Лекция № 22. Волновая оптика

Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
Лекция № 22. Волновая оптика
1.Интерференция света. Условия образования интерференционного максимума
и минимума.
2. Дифракция света. Принцип Гюйгенса. Метод зон Френеля.
3. Дифракция Фраунгофера в параллельных лучах. Дифракционная решётка.
4. Поляризации света при отражении и преломлении света. Двойное лучепреломление
1
Интерференция света. Условия образования
интерференционного максимума и минимума
Интерференция света – пространственное перераспределение светового потока при наложении двух (или нескольких) когерентных световых волн, в результате
чего в одних местах возникают максимумы, в других – минимумы интенсивности.
Когерентность – согласованное протекание во времени и пространстве колебательных процессов. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны – волны постоянной частоты.
Для описания световой волны можно воспользоваться уравнением гармонических колебаний x  Acos  t  0  , где под x понимают напряженность электрического E или магнитного H полей волны. И тогда интерференцию света можно объяснить рассматривая сложение колебаний. Для двух гармонических колебаний одного периода, происходящих по одному направлению, результирующая амплитуда
А и интенсивность волны I (при I~A2):
A 2  A12  A 22  2A1A 2 cos  2  1  и I  I1  I2  2 I1  I2 cos  2  1  . (22.1)
Отсюда следует, что в тех точках пространства где cos  2  1   0 , то
I  I1  I 2 , а там где cos  2  1   0 , то I  I1  I 2 . В частности, при I1  I 2 будем
иметь I  4I1 при  2  1   0 , …2m и I  0 при  2  1    … (2m+1).
Для получения когерентных  2  1  const  световых волн применяют метод
разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга, и наблюдается
интерференционная картина.
Анализ хода лучей от двух когерентных источников
(Рис. 22.1) позволяет установить связь между возникшей разностью фаз ( 2  1 ) в точке М и оптической разностью хода   L2  L1  l2 n2  l1n1 . При распространении лучей в однородной среде показатели преломления n2  n1 , а например,
в воздухе принимают n  с  1. Тогда
2
L2  L1   2 
( 2  1 ) 
0
0
1
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме
   m 0
( m  0,1,2,...),
(22.2)
т.е. колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно (22.2) является условием интерференционного максимума. Если
  2m  1
0
2
,
( m  0,1,2,...),
(22.3)
т.е. колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно (22.3) является условием интерференционного минимума.
Условия максимумов и минимумов при интерференции света, отражённого от верхней и нижней поверхностей
тонкой плоскопараллельной плёнки (рис. 22.2), находящейся в воздухе ( n0  1 ) могут быть вычислены соответственно по выражениям:
  2d n 2  sin 2 i  0 2  m0
  2d n 2  sin 2 i  0 2  2m  10 2
Существуют различные способы наблюдения двухлучевой интерференции
света на экране, осуществляемой делением волнового фронта и в которых создаётся
оптическая разность хода  : от двух щелей в опыте Юнга (рис. 22.3), от зеркал и
бипризмы Френеля (рис. 22.4), от зеркала Ллойда и т.п.
Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллельной пластинки) – интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами. Они локализованы в бесконечности. Для наблюдения полос равного наклона используют собирающую линзу и экран Э, расположенный в локальной плоскости линзы. Параллельные лучи 1 и 1 соберутся в фокусе F линзы (на рис. 22.5 её оптическая ось параллельна лучам 1 и 1 ), в эту же точку придут и другие лучи (луч 2 ), параллельный
лучу 1, в результате чего увеличивается общая интенсивность. Лучи 3, наклонённые
под другим углом, соберутся в точке Р фокальной плоскости линзы. Если оптическая ось линзы перпендикулярна поверхности пластинки, то полосы равного наклона имеют вид концентрических колец с центром в фокусе линзы.
2
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
Полосы равной толщины (интерференция от пластинки переменной толщины) – интерференционные полосы, возникающие в результате интерференции от
мест одинаковой толщины. Они локализованы вблизи поверхности клина. Каждая из
полос возникает при отражении от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину.
В общем случае толщина пластинки может изменяться произвольно (на рис. 22.6
выбран клин, угол  между боковыми гранями очень мал).
Кольца Ньютона – пример полос равной толщины. Они наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны (рис. 22.7).
Радиусы светлых колец Ньютона в отражённом
свете (или тёмных в проходящем свете)
rm  m  1 20 R ,
m  1,2,3,...,
где m  номер кольца, R  радиус кривизны линзы.
Радиусы тёмных колец Ньютона в отражённом
свете (или светлых в проходящем свете)
rm  m0 R ,
m  0,1,2,...,
Просветление оптики состоит в том, что на поверхность линзы наносится
тонкая плёнка с показателем преломления меньшим, чем у материала линзы. Если
оптическая толщина плёнки удовлетворяет условию d  0 4n  , то отражённые лучи от линзы и от плёнки дают интерференционный минимум. А это, в свою очередь,
приводит к увеличению интенсивности света, проходящего сквозь линзу без потерь.
3
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
2
Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля.
Метод зон Френеля
Дифракция - совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде вблизи непрозрачных тел, сквозь малые отверстия и т.д. и связанных с отклонениями от геометрической оптики.
Распространение волн объясняется с помощью принципа Гюйгенса, согласно
которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных
волн, а огибающая этих волн задаёт положение волнового фронта в следующий момент времени. Френель дополнил принцип Гюйгенса физическим содержанием, добавив в него идею об интерференции вторичных волн, создаваемых фиктивными
источниками. Согласно принципу Гюйгенса – Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником, может быть представлена как результат суперпозиции
вторичных волн, излучаемых когерентными фиктивными источниками.
Френелем был предложен более простой способ нахождения амплитуды результирующих колебаний для симметричных случаев дифракции, когда размер отверстия значительно больше длины волны. Применим этот метод к дифракции сферической волны на круглой диафрагме (или преграждающем непрозрачном диске).
Световая волна от точечного источника S
(рис. 22.8) в однородной изотропной среде
имеет сферическую волновую поверхность.
Разобьем ее на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от границ зон до точки наблюдения P
отличались на  2 . Следовательно,

bm  b  m ,
2
где m – номер зоны Френеля; b - расстояние от фронта волны до точки наблюдения
P. Это приводит образованию зон одинаковой площади,
ab
(22.4)
Sm 
ab
т.е. содержащих равновеликое количество когерентных источников колебаний, а в
соседних зонах совершающих колебания в противофазе.
Радиус внешней границы m  й зоны Френеля для сферической волны
rm 
abm
(22.5)
ab
С учетом фазовых соотношений амплитуда волны в точке P может быть записана в виде ряда амплитуд колебаний, создаваемых зонами Френеля то есть
E E
E E
E
E E
E  E1  E2  E3  E4  ...  1  ( 1  2 )  ( 3  2 )  ( 3  4 )  ..., (22.6)
2
2
2
2
2
2
2
4
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
где с учетом примерного равенства амплитуд колебаний, создаваемых соседними
зонами, проведена группировка, показывающая, что E  E1 / 2 . Амплитуда колебаний E, создаваемых в точке P сферической волной, в половину меньше амплитуды,
создаваемой первой зоной Френеля. Поэтому, если оставить открытой только
первую зону, интенсивность света возрастет в 4 раза. Если отверстие в экране оставляет открытым чётное число зон, то в центре дифракционной картины получается
тёмное пятно, при нечётном числе зон – светлое.
В центре тени от круглого экрана, закрывающего не слишком большое число
зон Френеля, получается светлое пятно - пятно Пуассона.
Результаты теории Френеля послужили решающим доказательством волновой
природы света и дали основу теории зонных пластинок, представляющих в простейшем случае стеклянные пластинки с системой чередующихся прозрачных и непрозрачных колец, построенных по принципу расположения зон Френеля.
3
Дифракция Фраунгофера в параллельных лучах.
Дифракционная решётка
Большое практическое значение имеет дифракция в параллельных лучах. Она
наблюдается в том случае, если источник света и точка наблюдения бесконечно
удалены от щели, вызывающего дифракцию. Чтобы реально осуществить данный
вид дифракции достаточно источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а
дифракционную картину наблюдать в фокальной плоскости второй собирающей
линзы, установленной за щелью.
Пусть плоская монохроматическая волна падает
нормально на щель шириной а . Оптическая разность хода
лучей, идущих от краёв щели (рис. 22.9) в произвольном
направлении будет
(22.7)
  a  sin  .
Разобьём щель на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру щели. Ширина зон выбирается
так, чтобы разность хода лучей от краёв соседних зон была
равна  2 . Тогда на ширине щели будет укладываться
число зон, равное N  2  , т.е.
N  2a  sin  
(22.8)
Амплитуды колебаний вторичных волн в плоскости щели будут одинаковы,
так как выбранные зоны Френеля, имеют одинаковую площадь и одинаково наклонены к направлению наблюдения.
Из полученного выражения (22.8) следует, что число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла  , а от числа зон, в свою очередь, зависит результат интерференции вторичных волн. Очевидно, что при чётном числе зон
Френеля амплитуда результирующего колебания будет равна нулю, так как колебания от соседних зон будут гасить друг друга, и в данном направлении будет наблю5
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
даться дифракционный минимум. Таким образом, условие дифракционного минимума будет иметь вид
m  1,2,3,...
(22.9)
a  sin   m
Дифракционный максимум при выполнении условия
a  sin   2m  1   2
(22.10)
Таким образом, положение дифракционных максимумов и минимумов зависит
от длины волны  монохроматического излучения. При освещении щели белым
светом будет наблюдаться радужное окрашивание
полос на экране в точке В (рис. 22.9) обращённого
фиолетовым цветом в сторону к центральному максимуму, точка В0, хотя сам максимум имеет вид белой полоски.
На рисунке 22.10 показано распределение интенсивности света I  на экране в зависимости от угла  .
Для анализа спектров излучения возбуждённых атомов используются дифракционные решётки.
У прозрачных дифракционных решеток штрихи
наносятся на поверхность прозрачной (обычно стеклянной пластинки) (или вырезаются в виде узких щелей в непрозрачном экране).
Если ширина щели равна a , а ширина непрозрачного участка b , то величину
d  a  b называют периодом (постоянной) дифракционной решетки (рис. 22.11).
Дифракционная картина на решётке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решётке осуществляется многолучевая
интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей. Поэтому условие
главных максимумов дифракционной решётки, на
которую свет падает нормально
(22.11)
d  sin   m   ,
условие главных минимумов решётки
(22.12)
а.sin   m   .
Условие дополнительных минимумов дифракционной решётки, на которую свет падает нормально:
d  sin    m

,
(22.13)
N
где d  период дифракционной решётки; N  число
штрихов решётки; m  1,2,3,..., кроме 0, N ,2N...
При освещении решетки белым светом все максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр,
фиолетовый конец которого расположен ближе к
центру дифракционной картины, красный – наружу.
Основными характеристиками дифракционной решётки являются дисперсия и
разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое расстояние между двумя спек6
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
тральными линиями, отличающимися, по длине волны на единицу. Разрешающая
сила определяет минимальную разность длин волн  , при которой две линии вос

принимаются в спектре раздельно: D 
и R


На рисунке 22.10 показано распределение интенсивности света
I  на экране в зависимости от угла
 для дифракционной решётки.
4
Поляризации света при отражении и преломлении света.
Двойное лучепреломление
Свет представляет собой поперечные электромагнитные волны, в которых
векторы Е и H колеблются во взаимно перпендикулярных направлениях и перпендикулярны вектору скорости распространения волны v . Поэтому для полного описания состояния поляризации светового пучка достаточно знать поведение одного
из этих векторов. Обычно рассматривается поведение вектора Е (световой вектор).
Это связано с тем, что взаимодействие света с веществом обусловлено именно электрической составляющей электромагнитной волны. Плоскость, в которой колеблется световой вектор, называется плоскостью поляризации.
Световая волна, излучаемая источником, представляет собой излучение
огромного числа атомов, каждый из которых излучает свет независимо от других
атомов. Поэтому в световой волне присутствуют колебания всевозможных направлений. Свет со всевозможными и равновероятными направлениями колебаний светового вектора получил название естественного света.
Свет, в котором колебания светового вектора, каким либо образом упорядочены (в результате внешнего воздействия) называется поляризованным.
Если колебания светового вектора происходят в одной плоскости, то такой
свет называется плоско поляризованным.
За меру поляризации света принимается величина называемая степенью поляризации
I I
P  max min ,
(22.12)
Imax  Imin
7
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
где I max , I min - интенсивность колебания в двух взаимно перпендикулярных
направлениях. В частности для естественного света Р = 0, так как I max  I min , а для
плоско поляризованного света Р = 1, так как Imin  0 .
Естественный свет можно преобразовать в плоско поляризованный, используя для этого так называемые поляризаторы, пропускающие колебания только одного направления, например, кристаллы турмалина.
Если на пути светового луча поставить пластинку, определенным образом
вырезанную из кристалла турмалина, то при вращении пластинки вокруг направления распространения луча, не наблюдаются ни каких изменений в интенсивности
луча, прошедшего через пластинку. Таким образом, световая волна, падающая на
турмалин от обычного источника, не обнаруживает асимметрии по отношению к
направлению распространения. Иначе будет обстоять дело, если на пути луча, вышедшего из первой пластинки установить вторую такую же пластинку (рис. 22.11).
В зависимости от того, как ориентированы эти пластинки интенсивность света, вышедшего из второй пластинки, меняется от максимальной (пластинки параллельны)
до нуля (полное гашение) (пластинки взаимно перпендикулярны). Малюс на опыте
установил, что интенсивность света, прошедшего вторую пластинку изменяется
по закону
(22.13)
I  I0  cos 2  ,
где I0 - интенсивность света, падающего на вторую пластинку.
Результаты этого опыта можно объяснить следующим образом. Первая пластинка, пропуская свет только одного направления, преобразует естественный свет в
плоско поляризованный и поэтому называется поляризатором. Вторая пластинка
служит для определения степени поляризации света и называется анализатором.
Если оптические оси поляризатора и анализатора параллельны, то свет проходит через анализатор без изменения. Если оптическая ось анализатора перпендикулярна
оптической оси поляризатора, то анализатор не пропускает колебаний и интенсивность света, проходящего через вторую
пластинку, будет равна нулю.
Если естественный свет с интенсивностью I ест пропустить через две пластинки, то интенсивность света, вышедшего из первой пластинки и падающее на
8
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
1
вторую пластинку будет I0   Iест , и тогда закон Малюса будет иметь вид
2
1
(22.14)
I   Iест  cos 2  .
2
При падении света на границу раздела двух диэлектриков (рис.22.12)
наблюдается явление отражения и преломления света. Если на пути отраженного и
преломленного лучей поместить анализатор, то можно убедиться в том, что эти лучи
частично поляризованы. При этом в отраженном луче преобладают колебания перпендикулярные плоскости падения луча, в преломленном луче – колебания параллельные плоскости падения луча. Степень поляризации лучей зависит от угла падения луча. Как показал Брюстер, при угле падения удовлетворяющем условию
tg iB   n2 n1  n21
(22.15)
отраженный луч полностью поляризован, а преломленный луч, максимально поляризован. При этом отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны.
Явление двойного лучепреломления было обнаружено Бартолином на кристаллах исландского шпата. Кристаллы турмалина встречаются в естественном состоянии в виде довольно больших и оптически чистых образцов и, поэтому до
настоящего времени исландский шпат является наилучшим материалом для изготовления оптических приборов, использующих поляризацию света.
Если на толстый кристалл исландского шпата направить луч света, то из кристалла выйдут два пространственно разделенных луча (рис. 22.13), даже в том случае,
если угол падения равен нулю. Один из этих
лучей является продолжением падающего, и
поэтому получил название обыкновенного,
«о», а второй отклоняется, и поэтому получил название необыкновенного, «е». При
вращении кристалла вокруг направления падающего луча, то один из преломленных
лучей (обыкновенный) будет неподвижным, а второй (необыкновенный) будет вращаться вокруг первого. Различие в отклонении обоих лучей показывает, что они обладают различными показателями преломления. При исследовании явления двойного лучепреломления было установлено, что обыкновенный луч имеет один и тот же
показатель преломления для всех направлений, а показатель преломления необыкновенного луча зависит от направления в кристалле.
Если исследовать оба луча с помощью анализатора, то можно обнаружить,
что оба луча поляризованы, и притом во взаимно перпендикулярных направлениях.
Двойное лучепреломление может наблюдается при возникновении искусственной оптической анизотропии в средах под действием механической деформации, электрического (эффект Керра) или магнитного поля.
Оптически активные среды, обладают способностью вращать плоскость
поляризации при прохождении света через твёрдые тела или жидкие растворы.
9