РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра «Математического моделирования»
МАЧУЛИС В.В.
ДИСКРЕТНАЯ ДИНАМИКА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010100.62 «Математика»,
профиль подготовки «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Мачулис В.В. Дискретная динамика. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 010100.62 «Математика», профиль подготовки
«Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление», очная
форма обучения. Тюмень, 2011 г., 13 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Дискретная динамика [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© В.В. Мачулис, 2011.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины:
Целью преподавания дисциплины является изучение методов дискретной динамики, применяемых при решении прикладных задач физики, биологии, экологии, гидродинамики и т.д. Дискретная динамика – одна из двух составляющих раздела математики, который называется «динамические системы». В этом разделе исследуется широкий класс
моделей, где система эволюционирует во времени. Эволюция системы представляется
обычно в виде траектории в соответствующем фазовом пространстве. Как правило, эти
траектории непрерывны, однако, их наблюдение является возможным только через определённые моменты времени. Ещё одной причиной важности дискретных моделей динамики является необходимость использования вычислительной техники, требующей построения алгоритмов, реализующих рекуррентные зависимости. Поэтому значение знаний о
свойствах моделей с дискретным временем возрастает.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Дискретная динамика» входит в цикл профессиональных дисциплин
в вариативной части.
Для её успешного изучения необходимы знания и умения, приобретённые в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, системы компьютерной математики.
Освоение дисциплины «Дискретная динамика» необходимо при последующем изучении дисциплин магистратуры, связанных с моделированием различных процессов в
природе и обществе. Этот раздел науки является необходимым для последующего обучения в аспирантуре по специальности «математическое моделирование».
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
способностью применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-6);
исследовательскими навыками (ОК-7);
способностью и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8);
умением определять общие формы, закономерности, инструментальные средства
отдельной предметной области (ПК1);
умением понять поставленную задачу (ПК-2);
умением формулировать результат (ПК-3);
умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);
умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
знанием конкретных постановок классических задач (ПК-9);
пониманием корректности постановок задач (ПК-10);
владением методами алгоритмического моделирования при анализе постановок задач (ПК-19);
владением методами математического и алгоритмического моделирования при постановках прикладных задач (ПК-20).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) знать: основные понятия теории дискретных динамических систем, определения
и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы
их доказательства, возможные сферы их приложений;
2) уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
дискретных отображений;
3) владеть: математическим аппаратом дискретной динамики, методами анализа и
решения задач, в том числе с помощью инструментальных средств.
2. Структура и трудоёмкость дисциплины.
Дисциплина «Дискретная динамика» читается в восьмом семестре. Формы промежуточной аттестации – зачёт, экзамен. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единиц (108 часов).
3. Тематический план.
Таблица 1.
Тематический план
(семестр 8)
1
2
3
Итого
часов
по теме
Из них
в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
2
-
2
6
2
0-6
2
3-4
2
4
3
3
4
6
9
13
3
3
0-10
0-14
8
8
12
28
8
0-30
-
Самостоятельная работа*
2
Модуль 1
Основные понятия и
определения дискретной
динамики.
Равновесные точки.
Устойчивость равновесных точек.
Всего
Модуль 2
Семинарские
(практические) занятия*
Лабораторные занятия*
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лекции*
Тема
Недели семестра
№
4
5
6
7
8
9
Циклы и их устойчивость
Бифуркация
удвоения
периода. Хаос.
Классические модели
дискретных систем.
Всего
Модуль 3
Двумерные отображения.
Многомерные отображения.
Нелинейные отображения на плоскости.
Всего
Итого (часов, баллов):
из них часов в интерактивной форме
Курсовая работа
5-6
4
4
-
5
13
4
0-12
7-8
4
4
-
5
13
4
0-12
9
2
2
6
10
2
0-8
10
10
-
16
36
10
0-30
10
3
3
-
6
12
3
0-14
1112
1315
4
6
-
8
18
6
0-14
5
3
6
14
3
0-12
12
30
0
12
30
30
-
20
48
44
108
30
12
30
30
0-40
0-100
-
-
-
-
-
-
-
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
контрольная работа
электронные практикум
Итого количество
баллов
Итого
ответ на практическом занятии
1
Информационные
системы и
технологии
коллоквиум
№ темы
Устный опрос
Письменные работы
2
3
4
6
7
Модуль 1
1. Основные понятия и определения
дискретной динамики.
2. Равновесные точки.
0-2
0-2
0-1
0-1
0-6
0-2
0-2
0-3
0-3
0-10
3. Устойчивость равновесных точек.
0-3
0-3
0-4
0-4
0-14
Всего
0-7
0-7
0-8
0-8
0-30
0-3
0-3
0-12
Модуль 2
4. Циклы и их устойчивость.
0-3
0-3
5. Бифуркация удвоения периода.
Хаос.
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
6. Классические модели дискретных
систем.
0-2
0-2
0-1
0-1
0-6
0-8
0-8
0-7
0-7
0-30
Всего
Модуль 3
7. Двумерные отображения.
8. Многомерные отображения.
9. Нелинейные отображения на плоскости.
Всего
Итого
0-3
0-3
0-4
0-4
0-14
0-3
0-3
0-4
0-4
0-14
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
0-9
0-9
0-11
0-11
0-40
0-24
0-24
0-26
0-26
0-100
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
1.
2
3
4.
5.
6.
7.
Модули и темы
Виды СРС
обязательдополниные
тельные
Модуль 1
Основные понятия и работа с ли- подготовка к
коллоквиуму
определения дискретной тературой,
решение
додинамики.
машнего задания
Равновесные точки.
Устойчивость равновесных точек.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
Циклы и их устойчи- работа с ли- подготовка к
тературой,
коллоквиуму
вость.
решение домашнего задания
Бифуркация
удвоения работа с ли- подготовка к
тературой,
коллоквиуму
периода. Хаос.
решение домашнего задания
Классические
модели
дискретных систем.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
Двумерные
отображе- работа с ли- подготовка к
ния.
тературой,
коллоквиуму
Неделя семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1
2
0-6
2
3-4
4
6
0-10
0-14
12
0-30
5-6
5
0-12
7-8
5
0-12
9
6
0-6
16
0-30
6
0-14
10
8.
9.
решение до- и контрольмашнего за- ной работе
дания
Многомерные отображе- работа с линия.
тературой,
решение домашнего задания
Нелинейные отображения на плоскости.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
11-12
8
0-14
13-15
6
0-12
20
48
0-40
0-100
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Обыкновенные дифференциальные уравнения
-
+
+
+
+
+
+
+
+
2
Математический анализ
+
+
-
-
-
+
+
+
+
3
Динамические системы
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4
Выпускная квалификационная работа
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5. Содержание дисциплины
Тема 1. Основные понятия и определения дискретной динамики: Отображения, задаваемые разностными уравнениями. Отображения, задаваемые дифференциальными
уравнениями. Метод Эйлера. Отображение Пуанкаре.
Тема 2. Равновесные точки дискретных отображений. Паутинная диаграмма:
Линейные отображения. Неподвижные (равновесные) точки отображений. Графическое
представление итераций. Паутинная диаграмма.
Тема 3. Критерий устойчивости равновесных решений. Гиперболические и негиперболические равновесные точки: Признак гиперболичности равновесной точки. Крите-
рий устойчивости. Признак негиперболичности равновесной точки. Производная Шварца.
Критерии устойчивости негиперболических точек.
Тема 4. Циклы и их устойчивость. Бассейн аттрактора равновесной точки и цикла: Понятие о цикле в отображении. Устойчивость циклов. Виды устойчивости. Равновесная точка и цикл как аттрактор отображения. Бассейн аттрактора.
Тема 5. Теорема Шарковского. Каскад Фейгенбаума. Переход к хаотическому
движению через удвоение периода цикла: Логистическое уравнение и бифуркации. Циклы
периода 2. Циклы периода 4, 8, … . Бифуркация удвоения периода. Константа Фейгенбаума. Хаос. Теорема Ли-Йорке и теорема Шарковского.
Тема 6. Аттрактор Лоренца. Отображение Пуанкаре: Эффект бабочки. Аттрактор Лоренца как первый хаотический аттрактор реального мира. Отображение Пуанкаре.
Тема 7. Двумерные отображения. Линейные отображения на плоскости. Вычисление
An : Примеры двумерных отображений. Линейные отображения. Дифференцируе-
мость двумерных линейных отображений. Теорема о среднем значении.
Тема 8. Многомерные линейные отображения. Равновесные точки линейных систем и их устойчивость. Теорема о спектральном разложении. Вычисление орбит:
Устойчивость и неустойчивость равновесного решения. Начало координат как аттрактор и
как репеллер. Теорема о спектральном разложении. Собственные значения с модулем,
равным единице. Устойчивые и неустойчивые подпространства. Вычисление траекторий
систем.
Тема 9. Нелинейные отображения на плоскости. Устойчивость равновесных решений. Теорема Хартмана-Гробмана: Нелинейные отображения. Устойчивость равновесных точек. Функция Ляпунова. Линеаризация, теорема Хартмана-Гробмана.
Итоговая контрольная работа.
6. Планы практических занятий
1. Основные понятия и определения дискретной динамики (2 часа):
1) понятие о дискретной динамической системе;
2) примеры.
2. Равновесные точки дискретных отображений. Паутинная диаграмма (3 часа):
1) нахождение равновесных точек;
2) построение паутинной диаграммы.
3. Критерий устойчивости равновесных решений. Гиперболические и негиперболические равновесные точки (3 часа):
1) дифференцирование отображений;
2) критерий устойчивости в случае f ( x )  1 ;
3) критерий устойчивости в случае f ( x )  1 ;
4) критерий устойчивости в случае f ( x )  1 .
4. Циклы и их устойчивость. Бассейн аттрактора равновесной точки и цикла (4
часа):
1) понятие о цикле;
2) связь равновесных точек с циклами;
3) устойчивость и неустойчивость циклов;
4) цикл как аттрактор, бассейн аттрактора.
5. Теорема Шарковского. Каскад Фейгенбаума. Переход к хаотическому движению
через удвоение периода цикла (4 часа):
1) цикл периода 3, теорема Ли-Йорке, существование циклов любого периода;
2) бифуркация удвоения периода;
3) каскад Фейгенбаума;
4) теорема Шарковского.
6. Аттрактор Лоренца. Отображение Пуанкаре 2 часа):
1) модель Лоренца, хаотический аттрактор;
2) отображение Пуанкаре.
7. Двумерные отображения. Линейные отображения на плоскости. Вычисление
An (3 часа):
1) примеры двумерных отображений;
2) линейные отображения;
3) дифференцируемость двумерных линейных отображений метод;
4) теорема о среднем значении.
8. Многомерные линейные отображения. Равновесные точки линейных систем и их
устойчивость. Теорема о спектральном разложении. Вычисление орбит (8 часов):
1) устойчивость и неустойчивость равновесного решения;
2) начало координат как аттрактор и как репеллер;
3) теорема о спектральном разложении;
4) собственные значения с модулем, равным единице;
5) устойчивые и неустойчивые подпространства;
6) вычисление траекторий систем.
9. Нелинейные отображения на плоскости. Устойчивость равновесных решений.
Теорема Хартмана-Гробмана (4 часа):
1) нелинейные отображения;
2) устойчивость равновесных точек;
3) функция Ляпунова;
4) линеаризация, теорема Хартмана-Гробмана.
Итоговая контрольная работа (2 часа).
7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
7.1. Примерные задания для контрольных работ
1. Пусть f  x   3x . Найти число n  периодических точек для каждого n  6 на 0;1 .
1
1
и
. Выяснить, какому типу точек (периодических, в ко8
72
нечном счете периодических или непериодических) они принадлежат.
Определить орбиты точек
3
2. Рассмотреть функцию f  x   x 3  x . Найти неподвижные точки и 2-циклы и опре2
делить их тип, нарисовать графики f , f 2 и y  x , используя диаграммы найти бассейн
притяжения 2-цикла.
3. Пусть E  x   ex , где 0;1 . Определить точку касания  *  графиков y  E  x 
и y  x . Исследовать динамику точек в случаях   * ,   * и   * .
4. Для уравнений первого порядка с правой частью f ( x) найти неподвижные точки и
определить их тип устойчивости:
(а) f ( x)  x  x 2 ; (б) f ( x)  tgx ; (в) f ( x)  e x .
5. Исследовать семейство отображений xn1  f (  , xn ) . Определить наличие и тип бифуркации. Нарисовать бифуркационную диаграмму.
f (  , x)  e x (   0)
6. Найти общее решение и орбиту точки X 0 для линейного отображения с матрицей
M.
4
5
M 
4

5

0
 1
 , X0   
1
1

5
.
7. Найти на плоскости параметров область асимптотической устойчивости нулевого
решения уравнения
xn  2  axn  b3 xn .
7.2. Примерные вопросы к экзамену
1. Понятие о дискретной динамической системе.
2. Неподвижные точки дискретной динамической системы (одномерный случай).
3. В конечном счёте неподвижные точки и k-периодические точки. Бассейны притяжения.
4. «Период 3 рождает хаос». Теорема Шарковского.
5. Дифференцируемость и следствия.
6. Параметрические семейства функций и бифуркации.
7. Бифуркация удвоения периода.
8. Линейные двумерные отображения и дискретные системы.
9. Орбиты линейных систем. Начало координат как аттрактор и как репеллер.
10. Теорема о спектральном разложении. Случай различных действительных собственных значений.
11. Теорема о спектральном разложении. Случай кратных действительных собственных значений.
12. Теорема о спектральном разложении. Случай комплексно-сопряженных собственных значений.
13. Собственные значения с модулем, равным 1. Действие линейного отображения на
X 1 и на X 1 .
14. Собственные значения с модулем, равным 1. Действие линейного отображения на
XC .
8. Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной
работы в процессе изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» предусматри
вается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм
проведения занятий:

практические занятия в диалоговом режиме;

компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

научные дискуссии;

работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
Литература
1.
Бобровски Д. Введение в теорию динамических систем с дискретным вре-
менем. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных
исследований, 2006. – 360 с.
2.
Мачулис В.В., Орлова Е.Б. Основы дискретной динамики. Специальный
курс. Часть 1 /Учебно-методическое пособие для студентов отделения «Математика»/.
Изд. ТюмГУ, 2006. – 71 с.
3.
Elaydi S.N. Discrete Chaos with applications in science and engineering /Second
Edition/. Chapman & Hall/CRC, 2008. – 419 c.
4.
Galor O. Discrete Dynamical Systems. Springer-Verlag, 2007. – 153 c.
5.
Holmgren R.A. A first course in discrete dynamical systems /Second Edition/.
Springer Science + Business Media, LLC, 2000. – 224 c.
6.
Martelli M. Introduction to Discrete Dynamical Systems and Chaos. John Wiley
& Sons, INC., 1999. – 330 c.
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс
для самостоятельной работы.