Document 1017676

ГУ-ВШЭ 2008-2009 уч.г.
5 модуль
Домашнее задание по микроэкономике для всех групп
Во всех задачах требуется искать равновесия только при положительных ценах
Задача 1. (1 балл)
Рассмотрите экономику обмена с двумя потребителями (А и В) и двумя потребительскими товарами ( x и
y ). Функции полезности агентов имеют вид u A ( x , y )  x 2  y 2 и u B ( x , y )  x  y , и каждый
потребитель обладает единицей каждого товара.
(а) Является ли точка первоначальных запасов Парето оптимальным распределением?
(б) Является ли точка первоначальных запасов равновесием?
Решение:
(а) Точка первоначального запаса не является Парето оптимальным распределением.
Пример
Парето
улучшения:
( x
A

, y A ), ( x B , y B )  0,2, 2,0
допустимо;
u A ( x A , y A )  4  u A ( x ,  y )  2 , u B ( x B , y B )  2  u B ( x ,  y ) . (0.25 б)
A
A
B
B
Графическая иллюстрация. (0.25 б)
(б) Точка первоначальных запасов не является равновесием. Любой способ (0.5 б)
1 способ: Поскольку предпочтения агентов строго монотонны, то должна выполняться первая теорема
благосостояния. Поскольку точка начальных запасов не является Парето оптимальной, то,
следовательно, по первой теореме благосостояния она не может быть равновесной.
2 способ. Точка начального запаса является внутренней для агента А. В силу его предпочтений данный
агент ни при каких ценах не будет выбирать набор, содержащий положительное количество каждого
товара. Поэтому в точке начального запаса не может быть выполнено условие рациональности агента
А ни при каких ценах.
3 способ: Может быть найдено равновесие в данной экономике, оно не совпадает с точкой начальных
запасов.
Задача 2. (2.5 балла)
Рассмотрите экономику с тремя потребителями и двумя товарами. Функции полезности потребителей
имеют вид
u 1 x , y   min2 x , y  , u 2 x , y   minx , 2 y  и u 3 x , y   min2 x , y  . Первоначальные
запасы агентов заданы векторами   12, 0 ,   0, 9 и   0, 6 .
(а) Найдите равновесие по Вальрасу.
(б) Пусть второй потребитель отдает две единицы второго товара первому участнику до начала торговли.
Найдите новое равновесие.
(в) Сравните благосостояние потребителей в пунктах (а) и (б). Объясните полученные результаты.
1
Решение:
(а) Решая задачу потребителя
2
u x , y   minx , y   max
, найдем функции спроса на каждый
px x  p y y  px x  p y  y
товар:
x   y , откуда y  x /  и из б. огр. находим x 
x1 
x3 
3
pxx  p y  y
p x  p y / 
9 py
18 p y
12 p x
24 p x
2
2
1
, y 
; x 
, y 
2 px  p y
2 px  p y
px  2 p y
px  2 p y
6 py
px  2 p y
, y 
3
12 p y
px  2 p y
.
и y
pxx  p y  y
p x /   p y
.
Уравновешивая рынки товаров, найдем равновесные цены. Заметим, что в силу закона Вальраса
достаточно уравновесить рынок только одного товара, рынок второго товара будет уравновешен
автоматически.
18 ~
py
6~
py
3~
py
2~
px  ~
py
3~
py
12 ~
px



12

2


или
,
~
~
px  2 ~
py 2~
px  ~
py ~
px  2 ~
py
2~
px  ~
py
px  2 ~
py ~
px  2 ~
py
px  ~
py  ~
px  2 ~
p y или ~
px  ~
p y . (0.5 б)
откуда 2 ~
Заметим, что при этих ценах рынок второго товара также уравновешен.
Равновесное распределение:
~x , ~y   4,8, ~x
1
1
2



,~
y 2  6,3, ~
x 3 ,~
y 3  2,4 . (0.25 б)
(б) Новые запасы потребителей:   12, 2 ,   0, 7  и   0, 6 .
Подставляя новые запасы в функции спроса, найдем спрос каждого агента на каждый товар:
1
x1 
x3 
12 p x  2 p y
px  2 p y
6 py
, y 
1
, y 
px  2 p y
24 p x  4 p y
px  2 p y
12 p y
3
2
px  2 p y
; x 
3
14 p y
2
2 px  p y
, y 
7 py
2
2 px  p y
.
Уравновешивая рынок любого товара, найдем равновесные цены.
12 p x  2 p y
px  2 p y


14 p y
2 px  p y

 
6 py
px  2 p y
 12 или

7 py
2 px  p y
 6
6 px  4 p y
px  2 p y

8 py
px  2 p y
,
откуда 7 p x  2 p y  8 2 p x  p y или 6 p y  9 p x , т.е. p y  1.5 p x . (0.25 б)
Заметим, что при этих ценах рынок второго товара также уравновешен.

1
Равновесное распределение: x , y
1
   154 ,152  ,x


2
9 9
, y 2   6 ,3, x 3 , y 3    ,  .(0.25 б)
4 2
(в) Найдем уровни благосостояния потребителей в пунктах (а) и (б):
15
uA ~
x A, ~
y A  8 , u A x A , y A   , т.е. u A  0
2
B ~B ~B
B
B
B
u x , y   u x , y   6 , т.е. u B  0
9
u C ~
xC,~
y C   4 , u C x C , y C   , т.е. u C  0
2


Парадокс:
потребитель А получил помощь от В и при этом проиграл, а положение В не изменилось. (0.25 б)
Это было бы невозможно при неизменных ценах, но в данном случае относительная цена товара x
упала. Почему? При неизменных ценах спрос участника С на товар x не поменялся, спрос В упал (товар
нормальный, а богатство его сократилось), спрос А вырос (в силу увеличения богатства), но не смог
перекрыть падения спроса В. В результате мы наблюдаем удешевление товара x .
Поскольку А являлся (и остался) чистым продавцом товара х , то удешевление данного товара
перекрыло эффект от увеличения запаса (см. рис).
Для агента В ситуация обратная: у него нет товара х в запасе и потому в обеих ситуациях он является
чистым покупателем этого товара, а потому удешевление товара x улучшает его положение. Однако в
данном случае имеет место и противодействующий эффект, вызванный сокращением запаса
продаваемого товара, что в сложившейся ситуации полностью нейтрализовало выигрыш от падения
цены.
Участник С при прежних запасах однозначно выиграл от удешевления товара x , поскольку при
отсутствии этого блага в первоначальных запасах, является его покупателем.
Объяснение парадокса вербальное- (0.5 б)
Графическая иллюстрация: (0.25 б) за график для А и (0.25 б) за график для В
2
y
yB
Агент А
A

~x A , ~y A
x
A
,y
A


Агент B
~p
 ~x
py
0, 9 
~p
 ~x
p
0, 7
y
12, 2 
x
px
py
12,0
B
 

, y B  ~x B , ~y B
p
 x
py
xA
xB
Задача 3. (4,5 балла)
Рассмотрите экономику обмена с двумя потребителями (А и В) и двумя потребительскими товарами ( x и
y ). Первоначальные запасы агентов заданы векторами  A  4, 8 ,  B  2, 12 . Для каждого из
нижеприведенных случаев
(i) u A ( x , y )  x  4 y и u B ( x , y )  x  2 y ,
(ii) u A ( x , y )  xy и u B ( x , y )  x  y ,
(iii) u A ( x , y )  2 x 
y и u B ( x, y )  x  y
(а) найдите и изобразите в ящике Эджворта множество Парето оптимальных распределений и равновесие
по Вальрасу (в случае (iii) при нахождении равновесия необходимо только охарактеризовать равновесные
цены);
(б) выберите любое Парето оптимальное распределение, отличное от равновесного. Покажите, как можно
децентрализовать данное распределение или докажите, что децентрализация невозможна.
Решение:
(i) u A ( x , y )  x  4 y и u B ( x , y )  x  2 y
1.
Найдем множество парето оптимальных распределений: (0.5 б)
yA
 y B , откуда y A  4 y B .
2
A
B
A
B
Используя условие допустимости y  y  20 , имеем y  16 , y  4 .
A
B
A
B
Множество внутренних ПО распределений: yˆ  16 , yˆ  4 , xˆ  xˆ  6 .
1.1. Внутренние ПО распределения:
MRS xyA  MRS xyB или
1.2. Угловые ПО распределения. Проверяем наклоны кривых безразличия на границах ящика.
1.3. Изобразим. (0.25 б)
x1B x2A
OB
16
4
x1B x2A
16
OB
~
x
~
p1 / ~
p2
4

Множество парето
оптимальных
распределений
OA
OA
2.
A
x2B x1
A
x2B x1
Найдем равновесие по Вальрасу: (0.25 б)
2.1. Пробуем найти внутреннее равновесие. Пронормируем цены, взяв
р y  1 . Из условия
MRS xy  p x находим спрос каждого потребителя y A  4 p x2 , y B  p x2 .
3
p x  2 . Находим равновесные
y A  y B  20 находим ~
2  4  8  16
2  2  12  4
xA 
0, ~
xB 
 6 . Получили, что
наборы ~
yB  4, ~
y A  16 , ~
2
2
Из условия уравновешенности рынков
равновесие достигается на границе ящика Эждворта.
2.2. Изобразим равновесие. (0.25 б)
3.
Децентрализуем произвольное ПО распределение yˆ  16 , yˆ  4 , xˆ  2 , xˆ  4 . (0.25 б)
3.1. Так как оно внутреннее, децентрализация возможна при относительных ценах
A
A
B
B
~
px
 MRS A ~
x A  MRS B ~
x B  2 . Возьмем ~
px  2 .
~
p
 
 
y
~A
~B
3.2. Подберем трансферты. T  2  2  16  2  4  8  4 , T
3.3. Проверим выполнение финансового баланса. Выполнен.
 2  4  4  2  2  12  4 .
(ii) u A ( x , y )  xy и u B ( x , y )  x  y ,
1. Найдем множество парето оптимальных распределений: (0.5 б)
1.1. Внутренние ПО распределения:
MRS xyA  MRS xyB или
yA
 1 , откуда x A  y A при xˆ A  6
A
x
из условия допустимости.
1.2. Угловые ПО распределения. Проверяем наклоны кривых безразличия на границах ящика.
1.3. Изобразим. (0.25 б)
x1B x2A
OB
Множество парето
оптимальных
распределений
14
OA
2.
A
x2B x1
Найдем равновесие по Вальрасу: (0.25 б)
2.1. Пробуем найти внутреннее равновесие. Пусть р y  1 . Из условия
MRS xy  p x находим ~
px  1
и
x1B x2A
y A  x A . Из бюджетного
Множество парето
оптимальных
распределений
48
yA  ~
xA 
6
ограничения потребителя A определим ~
2
y B  20  6  14 ,
Из условия уравновешенности рынков находим, ~
~
x B  6  6  0 . Получили, что равновесие достигается на границе
~
p1 / ~
p2
ящика Эждворта.
2.2. Изобразим равновесие. (0.25 б)
3.
Децентрализуем произвольное ПО распределение
OB

~
x
14
yˆ A  4 , yˆ B  16 ,
xˆ A  4 , xˆ B  2 . (0.25 б)
OA
A
x2B x1
4
3.1. Так как оно внутреннее, то
~
px
 MRS A ~
x A  MRS B ~
x B  1 . Возьмем ~
px  1 .
~
p
 
 
y
~A
~B
3.2. Подберем трансферты. T  4  4  4  8  4 , T
3.3. Проверим выполнение финансового баланса. Выполнен.
(iii) u A ( x , y )  2 x 
1.
 2  16  2  12  4 .
y и u B ( x, y )  x  y
Найдем множество парето оптимальных распределений: (0.5 б)
2 yA

yB
MRS
A
xy
 MRS
Используем условие допустимости x  x
B
 6 , y  y  20 . Получаем
1.1. Внутренние ПО распределения:
A
Упростив, получаем множество
yA 
B
xy
или
A
xA
B
xB
.
2 yA
xA

20  y A
6  xA
.
20 x A
,0  xA  6 .
24  3x A
1.2. Угловые ПО распределения. Проверяем наклоны кривых безразличия на границах ящика.
Убеждаемся, что только точки, где весь запас благ принадлежит одному из агентов, являются
ПО.
1.3. Исследуем вид контрактной кривой. (0.25 б)
x1B x2A
OB
y  
y  
Множество парето
оптимальных
распределений
20  24
A
A
2
3
 0 - возрастающая ,
 
 24
 A
 A  3 x
x

6  20  24
2
 
 24
 A
 A  3 x
x

 0 - строго выпуклая
3
Изобразим. (0.25 б)
OA
2.
A
x2B x1
Найдем равновесие по Вальрасу: (0.25 б)
2.1. Ищем внутреннее равновесие. Пусть р y  1 .
Решим задачу потребителя А.Найдем внутреннее решение из условия касания MRS xy  p x .
yA
2
 p x . Выразим 4 y A  p x x A (1) и подставим в б. огр., откуда найдем функцию
A
x
4 px  8
A
спроса потребителя А на благо x: x 
.
px
px (1 
)
4
p x (4 p x  8)
A
Из соотношения (1) найдем спрос на благо y: y 
.
px
1
4
Имеем
2
Проверим, что данная задача не имеет краевых решений. При нулевом спросе на x или y, MRS будет
принимать значение либо ∞, либо 0 соответственно. Следовательно, при положительных ценах
угловых решений нет. (Этот же вывод можно получить строго аналитически, сравнив значения
функции полезности в найденной внутренней точке и в угловых точках).
Аналогично решим задачу потребителя В.
5
xB 
2 p x  12
p (2 p x  12)
B
и y  x
.
p x (1  p x )
1  px
Уравновешиваем один из рынков.
4 px  8
2 p x  12

 6 , откуда 3p 3  8 p 2  22 p  40  0 .
px
p x (1  p x )
p x (1  )
4
A
B
A
B
3. Децентрализуем произвольное ПО распределение yˆ  4 , yˆ  16 , xˆ  3 , xˆ  3 . (0.25 б)
~
px
4
4
A
x A   MRS B ~
x B 
3.1. Так как оно внутреннее, то ~  MRS ~
. Возьмем ~
.
px 
py
3
3
3.2. Подберем
4
4
4
~
,
T A  3
4
 4  8  4 
3
3
3
трансферты.
4
4
4
~
TB 
 3  16 
 2  12 
 4.
3
3
3
3.3. Проверим выполнение финансового баланса. Выполнен.
Задача 4. (2 балла)
Рассмотрите экономику обмена с двумя потребителями (А и В) и двумя потребительскими товарами ( x и
y ). Первоначальные запасы агентов заданы векторами  A  0, 19 ,  B  8, 0 , а функции
полезности агентов имеют вид u A ( x , y )  xy и
u B ( x , y )  x y . Правительство ввело 25%-ный налог
на приобретение товара x . Доходы от налога поровну распределяются между всеми потребителями в
виде паушальных трансфертов.
(а) Приведите определения равновесия для модели обмена с налогами.
(б) Найдите равновесие при наличии налогов.
(в) Будет ли найденное в пункте (б) равновесное распределение Парето оптимальным. Объясните
полученный результат.
Решение:
(а) Ведение налога на покупку (но не на продажу) приводит к тому, что бюджетная линия имеет разный
наклон
слева
и
справа
от
точки
первоначального
запаса
агента:
1,25 p x x   x   p y y  p y  y  T , x   x   0
p x x   x   p y y  p y  y  T , x   x   0
Однако, по условиям задачи агент А каждый из агентов имеет запас лишь одного из благ, а потому
агент А может быть лишь покупателем товара x , а агент В- лишь продавцом.
Набор
xA
(1) ~
xB
(2) ~
 ~p , ~x  является равновесием в указанной экономике, если:
 max
xAyA
 x A , y A 0
является решением задачи 
px x A  ~
p y y A  19 ~
py  T A
1,25 ~
 max x B y B
B B
является решением задачи  x , y 0
B
~ B ~ B
~

 px x  p y y  8 px  T
(3) Рынки обоих товаров уравновешены:
~
xA ~
x B   xA   Bx  8
~
yA ~
y B   Ay   By  19
(4) Выполняется финансовый баланс T
A
 T B  0,25 ~
px ~
xA /2
Определение (0.75 б)
(б) Найдем равновесие, следуя приведенному определению:
6
Поскольку предпочтения каждого потребителя представимы функциями полезности Кобба-Дугласа, то
расходы на каждый товар составят фиксированную долю дохода участника
19 ~
py  T
19 ~
py  T
16 ~
p x  2T
8~
px  T
A
B
B
x 
,
y

,
x

,
y

~
~
~
2,5 p x
2 py
3 px
3~
py
A
Из финансового баланса с учетом функции спроса агента А имеем
2T  0,25 ~
px ~
x A  1,9 ~
p y  0,1T ,
py .
p y или T  ~
откуда находим 1,9T  1,9 ~
Равновесные
цены
найдем,
уравновесив
19 ~
py  T 8~
px  T

 19
2~
p
3~
p
y
или
y
рынок
одного
из
товаров,
19 ~
py  ~
py 8~
px  ~
py
8

 10 
~
~
2p
3p
3
y
y
например,
товара
~
px 1
  19 ,
~
py 3
y,
откуда
~
p x 13

 3,25 .
~
py
4
~
p y 32
16 ~
px  2 ~
p y 72
A
B
, y  10, x 

, yB  9.
Равновесное распределение: x  8 ~ 
~
p x 13
3 px
13
A
(0.75 б)
(в) Равновесие не является ПО, поскольку
MRS xyA 
1.25 ~
px ~
px

 MRS xyB . Поскольку агенты
~
~
py
py
сталкиваются с разными ценами на товар x (т.к. лишь один платит налог), то в результате их оценки
товара в равновесии не совпадают. Так как агент А ценит товар x выше, то, перераспределив малое
количество товара x в пользу А и поступив наоборот с товаром y , мы получим Парето улучшение.
Графическая иллюстрация. (0.5 б)
7