Клестов Николай, I курс Екатеринбургский экономико-технологический колледж г. Ревда научный руководитель:

Клестов Николай, I курс
Екатеринбургский экономико-технологический колледж
г. Ревда
научный руководитель:
Митрофанова Тамара Евгеньевна
Задача 1.
Выразите высоту полета самолета в метрах, если известно, что полет
проходит на высоте 30000 футов. Считайте, что фут равен 30,5 см.
Решение:
Переведем высоту из футов в сантиметры:
30000 ∙ 30,5 = 915000 (см).
Переведем высоту из сантиметров в метры:
915000 : 100 = 9150(м).
Следовательно, полет проходит на высоте 9150 метров.
Ответ: 9150
Задача 2.
Площадь треугольника АВС равна 128. MN – средняя линия. Чему равна
площадь треугольника MBN?
Решение:
В
M
А
N
С
Вспомним, что такое средняя линия в треугольнике, и что нам это даёт.
Средняя линия в треугольнике – это отрезок соединяющий середины соседних
сторон, она параллельна третьей стороне.
Что ещё известно о ней?
Средняя линия треугольника равна половине параллельного ему основания, то
есть:
1
MN = ∙ AC
2
Так же можно добавить, что она делит высоту, проведённую к основанию
параллельному ей, на два равных отрезка.
Используем формулу:
Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты
опущенной на это основание.
В данном случае:
1
SABC = ∙ AC ∙ hAC
2
Если мы выразим площадь треугольника MBN относительно АC и hAC, то далее
без труда вычислим площадь искомого треугольника через отношение
площадей.
Выразим площадь треугольника MBN.
Высота треугольника MBN в 2 раза меньше высоты треугольника ABC, значит,
она равна: hAC /2
Как уже сказано, средняя линия в треугольнике равна половине стороны ей
параллельной, значит:
MN =
1
2
∙ AC
Таким образом:
SMBN =
1
2
∙ MN ∙
ℎ𝐴𝐶
2
1 𝐴𝐶
= ∙
2
2
∙
ℎ𝐴𝐶
2
1
= ∙ AC ∙ hAC
8
Нам не нужно находить ни длины оснований треугольников, ни высоты.
Вычислим, чему равно отношение площадей треугольников:
1
1
1
8
2
8
2
1
SABC = S1 SMBN = S2 SABC : SMBN = ∙ AC ∙ hAC : ∙ AC ∙ hAC = ∙ = 4
То есть площадь треугольника MBN меньше площади треугольника ABC в 4
раза. Таким образом:
SMBN = SABC : 4 = 128 : 4 = 32
Ответ: 32
Задачу 2 можно решить и другим способом.
Вспомнить формулу для отношения площадей подобных фигур:
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
Коэффициент пропорциональности в данном случае равен 0,5. Поэтому
площадь искомого треугольника будет равна:
SMBN = ( ½)2 ∙ SABC = SABC : 4 = 128 : 4 =32
Ответ: 32
Задача 3
Найдите ctg𝛼, если tg𝛼 =0,5
Решение:
Зная зависимость между тангенсом и котангенсом, то есть tg𝛼 ∙ ctg𝛼 = 1,
выразим ctg𝛼 через tg𝛼: ctg𝛼 = 1/ tg𝛼 , данное равенство справедливо при
𝜋
𝛼 ≠ 𝑘 , k ∈Z , следовательно ctg𝛼 = 1 : 0,5 = 2
2
Ответ: 2
Задача 4.
Решите уравнение lg x = 3
Решение:
lg x = 3, х>0. По определению десятичного логарифма: десятичным
логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg
b вместо log10 b, тогда, используя утверждение logax =b, получим:
х = 103, х = 1000
Ответ: 1000
Задача 5.
Решите неравенство 0,5х <8
Решение:
1
1
1
2
2
2
Запишем неравенство в виде: ( )х < 23 или ( )х < ( )-3
Так как y =
1
( )х
2
функция убывающая, то х < -3
Ответ: х ∈ (-3; + ∞)
Задача 6.
Найдите наибольшее значение функции: у = - х2 + 4х - 3
Решение:
1способ решения.
Проанализируем выражение -х2+4х-3. Графиком этой функции будет
парабола, ветви которой направлены вниз, а значит, максимальное значение
будет в вершине параболы.
Найдём абсциссу вершины по формуле x=-b/2а.
b=4,a=-1. x=-4/-2=2. подставим x=2 в уравнение и найдём максимум
функции y = - 22 +4∙2 -3 = -4 +8 -3 =1
Ответ: 1
2способ решения.
у/ = -2х + 4,
у/ = 0.
-2х +4 =0, -2х = -4, х = 2 – стационарная точка.
у(2) = -4 +8 -3;
у(2) = 1.
Ответ: наибольшее значение функции равно 1 при х=2.
Задача 7.
Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна12,
ширина 5, а квадрат высоты – 56.
Решение:
Диагональ прямоугольного параллелепипеда - это отрезок, соединяющий
его противоположные вершины. Итак, у нас есть прямоугольный
параллелепипед с диагональю d и со сторонами a, b, c, где a=12, b=5, c2=56.
Одно из свойств параллелепипеда гласит, что квадрат длины диагонали d равен
сумме квадратов трёх его измерений a, b, c. Отсюда вывод, что длина диагонали
может быть легко рассчитана по следующей формуле : d2 = a2+b2+c2,
d = √ a2+b2+c2
d = √122 +52 +56 = √144 + 25 +56 = √225 = 15
Ответ: 15
Задача 8.
Найдите значение выражения sin2 𝜋/6 - cos 𝜋/3 + 1
Решение:
Применяя формулу понижения степени
данное выражение примет вид:
sin2 𝜋/6 - cos 𝜋/3 + 1 =
=
3 −3 cos 𝜋/3
2
Ответ: 0,75
=
1−𝑐𝑜𝑠2𝜋/6
3− 3∙ 0,5
2
2
= 0,75
- cos 𝜋/3 + 1 =
1 − cos 𝜋/3 − 2 cos 𝜋/3 +2
2
Задача 9.
На экзамене 40 билетов. Юра не выучил 2 из них. Найдите вероятность того,
что ему попадется выученный билет.
Решение:
Общее число возможных исходов испытания n=40.
Число благоприятствующих событию А исходов m = 40 – 2 = 38, поэтому
Р (А) =
𝑚
𝑛
=
38
40
= 0,95
Ответ: 0,95
Задача 10.
Найдите область определения функции у = lg( 22х – 2 х+1).
Решение:
Областью решения логарифмической функции являются все положительные
числа, поэтому 22х – 2 х+1 > 0
Решим полученное показательное неравенство. Запишем неравенство в виде:
22х > 2 х+1 , так как 2 > 1, то функция у = 22х и у = 2 х+1 являются
возрастающими, следовательно
2х >x+1, 2x –x> 1 , x > 1
Таки образом функция у = lg( 22х – 2 х+1) определена для значений переменной
х > 1.
Ответ: ( 1; +∞)
Задача 11.
Точка К удалена от каждой из вершин квадрата ABCD на расстояние, равное 5,
а от плоскости квадрата на расстояние равное 4. Найдите площадь квадрата.
Решение:
Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием
является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.
Боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы.
Треугольник КОС прямоугольный, поэтому воспользуемся теоремой Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. ОС2 = КС2 – КО2 , ОС =
√25 – 16 = 3. По второму основному свойству квадрата: диагонали квадрата
равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят
углы квадрата пополам, имеем АС = 3∙2 = 6
Из треугольника АВС АС = √АД2 +ДС2 , но АД=ДС, значит АС = √2АД2 =
АД√2 , 6 = АД√2, откуда АД =
6
√2
По формуле площади квадрата : S = а2 находим площадь квадрата: S = (
6
√2
36
2
=18
Ответ: 18
Задача12.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
4х – (а – 1) ∙ 2х+1 +а2 – 4а + 3 = 0
имеет единственный корень.
Решение:
Преобразуем данное уравнение к следующему виду:
22х – 2∙(а – 1) ∙ 2х +а2 – 4а + 3 = 0 Сделаем замену: 2х = t
Уравнение примет вид:
t2 - 2∙(а – 1) t+а2 – 4а + 3 = 0
Находим дискриминант (Д)
Д = 4(а -1)2 - 4∙1∙( а2 – 4а + 3) = 4а2-8а+4-4а2+16а-12= 8а-8, Д > 0, значит
8а-8 ≥ 0 , а ≥ 1
1. Рассмотрим, если а =1. В этом случае уравнение имеет один корень
t=
2(𝑎−1)
2
= a – 1 = 0, подставим в замену, получим: 2х = 0, ∅
2. Рассмотрим, если а > 1. В этом случае уравнение имеет два корня:
t1,2 = (а -1) ± √(а -1)2 – (а2 – 4а + 3) = а -1 ± √а2-2а+1- а2 +4а – 3 =
= (а -1) ±√2а-2 .
Подставляем в замену и получим.
1. 2х = (а -1)−√2а-2
2х = (а -1)−√2(а-1)
2х = √(а–1) (√а-1 - √2)
√а-1 - √2 <0
√а-1 < √2
a-1<2
a < 3. a > 1,
1 <a<3
при 1 < a < 3 (а -1)−√2(а-1) < 0
2. 2х = (а -1)+ √2а-2
)2 =
+
+
2 = √(а–1) (√а-1 +√2)
Таким образом, уравнение имеет единственный корень:
х = log2(√a-1 ∙ (√a-1 +√2)).
Ответ: х = log2(√a-1 ∙ (√a-1 +√2)).
х
Список литературы
1. Алимов Ш.А, Колягин Ю.М., Алгебра и начала математического анализа,
10-11 классы. М.: Просвещение, 2013.
2. Атанасян Л.С., Геометрия, 10-11. М.: Просвещение, 2011.
3. Башмаков М. И., Математика, 10-11 классы. «Практикум по решению
задач».
4. Балаян Э.Н. Математика, Справочник для подготовки к ГИА и ЕГЭ, 2013.
5. Васильев Н.Б., Егоров А.А. Сборник подготовительных задач к
Всероссийской олимпиаде юных математиков. - М., Учпедгиз, 1963. - 53 с.
6. Горбачев Н.В. «Сборник олимпиадных задач».
7. Прасолов В.В. «Задачи по алгебре, арифметике и анализу».
8. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике.Мн.: Полымя.
9. Математика.5-9 классы. Развитие математического мышления:
олимпиады, конкурсы / авт.-сост. И.В. Фотина.- Волгоград: Учитель,
2010.-202.
10. Интернет ресурсы
Олимпиады для школьников olimpiada.ru/
Всероссийская олимпиада по математике math.rusolymp.ru/
Российская страница международного математического конкурса
"Кенгуру" mathkang.ru/
Задачная база олимпиадных задач zaba.ru
Мои отзывы
Здравствуйте!
От
души
олимпиады.
хочу
поблагодарить
уважаемых
Я второй раз принимаю участие в
организаторов
данной
олимпиаде «Познание и
творчество», решая задания, все больше убеждаюсь в том, насколько может
быть увлекательной и интересной математика. В некоторых заданиях
приходилось к решению задач применять теоремы, которые мы в школьном
курсе не проходили или проходили как-то вскользь, не уделяя должного
внимания.
Таким
образом,
данная
олимпиада
позволяет
мне
лучше
подготовиться ЕГЭ, повторить пройденный материал. Я перелистывал
учебники и дополнительную литературу, так как некоторые задачи вызывали
затруднения.
Конечно,
очень хочется стать победителем и найти интересные пути
решения заданий. Стараюся к этому стремиться. Впечатления у меня остались
самые лучшие. Задания очень разнообразные, достаточно сложные, но
интересные. Они заставляют не просто использовать полученные в школе
знания, но и рассуждать, логически мыслить, быть предельно внимательными
при чтении и выполнении заданий. Эти задания повышают мой умственный
потенциал и развивают логику и нестандартное мышление.
Уважаемы организаторы! Огромное спасибо Вам за столь интересную форму
привлечения нас (учащихся) к олимпиадам, за Ваш труд, за Ваше творчество.
Я хочу поблагодарить всех создателей этих заданий. Спасибо! Дальнейших Вам
творческих успехов.