170 Самых сложных в мире головоломокx

170 Самых сложных в мире головоломок
Набранные задачи
28.08.2012
Оглавление
77. ........................................................................................................................................................................................ 3
78. ........................................................................................................................................................................................ 3
79. ........................................................................................................................................................................................ 3
81. ........................................................................................................................................................................................ 3
82. Комбинаторика. ........................................................................................................................................................... 4
92. ........................................................................................................................................................................................ 4
93. ........................................................................................................................................................................................ 4
94. ........................................................................................................................................................................................ 4
95. Для кинематики ........................................................................................................................................................... 4
96. Качественная задача .................................................................................................................................................... 5
102. ...................................................................................................................................................................................... 5
103. Для кинематики ......................................................................................................................................................... 5
110. ...................................................................................................................................................................................... 6
119. ...................................................................................................................................................................................... 6
122. Ответ – в следующем номере ................................................................................................................................... 6
129. ...................................................................................................................................................................................... 7
77.
Если некоторые Бипы – это Плипы, а некоторые Плипы – это Зипы, то «некоторые Блипы – это Зипы».
А) Это утверждение истинно
Б) Это утверждение ложно
В) Истинность или ложность утверждения определить невозможно
Ответ: В. Переведите выражение в некие понятные вам термины. К примеру, пусть Блипы будут
учениками, Плипы – Учителями, Зипы – Актёрами. В результате выражение «Некоторые ученики Актёры» не ложно не истинно.
78.
Мэтт занимает 50-е место среди самых быстрых и 50-е место среди самых медленных бегунов в своей
школе. Сколько бегунов в школе, где учится Мэтт, при условии, что все они бегают с разной
скоростью?
Ответ: 99.
Эта головоломка заставляет задуматься. Если Мэтт пятидесятый среди самых быстрых бегунов, то он
должен быть номером 50 в последовательности 1, 2, 3, …, 50. Чтобы быть пятидесятым среди самых
медленных, он должен быть номером 50 в последовательности 50, 51, 52, …, 99, в силу того, что от 50
до 99 включительно имеется 50 номеров.
79.
Питер ростом выше Нэнси, а Дэн – ниже Питера. Истинность какого из приведённых ниже
утверждений может быть доказана:
А) Дэн выше Нэнси
Б) Дэн ниже Нэнси
В) Дэн того – же роста, что и Нэнси
Г) Истинность ни одного из приведённых выше утверждений доказать невозможно
Ответ: Г.
Запишем условия задачи так: П > Н и Д < П. Это то же самое, что П > Н и П > Д. Определить
соотношение переменных Д и Н невозможно.
81.
Два бегуна начинают бег из одной точки, но в противоположных направлениях. Каждый пробегает 3
мили по прямой, затем делает правый поворот и бежит по прямой ещё 4 мили. Какое расстояние в
милях будет разделять их в этот момент?
Ответ: 10 миль
Чтобы представить ситуацию наглядно, начертим схему:
82. Комбинаторика.
Сколько существует вариантов рассадки четырёх гостей за столиком для четверых так, чтобы два
человека сидели против двух других?
Ответ: 24.
92.
3457 – это одно из чисел, состоящих из увеличивающихся слева направо цифр и расположенных
между 3000 и 4000. Сколько разных чисел, состоящих из увеличивающихся слева направо цифр,
находится в промежутке между 4000 и 5000?
Ответ: 10.
Начнём с самого малого числа: 4567. Следующим будет 4568, далее – 4569, 4578, 4579, 4589, 4678,
4679, 4689, 4789. И того – 10 чисел.
93.
Каким числом продолжить такую последовательность чисел: 125, 64, 27, 8?
Ответ: 1.
Входящие в последовательность числа представляют собой возведённые в куб целые числа, т.е.:
125 = 53 , 64 = 43 , 27 = 33 , 8 = 22 . Таким образом, следующим числом в последовательности должна
быть 1.
94.
Джону 10 лет, его мать вчетверо старше него. Сколько лет будет матери, когда Джону исполнится 15?
(Предполагается, что она в тот момент будет ещё жива).
Ответ: 45.
Если Джону 10 лет, то его матери – 40. Когда Джону будет 15, он будет на 5 лет старше.
Соответственно, его мать тоже будет на 5 лет старше, и её будет 45 лет.
95. Для кинематики
Автомобиль проезжает 2 километра в гору, затем резко разворачивается и проезжает ту же дистанцию
под гору.
Средняя скорость автомобиля за всё путешествие составляет 40 км/ч. За какое суммарное время в
минутах автомобиль проделал путь в оба конца, в гору и с горы?
Ответ: 6 минут
96. Качественная задача
Допустим, человек находится в лифте, у которого на 39-м этаже отеля оборвался трос. Помощи извне
получить нет возможности. Что можно сделать, чтобы спастись?
А) Подпрыгнуть прямо перед тем, как кабина лифта ударится о землю.
Б) Ухватиться за что-нибудь и стоять без движения.
В) Распластаться по полу кабины.
Г) Невозможно ничего сделать.
Ответ: Г.
В силу того, что скорость лифта в момент удара о землю почти мгновенно изменится с очень
большого значения до нуля, на пассажира будет воздействовать гигантская сила (по законам физики,
сила пропорциональна ускорению).
Подпрыгнуть невозможно, потому что для этого нужно, оттолкнувшись от дна лифта, развить
скорость, равную или превосходящую скорость лифта, а для этого потребуется гигантская сила,
которой человек не обладает.
102.
Мэри должна подниматься в 7 часов утра, чтобы вовремя попасть на работу. Её будильник за 3 дня
убегает вперёд на 9 минут. В какое время сработает будильник во вторник утром, если она установит
на нём правильное время в 11 вечера в воскресенье?
Ответ: в 7 часов 4 минуты утра.
Часы убегают вперёд на 3 минуты ежедневно, или на 1 минуту каждые 8 часов. Между 11 часами
воскресного вечера и 7 часами утра во вторник пройдёт 24+8 часов. Следовательно, часы уйдут вперёд
на 4 минуты.
103. Для кинематики
Фил отправился в путешествие длиной в 100 миль. Если первые 50 миль он преодолевает со средней
скоростью 25 миль в час, с какой средней скоростью он должен проехать остальные 50 миль, чтобы
его средняя скорость на всей дистанции составила 50 миль в час?
Ответ:
Средняя скорость – это полная дистанция, поделённая на полное время. Если Фил прошёл 50 миль со
средней скоростью 25 миль в час, то на преодоление этого пути он затратил: 50 миль/25 миль в час = 2
часа.
Если средняя скорость Фила должна быть 50 миль в час, то путь в 100 миль он должен преодолеть за:
100 миль/50 миль в час = 2 часа.
Таким образом, на преодоление второй части пути в 50 миль времени уже не остаётся и Фил должен
двигаться с бесконечно большой скоростью, что невозможно.
110.
Дана последовательность следующего вида: (1), (2,3), (4,5,6), (7,8,9,10),(11,12,13,14,15)… где (1) –
первый элемент последовательности, (2,3) – второй, и так далее. Каким будет первое число сотого
элемента последовательности?
Ответ: 4951
Задача легко решается, если обратить внимание на два обстоятельства:
1. Номер элемента равен количеству чисел в этом элементе. Первый элемент состоит из одного
числа, второй – из двух и т.д.
2. Каждый элемент последовательности заканчивается числом, равным общему количеству чисел,
использованному в этом и всех предыдущих элементах. Например: третий элемент (4,5,6)
заканчивается числом 6, что равно общему количеству чисел, использованных в первом,
втором и третьем элементах: (1)(2,3)(4,5,6).
Таким образом, элемент с номером (n – 1) заканчивается числом: 1+2+3+…+(n – 1). При этом, если N
– число, которым начинается n-ный элемент, тогда:
N = 1 + (1+2+3+4+…+(n – 1))
Сумма в скобках как раз показывает общее количество чисел в элементах, стоящих до n-ного.
Нетрудно видеть, что это – арифметическая прогрессия, сумма которой равна:
𝑆𝑛−1 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛−1 )
∗ (𝑛 − 1)
2
В нашем случае a1=1, а(n – 1) = (n – 1). А значит:
𝑁 = 1 + 𝑆𝑛−1 = 1 +
(1 + 𝑛 − 1)
𝑛(𝑛 − 1) 2 + 𝑛(𝑛 − 1)
∗ (𝑛 − 1) = 1 +
=
2
2
2
При n=100, N=4951.
119.
Найдите четырёхзначное число, в котором первая цифра составляет одну треть от второй, третья
является суммой первой и второй, а последняя – в три раза больше второй.
Ответ: 1349
Пусть искомое четырёхзначное число состоит из цифр abcd. Тогда: a=1/3b, c=a+b, d=3b.
Отсюда имеем: b=3a, d=3b=9a, а значит a=1, d=9, поскольку d – цифра. Далее b=d/3=3, c=a+b=4.
122. Ответ – в следующем номере
Если сложить возраст мужчины с возрастом его жены, получится 91.
В настоящий момент его возраст вдвое превышает возраст жены, когда ему было столько же лет,
сколько ей сейчас.
Сколько лет мужу и сколько лет его жене?
Ответ: М=52, Ж=39.
Пусть М и Ж – возраст мужи и жены сейчас, м и ж – возраст мужа и жены, когда мужу было столько
лет, сколько жене сейчас. Имеем:
М+Ж=91
м=Ж, М=2ж
М-Ж=м-ж
М-Ж=Ж-М/2,
3М=4Ж
М+Ж=91
129.
В автобус умещается x пассажиров. Автобус был заполнен наполовину, а потом y пассажиров вышли
на остановке. Сколько пассажиров теперь могут войти в автобус?
Ответ: x/2+y
Возможно, вы пришли к выводу x/2-y, но этой формулой описывается количество людей, оставшихся
в автобусе!