральный
признак Коши.
3. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Другие признаки.
4. Знакопеременные ряды.
5. Действия над рядами. Сумма ряда.
Практическое занятие. Тема 16. Функции нескольких переменных.
1. Предел и непрерывность функций нескольких переменных,
2. Частные производные функции нескольких переменных.
3. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
4. Формула Тейлора.
5. Вычисление двойных и тройных интегралов.
6. Геометрические приложения двойных и тройных интегралов.
Практическое занятие. Тема 17. Дифференциальные уравнения первого порядка.
1. Задачи, приводящие к уравнениям.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения.
4. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли.
5. Уравнения в полных дифференциалах.
Практическое занятие. Тема 18. Дифференциальные уравнения высших порядков.
1. Простейшие интегрируемые уравнения высших порядков.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения.
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
Практическое занятие. Тема 19. Системы дифференциальных уравнений.
1. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2. Системы дифференциальных уравнений 1-ого порядка в каноническом
виде. Задача Коши.
3. Применение матриц к решению систем дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.
Практическое занятие. Тема 20. Приближенное решение уравнений.
1. Локализация корней.
2. Метод половинного деления.
3. Нахождение корня уравнения методом касательных.
4. Нахождение корня уравнения методом итераций.
Практическое занятие. Тема 22. Приближенное вычисление интегралов.
1. Численное интегрирование.
2. Формула прямоугольника.
3. Метод трапеций.
4. Формула Симпсона (метод парабол).
Практическое занятие. Тема 23. Приближенной решение дифференциальных уравнений.
1. Решение задачи Коши.
2. Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера.
Практическое занятие. Тема 24. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
1. Комбинаторика. Бином Ньютона. Элементарная теория вероятностей.
2. Схема Бернулли.
3. Дискретные случайные величины. Функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной
величины.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
основная:
1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. Пособие. – М.: Физматлит, 2006. – 464 с.
2. Конспект лекций по высшей математике: полный курс/ Д.Т. Письменный. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 608 с.: ил. – (Высшее образование)
3. Высшая математика для экономистов: Учеб. Пос. для вузов/Н.Ш.Кремер и др. Под ред. Н. Ш. Кремера - М.: Банки и биржи,
БНИТИ,1997.
4. Шипачев В.С. Высшая математика: учебник для студентов нематематических специальностей вузов/ Под ред. А.Н. Тихонова. – М.: Высшая
школа, 1985.- 368 с.
5. Красе М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании. Академия народного хоз-ва при правительстве РФ. Издательство "Дело", Москва. 2000 г.
6. Беклимишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- 5-е изд., переработ. - М.: Наука, 1984. - 320 с.
7. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии. В двух частях. - М.:
ВЛАДОС, 1999.
8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - СПб.: Лань,
1999.
дополнительная:
1. Бугров Я.С. Никольский СМ. Высшая математика. Элементы линейной
алгебры и аналитической геометрии: учебник для вузов. - Ростов - на - Дону: Феникс, 1997.
2. Грес П.В. Математика для гуманитариев: Учебное пособие. - М.: «Юрайт»,
2000.
3. Григорьев С.Г. Линейная алгебра: Учебное пособие по высшей математике.
-М.: ИВЦ «Маркетинг», 1999.
4. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Алгебра и геометрия: Учеб. пособие. –
Мн.: Высш. шк., 1989. – 288 с.: ил.
5. Красе М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. - М.:
ИНФРА -М, 1999.
6. Кустов Ю.А., Юмагулов М.Г. Математика. Основы математического анали-
за: теория, примеры, задачи. Домашний репетитор для студентов. - М.:
«Рольф, Айрис-пресс», 1998.
7. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное
пособие. - СПб.: «Специальная литература», 1996.
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Перечень используемых пособий:
1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. Пособие. – М.: Физматлит, 2006. – 464 с.
2. Конспект лекций по высшей математике: полный курс/ Д.Т. Письменный. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 608 с.: ил. – (Высшее образование)
3. Высшая математика для экономистов: Учеб. Пос. для вузов/Н.Ш.Кремер и др. Под ред. Н. Ш. Кремера - М.: Банки и биржи, БНИТИ,1997.
4. Шипачев В.С. Высшая математика: учебник для студентов нематематических специальностей вузов/ Под ред. А.Н. Тихонова. – М.: Высшая школа, 1985.- 368 с.
1.10 Примерные зачетные тестовые задания.
Здание N 1
Определитель
равен 0, если
равно …
Варианты ответов:
1)
2
2)
–3
3)
0
4)
3
Здание N 2
Если
,
, тогда матрица
имеет вид ...
Варианты ответов:
1)
Здание N 3
2)
3)
4)
Разность между числом свободных и базисных переменных системы
уравнений
равна …
Варианты ответов:
1)
-1
3)
1
2)
2
Здание N 4
Если
- центр окружности, которая проходит через точку
уравнение этой окружности имеет вид …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 5
Уравнением прямой, параллельной
, является …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 6
Установите соответствие между уравнениями и видами плоскостей.
1)
2)
3)
4)
Варианты ответов:
, то
A)
содержит ось Oy
B)
параллельна плоскости Oxy
C)
параллельна оси Oz
D)
перпендикулярна оси Oх
E)
проходит через начало
координат
F)
параллельна оси Ox
Здание N 7
Прямая
том случае, когда
пересекает плоскость
не равно …
только в
Варианты ответов:
1)
2
3)
2)
5
4)
4
Здание N 8
Точка
для функции
является точкой …
Варианты ответов:
1)
непрерывности
2)
разрыва II рода
3)
разрыва I рода
(устранимый разрыв)
4)
разрыва I рода
(неустранимый разрыв)
Здание N 9
Значение производной второго порядка функции
равно…
в точке
Варианты ответов:
1)
-4
2)
-1
3)
4
4)
1
Здание N 10
В неопределенном интеграле
введена новая переменная
. Тогда интеграл принимает вид …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 11
Площадь области, ограниченная линиями
вычисляется как повторный интеграл …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Смешанное произведение векторов
равно 3 при , равном…
,
Здание N 12
и
Варианты ответов:
1)
1,5
2)
3
3)
–3
4)
2
Здание N 13
Укажите соответствие между заданным вектором и соответствующим ему
нормированным вектором
1.
2.
3.
4.
Варианты ответов:
A)
B)
C)
D)
E)
Здание N 14
Направление наискорейшего возрастания скалярного поля
в точке
совпадает с направлением вектора …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 15
Установите соответствие между заданными числами и множествами, которым
они принадлежат.
1)
2)
3)
4)
Варианты ответов:
A)
B)
C)
D)
E)
F)
Здание N 16
Мера множества, изображенного на рисунке,
равна…
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 17
Мера плоского множества, изображенного на рисунке,
равна…
Варианты ответов:
1)
3
2)
1
3)
2
4)
-1
Здание N 18
На числовой прямой дана точка
являться интервал …
-окрестностью» может
Варианты ответов:
1)
(4,9 ; 5,5)
2)
(5,1 ; 5,4)
3)
(4,9 ; 5,3)
4)
(4,8 ; 5,1)
Здание N 19
Произведение комплексного числа
но…
на сопряженное число
рав-
Варианты ответов:
1)
3)
2)
25
5
4)
Здание N 20
Даны комплексные числа
и
. Тогда
равно…
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 21
Если
, тогда значение производной этой функции в точке
равно…
Варианты ответов:
1)
2+i
2)
4 + 4i
3)
8 + 4i
4)
8+i
Здание N 22
Укажите график периодической функции
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 23
График функции
при
и его периодическое продолжение заданы на рисунке.
Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид…
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 24
Дана функция
. Тогда коэффициент а3 разложения
,
в ряд Фурье равен…
Варианты ответов:
1)
3)
2)
р
4)
0
Здание N 25
График периодической функции имеет вид:
— сумма ряда Фурье для этой функции. Тогда сумма
равна …
Варианты ответов:
1)
0
Здание N 26
Укажите правильное утверждение относительно сходимости числовых рядов
А)
и
B)
Варианты ответов:
1)
А – расходится,
В - сходится
2)
А и В сходятся
3)
А и В расходятся
4)
А – сходится,
В - расходится
Здание N 27
Укажите правильное утверждение относительно сходимости знакочередующихся рядов: А)
и В)
.
Варианты ответов:
1)
A сходится абсолютно,
B сходится условно
2)
A и В сходятся абсолютно
3)
А сходится абсолютно,
В расходится
4)
A и В сходятся условно
Здание N 28
Применив признак Даламбера
к ряду
, получаем …
Варианты ответов:
1)
ряд сходится
ряд расходится
3)
2)
4)
ряд расходится
ряд сходится
Здание N 29
Уравнение
является …
Варианты ответов:
1)
линейным неоднородным
дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами
3)
дифференциальным уравнением Бернулли
2)
дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными
4)
линейным однородным
дифференциальным
уравнением второго по-
рядка с постоянными
коэффициентами
Здание N 30
Общий интеграл дифференциального уравнения
имеет вид…
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 31
Функция
является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения. Тогда его характеристическое уравнение
имеет
вид …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 32
Изображением оригинала
является …
Варианты ответов:
Здание N 33
1)
2)
3)
4)
Оригиналом изображения
является функция …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 34
Частное решение
условием
дифференциального уравнения
с начальным
, вычисленное операторным методом, имеет вид …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 35
Вероятность достоверного события равна…
Варианты ответов:
1)
0
2)
–1
3)
0,5
4)
1
Здание N 36
Вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет 1, или 2, или
3, или 4, или 6 очков, составляет …
Варианты ответов:
1)
3)
Здание N 37
10
2)
4)
Событие А может наступить лишь при условии появления одного из двух
несовместных событий
и
вестны вероятность
, образующих полную группу событий. Изи условные вероятности
. Тогда вероятность
равна …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 38
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения веро-
ятностей
.Тогда математическое ожидание этой нормально распределённой случайной величины равно …
Варианты ответов:
1)
4
2)
9
3)
18
4)
3
Здание N 39
Дана выборка объема n. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то
выборочное среднее …
Варианты ответов:
1)
увеличится в 25 раз
2)
уменьшится в 5 раз
3)
не изменится
4)
увеличится в 5 раз
Здание N 40
Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид:
квадратические отклонения
равен …
, средние
. Тогда коэффициент корреляции
Варианты ответов:
1)
– 0,8
2)
0,45
3)
1,8
4)
0,8
Здание N 41
Для выборки объема
вычислена выборочная дисперсия
исправленная дисперсия
. Тогда
для этой выборки равна …
Варианты ответов:
1)
64
2)
81
3)
80
4)
88
Здание N 42
Действительный корень уравнения
лу…
принадлежит интерва-
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Здание N 43
Корень уравнения
равен …
Варианты ответов:
1)
0
2)
е
3)
1
4)
2
Здание N 44
Дано дифференциальное уравнение
при
. Тогда первые
три члена разложения его решения в степенной ряд имеют вид …
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
1.11 Примерный перечень вопросов к зачету.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Вопросы к коллоквиуму по главе «Матрицы и определители»
Элементы теории множеств. Понятие подмножества и его свойства. Пустое множество. Операции над множествами. Свойства операций над
множествами. Дополнение множества и его свойства.
Определение матрицы. Виды матриц.
Операции над матрицами. Свойства сложения матриц и умножения матриц на число. Свойства умножения матриц.
Обратимые матрицы.
Вычисление обратной матрицы. Условия обратимости матриц.
Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в
матричной форме.
Определитель матрицы. Простейшие свойства определителей. Теорема
Лапласа.
Основные свойства определителей.
Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.
Формулы Крамера.
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Элементарные преобразования
системы векторов.
Критерий совместности системы линейных уравнений.
Ступенчатые матрицы.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Собственные векторы и собственные значения матрицы.
Вопросы к коллоквиуму по теме «Комплексные числа»
1. Определение комплексного числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
2. Действия над комплексными числами записанными в алгебраической
форме.
3. Операция сопряжения и ее свойства.
4. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами записанными тригонометрической форме.
5. Показательная форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами записанными показательной форме.
6. Извлечение корней из комплексных чисел.
Вопросы к коллоквиуму по теме «Введение в анализ»
1. Числовые множества. Множество действительных чисел. Модуль действительного числа и его свойства.
2. Понятие функции. Способы задания функции.
3. Основные характеристики функции.
4. Элементарные функции.
5. Предел числовой последовательности. Геометрический смысл предела
числовой последовательности.
6. Теоремы о пределах числовых последовательностей. Действия над сходящимися последовательностями.
7. Предел функции (по Коши, по Гейне), геометрический смысл предела
функции. Односторонние пределы.
8. Теоремы о пределах функций.
9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых
функций.
10. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции. Теоремы о непрерывных функциях.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Вопросы к коллоквиуму по теме
«Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
Определение производной. Геометрический и механический смысл
производной.
Правила дифференцирования. Таблица производных основных
элементарных функций.
Логарифмическая производная. Производная функции, заданной
параметрически.
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала
функции. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Правила Лопиталя.
Теоремы о дифференцируемых функциях (теорема Ролля, теорема Коши
с доказательством).
Теоремы о дифференцируемых функциях (теорема Лагранжа и ее
следствия с доказательством).
Возрастание и убывание функций (необходимое и достаточное условия
монотонности функции с доказательством).
Экстремум функции (необходимое и достаточное условия экстремума
10.
11.
12.
13.
14.
функции с доказательством). Схема исследования функции на экстремум.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Выпуклость графика функции (достаточное условие выпуклости графика
функции).
Точки перегиба (необходимое и достаточное условия существования
точек перегиба). Схема исследования функции на выпуклость и
существования точек перегиба.
Асимптоты графика функции.
Общая схема исследования функции и построения ее графика.
Вопросы к коллоквиуму по теме
«Интегральное исчисление функции одной переменной»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Основные методы интегрирования (метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной, метод интегрирования по частям).
Определенный интеграл
Определение определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Методы интегрирования в определенном интеграле (замена переменной,
интегрирование по частям).
Интегрирование четных и нечетных функций, заданных на симметричном отрезке.
Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур, вычисление объемов тел вращения).
Несобственные интегралы.
Вопросы к коллоквиуму по теме «Числовые и функциональные ряды»
1. Несобственные интегралы I рода.
2. Несобственные интегралы II рода.
3. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда.
4. Геометрический ряд.
5. Свойства сходящихся рядов.
6. Необходимое условие сходимости ряда.
7. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.
8. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
9. Понятие функционального ряда.
10. Степенные ряды. Теорема Абеля.
11. Радиус сходимости степенного ряда. Область сходимости.
12. Свойства степенных рядов.
13. Разложение элементарных функций в степенные ряды.
14. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье. Особенности ряда Фурье для четных и нечетных функций.
15. Условие сходимости ряда Фурье (теорема Дирихле).
16. Разложение функции заданной на отрезке [0, ] в ряд Фурье.
Вопросы к коллоквиуму по теме «Функции нескольких переменных»
1. Понятие функции двух переменных.
2. Предел и непрерывность функции двух переменных.
3. Частные производные функции нескольких переменных.
4. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
5. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
6. Производная сложной функции. Полная производная.
7. Производная по направлению. Градиент.
8. Дифференцирование неявной функции.
9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
10. Экстремум функции двух переменных.
11. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
12. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
13. Двойной интеграл.
Вопросы к коллоквиуму по теме «Дифференциальные уравнения»
1. Основные понятия и определения о дифференциальных уравнениях.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
4. Уравнение Бернулли.
5. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах.
6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным.
7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих понижение порядка.
8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами без правой части.
10. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами с правой частью.
11. Основные понятия о системах дифференциальных уравнений.
12. Система двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с
постоянными коэффициентами.
1.12 Комплект экзаменационных билетов.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №1
1. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда.
2. Двойной интеграл в прямоугольных координатах.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №2
1. Геометрический ряд.
2. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Ла-
гранжа.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №3
1. Свойства сходящихся рядов.
2. Основные понятия о системах дифференциальных уравнений.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №4
1. Необходимое условие сходимости ряда.
2. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №5
1. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.
2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффи-
циентами без правой части.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №6
1. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
2. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №7
1. Понятие функционального ряда.
2. Экстремум функции двух переменных.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №8
1. Степенные ряды. Теорема Абеля.
2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффи-
циентами с правой частью.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №9
1. Радиус сходимости степенного ряда. Область сходимости.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №10
1. Свойства степенных рядов.
2. Производная сложной функции. Полная производная.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №11
1. Разложение элементарных функций в степенные ряды.
2. Уравнение Бернулли.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №12
1. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье. Особенности ряда Фурье для четных и нечет-
ных функций.
2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №13
1. Условие сходимости ряда Фурье (теорема Дирихле).
2. Дифференцирование неявной функции.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №14
1. Разложение функции заданной на отрезке [0, ] в ряд Фурье.
2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные
уравнения, сводящиеся к однородным.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №15
1. Понятие функции двух переменных.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №16
1. Частные производные функции нескольких переменных.
2. Основные понятия и определения о дифференциальных уравнениях.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №17
1. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение полного
дифференциала к приближенным вычислениям.
2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих понижение порядка.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №18
1. Предел и непрерывность функции двух переменных.
2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №19
1. Производная по направлению. Градиент.
2. Системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с посто-
янными коэффициентами.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №20
1. Несобственные интегралы I рода.
2. Методы приближенного вычисления корней уравнений.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: математического моделирования и математических методов в экономике
Наименование дисциплины: Математика, 2 курс, Социология, 1 семестр
Экзаменационный билет №21
1. Несобственные интегралы II рода.
2. Метод половинного деления.
Зав. кафедрой ММ и ММЭ
О.М. Мартынов
Декан СГФ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 20.12.2007 г.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.13 Примерная тематика рефератов.
1.14 Примерная тематика курсовых работ.
Не предусмотрено.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
Не предусмотрено стандартом.
1.16 Методика(и) исследования (если есть).
1.17 Бально-рейтинговая система.
Для оценивания знаний студентов по дисциплине «Математика» применяется предусмотренная нормативными документами система оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно».
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Тема 1.1. Множества, отображения, мощности. Алгебра множеств. Матрицы,
действия с ними. Обратимые матрицы. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Определители второго, третьего и n-го порядков, их свойства. Вычисление определителей. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса. Ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
Тема 1.2. Пространства (действительное n-мерное, арифметическое, линейные, векторные, евклидовы). Неравенство Коши – Буняковского. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации. Разложение вектора по ортогональному базису.
Тема 1.3. Векторы и прямые на плоскости и в пространстве. Метод координат. Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты, длина,
направляющие косинусы и норма вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Условия ортогональности и коллинеарности
двух векторов. Уравнение прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Тема 1.4. Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола,
их геометрические свойства и уравнения.
Тема 1.5. Плоскости и прямые в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве. Угол между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. Полярные координаты на плоскости.
Тема 1.6. Поверхности второго порядка. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений.
Тема 1.7. Комплексные числа, модуль, аргумент комплексного числа, алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действия над комплексными числами.
Глава 2. Введение в математический анализ.
Тема 2.1. Числовые множества. Множество действительных чисел. Понятие
функции. Числовые функции. Способы задания функции. Основные характеристики функций. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции: показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические и обратные тригонометрические.
Тема 2.2. Числовые последовательности. Предел последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей.
Тема 2.3. Определение предела функции по Гейне и по Коши. Односторонние пределы. Теоремы о пределах функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего
значений, существование промежуточных значений. Бесконечно малые и
бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые функции.
Непрерывность функций. Классификация точек разрыва функции. Непрерывность основных элементарных функций. Замечательные пределы.
Глава 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Тема 3.1. Определение производной. Правила дифференцирования. Таблица
производных основных элементарных функций. Логарифмическая производная. Производная функции, заданной параметрически. Дифференциал функции. Правила Лопиталя раскрытия неопределённостей. Теоремы о дифференцируемых функциях. Производные и дифференциалы высших порядков.
Тема 3.2. Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. Наибольшее
и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость графика функции.
точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Исследование
функций с помощью производных.
Глава 4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
Тема 4.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства
первообразных и неопределенных интегралов. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной
интегрирования и метод интегрирования по частям.
Тема 4.2. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл
определенного интеграла. Свойства определённого интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования в определенном интеграле. Интегрирование четных и нечетных
функций. Геометрические приложения определённых интегралов: вычисле-
ние площадей плоских фигур в прямоугольных координатах и объемов тел
вращения.
Тема 4.3. Несобственные интегралы первого и второго рода.
Глава 5. Числовые и функциональные ряды.
Тема 5.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие
сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.
Тема 5.2. Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.
Тема 5.3. Ряды Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды
Фурье. Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях.
Глава 6. Функции нескольких переменных.
Тема 6.1. Понятие функции двух переменных. Предел и непрерывность
функции двух переменных. Частные производные. Полный дифференциал,
его связь с частными производными. Производная сложной функции. полная
производная. Производная по направлению и градиент функции. Дифференцирование неявной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции нескольких переменных. Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области.
Тема 6.2. Двойные и тройные интегралы: геометрический смысл, свойства,
сведение к повторным интегралам, замена переменной. Некоторые приложения двойных и тройных интегралов.
Глава 7. Дифференциальные уравнения.
Тема 7.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (экономика,
социология и др.). Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача
Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
Тема 7.2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Задача Коши. Линейные дифференциальные
уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
Тема 7.3. Системы дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Матричная запись нор-
мальной системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных
уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
Глава 8. Численные методы.
Тема 8.1. Приближенной решение уравнений. Отделение корней уравнения.
Метод хорд. Метод касательных. Метод итераций.
Тема 8.2. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формулы
прямоугольников. Формула трапеций. Формула парабол. Приближенной вычисление определенных интегралов с помощью рядов.
Глава 9. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Тема 9.1. Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Классическое и геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность событий. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли.
Тема 9.2. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины.
Закон распределения дискретной случайной величины, ее свойства. Операции над случайными величинами. Математическое ожидание и дисперсия
дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание
и дисперсия непрерывной случайной величины.
Тема 9.3. Основные законы распределения. Биномиальный закон распределения. Нормальное распределение. показательный закон распределения. Закон
распределения Пуассона.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий).
Не предусмотрено.
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач.
Глава 1. Аналитическая геометрия.
Тема 1. Векторы
Пример 1. Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и
n - единичные векторы и угол между m и n равен 120о.
Решение. Имеем: cos = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n) = 2 m2 - 4n2 +2mn =
= 2 - 4+2cos120o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a =
2
a ; a2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4 m2 +16mn+16 n2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a =
12 . b =
2
b ; b2 =
= (m-n)(m-n) = m2 -2mn+ n2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b =
имеем: cos =
3
12 3
3 . Окончательно
= -1/2, = 120o.
Пример 2. Зная векторы AB(-3,-2,6) и BC(-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.
Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
2
S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC= BC = ( 2) 2 4 2 4 2 = 6,
S = 1/2 AB AC. AC=AB+BC, значит, вектор AC имеет координаты
i
AC(-5,2,10). ABAC = -3
j
-2
k
6
-5
2
10
= -16(2i +k ). ABAC =
AD =
= i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) =
16 2 (2 2 1)
= 16 5 ; S = 8 5 , откуда
16 5 8 5
=
.
6
3
Тема 2. Линии на плоскости
Пример 1. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1)
и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45o.
Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению
прямой, т.е. 1=3k+b, b=1-3k. Величина угла между прямыми
y= k1 x+b1 и y= kx+b определяется формулой tg =
k1 k
. Так как угловой
1 k1 k
коэффициент k1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол = 45o, то
имеем уравнение для определения k:
(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.
Имеем два значения k: k1 = 1/5, k2 = -5. Находя соответствующие значения
b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые: x - 5y + 2 = 0 и
5x + y - 16 = 0.
Пример 2. При каком значении параметра t прямые, заданные уравнениями 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны ?
Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение, находим t: t1 = 2, t2 = -2/3.
Пример 3. Найти уравнение общей хорды двух окружностей:
x2 +y2 =10 и x2+y2-10x-10y+30=0.
Решение. Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:
x 2 + y 2 = 10
x 2 y 2 10
x 2 y 2 10 x 2 (4 - x) 2 10
.
2
2
10
10
x
10y
+
30
=
0
y
=
4
x
y
=
4
x
x
+
y
10
x
10y
+
30
=
0
Решая первое уравнение, находим значения x1 = 3, x2 = 1. Из второго
уравнения - соответствующие значения y: y1 = 1, y2 = 3. Теперь получим
уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие этой
прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или y+ x - 4 = 0.
Пример 4. Как расположены на плоскости точки, координаты которых
удовлетворяют условиям (x-3) 2 + (y-3) 2 < 8, x > y?
Решение. Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не
включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса 8 . Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой x = y, причем,
так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку
мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область внутренность полукруга.
Пример 5. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс x2/a2
+ y2/b2 = 1.
Решение. Пусть М(с, с) - вершина квадрата, лежащая в первой четверти.
Тогда сторона квадрата будет равна 2с. Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее
координаты удовлетворяют уравнению эллипса c2/a2 + c2/b2 = 1, откуда c = ab/
a 2 b 2 ; значит, сторона квадрата - 2ab/ a 2 b 2 .
Пример 6. Зная уравнение асимптот гиперболы y = 0,5 x и одну из ее
точек М(12, 3 3 ), составить уравнение гиперболы.
Решение. Запишем каноническое уравнение гиперболы: x2/a2 - y2/b2 = 1.
Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = 0,5 x, значит, b/a = 1/2,
откуда a=2b. Поскольку М - точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 144/a2 - 27/b2 = 1. Учитывая, что a = 2b,
найдем b: b2=9 b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы - x2/36 - y2/9 = 1.
Пример 7. Вычислить длину стороны правильного треугольника ABC,
вписанного в параболу с параметром р, предполагая, что точка А совпадает с
вершиной параболы.
Решение. Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид y2
= 2рx, вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична
относительно оси абсцисс. Так как прямая AB образует с осью Ox угол в 30o,
то уравнение прямой имеет вид: y =
1
3
x.
Следовательно, мы можем найти координаты точки B, решая систему
уравнений y2=2рx, y =
1
3
x, откуда x = 6р, y = 2
между точками A(0,0) и B(6р,2 3 р) равно 4 3 р.
Тема 3. Плоскость и прямая в пространстве
3 р. Значит, расстояние
Пример 1. Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой
плоскости.
Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным
вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей
плоскости, найдем D: 1-(-1)+33+D = 0 D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.
Пример 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и
образующей с плоскостью 2x+y- 5 z-7=0 угол 60о.
Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением
Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно
0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями
2m 1
m 1 10
2
= cos 60о, где m = A/B.
Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.
Пример
3.
Составьте
канонические
уравнения
прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:
x x1 y y1 z z1
m
n
p
где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой,
фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1.
Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли:
M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы
исходных
плоскостей
n1(5,1,1)
и
n2(2,3,-2).
Тогда
i
n = [n1, n2] = 5
j
1
k
1 = (-2-3)i - (-10-2)j + (15-2)k = -5i+12j+13k.
2
3
-2
Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Глава 2. Линейная алгебра.
Тема 1. Матрицы и определители
1 2 1
Пример 1. Найти произведение матриц А=
иВ=
3 1 0
1 2 3
2 0 1 .
3 5 4
Решение. Имеем: матрица А размера 23, матрица В размера 33, тогда
произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны с11 = 11 +22
+ 13 = 8, с21 = 31 + 12 + 03 = 5, с12 = 12 + 20 + 15 = 7,
с22 =32 + 10 + 05 = 6, с13 = 13 + 21 + 14 = 9, с23 = 33 + 11 + 04 = 10.
8 7 9
, а произведение BA не существует.
5 6 10
AB =
1 2 3
Не вычисляя определителя 4 5 6 , показать, что он равен нулю.
7 8 9
Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель
1
2
3
3
7
3
8
3 , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую,
9
1 2
то получится определитель 3 3
3
3 , в котором две строки пропорциональ-
6 6
6
ны. Такой определитель равен нулю.
1
-2
Пример 2. Вычислить определитель D = 3
5
1
4
3
- 1 , разложив его по
2
элементам второго столбца.
Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:
D = a12A12 + a22A22+a32A32=
= 2 1
1 2
3 -1
4
2
5 1
22
1
3
4
2
1 1
3 2
1
3
3 -1
20 .
Пример 3. Вычислить определитель
a 11
0
0 ... 0
a 21
a 22
0 ... 0
A = a 31
a 32
a 33 ... 0
,
----------------an1
an2
a n 3 ... a n n
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны
нулю.
Решение. Разложим определитель А по первой строке:
A = a11 A11 = a 11
a 22
0 ... 0
a 32
a 33 ... 0
-----------
.
a n 2 a n 3 ...a n n
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке,
тогда получим:
A = a 11 a 22
a 33
0 ... 0
a 43
a 44 ... 0
----------a n 3 a n 4 ... a n n
.
И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22... ann.
1 2 3 ... n
-1 0 3 ... n
Пример 3. Вычислить определитель -1 - 2 0 ... n .
--------------1 - 2 - 3 ... 0
Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы,
находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, полу1 2 3 ... n
0 2 6 ... 2n
чим определитель: 0 0 3 ... 2n , равный исходному.
--------------0 0 0 ... n
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.
1 2 - 1
Найти методом окаймления миноров ранг матрицы 2 4 3
-1 - 2 6
- 2
0 .
6
Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А.
Выберем, например, минор (элемент) М1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M2 =
1
-1
2
3
, отличный от нуля. Переходим теперь к ми-
норам 3-го порядка, окаймляющим М2. Их всего два (можно добавить второй
1
столбец или четвертый). Вычисляем их: 2
2
4
-1 - 2
-1
1 -1 - 2
3 0, 2 3
6
-1 6
0 0. Таким
6
образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.
Тема 2. Ранг матрицы
5 3 2
4 3 - 1 - 3 и привести ее к
6 -1 3 -5
2
Пример 1. Найти ранг матрицы А= 3
5
3
каноническому виду.
Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:
1
2
5
1
3 5 - 3 - 2 .Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умно
6 -1 3 -5
1 -2
2
1
женную соответственно на 2 и 5: 0
0
1
9 - 7 0 ; из третьей строки вы
9 -7 0
1 -2
1
1
1
чтем первую; получим матрицу В = 0
0
2
1
9 - 7 0 , которая эквивалентна
0 0 0
1 -2
1
0
2
матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы
остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0.
0
Тема 3. Обратные матрицы.
2
Пример 1. Для матрицы А = 2
1
1
1 - 2 найти обратную.
2 2
-2
Решение. Находим сначала детерминант матрицы А = det А =
2
2
1
-2 1
1 - 2 = 27 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем
2
2
найти по формуле: А
ские
дополнения
A 11 ( 1) 1+1
1 -2
2
2
A 13 ( 1) 1+3
2
1
1
2
A 22 ( 1) 2+2
A 31 ( 1) 3+1
A 33 ( 1)
3+3
1
A 11 A 21 A 31
= 1/ A 12 A 22 A 32 , где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраиче
A 13 A 23 A 33
элементов
аi
j
исходной
2 4 6,
A 12 ( 1) 1+2
4 1 3,
A 21 ( 1) 2+1
4 1 3,
A 23 ( 1) 2+3
4 1 3,
A 32 ( 1) 3+2
2
1
1
2
2
1
1 -2
2
-2
2
1
1
2 4 6, откуда А
6
1
= -6
27
3
2
-2
1
2
1
2
2
-2
1
2
2
1
2 -2
6
3
-6
Имеем:
(4 2) 6,
2
2
матрицы.
( 4 2) 6,
(4 2) 6,
( 4 2) 6,
3
2
2
1
6 -2 1
9
6
1 - 2
1
2 .
2
Пример 2. Методом элементарных преобразований найти обратную мат2
рицу для матрицы: А= 5
7
1
2
3
-1
4 .
2
Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу
2 1 -1 1 0 0
того же порядка: 5 2 4 0 1 0 . С помощью элементарных преобразова 7 3 2 0 0 1
ний столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем
2 1 -1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0
местами первый и второй столбцы: 5 2 4 0 1 0 2 5 4 1 0 0 . К
7 3 2 0 0 1 3 7 2 0 0 1
третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на 1 0 0 0 1 0
2: 2 1 6 1 - 2 1 . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из
3 1 5 0 0 1
1 0 0 - 2 1 - 6
третьего - умноженный на 6 второй; 0 1 0 5 - 2 13 . Прибавим третий
1 1 -1 0 0 1
1 0 0 - 8 - 5 - 6
столбец к первому и второму: 0 1 0 18 11 13 . Умножим последний
0 0 -1 1 1 1
1 0 0 - 8 - 5 6
столбец на -1: 0 1 0 18 11 - 13 . Полученная справа от вертикальной
0 0 -1 1 1 - 1
черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак, А1
8
= 18
1
-5 6
11 - 13 .
1 - 1
Тема 4. Системы линейных уравнений
Метод Гаусса
Пример . Решить систему уравнений методом Гаусса:
x + y - 3z = 2,
3x - 2y + z = - 1,
2x + y - 2z = 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
1 1 - 3 2
3 - 2 1 - 1
2 1 - 2 0
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:
1 1 - 3 2
1 1 - 3 2
3 - 2 1 - 1 ~ 0 - 5 10 - 7 ;
2 1 - 2 0
2 1 4 - 4
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
1 1 - 3 2
0 - 5 10 - 7 .
0 0 - 10 13
В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:
x + y - 3z = 2,
-5y + 10z = -7,
- 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во
второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.
Формулы Крамера
Пример. Решить методом Крамера систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,
2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,
3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.
Решение. Главный определитель этой системы
=
1
1
1
1
1
2 -1
4
2 - 3 -1 -5
3
1
2
= -142 0,
11
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные
определители i (i= 1,4 ), получающиеся из определителя путем замены в
нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных
членов:
1=
5
1
1
1
-2
2 -1
4
-2 - 3 - 1 - 5
0
3=
1
2=
1
1
1 - 2 -1
4
2 - 2 -1 -5
3
0
2
11
1
1
1
5
1
2 -1 - 2
1
5
1
1
2 -2
4
2 -3 -2 -5
1
= - 142,
5
2 11
1
3
1
0
= - 426,
11
4=
2 - 3 -1 - 2
3
1
2
= - 284,
= 142.
0
Отсюда x1 = 1/ = 1, x2 = 2/ = 2, x3 = 3/ = 3, x4 = 4/ = -1, решение
системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.
Матричный метод
Пример. Решить матричным способом систему уравнений
x1 - x2 + x3 = 6,
2x1 + x2 + x3 = 3,
x1 + x2 +2x3 = 5.
Решение. Обозначим
1 - 1
A = 2 1
1 1
1
1 , X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T.
2
Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.
1 - 1
Поскольку = det 2 1
1 1
1
1 =5 0, то матрица A невырождена и поэтому
2
имеет обратную:
1
А
A 11 A 21 A 31
= 1/ A 12 A 22 A 32 .
A 13 A 23 A 33
Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева
на матрицу A: X = A1B. В данном случае
1 3 - 2
1
A1 = -3 1 1
5
1 - 2 3
и, следовательно,
x1
1 3 - 2 6
1
x 2 = -3 1 1 3 .
5 1 - 2 3 5
x3
Выполняя действия над матрицами, получим:
x1 = 1/5(16+33-25) = 1/5 (6+9-10) = 1,
x2 = 1/5 (-36 +13 - 15) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,
x3 = 1/5 (16 - 23 + 35) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.
Итак, С = (1, -2, 3)T.
Глава 3. Математический анализ.
Тема 1. Предел последовательности и функции
Пример 1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы >0 мы ни взяли, для него
найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство xn -1 <.
Возьмем любое >0. Так как xn -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<. Отсюда n>1/ и, следовательно,
за N можно принять целую часть от 1/, N = E(1/). Мы тем самым доказали,
что lim xn = 1.
n
Пример 2. Найти предел последовательности, заданной общим членом xn
=
n2 1
n 5
.
2
3n 4 n 2
Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого
слагаемого. При n числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему
о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем xn, разделив числитель и
знаменатель первого слагаемого на n2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:
xn =
1 1/ n2 1/ n 5 / n
1
.
2
1 2 / n
3
3 4/ n
6
4n 5
Пример 3. xn =
. Найти lim xn.
3n 1
n
6
5
6
6
4
4n 5
4
n
.
Решение.
=
1
3n 1
3
3
n
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени
равен степени от предела основания.
Пример 4. Найти lim ( n 2 3n n ).
n
Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида - . Преобразуем формулу общего члена:
n 2 3n n =
( n 2 3n n)( n 2 3n n)
n 2 3n n
3n
n 2 3n n
3
1
3
1
n
3
.
2
Пример 5. Дана функция f(x)=21/x. Доказать, что lim f(x) не существует.
x0
Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { xn }, сходящуюся к 0, т.е. lim
n
xn =0. Покажем, что величина f(xn)= 2 для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть xn = 1/n. Очевидно, что lim 1/n =0, тогда lim 2 1/ x =
1/ x n
n
n
n
n
lim 2 = +. Выберем теперь в качестве xn последовательность с общим члеn
ном xn = -1/n, также стремящуюся к нулю. lim 2 1/ x = lim 2 n= lim 1/2n = 0.
n
n
Поэтому lim 2
x 0
1/x
не существует.
Пример 6. Доказать, что lim sin x не существует.
x
n
n
Решение. Пусть x1, x2,..., xn,... - последовательность, для которой
lim xn = . Как ведет себя последовательность {f(xn)} = {sin xn } при различn
ных xn ?
Если xn= n, то sin xn= sin n = 0 при всех n и lim sin xn =0. Если же
n
xn=2n+/2, то sin xn= sin(2n+/2) = sin /2 = 1 для всех n и следовательно
lim sin xn =1. Таким образом, lim sin x не существует.
n
n
sin5x
.
x 0
x
sin5x
sin5x
Решение. Имеем:
=5
. Обозначим t = 5x. При x0 имеем: t0.
x
5x
sin t
Применяя формулу (3.10), получим 5
5.
t
sin 3x
Пример 8. Вычислить lim
.
x sin 4 x
Пример 3.7. Найти lim
Решение. Обозначим y=-x. Тогда при x, y0.Имеем:
sin 3x = sin 3(-y) = sin (3-3y) = sin 3y.
sin 4x = sin 4(-y) = sin (4-4y)= - sin 4y.
sin 3 y
sin3y
4y 3
3
sin 3x
lim
lim
.
=- lim
y 0 sin 4 y
y 0 3y
y 0 sin4y 4
4
x sin 4 x
arcsin x
Пример 9. Найти lim
.
x 0
x
lim
Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x0 t0.
arcsin x
t
=
1.
x
sin t
Пример 10. Найти 1) lim
x1
x2 4
x2 4
x2 4
;
2)
;
3)
.
lim 2
lim 2
x 2 x x - 2
x x x - 2
x2 x - 2
Решение.
1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: lim (x 2 x - 2) = 1- 1- 2 = -2 .
x1
Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе
2
lim ( x 4)
x2 4
3 3
x1
.
частного, получаем: lim 2
=
2
x1 x x - 2
lim ( x x - 2) 2 2
x1
2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x 2 равенство:
x2 4
x 2
=
.
2
x x-2 x +1
Так как lim (x+1) 0, то, по теореме о пределе частного, найдем
x 2
lim ( x 2) 4
x2 4
x 2
x 2
=
=
.
lim 2
lim
x 2 x x - 2
x 2 x + 1
lim ( x + 1) 3
x2
3. Числитель и знаменатель при x являются бесконечно большими
функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:
x2 4
=
x2 x - 2
Пример 11. Найти lim
x 9
3
1
4
x2
1 2
1 2
x x
1.
x -1 2
.
x-9
Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: 3 x - 1 2 0 ,
x-90, т.е. имеем неопределенность вида
0
.
0
Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения 3 x - 1 2 , получим
3
x -1 2
x-9
x-2
(x - 9)( 3 (x - 1) 2 23 x - 1 4)
1
3
(x - 1) 23 x - 1 4
2
1
1
.
4 4 4 12
2
x
Пример 12. Найти lim (1 ) x+5 .
x -
2
x
2
x
x
2
x
Решение. (1 ) x+5 = ((1 ) 2 ) 2 (1 ) 5 e 2 1 e 2 .
Тема 2. Производная, правила и формулы дифференцирования
Пример 1. Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)sin x.
Решение. По правилу 3, y'=(3x3-2x+1)'sin x + (3x3-2x+1)(sin x)' =
= (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cos x.
Пример 2. Найти y', y = tg x +
ex
.
1 x
Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, по(e x )(1 x) - (1+ x)e x
ex
ex
1
лучим: y'=(tgx +
)' = (tgx)' + (
)' =
+
(1 x) 2
1 x
1 x
cos2 x
1
(1 x)e x e x
1
xe x
.
cos2 x
(1 x)2
cos2 x (1 x) 2
=
Пример 3. Найти производную сложной функции y= u 2 3 u 1 ,
u=x4 +1.
Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим:
y'x =y 'u u'x =( u 2 3 u 1)'u(x4 +1)'x =(2u +
(2 x4 +2+
3
2 x 1
4
3
2 u
) 4 x 3 . Так как u=x4 +1,то
) 4x 3 .
Пример 4. Найти производную функции y= e x .
Решение. Представим функцию y= e x в виде суперпозиции двух функций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu 2x. Подставляя x2 вместо u, получим y=2x e x .
Пример 5. Найти производную функции y=ln sin x.
Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u
2
2
2
1
cos x
cos x =
ctg x .
u
sin x
1
Пример 6. Найти производную функции y= tg x .
2
вычисляется по формуле y' = (ln u)'u(sin x)'x=
Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких
суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:
1
x
1
1
1
1
2 1
2
y x
( tg x) x
.
sec x ( x) x
2
2
2
2 tg x / 2
2 tg x / 2
4 tg x / 2
sec 2
Пример 7. Вычислить производную y=ln
3
( x 2 4) 5 (3x - 1) 7
.
(6x 3 1) 2 e tg 5x
Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:
y=5/3ln(x2+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg 5x.
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
5 2x
7
12 x 2
5
y = 2
3
3 x 4 3x - 1 6x 1 3cos2 5x
Тема 3. Экстремум функции
Пример 1. Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14.
Решение. Так как f (x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические
точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках.
Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс на
минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку
x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у
функции
минимум.
Вычислив
значения
функции
в
точках
x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум
f(3) = 13.
Пример 2. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной
стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а
четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных мет-
ров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение. Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки
равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по
условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S =
x(a - 2x), где 0 x a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a/4
S >0, а при x >a/4 S <0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум.
Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a2 /8 (кв. ед).
Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2)
равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.
Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при
данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2R(R+Н).
Мы знаем объем цилиндра V = R2Н Н = V/R2 =16/ R2 = 16/ R2. Значит,
S(R)
=
2(R2+16/R).
Находим
производную
этой
функции:
2
2
3
S (R) = 2(2R- 16/R ) = 4 (R- 8/R ). S (R) = 0 при R = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.
Тема 4. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
1
x
Пример 1. Найти предел функции y =
1
при x 0.
e 1
x
Решение. Имеем неопределенность вида -. Сначала преобразуем ее к
неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему
знаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Лопиталя. Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем
иметь:
lim (
x0
ex 1
ex 1 x
(e x 1 x)
1
1
=
=
=
x
) = lim
lim
lim
x
x
x
x 0 xe 1 e
x0
x0 (x(e 1))
x
e 1
x(e x 1)
ex
1
(e x 1)
= lim
= lim x x x .
x
x
x0 xe e e
x0 (xe 1 e )
2
Пример 2. Найти lim
x +
ln x
x
.
Решение. Раскрывая неопределенность вида / по правилу Лопиталя,
получаем:
lim
x +
ln x
x
= lim
x +
1/ x
1 / (2 x )
= lim
x +
2
x
=0.
Пример 3. Вычислить lim (e x x) 1 / x .
x 0
Решение. Имеем неопределенность вида 1. Обозначим искомый предел
через A. A = lim (e x x) 1 / x .
x 0
1
x
Тогда ln A = lim ( ln(e x x)) = lim
x 0
x 0
ln(e x x)
ex 1
= lim x
= 2, A = e2.
x0 e + x
x
Тема 5. Частные производные.
Пример 1. Исследовать функцию z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2 на экстремум.
Решение. Находим частные производные: zx = - 2y2 + 2x, z y = 4y3 - 4xy
+2 +2y. Для отыскания критических точек решим систему уравнений:
2 y 2 2 x = 0
x - y 2 0
x = y 2
x = 1
.
3
2
y = -1
4y 4 xy + 2 + 2y = 0 2 y(y x) + 1+ y = 0 y = -1
Итак, Mo(1,-1) -единственная точка, “подозрительная на экстремум”.
Находим вторые частные производные: z x x 2, z x y 4y, zy y 12y 2 4x + 2 ,
следовательно, A=2, B=4, С=10, = 4, т.е. 0, функция имеет экстремум в
точке Mo - минимум (A>0). Вычислим z min = (-1)4 - 21(-1)2 +1 - 2 +1 = -1.
Тема 6. Основные методы интегрирования
Пример 1. Вычислить dx/(x+2).
Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt, dx/(x+2) = dt/t = lnt+C =
= lnx+2+C.
Пример 2. Найти tg x dx.
Решение. tg x dx = sin x/cos x dx = - d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда
tg x dx = - dt/t = - lnt+C = - lncos x+C.
Пример 3.32. Найти dx/sin x.
Решение.
x
x
cos2
dx
2
2 dx 1 tg x dx 1 ctg x dx ln cos x ln sin x c ln tg x c
x
x
sin x
2
2
2
2
2
2
2
2 sin cos
2
2
sin 2
dx
.
x a2
dx
Решение.
=
2
x a2
1
1
xa
(ln x a ln x a ) c
ln
c
2a
2a x a
Пример 3. Найти
2
Пример 4. Найти arctg x dx.
1
1
1
1
dx
1
dx
(
)dx
2a x a x a
2 a x a 2a x a
Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x2+1), v=x, откуда
arctg x dx = x arctg x - x dx/(x2+1) = x arctg x + 1/2 ln(x2+1) +C; так как
x dx/(x2+1) = 1/2 d(x2+1)/(x2+1) = 1/2 ln(x2+1) +C.
Пример 5. Вычислить ln x dx.
Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда ln x dx = x lnx - x 1/x dx =
= x lnx - dx = x lnx - x + C.
Пример 6. Вычислить ex sin x dx.
Решение. Обозначим u = ex, dv = sin x dx, тогда du = ex dx, v= sin x dx= cos x ex sin x dx = - ex cos x + ex cos x dx. Интеграл ex cos x dx также интегрируем по частям: u = ex, dv = cos x dx du=exdx, v=sin x. Имеем:
ex cos x dx = ex sin x - ex sin x dx. Получили соотношение ex sin x dx = - ex
cos x + ex sin x - ex sin x dx, откуда 2 ex sin x dx = - ex cos x + ex sin x + С.
Пример 7. Вычислить J = cos(ln x)dx/x.
Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t,
приходим к табличному интегралу J = cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.
Пример 8. Вычислить J =
dx
.
x 4 ln 2 x
dx
Решение. Учитывая, что
= d(ln x), производим подстановку ln x = t.
x
dt
t
ln x
arcsin c arcsin
c.
Тогда J =
2
2
4 t2
100
Пример 9. Вычислить интеграл J =
1 - cos 2xdx .
0
Решение.
Имеем:
1 cos 2x 2 sin x .
Поэтому
100
1 - cos 2xdx =
0
100
2
3
4
100
0
0
2
3
99
= 2 sin x dx 2 ( sin x dx - sin x dx + sin x dx - sin x dx + ... + sin x dx) =
= 2 (2 2 2 ... + 2) = 200 2 .
Пример 10. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к инте5
dx
?
4
0 (x - 4)
гралу
Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно,
5
dx
1
=
4
3(x - 4) 3
0 (x - 4)
1
1
63
21
.
3 192
192
64
1
Но подынтегральная функция f(x) =
> 0 и, следовательно, интеграл
(x - 4) 4
5
0
не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что
подынтегральная функция f(x) =
1
имеет бесконечный разрыв в точке x
(x - 4) 4
= 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь
формула Ньютона-Лейбница неприменима.
Пример 11. Вычислить интеграл xe - x dx .
2
0
Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех
1
2
значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= e - x .
b
2
По определению имеем: xe - x dx = lim xe - x dx .
2
2
b 0
0
По формуле Ньютона-Лейбница,
b
2
1 2 1
(1- e - b ) ;
2
2
0
b
1
1 1
1
1
- x2
- b2
- b2
lim xe dx = lim (1- e ) = - lim e 0 .
b 0
b 2
2 2 b
2
2
1
2
-x
-b
-0
xe dx = F(b) - F(0) = e + e =
2
2
Тема 7. Дифференциальные уравнения
Пример 1. Найти общее решение уравнения y = 3x.
Решение. Интегрируя, находим
y = 3x dx, y = 3x2/2 + C,
где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значения, будем получать частные решения, например,
y = 3x2/2 (С= 0),
y = 3x2/2 + 5 (С = 5)
и т.д.
Пример 2. Решить уравнение y = cos x.
Решение. Интегрируя, находим
y = cos x dx = sin x + C1,
y = (sin x + C1)dx = - cos x + C1x + С2,
y = (- cos x + C1x +C2)dx = - sin x + C1x2/2 +C2x+C3.
Итак, общее решение
y = - sin x + C1x2/2 +C2x+C3.
Пример 3. Решить уравнение y - y = 0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2 - 1 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = -1 действительны и различны. Общее решение:
y = c1e x + c2e -x.
Пример 4. Найти общее решение уравнения y- 4y + 4y = 0.
Решение.
Характеристическое
уравнение
запишется
в
виде:
2
2
k -4k +4 = 0 или (k - 2) = 0, т.е. имеет равные корни k1= k2 =2, значит, общее
решение данного уравнения находится по формуле:
y = e2x(c1+c2x).
Пример 5. Найти общее решение уравнения y+9y = 0.
Решение. Имеем следующее уравнение для нахождения k: k2+9 = 0, откуда k = 3i, = 0, = 3, значит, общее решение имеет вид:
y = c1 cos 3x + c2 sin 3x.
Глава 4. Теория вероятностей и математическая статистика.
Тема 1. Теория вероятностей
Пример 1. Чему равно вероятность достоверного события?
Решение:
Вероятность события изменяется в пределах от 0 до 1.
0 означает, что событие не произойдет, 1- точно произойдет.
Значит вероятность достоверного события равна 1.
Пример 2. Найти сколько составит вероятность того, что при бросании
игрального кубика выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.
Решение:
Событие А – выпадение 1 очка.
Событие В – выпадение 2 очков.
Событие С – выпадение 3 очков.
Событие D – выпадение 4 очков.
Событие E – выпадение 6 очков.
Р( А+В+С+D+E) = 1/6 +1/6+1/6 +1/6+1/6=5/6
Тема 2. Математическая статистика
Пример 1. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вида: y= 2.2
+0.6x. Средние квадратические отклонения x 2, y 1,5. Найти коэффициент корреляции.
Решение:
y a bx
b 0,6
r b
x
y
r 0,6
2
0,8
1,5
.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер
Номер и дата
изменений в протокола засепрограмме дания кафедры,
на котором было принято данное решение
Подпись заведующего кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
Подпись декана факультета (проректора
по учебной работе),
утверждающего данное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
Учебный Факультет Специальность
преподавателя
год
Филимонов Владимир Юрьевич,
2007-2008
СГФ
Социология
старший преподаватель
Зайнутдинова Эльвира Геннадьев- 2006-2007
СГФ
Социология
на, старший преподаватель
Зайнутдинова Эльвира Геннадьев- 2007-2008
СГФ
Социология
на, старший преподаватель
Зайнутдинова Эльвира Геннадьев- 2009-2010
СГФ
Социология
на, старший преподаватель
Пышкина Т.В., старший препода- 2010-2011
ИСН
Социология
ватель
орг.
