Об ИСПОЛЬЗОВАНИи ИНТЕРАКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ИНТЕРАКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
GEOGEBRA
ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ»
Ковригина Светлана Евгеньевна, магистрант
Казанский (Приволжский) федеральный университет
[email protected]
Разумова Ольга Викторовна,
к.п.н., доцент кафедры теории и технологий
преподавания математики и информатики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
[email protected]
В современном мире учебный процесс, будь то в общеобразовательной школе, либо в
высшем учебном заведении, немыслим без широкого использования средств информационных
технологий. Одним из наиболее перспективных направлений в технологиях обучения математике
является внедрение и развитие интерактивных геометрических сред, и как следствие, выявление
эффективных путей их использования в образовательном процессе.
В мире созданы и успешно развиваются достаточно много программ динамической
геометрии – интерактивные геометрические среды, которые представляют собой программное
обеспечение, позволяющее выполнять геометрические построения на компьютере таким образом,
что при изменении одного из геометрических объектов чертежа остальные также изменяются,
сохраняя заданные отношения неизменными. Программы динамической геометрии позволяют
создавать высококачественные чертежи. Воспользовавшись анимацией, глядя на изменяющийся
чертеж, можно совместно с обучаемыми устанавливать, открывать заново те или иные свойства
рассматриваемой фигуры.
В настоящее время существует несколько десятков вариантов программного обеспечения
для поддержки курса динамической геометрии. Особенно выделяются немецкие программы
Cinderella и Zirkel und Linean, а также австрийская программа GeoGebra, доступна для платформ
Windows, Linux и MacOS.
GeoGebra – это программное обеспечение, которое объединяет и связывает между собой
геометрическое, алгебраическое и табличное представления, являющиеся тремя важными
представлениями математических понятий, благодаря своей динамической структуре. Здесь
можно создавать конструкции с точками, векторами, линиями, коническими сечениями, а также
математическими функциями, а затем динамически изменять их, строить анимации. GeoGebra
позволяет напрямую вводить уравнения и манипулировать координатами. Таким образом, можно
наглядно составлять графики функций, работать со слайдерами для подбора параметров.
Решенные с помощью данного программного обеспечения задачи легко просматриваются в
режиме презентации. Созданный файл можно экспортировать как интерактивный чертеж в
формате Web-страницы (для ее корректного отображения следует предварительно установить Java
Runtime Enviroment) [1].
Авторами статьи было организовано опытное преподавание дисциплины «Элементарная
математика» средствами геометрической системы GeoGebra, в частности курса «Геометрические
построения на плоскости» среди студентов 4 курса Института математики и механики им. Н.И.
Лобачевского
Казанского
(Приволжского)
федерального
университета.
Основными
развивающими целями явились: 1) повышение уровня математической подготовки студентов, а
именно развитие логического, эвристического, алгоритмического, пространственного мышления;
2) личностное развитие, выраженное в выработке навыков самоконтроля, рефлексии, изменения
роли в учебном процессе от пассивного наблюдателя до активного исследователя.
В рамках опытно-экспериментальной работы студенты получили исследовательские
задания [2]. В качестве примера приведем некоторые из них:
1. Найти множество точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под углом  , где
  90°,   180°.
2.
Найти
множество
точек,
делящих
всевозможные
хорды
окружности
(О,
ОА),
проведенные
через
точку
А
окружности,
в
одном
и
том
же отношении  , где  > 0.
3. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов
расстояний от двух данных точек А и В постоянна.
4. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний
до двух данных точек А и В равна а2.
5. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до
двух данных точек А и В постоянно и отлично от единицы.
Решение каждого задания должно сопровождаться поэтапным чертежом, выполненным в
программе GeoGebra.
Остановимся более подробно на решении нескольких примеров из курса «Геометрические
построения на плоскости», иллюстрирующих средства программного обеспечения GeoGebra.
Пример 1.
Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
Решение.
Пусть окружность с центром О проходит через данные точки А и В. Поскольку ОА = ОВ
(как радиусы одной окружности), точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
Обратно, каждая точка О, лежащая на серединном перпендикуляре к АВ, равноудалена от точек А
и В.
Шаги создания чертежа в GeoGebra:
1.
С помощью инструмента «отрезок по двум точкам» (на панели инструментов),
строим отрезок АВ произвольной длины.
2.
Строим окружность с с центром в точке О, проходящую через концы отрезка АВ (с
помощью инструмента «окружность по центру и точке»).
3.
Строим окружность d с центром О1, проходящую через концы отрезка АВ и
пересекающую окружность с (инструмент «окружность по центру и двум точкам»).
4.
С помощью инструмента «отрезок по двум точкам» соединяем попарно точки О и
О1, точки О и А, точки А и О1, точки О1 и В, точки В и О.
Из чертежа видно, что ОА = ОВ – как радиусы окружности с, О1А=О1В – радиусы
окружности d. Точка О лежит на серединном перпендикуляре к АВ, так как равноудалена от
концов этого отрезка (для О1 – аналогично).
С помощью инструмента «надпись» можно внести пояснения к чертежу или сделать
подпись (рис. 1). Полученный рисунок легко импортировать в любой графический редактор.
Рис. 1
Пример 2.
Даны окружность S и точка M вне ее. Через точку M проводятся все возможные
окружности S1, пересекающие окружность S. Х – точка пересечения касательной в точке M к
окружности S1 с продолжением общей хорды окружностей S и S1. Найдите геометрическое место
точки Х.
Решение.
Пусть А и В – точки пересечения окружностей S и S1. Тогда XM  XM = XA, XB = XO  XO R  R, где O и R соответственно центр и радиус окружности S. Поэтому XO  XO - XM  XM = R  R, а
значит, точка X лежит на перпендикуляре к прямой OM.
Шаги создания чертежа в GeoGebra:
1.
С помощью инструмента «окружность по центру и точке на ней» строим
окружность S с центром O.
2.
Окружность S1 с центром O1, строим аналогично и таким образом, чтобы она
пересекала окружность S.
3.
Отметим точку А и точку В на пересечении окружностей (инструмент
«пересечение» или «точка»).
4.
Проведем касательную к окружности S1 (инструмент «касательная»), отметим
точку касания М (инструмент «точка»).
5.
С помощью инструмента «луч по двум точкам» проведем общую хорду.
6.
Отметим точку пересечения хорды и касательной, точка Х (инструмент
«пересечение» или «точка»).
7.
Выделим треугольники АХМ и ОХВ (инструмент «многоугольник»).
8.
Проведем прямую ОМ (инструмент «луч по двум точкам»).
9.
Опустим перпендикуляр из точки Х на OM (инструмент «перпендикулярная
прямая»).
В результате соответствующих построений в GeoGebra (рис. 2) получаем следующий
рисунок (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Таким образом, использование графических средств программного обеспечения GeoGebra
в учебном процессе позволяет повысить уровень развития элементарной и функциональной
математической грамотности обучающихся.
Список литературы:
1. Зиатдинов Р.А. О возможностях использования интерактивной геометрической среды
GeoGebra 3.0 в учебном процессе // Материалы 10-й Международной конференции «Системы
компьютерной математики и их приложения». – Смоленск, 2009.
2. Горохов Д.Н., Разумова О.В. Планиметрические задачи на построение. Методическое пособие.
– Казань: КГПУ, 2004.