Напряжения в грунтовых основаниях от собственного веса и от сосредоточенной силы

Лекция № 9.
Напряжения в грунтовых основаниях от собственного веса и от
сосредоточенной силы
При определении напряжений в массиве грунта используются законы
механики для упругого сплошного тела. На сколько грунты удовлетворяют
данным требованиям?
1. Доказательство применимости теории упругости к грунтам
(постулаты теории упругости).
а) Деформации пропорциональны напряжениям
Р
О
А
На отрезке ОА
практически линейная
зависимость для грунтов
(при малых изменениях Р)
Р
S
Штамп
S
б)Теория упругости рассматривает тела упругие.
Р
Sост
Sупр.
В грунтах наблюдаются большие остаточные
деформации Sост.
Но для строителей
существенно
одноразовое
загружение
основания, т.е. здесь условие упругости
применимо (а в общем случае нет).
S
в) Теория упругости рассматривает тела сплошные.
Структура
грунта
при передаче
давления
 в поре
мало
.
ср
в точках контакта
В
расчетах
допускается
частиц  - огромно использовать ср. - среднюю
величину
напряжений,
(до 200 МПа)
действующих по определенной
площадке.
В этом случае можно говорить о
«сплошности» грунтов.
г)Теория упругости рассматривает тела изотропные
(Будем считать с известными допущениями,
изотропное тело).
что
грунт
Следовательно, в расчётах механики грунтов, с учетом
отмеченных допущений, можно использовать теорию упругости.
1. Напряжения от собственного веса грунта.
0
Pб – «бытовое давление»
(природное давление)
h1
Pб
у.г.в.
1
Pб1=о1h1
Pб2=о1h1+о2 Ih2
песок
h2
Рб
2
Рб
3
Глина тв. состоян.
(скала)
о2 I – учитывают
взвешивающее действие
воды (закон Архимеда)
о2 =
I
 s  в
1 e
Pб =о1h1+о2 Ih2 +вh2
Z
3
n
Рбz =

i 1
оi
 hi
 кН 
 МН 
3
 м 2   10   м 2   МПа




2. Определение напряжений в массиве грунта от сосредоточенной
силы. (задача Буссинеска 1885 г.)
Р
Определить значения вертикальных
0
 R
Полупространс напряжений
z и касательных
тво

r M
простилающее напряжений;  zx ;  zy в точке М,
ся вниз
М1
расположенной на площадке
Z
параллельной плоскости
ограничивающий массив.

Задачу решаем в 3 этапа:
1) Определяем  R – в радиальном направлении  R (в т. М)
2) Определяем  R – в радиальном направлении (приложенном к
площадке, параллельной плоскости ограничивающей массив).
/
3) Определяем
1 этап:
 ;  zx ;  zy
z
Пусть под действием силы Р точка М – переместилась в точку М1
S – перемещение т. М
Можно записать
cos 0 = 1
Smax
R= 0
cos 90 = 0
Smin
R= 
А – коэффициент пропорциональности
cos 
S1=A
R  dR
cos 
S =A
;
R
Относительное перемещение точки:
еR =
cos 
A  cos   AR  AR  AdR 
S1  S cos   A

A
 =



dR  R  dR R 
R2
dR R 2  RdR 
dR
Согласно 1 постулата теории упругости между напряжениями и
деформациями должна быть прямая зависимость, т.е.
cos 
 R = B еR =AB R 2
АВ
В – коэффициент пропорциональности
?
R
– определяется как в сопромате («метод сечений» мысленно
разрезают
балку и оставшуюся часть уравновешивают).
Р
зз

d
R

r
R
Здесь поступаем также. Рассматриваем
полушаровое сечение и заменяем отброшенное
эп.
R
пространство напряжениями  R
Рассмотрим изменение  в пределах d
Составим уравнение равновесия на ось Z:
dF
Z
П
2
 РZ  0
Р   R c
dF  2rdR  2 R sin  Rd 
П
2
 dF  0o
0
 cos 3    2
1
 0  P  2АВ  0
P  2AB  соs  sin d  P  2АВ 
3 
3

0
2
Отсюда АВ 
3P
2
тогда
3 Р cos 

R2
 R= 2 
2 этап:
Из геометрических соотношений:
 F
 R F   R' F1
 R'  R   R cos 
F1
Р
Y

X
F
 cos 
F1
2
3
Р
сos

 R' =   2
2  R
Z
cos  
R
3 P Z2
 =   4
2  R
F
R z
R
/
R М
 ZY
 ZX
 R'

F1
'
R
Z
3 этап:

3 P Z3
Z    5
2  R

Z
 z   R'  cos  R' ; Z   R' ;
R
X
 ZX   R'  cos R' ; X    R'
;
R
 ZY


 ZX
Y
   cos  ; Y  
;
R
'
R
'
R
3 P Z2X
   5
2  R
 ZY
'
R
3 P Z 2Y
   5
2  R
2
Зная, что
r
R  Z  r  Z 1    , подставим и получим
Z
2
2
3 P  Z 3
Z 
 r 
2    Z 5 1    
  Z  
2
r
K  f 
Z
 ZX
-
опред.
5
2
;
3
 r 
2   1    
  Z  
2
по
таблице
5
2
K;
Z  K
 ZY  K 
P
Z2
P Y
Z3
;
;
P X
K 3
Z
Определение напряжений  Z в массиве грунта от действия нескольких
сосредоточенных сил.
(принцип Сен-Венана – принцип независимости действия сил)
Р1
Z
М
Р2
r1
r2
r3
Р3
 Z ( M )  К1
 Z M 
P
Р1
P
 K 2 22  K 3 32
2
Z
Z
Z
1
 2
Z
n
K P
i 1
i
i
r
K=f  
Z