Геометрия. Четырехугольники

геометрия четырехугольники
В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD . Оказалось, что
периметры треугольников ABC, BCD, CDA и DAВ равны. Докажите, что ABCD
прямоугольник.
Доказательство.
1) PABD  PBCD и PABC  PACD , следовательно:
 AB  AD  BD  BD  BC  CD

 AB  BC  AC  AC  CD  AD
Сложив равенства почленно, получим AB  CD .
2) Аналогично, BC  AD . Следовательно, ABCD - параллелограмм.
3) AB  BC  AC  BD  BC  CD , т.к. PABC  PBCD .
AC  BD .
В параллелограмме равны диагонали, следовательно ABCD - прямоугольник.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На сторонах параллелограмма ABCD во внешнюю сторону построены равносторонние
треугольники AA1 B , BB1C , CC1 D и DD1 A . Докажите, что A1 B1C1 D1 - параллелограмм.
Доказательство.
Треугольники A1BB1 и C1DD1 равны (по двум сторонам и углу между ними), значит,
A1 B1  C1 D1 . Аналогично, B1C1  D1 A1 , следовательно, A1 B1C1 D1  параллелограмм, что
и требовалось доказать.
Отдельно следует рассмотреть случай, когда острый угол параллелограмма равен 600.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На диагонали BD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что прямая AE пересекает
сторону BC в точке M , прямая AF пересекает сторону CD в точке N и CN  CM .
Найдите длину диагонали квадрата, если BE  3 , EF  4 .(Московская олимпиада)
Ответ. 10.
Решение.
M
Из условия следует равенство треугольников ABM и ADN
B
( AB  AD , BM  DN , ABM  ADN ), откуда BAE  DAF .
Кроме того, AB  AD и ABE  ADF . Поэтому треугольники ABE и
ADF равны. Значит, DF  BE  3 , следовательно BD  3  4  3  10 .
E
C
N
F
D
A
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дан выпуклый четырехугольник. На его сторонах отмечены точки (по одной на каждой
стороне). Отмеченные точки последовательно соединены отрезками, в результате чего
четырехугольник разбился на квадрат и четыре равнобедренных треугольника, причем
основаниями треугольников служат стороны квадрата. Докажите, что исходный
четырехугольник является ромбом.
Доказательство.
Пусть ABCD – заданный четырехугольник.
L
C
B
Пусть AKN  ANK   , BKL  BLK   , CLM  CML   , тогда
M
А
N
геометрия четырехугольники
  90 0   и   90 0   , значит треугольники KAN и MCL
равны, то есть AK=AN=CL=CM. Аналогично, BK=BL=CD=AD.
Тогда AB=BC=CD=AD, значит ABCD – ромб.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что биссектрисы любых двух соседних
углов четырехугольника пересекаются в точке, равноудаленной от вершин, из которых
они проведены. Докажите, что ABCD – прямоугольник.
Доказательство.
Пусть биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О. Так как АО = ВО, то углы АВО и
ВАО равны, следовательно, равны углы А и В. Аналогично, В  С  D . Поскольку
сумма углов четырехугольника равна 3600, то A  B  C  D  90 0 , значит ABCD –
прямоугольник.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Две перпендикулярные прямые пересекаются в точке О. На каждой прямой по обе
стороны от точки О отметили еще по одной точке. Известно, что любой треугольник
среди вершин которого есть точка О и отмеченные точки является равнобедренным.
Докажите, что отмеченные точки – вершины квадрата.
Доказательство.
В
А
О
С
D
Пусть А, В, С и D – отмеченные точки. Рассмотрим треугольник АОВ. Равными
сторонами в нем могут быть только стороны АО и ВО, иначе сумма углов треугольника
АОВ больше 180 градусов. Аналогично, ВО = СО = DО. В четырехугольнике АВСD
диагонали перпендикулярны и равны, значит АВСD – квадрат.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Две стороны четырехугольника равны 1 и 4. Одна из диагоналей делит его на два
равнобедренных треугольника и имеет длину 2. Найдите периметр четырехугольника.
(Московские регаты)
Ответ. 11.
Решение.
Пусть данные стороны четырехугольника АВСD – соседние, например, АВ и ВС. Тогда,
используя неравенство треугольника, получим, что диагональю длины 2 может быть
только BD. Применяя неравенство треугольника (или условие того, что три точки лежат
на одной прямой) для треугольников АВD и CBD, получим, что AD = BD = 2; DC = BC =
4. Значит, периметр АВСD равен 11. Если данные стороны – противолежащие, например,
АB и СD то, рассуждая аналогично, приходим к такому же четырехугольнику.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
геометрия четырехугольники
Из вершины А параллелограмма АВСD проведены высоты AK и AM. Может ли оказаться
так, что точка K лежит на стороне параллелограмма, а точка М – на продолжении
стороны? (Московские регаты)
Ответ. Да, может. (см. рис.).
Отметим, что в любом параллелограмме, не являющемся прямоугольником, основания
высот, проведенных из вершины острого угла, лежат на продолжениях сторон, а
основание одной из высот, проведенных из вершины тупого угла, может попасть на
продолжение стороны параллелограмма, если угол между меньшей диагональю и одной из
сторон – тупой.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В прямоугольнике АВСD точка М – середина стороны ВС, точка N – середина стороны
СD, Р – точка пересечения отрезков DМ и ВN. Докажите, что  МАN =  ВРМ.
(Московские регаты)
Доказательство.
Первый способ. Пусть К – середина стороны АВ. Тогда, так как BK || ND и BK = ND, то
KBND – параллелограмм. Следовательно, KD || BN, то есть,  ВРМ =  KDM.
Соединим точку М c точками N и K. Так как  KDM =  NAM (по трем сторонам), то
 KDM =  MAN. Следовательно,  ВРМ =  MAN, что и требовалось доказать.
Второй способ. Так как AM = MD и BC || AD, то  MAD =  MDA =  DMC. Кроме того,
из равенства прямоугольных треугольников ВСN и ADN следует, что  NBM =  NAD.
По теореме о внешнем угле для  ВМР:  BPM =  DMC –  NBM =  MAD –  NAD =
=  MAN, что и требовалось доказать.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Внутри четырехугольника ABCD взята точка О, равноудаленная от его вершин. Оказалось,
что отрезки, соединяющие току О с вершинами четырехугольника, являются
биссектрисами его углов. Докажите, что ABCD – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник АОВ. Так как АО=ВО, то углы АВО и ВАО равны, следовательно,
равны углы А и В. Аналогично, В  С  D . Поскольку сумма углов
четырехугольника равна 3600, то A  B  C  D  90 0 , значит ABCD –
прямоугольник. А поскольку треугольники AOB, BOC, COD и AOD равны между собой,
то AB = BC = CD = AD, следовательно, ABCD – квадрат.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дан прямоугольник ABCD . На стороне BC взята точка K , а на стороне AD взята точка
M так, что BK  DM . Отрезки AK и BM пересекаются в точке P , а отрезки DK и CM
- в точке N . Докажите, что треугольники PAB и NCD равны.
(Московская олимпиада)
Доказательство.
K
B
Из ABK  CDM следует BAK  DCM , а из
BAM  DCK  MBA  KDC . Значит, BAP  DCN и
P
PBA  NDC .
N
A
M
C
D
геометрия четырехугольники
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дан выпуклый четырехугольник ABCD . Точки K , L , M и N – середины сторон AB ,
BC , CD и AD соответственно. Отрезки AL и CK пересекаются в точке P . Отрезки
AM и CN пересекаются в точке Q . Известно, что APCQ – параллелограмм. Докажите,
что ABCD – параллелограмм.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники APK и CQM :
AP  CQ (противоположные стороны параллелограмма),
KP  CP / 2  AQ / 2  MQ (медианы треугольника точкой
B
пересечения делятся в отношении 2 : 1),
L
KPA  MQC (
прямые,
образующие
один
угол,
P
K
параллельны прямым, образующим другой угол).
Треугольники APK и CQM равны, значит AK  CM
Q
или AB  CD . Аналогично можно доказать, что
M
A
BC  AD . Тогда в четырехугольнике ABCD имеется
N
две пары равных противоположных сторон, следовательно,
D
ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.
C
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD , как на диаметрах, построены
окружности. Окружность, построенная на стороне AB , касается окружности, построенной
на стороне CD в точке O . В этой же точке O касаются друг друга окружности,
построенные на сторонах BC и AD . Докажите, что ABCD - ромб.
Доказательство.
Пусть K , L, M и N - середины сторон AB , BC , CD и
AD соответственно, а, следовательно, и центры
B
L
C
окружностей. Поскольку окружности, построенные на
сторонах AB и CD , имеют общую касательную, то точки
K , O и M лежат на одной прямой. Аналогично,
точки L , O и N лежат на одной прямой. С другой
O
K
M
стороны, KLMN - параллелограмм, поэтому AB  CD
и BC  AD , т.е. ABCD - параллелограмм. Но тогда
точка O - точка пересечения диагоналей
A
D
параллелограмма ABCD , а т.к. эти диагонали
N
перпендикулярны, то ABCD - ромб, что и требовалось доказать
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Из вершины D параллелограмма ABCD опущены высоты на прямые AB и BC
(основания высот – точки M и N соответственно). Докажите, что если MN AC , то
ABCD - ромб.
(Поляков Е., Устинов А.В.)
Доказательство.
Рассмотрим случай, когда M и N лежат на сторонах AB и
BC . (Случай, когда эти точки лежат вне
B
сторон, на прямых
AB и BC ,
рассматривается аналогично).
N
C
M
A
K
O
D
геометрия четырехугольники
Проведем BD , получим точки O и K (как точки пересечения с AC и MN ).
Рассмотрим трапецию AMNC . Точка O - середина АС , точка B - точка пересечения
боковых сторон трапеции. Следовательно, K - середина MN .
Далее, ON 
1
1
BD , OM  BD , следовательно, OM  ON .
2
2
В треугольнике OMN : OK  MN , т.е. BD  AC , значит ABCD - ромб.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дана трапеция ABCD ( BC DA ). Через середину M боковой стороны AB проведена
прямая, параллельная основаниям. Биссектриса угла ABC пересекает эту прямую в точке
O . Докажите, что AO - биссектриса угла BAD .(Московская олимпиада)
Доказательство.
C
B
Т.к. AKB  CBK  ABK , то ABK - равнобедренный
( AB  AK ). O - середина BK (по теореме Фалеса), значит
O
AO - медиана ABK , которая одновременно является и
M
биссектрисой. Следовательно, AO - биссектриса угла
BAD .
A
K
D
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Точки E и F - середины сторон BC и CD квадрата ABCD . Отрезки AE и BF
пересекаются в точке K . Что больше: площадь треугольника AKF или площадь
четырехугольника KECF ?(Московская олимпиада)
Ответ. Площадь треугольника больше.
Решение.
E
B
Пусть 4S - площадь квадрата. Тогда площадь каждого из
треугольников ABE , ADF , BCF равна S , поэтому площадь
K
треугольника ABF равна 2S . Но треугольник AKB - часть треугольника
ABE , поэтому его площадь меньше S , а это означает, что площадь
треугольника AKF больше S . С другой стороны, площадь
четырехугольника KECF меньше S , так как он составляет часть
A
треугольника BCF .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Квадрат разрезали на два прямоугольника. Известно, что отношение периметров этих
прямоугольников – целое число. Докажите, что прямоугольники равны.
Доказательство.
Пусть a – сторона квадрата и длина каждого из прямоугольников, b – ширина одного
прямоугольника, с – ширина другого прямоугольника (b ≥ c). Тогда имеем:
2a  b  k  2a  c , где k - целое положительное
число.
Заменяя a на b + с, после преобразований получаем:
bk  2  c2k  1  0 ,
откуда следует, что k ≤ 2.
1) k=2. Тогда 3c = 0, что невозможно.
2) k =1. Тогда с = b, что и требовалось доказать.
C
F
D
геометрия четырехугольники
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дан выпуклый четырехугольник ABCD . Точки K , L , M и N – середины сторон AB ,
BC , CD и AD соответственно. Отрезки AL и CK пересекаются в точке P . Отрезки
AM и CN пересекаются в точке Q . Известно, что APCQ – параллелограмм. Докажите,
что точки B , P , Q и D лежат на одной прямой.(Устинов А.В.)
Доказательство.
Проведем диагональ AC . Пусть O – середина AC . Тогда BO
– медиана треугольника ABC , а так как медианы треугольника
пересекаются в одной точке, то точки B , P и O лежат на K
одной прямой. Аналогично, точки D , Q и O лежат на
одной прямой. Но точки P , O и Q также лежат на
A
PQ
одной
прямой,
поскольку
диагональ
APCQ
параллелограмма
и
диагонали
N
параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Отсюда следует, что точки B , P , Q и D лежат на одной прямой,
что и требовалось доказать.
B
L
P
C
Q
M
D
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Через точки A
и D проведены прямые, параллельные диагоналям, которые пересекаются в точке E .
Прямая EO пересекает сторону AD в точке K . Найдите длину EK , если AB =12см.
(Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои 5-11 классы: Книга для
учителя. Авторский коллектив: Блинков А.Д., Семенов А.В. и др.)
Ответ. EK =6см.
Решение.
B
M
AODE - параллелограмм, K - точка пересечения диагоналей,
следовательно, EK  KO . Из равенства треугольников BOM
O
KD  BM .
и
По
признаку
DOK :
KO  OM ,
параллелограмма: AKMB - параллелограмм. Получили:
K
A
D
OM  OK  EK и OK  OM  AB , следовательно,
EK  6 см.
E
C