Вариант 2 - Зубутли

Кизилюртовского рйона РД
МКОУ «Зубутли – Миатлинская СОШ»
ПРОГРАММА
ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
(Элективный курс «Решение задач с параметрами» предназначен для
учащихся 10 класса и рассчитан на 34 часа, 1 час в неделю в течение
учебного года)
Составитель учебной программы
Гасанова Рисалат Пайзудиновна,
учитель математики.
1
Пояснительная записка
Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена
Правительством России в «Концепции модернизации российского образования
на период до 2010 г.», где ставится задача создания специализированной
подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной
школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию
обучающихся.
В процессе изучения данного элективного курса старшеклассник познакомится с
различными методами решения задач с параметрами. Задачи с параметрами,
как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский
характер. В школьных учебниках по математике таких задач недостаточно.
Практика итоговых экзаменов в школе и приемных экзаменов в высшие учебные
заведения показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся
наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому
умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любое
высшее учебное заведение. Старшеклассники, изучившие данный материал,
смогут реализовать полученные знания и умения на итоговой аттестации в
форме ЕГЭ. Освоив методы и приемы решения задач с параметрами, школьники
успешно справятся с олимпиадными задачами. Именно поэтому я считаю
выбранную мной тему элективного курса одной из наиболее актуальных и
значимых на сегодняшний день. В связи с этим и создаётся эта авторская
программа элективного курса по математике.
Элективный курс «Решение задач с параметрами» направлен на удовлетворение
индивидуальных образовательных интересов, потребностей и способностей
учащихся, их профессиональных интересов и углубление знаний по данной
теме.
Курс ориентирован на категорию учащихся, обладающих достаточной
математической подготовкой, проявляющих интерес к изучаемому предмету,
имеющих дальнейшей целью поступление в вуз. Программа также может быть
использована при подготовке к олимпиадам, математическим конкурсам, к ЕГЭ.
Цель курса:
 углубленное (расширенное, по сравнению с базовой программой по
математике), профильное обучение раздела «Задачи с параметрами»;
2
 подготовка к ЕГЭ по курсу «Математика»;
 создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной
деятельности.
Задачи курса:
 сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами как
задачах исследовательского характера, показать их многообразие;
 научить применять аналитический метод в решении задач с параметрами;
 научить приемам выполнения изображений на плоскости и их
использованию в решении задач с параметрами;
 научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и
обосновывать сделанный выбор;
 способствовать подготовке к поступлению в вуз и продолжению
образования;
 обеспечить подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы
будущей
профессиональной
деятельности,
требующей
высокой
математической культуры.
Формы проведения занятий:






объяснение,
лекция,
беседа,
устные и письменные упражнения,
выполнение тренировочных заданий,
выполнение творческих заданий.
Содержание программы элективного курса включает три части —
теоретическую, практическую и проектную.
В теоретическом
разделе
курса
рассматриваются
уравнения
и
неравенства
с
параметрами и способы
их решения. Учащиеся
получают сведения о
классификации задач в
математике и рациональных путях поиска
их решения.
Практическая
часть
программы включает задачи
различного уровня сложности
для закрепления и контроля
усвоенного материала. Эти
задачи предназначены для
индивидуальной,
парной,
групповой и коллективной
форм
работы.
Большое
внимание в курсе уделяется
формированию у учащихся
умения
конструировать
задания.
При выполнении
проектных
заданий
учащиеся
должны
показать свои умения в
составлении
и
представлении (защита
с
помощью
презентации)
сообщений, рефератов.
3
Для реализации цели и задач курса в процессе работы используются
технологии, включающие школьников в активную учебно-познавательную
деятельность:
 информационно-коммуникационные технологии;
 личностно-ориентированные педагогические технологии;
 индивидуализированное и дифференцированное обучение, групповые и
индивидуальные формы.
Учебно-тематический план
«Решение задач с параметрами».
№
тем
Тема занятия
ы
Кол.
Формы проведения
часов
1
Знакомство с параметрами. Решение
линейных уравнений с параметром.
2
лекция,
практикум
2
Квадратный трехчлен и его свойства.
Понятие об уравнении с параметром.
2
практикум
3
Теорема Виета. Знаки корней
квадратного трехчлена.
2
семинар
4
Соотношения на корни квадратного
трехчлена.
2
практикум
5
Расположение параболы относительно
оси абсцисс.
Расположение корней квадратного
трехчлена.
Графические приемы решения
квадратных уравнений и неравенств с
параметром.
Решение дробно - рациональных
уравнений с параметром.
Тригонометрические уравнения с
параметром.
Тригонометрические неравенства с
параметрами.
2
мозговой штурм
2
практикум
2
лекция,
практикум
4
лекция,
практикум
4
лекция,
практикум
2
лекция,
практикум
Параметр в заданиях единого
государственного экзамена.
6
семинар
практикум
6
7
8
9
10
11
4
12
Зачёт.
2
письменная работа
13
Конференция.
2
защита рефератов
Итого часов:
34
Содержание курса
Тема 1. Знакомство с параметрами. Решение линейных уравнений с
параметром.
Первое занятие предполагает актуализацию известных фактов. Здесь, помимо
знакомства с основными теоретическими положениями, ведётся разговор о
возможностях применения знаний из данной темы. Прогнозируется форма
отчёта по изучению курса, намечаются темы будущих рефератов.
Понятие параметра. Что значит решить уравнение с параметром? Примеры
решения линейных уравнений с параметром.
Тема 2. Квадратный трехчлен и его свойства. Понятие об уравнении с
параметром.
Понятие квадратного трехчлена. Общие сведения. Значение квадратного
трехчлена при различных значениях переменной. Корни квадратного трехчлена.
Составление квадратного трехчлена по его корням. Определение квадратного
уравнения. Решение уравнений выделением квадрата двучлена. Решение
квадратных уравнений по формуле.
Тема 3. Теорема Виета. Знаки корней квадратного уравнения.
Формулировка теоремы Виета. Примеры применения теоремы Виета и теоремы,
обратной теореме Виета. Определение знаков корней квадратного уравнения в
зависимости от значений параметра.
Тема 4. Соотношения на корни квадратного трехчлена.
Теорема Виета, определение знаков корней квадратного трехчлена. Решение
задач на соотношения между корнями квадратного уравнения.
Тема 5. Расположение параболы относительно оси абсцисс.
Рассмотрение возможных случаев расположения параболы относительно оси
абсцисс. Графическое представление при решении задач.
Тема 6. Расположение корней квадратного трехчлена.
5
Рассмотрение условий, определяющих расположение корней квадратного
уравнения.
Тема 7. Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с
параметром.
Решение задач с параметрами с использованием изображения на плоскости
(х;а), где а- параметр. Решение задач с параметрами с использованием
изображения на плоскости (х;у). Решение задач с параметром разными методами.
Решение задач с параметрами на расположение корней квадратного трехчлена
относительно точки, отрезка.
Тема 8. Решение дробно – рациональных уравнений с параметром
Примеры решения дробно – рациональных уравнений с параметром, сводящиеся
к линейным или квадратным уравнениям. Исключение посторонних корней, т. е.
чисел, которые обращают знаменатель в нуль. Нахождение значения параметра,
обращающего знаменатель в нуль, т. е. решение соответствующего уравнения
относительно параметра.
Тема 9. Решение тригонометрических уравнений с параметром
Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с
параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тема 10. Тригонометрические неравенства с параметром.
Примеры решения тригонометрических неравенств с параметром. Алгоритм
решения неравенств. Решение стандартных тригонометрических неравенств,
простейших неравенств с параметрами. Область значений тригонометрических
функций. Исследование полученного ответа. Обработка результатов,
полученных при решении.
Тема 11. Параметр в заданиях единого государственного экзамена (3 часа).
Рассмотрение заданий ЕГЭ, включающих решение уравнений и неравенств с
параметром за предыдущие годы и ДЕМО версия 2010-2011 учебного года.
Ожидаемый результат изучения курса:
 умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее
использовать при выполнении заданий;
 приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути
решения задачи;
 практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать
мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей
(при условии коллективной формы организации обучения).
6
Примерные темы рефератов:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Уравнения с параметром в заданиях ЕГЭ.
Неравенства с параметром в заданиях ЕГЭ.
Решение квадратичных уравнений и неравенств в заданиях ЕГЭ.
Уравнения с параметром в заданиях ГИА.
Неравенства с параметром в заданиях ГИА.
Решение квадратичных уравнений и неравенств в заданиях ГИА.
Из истории возникновения параметра.
Контроль знаний состоит из двух частей: зачета и защиты рефератов.
Зачёт предполагает решение определённого количества задач, предложенного
учителем в соответствии с уровнем учебной цели учащихся.
Литература
1. Алгебра: Учебное пособие для учащихся 9 класса с углубленным
изучением математики [Текст] / Н.Я. Виленкин, Т.С. Сурвилло, А.С.
Симонов, А.И. Кудрявцев; Под редакцией Н.Я. Виленкина. – М.:
Просвещение, 2001. – 384 c.
2. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]/ П.И. Горнштейн. – Киев:
РИА «Текст»; МП «Око», 1992. – 290 с.
3. Крамор, В.С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: Пособие для
поступающих в вузы / В.С. Крамор. – М.: АРКТИ, 2000. – 342 с.
7
4. Кузовлев, А. Расположение корней квадратного трехчлена при решении
задач с параметрами [Текст] / А. Кузовлев //Математика.– 2004. - №34. – С.
19-27.
5. Корешкова ТА., Глазков Ю.А., Мирошин В.В. и др. Математика: Типовые
тестовые задания. М., 2005.
6. Локоть В. В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения,
неравенства, системы. «Аркти», М., 2005
7. Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
8. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение
задач[Текст]: Учебное пособие для 10 кл. средней школы / И.Ф. Шарыгин.
– М.: Просвещение, 1989. – 252 с.
.
8
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Дидактические материалы для учащихся
Практическая работа 1
1. Сколько различных корней имеет уравнение 2х2(x + 1) = kx
в зависимости от значения параметра k?
2. Сколько различных корней имеет уравнение (х + 3)(х +1)(х - 2) = k(х +1)
в зависимости от значений параметра k?
3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
x 2  2x  1
a
x 2  2x  2
имеет хотя бы одно решение.
4. Для каждого значения параметра а найдите число корней уравнения
2(4х - 1)а2 - (14х -11)а + 5(х - 1) = 0 .
Практическая работа 2
1. Для каждого значения параметра а решите систему
x  8 y  3
уравнений: 2 x  y  a
5 x  16 y  a 2  6a

2. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
(5a 2  27a) x  16 y  5a 2  32a  6
имеет не менее восьми решений.

5 x  8 y  3  0
3. Найдите все значения параметра а, при которых
система уравнений
x  2 y  5
 2
2
2
 x  4 xy  4 y  18ax  36ay  85a  20a  25  0
имеет единственное решение.
Практическая работа 3
1. Найдите все значения параметра а, при которых решением неравенства
x 2  5x  6
 0 является объединение двух непересекающихся интервалов.
x 2  (a  1) x  a
5
 4a .
2. При любом значении параметра а решите неравенство
x  4a
1
3
 .
3. При любом значении параметра а решите неравенство
ax  a 4
9
Практическая работа 4
1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
3ax  5a = 3x  5 имеет только одно решение.
2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
(ax 2  (a 2  12) x  12a) x  5 =0 имеет только два решения.
3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение x 2  8x -x=
a
2
имеет единственное решение.
4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
5x 2  6ax  27a 2 = х + За имеет только два решения.
Практическая работа 5
1. Найдите все значения параметра а, при которых множеством всех решений
неравенства ( x  a  4 ) x  3a  2  0 является отрезок длины a .
2. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
3a 2  x 2  x  a имеет единственное решение.
3. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
(х - а - 4) x  4a  0 имеет единственное решение.
4. Найдите все значения параметра а , при которых решением неравенства
(x+a+2) x  a  1  0 является отрезок.
Приложение 2
Примерные задания для итогового занятия
1. Решите уравнение:
b  5 7  3b
2bx  5

 2
;
x 1 x  2
x x2
2. Решите уравнение:
m
1
m 1

;
m m( x  1)
3. При каких значениях а корни уравнения
х2 + (а3 – 4а + 1)х + а4 – 7а – 14 = 0 равны 3 и -4?
4. Дано квадратное уравнение: (а – 1)х2 – (2а – 1)х + а + 5 = 0. При каких а
это уравнение имеет действительные корни? Исследовать знаки корней.
5. При каких значениях k уравнение (k – 2)x2 – 2(k + 3)x + 4k = 0 имеет
один корень больше 3, а другой меньше 2?
6. При каких действительных значениях k оба корня уравнения
(1 + k)x2 – 3kx + 4k = 0 больше 1?
10
Приложение 3
Тестовые задания для учащихся
ТЕСТ 1
Вариант I.
1.Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.
а) при k=-2 корней нет; при k =-2 ;
б) при k -2 корней нет; при k=-2 ;
в) при k=-2 корней нет; при k =-2 и k =0,25 .
2.Решите уравнение 2а( а - 2)х = а2 – 5а+6 относительно х
а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 ;
б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 ;
в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 .
3.При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное
решение.
а) b<1 ;
б) b>1 ;
в) b=1
4.При каких значениях а парабола у = ах2 – 2х +25 касается оси х?
а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.
5.При каких значениях k уравнение (k - 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет
единственное решение?
а) k=-5, k= -2 ; б) k=5
; в) k=5, k= 2 .
Вариант II.
1.Решите уравнение 2х( а+1)= 3а(х+1)+7 относительно х.
а) при а=-2 корней нет; при а -2 ;
б) при а -2 корней нет; при а=-2 ;
в) при а -2 и а - корней нет; при а=-2 .
2.Решите уравнение (а 2 - 81)х = а2 + 7а - 18 относительно х
а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а -9 и а 9 ;
б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а -9 и а 9 ;
в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а -9 ;
3.При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет отрицательное
решение?
а) b<3 ;
б) b<2 ;
в) b>3
4.При каких значениях k уравнение kx2 – (k - 7)x + 9 =0 имеет два равных
положительных корня?
а) k=49, k= 1; б) k=1; в) k=49 .
5.При каких значениях а уравнение ax2 - 6x+а = 0 имеет два различных
корня?
а) а ( - 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а ( - 3 ; 3) ; в) с ( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)
11
ТЕСТ 2
Вариант I.
1.Решите уравнение 3 cos x = 4b + 1 для всех значений параметра.
а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos ; при b (-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;
б) при b [ -1; 0,5 ] х = ± arcos ; при b (-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;
в) b (-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos ; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;
2.Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение
sin2 x – 3sin x + a =0.
а) a [ -4; 2 ]
; б) а ( -4 ; 2) ;
в) а [ - 4; 2 ).
3.При каких значениях а уравнение cos4 x + sin4 x = a имеет корни?
а) a [ 0,5; 1 ]
; б) а [ -1 ; 0,5 ] ;
в) а [ - 0,5; 1 ).
Вариант II.
1.Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.
а) при |b| ≤ 1 х = ; при |b| > 1 реш.нет;
б) при |b| ≤ 1 и b=0 х = ; при |b| > 1 реш.нет;
в) при |b| > 1 х = ; при |b| < 1 реш.нет;
2.Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение
cos2 x + asin x =2 a -7.
а) a ( 2 ; 6 )
; б) а ( 2 ; 4 ] ;
в) а [ 2 ; 6 ].
3.При каких значениях а уравнение cos6 x + sin6 x = a имеет корни?
а) a [ 0,25; 0,5 ]
; б) а [ 0,25 ; 1 ] ;
в) а [ - 0,25; 1 ].
12
Приложение 4
Тест по теме «Уравнения с параметрами»
Вариант 1
1. Решите уравнение mx  2  1 относительно х.
3
а)
x   , при m  0.
m
б)
1) при m = 0 корней нет;
1
2) при m  0 x  ;
m
в)
1) при m = 0 корней нет;
3
2) при m  0 x   .
m
2. Решите уравнение 2a(a  2) x  a 2  5a  6 относительно х.
а)
1) при a  2 x  R ;
2) при a  0 корней нет;
(a  3)( a  2)
3) при a  0 и a  2
x
2a (a  3)
б)
1) при a  2 x  R ;
2) при a  0 корней нет;
a 3
3) при a  0 и a  2
x
2a
в)
1) при a  2 x  R ;
2) при a  0 корней нет;
3) при a  3 и a  0 ;
a 3
4) при a  2, a  0, a  3
x
2a
3. При каких значениях b уравнение 1  2 x  bx  4  x имеет отрицательное
решение?
а) при b < 1;
б) при b > 1;
в) при b < –2.
4. При каких значениях а произведение корней уравнения x 2  4 x  a 2  3a  2  0
равно нулю?
а) при a  1, a  2 ;
б) при a  1, a  2 ;
в) при a  2, a  4 .
5. При каком значении b сумма квадратов корней уравнения
x 2  (b  2) x  b  3  0 принимает наименьшее значение?
а) таких значений нет;
13
б) при b  9 ;
в) при b  1 .
Вариант 2
1. Решите уравнение nx  7  3 относительно х.
а)
1) при n = 0 корней нет;
10
2) n  0 x   ;
n
б)
1) при n = 0 корней нет;
4
2) n  0 x  ;
n
4
в)
x
n
2. Решите уравнение (a 2  81) x  a 2  7a  18 относительно х.
а)
1) при a  9 x  R ;
2) при a  9 корней нет;
a2
3) при a  9 и a  9 x 
a9
б)
1) при a  9 x  R ;
2) при a  9 x  R ;
a2
3) при a  9 и a  9 x 
a9
в)
1) при a  9 корней нет;
2) при a  9 x  R ;
3) при a  2 x  0 ;
a2
4) при a  9, a  9, a  2 x 
.
a9
3. При каких значениях b уравнение 2  4 x  bx  3  x имеет отрицательное
решение?
а) при b < 3;
б) при b < 2;
в) при b > 3.
4. При каких значениях а произведение корней уравнения
x 2  7 x  3a 2  8a  6  0 равно 1?
а) при a  3, a  5 ;
2
б) при a  1, a  1 ;
3
2
в) при a  1, a  1 .
3
5. При каком значении b сумма квадратов корней уравнения
x 2  (b  4) x  b  2  0 принимает наименьшее значение?
а) при b  1;
б) при b  3 ;
в) при b  3 .
14