Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1» города Абакана

Реклама
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №1» города Абакана
Республика Хакасия
Секция
«Прикладная математика окружающего мира»
Фрактальные кривые окружающего мира
Автор:
Мехнина Татьяна Вадимовна,
ученица 8 В класса
Руководитель:
Щетинина Светлана Федоровна,
учитель математики
электронный адрес: Svetlana-school1@mail.ru
Абакан, 2013
Секция
«Прикладная математика окружающего мира»
Фрактальные кривые окружающего мира
Приложени
2
Оглавление
Введение ………………………………………………….. …….............................3
Глава 1. Сложные геометрические линии – фракталы
1.1Открытие фракталов……………………………………………..4
1.2 Как устроен фрактал…………………………………………..6
1.3 Свойства и классификация фракталов……………………..14
Глава 2. Фрактальные кривые окружающего мира ……………...17
Глава 3. Опытно-экспериментальная работа………………………20
Заключение …………………………………………………………...22
Список литературы……………………………………………..........23
Приложения…………………………………………………………...24
3
Введение
Бенуа Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature"
пишет: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин
лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не
гладкая, а молния не прямая линия..."
Современные исследования в различных отраслях науки потребовали
более качественного представления реальных объектов и процессов, без
сглаживания их формы, контуров, поверхностей; необоснованного упрощения
их структуры и организации. Такими исследованиями являются сложная
геометрия пористых материалов, описание кривизны неровных поверхностей,
сетка трещин при разрушении твёрдых тел, путь распространения молнии,
биологические конфигурации (например, кровеносная система человека). В
природе ветвящиеся, спиралеобразные, дробленые структуры встречаются
всюду. Именно такие сложные по форме и организации структуры получили
название фракталов. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на
геометрические
свойства
природных
и
искусственных
объектов.
Разрабатываемые на основе этих понятий теории открывают новые
возможности в различных областях знаний, в том числе в информационных и
коммуникационных технологиях.
Актуальность нашего исследования состоит в том, что в окружающей нас
природе встречаются необычные и изысканные кривые. Мы окружены такими
кривыми и сталкиваемся с ними чуть ли не каждый день. Многие свойства
таких объектов необычны. Не понимая этих свойств, нельзя понять даже таких
простых вещей, как форма облаков или снежинок.
Возникает проблема взаимосвязи проявлений в окружающей
действительности сложных геометрических линий с научным объяснением
сложных структур – фракталов.
Цель исследования: провести анализ литературы
и выявить
закономерности проявлений сложных геометрических линий в окружающем
мире.
В процессе исследования ставятся следующие задачи:
1. Рассмотреть определения фрактала, существующие в научной
литературе. Провести анализ понятия фрактала с математической точки зрения.
2. Выделить и дать описание основных видов фракталов.
3. Составить сравнительную таблицу видов фракталов с объектами
окружающего мира.
4. Изготовить модель фрактала.
Для решения поставленных задач применялись следующие методы:
анализ интернет-источников и учебных пособий по данной теме.
Объект исследования – геометрические линии в окружающей
действительности.
Предмет исследования – фракталы как новые закономерности гармонии
окружающего мира.
Глава 1. Сложные геометрические линии - фракталы
4
1. Открытие фракталов
Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с
помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию
в набор несвязанных точек (так называемая Пыль
Кантора). Он брал линию и удалял центральную
треть и после этого повторял то же самое с
оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый
вид линии (рисунок №1).
Для ее рисования Пеано использовал
следующий алгоритм. На первом шаге он брал
прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в
3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть
1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с
каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее
уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для
каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано.
Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических
объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде
бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А
кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате
получалась плоскость.
Рис.1 Кривая Пеано
Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах,
без какой либо попытки их систематизировать. Открытие фракталов,
принадлежат гению выдающегося ученого, французского и американского
математика, Бенуа Мандельброта. Своим появлением на свет и популярностью
фракталы обязаны математику Бенуа Мандельброту. Заслуга Б. Мандельброта
в том, что ему удалось собрать вместе, назвать и сделать всеобщим достоянием
разрозненные сведения, первое появление которых относиться к началу XX
века.
Сначала существовавшие как плод воображения математиков, фракталы
были найдены в реальных объектах окружающего мира. Очертания гор,
границы материков, русла горных рек, береговая линия и многое другое - все
это фракталы.
В 1975 году Бенуа Мандельброт издал книгу «The fractal Geometry of
Nature», посвященную изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии
природы», в которых разбивал на первый взгляд случайные математические
формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении
5
повторяющимися, - что и доказывает наличие некого образца для копирования.
Открытие Мандельброта возымело весомые позитивные последствия в
развитии физики, астрономии и биологии. Понятие «фрактал» придумал сам
Бенуа Мандельброт, fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый
(поделенный на части)
1.2 Как устроен фрактал
6
Фрактал представляет собой сложную геометрическую фигуру, которая
составлена из нескольких бесконечной последовательности частей, каждая из
которых подобна всей фигуре целиком, и повторяется при уменьшении
масштаба.
Фрактал — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством
самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых
подобна всей фигуре целиком.
Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура,
каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности.
Самоподобной геометрической фигурой называют фигуру, которую
можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой.
Простейшая самоподобная фигура – “веточка” – строится следующим
образом. Исходный отрезок делят на три равные части, и из точек деления под
углом 45o проводят отрезки, составляющие длины исходного отрезка. Затем
эту процедуру повторяют по отношению к вновь построенным отрезкам и т.д.
(рис. 2).
Рис. 2 «Веточка»
Структура фрактала на всех шкалах является нетривиальной. Т.е.
увеличение масштаба рассмотрения не приводит к упрощению структуры
фигуры, и на всех шкалах видно однообразно сложную картину.
Фракталом является также кривая Пеано, показывающая, каким образом одна
точка, двигаясь непрерывно по квадрату, может (за бесконечное время) пройти
по крайней мере один раз через каждую точку квадрата и его границы.
Первые этапы рекуррентной процедуры построения этой кривой,
предложенной Д.Гильбертом, ясны из рис. 3.
7
Рис. 3 Этапы рекуррентной процедуры построения кривой Гильберта
На рис. 4 показано, как В.Серпинский построил замкнутую кривую Пеано
(“коврик Серпинского”).
Рис. 4 Кривая Пеано
Для понимания свойств фрактальной функции более подробно
рассмотрим пример построения Ковра Серпинского (или квадрата
Серпинского) — являющимся двумерным аналогом множества Кантора,
предложенного польским математиком Вацлавом Серпинским.
Строится ковер Серпинского следующим образом. Вначале берётся
квадрат со стороной равной единице, затем каждая сторона квадрата делится
на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых
квадратиков со стороной равной
центральный квадрат.
. Из полученной фигуры вырезается
Рис. 5. Квадрат Серпинского
Затем такой же процедуре подвергается каждый из 8 оставшихся
квадратиков и т. д.
8
Обобщим идею построения ковра Серпинского:
Берётся единичный квадрат, который делится на девять частей.
Некоторые из этих частей выбрасываются. К оставшимся применяется такая же
процедура
Шведский математик Хельга фон Кох построила в 1904 году ещё один
фрактал, известный под названием “Снежинки Кох”. Начинается построение с
“инициатора”, т. е. с равностороннего треугольника, длина стороны которого
равна единице. Применим к нему рекуррентную процедуру: в средней трети
каждой из сторон строим по равностороннему треугольнику с длиной сторон,
равной
(рис. 6).
Рис. 6 “Снежинки Кох”
На этом этапе мы получаем шестиконечную звезду, или звезду Давида. На
каждой из сторон полученной звезды строим вышеописанным образом по
равностороннему треугольнику и повторяем процесс до бесконечности. В
результате построим извилистую кривую, напоминающую очертаниями
снежинку, изображённую на рис. 7.
Рис. 7 Звезда Давида
Построим ещё одну кривую – “извивающуюся змею” У.Госпера. Её
построение начинается с группы из семи правильных шестиугольников (рис.
8).
9
Рис. 8 “Извивающаяся змея” У.Госпера
Их восемь вершин соединены ломаной, составленной из семи равных
прямолинейных
отрезков
(извивающаяся
змея
первого
порядка).
Извивающаяся змея второго порядка получается при замене каждого звена
ломаной уменьшенной копией змеи первого порядка.
Продолжая рекуррентную процедуру, получим извивающиеся змеи более
высоких порядков. На рис. 9 изображены две извивающиеся змеи третьего и
четвёртого порядков. Деля плоскость на чёрные и белые части с границей,
проходящей через вершины змеи, мы увидим, что извивающаяся змея
разбивает плоскость на две весьма извилистые части, имеющие почти, но не
совсем одинаковую форму.
Рис. 9 Извивающиеся змеи третьего и четвёртого порядков
Ещё один пример простого самоподобного фрактала – треугольник
Серпинского (рис. 10), придуманный польским математиком Вацлавом
Серпинским в 1915 году.
Рис. 10 Треугольник Серпинского
10
Пусть начальное множество S0 – равносторонний треугольник вместе с
областью, которую он замыкает. Разобьём S0 на четыре меньшие треугольные
области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника.
Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовём
оставшееся множество S1. Затем повторим процесс для трёх оставшихся
маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая
таким образом, получим последовательность вложенных множеств Sп, чьё
пересечение и образует треугольник S.
Из построения видно, что весь треугольник Серпинского представляет
собой объединение N = 3 существенно непересекающихся уменьшенных в два
раза копий; коэффициент подобия
(как по горизонтали, так и по
вертикали).
Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в
точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы
выбросили
часть площади. На следующем шаге мы выбросили три
треугольника, причём площадь каждого равна
площади исходного.
Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой
площади составила:
Задача.
Докажите,
что
эта
сумма
равна
1,
используя
соотношение:
, для | x |<1.
Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то
есть треугольник Серпинского, имеет площадь, равную нулю.
Это выделяет множество S в разряд “совершенного”, в том смысле, что
оно разбивает своё дополнение на бесконечное число треугольных областей,
обладая при этом нулевой толщиной.
В каждом из приведённых примеров мы рассмотрели несколько
последовательных стадий преобразования исходной фигуры. Каждая из
полученных на отдельном этапе фигур называется предфракталом, и их
самоподобие очевидно. Настоящий фрактал получится, если число шагов
алгоритма построения будет стремиться к бесконечности.
Итак, линейные фракталы – это фракталы, чьи алгоритмы роста задаются
линейными функциями, то есть уравнениями первого порядка. В линейных
фракталах самоподобие проявляется в следующем: любая часть есть точная
копия целого.
Основу для развития работы по фрактальной геометрии Бенуа
Мандельброта заложили многие математики 19- 20 веков, такие как Карл
Вейерштрасс, Георг Кантор, Ге́рман Ханкель и др.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами в
19 веке :
11
Функция Больцано
1830
Функция Вейерштрасса
1872
Функция Римана
1861
Функция Дарбу
1872
Функция Ханкеля
1870,1875
Функция Кантора
1883
Графики некоторых из них приведены на рисунке:
График функции Больцано
График функции Вейерштрасса
График функции Кантора
Самоподобные множества ученых начала 20 века:
Салфетка Серпинского
1915
Ковер Серпинского
1915
Функция Безиковича
1922
Функция Ван-дер-Вардена
1930
Примеры функций приведены на рисунке:
Салфетка Серпинского
График функции Безиковича
График функции Ван-дер-Вардена
Существуют и трёхмерные аналоги построенных фигур.
Следуя Мандельброту, их называют губками. Губка, изображённая на
рис. 11, является трёхмерным аналогом треугольника Серпинского. Фигура на
рис.12 называется губкой Менгера, по имени построившего её Карла Менгера.
Такие губки имеют объём, равный нулю. Трёхмерным аналогом ковра
Серпинского является трехмерный фрактал «Губка Менгера». Строится она
следующим образом. Куб разбивается на 27 равных кубиков и выбрасываются
7 средних, далее то же с оставшимися кубиками, и т. д
12
Рис . 11. Трёхмерный аналог треугольника Серпинского
Рис .12 Губка Менгера
Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа.
Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом
следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным
частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем
масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся
визуально
незаметными,
считают,
что
построенная
фигура
хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения
самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент,
можно получить много разных геометрических фракталов.
13
1.3 Свойства и классификация фракталов
Определим свойства фрактала:
• самоподобие (иерархический принцип организации);
• способность к развитию (принцип непрерывности формообразования);
• дробная метрическая размерность (принцип сингулярности меры);
• размытость, нечеткость контуров (принцип неопределенности границ);
•
геометрическое представление
динамического хаоса).
хаотической
динамики
(принцип
Самоподобие в математических алгоритмах реализуется с помощью
рекурсивных процедур. Вообще, рекурсия – процесс повторения через себя.
Пространственная форма фрактала повторяется (повторяет себя) в каждом
фрагменте в любом масштабе. Его структура отражает иерархический принцип
организации материи в природе. При увеличении масштаба видимая структура
не упрощается, на всех шкалах проявляется одинаково сложная картина.
Математически сингулярность (особенность) — точка функции, значение
в которой стремится к бесконечности, либо другие подобные «интересные»
точки. – так называемое состояние с бесконечно большой плотностью
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных
кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом
звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок
генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся
ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до
бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую.
Способность фрактальных структур к развитию определяет
непрерывность
процесса
формообразования,
незавершенность
пространственного представления фрактала на каждом текущем шаге
итерационного процесса построения. Фрактал никогда не бывает законченным.
Фрактал есть итоговый результат бесконечной процедуры, А
бесконечность процесса нельзя изобразить, нельзя реально выполнить
бесконечную рекурсивную процедуру. Это можно только мыслить. Поэтому
всякое наглядное представление фрактала – это на самом деле изображение
квазифрактала (некоторого приближения искомого фрактала), определяется
конечной процедурой (процесс построения останавливается на каком-то
конечном шаге).
Математическое понимание фрактала определяет его как множество с
дробной размерностью. Дробное значение фрактальной размерности
характеризует степень заполнения пространства фрактальной структурой,
тогда как значение лакунарности представляет собой меру неоднородности
14
структуры фрактала.( Лакунарность в математике — мера неоднородности
заполнения объектом пространства)
Обычно размер кривой оценивается ее длиной, размер поверхности – ее
площадью, размер трехмерного тела – его объемом. Для фрактальной
структуры такой подход не годится. Например, длина простейшего фрактала –
канторового множества – равна 0, а длина снежинки Коха (непрерывная
замкнутая кривая, ограничивающая конечную площадь) равна бесконечности.
Поэтому для фракталов, являющихся n-мерными телами применяют
дробную размерность.
Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:




геометрические фракталы
алгебраические фракталы
системы итерируемых функций
стохастические фракталы
Геометрические фракталы - с них и начиналась история фракталов. Этот
тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно
при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой
"затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо
геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять
тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и
сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество
преобразований - получим геометрический фрактал.
Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются
предметом достаточного серьезного научного изучения, а с другой стороны, их
можно «увидеть» — даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то
для себя. Такое сочетание редко в современной математике, где все объекты
задаются с помощью непонятных слов и символов. Оказывается, многие
геометрические фракталы можно нарисовать буквально на листочке бумаги
в клетку. Сразу оговоримся, что все получаемые изображения (в том числе и те,
что приведены на этом плакате) являются лишь конечными приближениями
бесконечных по своей сути фракталов. Но всегда можно нарисовать такое
приближение, что глаз не будет различать совсем мелкие детали и наше
воображение сможет создать верную картину фрактала.
Алгебраические фракталы – это самая крупная группа фракталов.
Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах.
Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный
итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно
пользоваться
терминологией
теории
этих
систем:
фазовый
портрет, установившийся процесс, аттрактор и т. д. Известно, что
нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми
состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после
некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому
каждое устойчивое состояние (или, как говорят, «аттрактор») обладает
15
некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно
попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое
пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если
фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области
притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый
портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора
цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми
многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность
с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные
нетривиальные структуры.
Стохастические фракталы. Ещё одним известным классом фракталов
являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в
итерационном процессе хаотически менять какие-либо его параметры. При
этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные
деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические
фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности
моря .
16
Глава 2. Фрактальные кривые окружающего мира
"Красота всегда относительна... Не следует... полагать, что берега
океана и впрямь бесформенны только потому, что их форма отлична от
правильной формы построенных нами причалов; форму гор нельзя считать
неправильной на основании того, что они не являются правильными
конусами или пирамидами; из того, что расстояния между звёздами
неодинаковы, ещё не следует, что их разбросала по небу неумелая рука. Эти
неправильности существуют только в нашем воображении, на самом деле они
таковыми не являются и никак не мешают истинным проявлениям жизни на
Земле, ни в царстве растений и животных, ни среди людей."
Эти слова английского учёного XVII в. Ричарда Бентли свидетельствуют
о том, что идея объединить формы берегов, гор и небесных объектов и
противопоставить их евклидовым построениям возникла в умах людей уже
очень давно.
Ярким примером фрактала в природе является цветная капуста.
Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же
цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и
снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные
копии цветной капусты.
Большинство природных фракталов на самом деле являются
мультифракталами. Говоря кратко, мультифрактал - это неоднородный
фрактал. В настоящее время теория мультифракталов представляет собой бурно
развивающуюся область науки, и основные её концепции активно
используются для объяснения многих явлений в самых различных областях
естествознания.
Мультифрактальный анализ с успехом применяется при описании
структурного распределения неоднородных звёздных скоплений в астрофизике,
при исследовании агрегационных свойств клеточных элементов крови в
биологии, для характеристики основных этапов эволюции ансамбля
дислокаций и усталостного разрушения материалов в физике металлов.
Мультифрактальные концепции широко используются в теории развитой
гидродинамической турбулентности, при изучении несоразмерных структур и
квазикристалов в физике твёрдого тела, в теории спиновых стёкол и
17
неупорядоченных систем, в квантовой механики и физике элементарных
частиц.
Прежде всего, фракталы - область удивительного математического
искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются
картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных
изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы. Одни из наиболее
мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во-первых,
это фрактальное сжатие изображений, и во-вторых построение ландшафтов,
деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика
и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов.
И, конечно же, фракталы применяются непосредственно в самой математике.
Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький
размер упакованного файла и малое время восстановления картинки.
Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления
пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда
длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет
задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит
поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам.
И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При
сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что
приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки,
шестиугольная сетка лишена такого недостатка. Компанией Iterated разработан
новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и
«волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат
позволяет создавать изображения с возможностью последующего
высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов
составляет 15-20% от объема несжатых изображений. Склонность фракталов
походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими
редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные
горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются
простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные
треугольники и кубики при приближении. Нельзя обойти стороной и
применения фракталов в самой математике. В теории множеств множество
Кантора доказывает существование совершенных нигде не плотных множеств,
в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является
хорошим примером функции распределения сингулярной меры.
Фракталы широко применяются в компьютерной графике – при
построении изображений деревьев, кустов, поверхности морей, горных
ландшафтов, и других природных объектов. Кроме фрактальной «живописи»
существуют так же фрактальная музыка и фрактальная анимация. В
изобразительном искусстве существует направление, занимающееся
получением изображения случайного фрактала – «фрактальная монотипия»
или «стохатипия».
18
Фрактальное дерево
Фрактальный пейзаж
В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному
свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют
приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой
точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при
том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные
объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь
угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах равномерной
меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать
их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных
устройств было впервые применено американским инженером Натаном
Коэном. Проживая в центре Бостона, чтобы обойти запрет городских властей
на установку наружных антенн, он решил замаскировать антенну любительской радиостанции под декоративную фигуру из алюминиевой фольги.
Натан вырезал из фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист
бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию
и наладил их серийный выпуск.
Применение фрактальных правил построения широко распространено и в
архитектуре. Фрактальная архитектура бывает интуитивной и сознательной.
Под интуитивной фрактальностью подразумевается структура многих
шедевров мировой архитектуры прошлого, в которых архитектор или
строители неосознанно использовали фрактальные принципы.
Самоподобие форм в архитектуре можно
увидеть в зданиях Исторического музея (Москва);
индийских храмов (комплекс в Кхаджурахо);
19
фрактальные прообразы и архитектура пирамидальных фасадов (ступенчатые
пирамиды), колоколен, фасадов готических зданий Германии.
Расположение и размеры куполов многоглавых церквей, условно
показанные в одной плоскости плана с осевой симметрией, также имеют
прообразом фрактальную структуру (типа «салфетки» Серпинского с кругами).
Спиралеподобные формы, отражающие один
из распространенных фрактальных алгоритмов
в природе, используются и в искусственной
среде, включая архитектуру и дизайн
(спиральный декор храма Василия Блаженного,
металлические узоры оград и решеток,
произведения
декоративно-прикладного
искусства)
Примеры
определения
размерности
природных фракталов.
Так как фрактал состоит из бесконечного числа
повторяющихся элементов, невозможно точно измерить его
длину. Это означает, что чем
более точным инструментом мы будем его измерять, тем
большей окажется его длина. Хорошим примером сказанному
является история измерения береговой линии островов и
материков
Опыт показывает, что длина береговой линии L зависит от
масштаба l , которым проводятся измерения, и увеличивается с
уменьшением последнего по степенному закону L = Λ * l–α, где Λ
= const .
Так, например, для побережья Великобритании α≈0.3.
Происхождение такой зависимости понятно: чем меньше
масштаб мы используем, тем меньшие детали побережья будут
учтены
и дадут вклад в измеряемую длину. Наоборот, увеличивая
масштаб, мы “спрямляем” побережье, уменьшаем тем самым его
береговая линия
длину L. Число раз N, которое измерительный масштаб l
Великобритании
укладывается вдоль побережья, равно: N=L/l = Λ * l–(1+α).
По нашей терминологии береговая линия Великобритании представляет
собой фрактал с размерностью D=1+α≈1.3 .
Было обнаружено, что фрактальная размерность побережья
существенно зависит от его геологической структуры и может
изменяться между 1,01 и 1,6, для различных районов.
Самым удивительным оказывается то, что и многие
живые
природные
объекты
обладают
дробной
размерностью. Например, размерность кровеносной
системы человека лежит между 2,4 и 2,6. При различных
масштабах наблюдения характер распределения кровеносных
сосудов существенно не изменяется.
20
Глава 3. Опытно-экспериментальная работа
Практическая часть
1. Используя принципы фрактальной геометрии построена модель букета
самоподобных цветов, отвечающая всем требованиям определения
фракталов.
2. Рассмотрев примеры объектов окружаещего мира, мной была
сформирована таблица соответствия природных элементов группам
фракталов:
Группа фракталов
геометрические
фракталы
Подобие природного объекта
Капуста Романеско
Кораллы
Снежинка
Разряд молнии
алгебраические
фракталы
Колония бактерий
в питательной среде
Горные каньоны
Потоки лавы
Береговая линия
стохастические
фракталы
Ткани мозжечка
Трещины на льду
Пузыри в жидкости
Пятна на Юпитере
Выводы
1. Фракталы описывают геометрическое построение природных объектов.
2. Используя определение
геометрическую модель.
фрактала,
можно
построить
сложную
21
Заключение
В своей работе мы кратко изложили информацию о фракталах их
истории, применении фракталов в различных областях науки и техники и их
роли в современной компьютерной графике.
Во-первых, оказалось, что мы окружены такими системами и
сталкиваемся с ними чуть ли не каждый день. Во-вторых, многие свойства
таких объектов весьма необычны. Не понимая этих свойств, нельзя понять
даже таких простых вещей, как форма облаков или снежинок. В-третьих, все
оказалось сложнее, чем представлялось вначале: фрактал должен описываться
не одной своей фрактальной размерностью, а целым набором, спектром разных
размерностей, каждая из которых становится равной размерности евклидова
пространства, как только мы переходим от фракталов к обычным телам.
Разные свойства фрактальных систем зависят от разных размерностей
В наше время предпринимаются попытки обоснования искусства с точки
зрения фракталов.
Фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы
простыми формулами на простых домашних компьютерах.
Значение открытия фракталов для науки трудно переоценить. Создание
практически точных моделей окружающей среды позволит точнее рассмотреть
и оценить факторы, влияющие на ее состояние и развитие.
Теория фракталов используется и при изучении структуры Вселенной.
Появляются теории о том, что наша Вселенная - фрактал. Возможно, именно
фракталы раскроют тайну бесконечности нашей Вселенной.
22
Список литературы
1.
2.
Соколов И.М. Фракталы/ И.М.Соколов//Квант: 1989.№5.-М., стр.6
Жиков, В.В. Фракталы / В.В. Жуков // СОЖ : 1996. N12. - м., стр.109.
Интернет - источники
1.
2.
3.
www.ru.wikipedia.org статья Фракталы.
www.fractal.nsu.ru
http://sakva.narod.ru/fractalsframe.htm
23
Приложение 1
Рисунки Маурица Эшера
24
Приложение 2
Геометрические фракталы
25
26
РЕЦЕНЗИЯ
на исследовательскую работу
Мехниной Татьяны Вадимовны
учащейся 7 В класса МБОУ «СОШ №1» г. Абакана
на тему «Фрактальные кривые окружающего мира»
Исследовательская работа, выполненная Т.В. Мехниной, посвящена
актуальной проблеме объяснения сложных геометрических линий (например,
береговых линий). Кривые, подобные кривой Кох, в природе составляют
скорее правило, чем исключение.
Автор ставит своей целью выявить в исследовательской работе
закономерности проявлений сложных геометрических линий в окружающем
мире.
Во введении четко сформулированы цель, объект, предмет, задачи,
актуальность исследования.
Работа состоит из 3 глав. В первой главе рассматриваются история
открытия фракталов, вводится определение самоподобных фигур, проводится
классификация фракталов. Вторая глава посвящена сравнительной
характеристике видов фракталов с существующими природными кривыми в
окружающем мире. В третьей главе раскрыты опытные составляющие
исследовательской работы (составление наглядной таблицы, конструирование
самоподобной фигуры). В дальнейшей работе над темой, следует учесть тот
факт, что для того чтобы можно было говорить о фрактальных свойствах
системы, необходимо, чтобы различие минимального и максимального
масштабов было достаточно большим.
Работа выполнена с соблюдением основных требований, которые
предъявляются к исследовательским работам, написана научным, доступным
для понимания языком с использованием специальных терминов и понятий.
В ходе работы автор использовал несколько литературных источников,
т.к. исследования в данной области еще только развиваются.
В цело работа интересна и актуальна. Однако необходимо обратить
внимание на оформление 3 главы.
Работа может быть признана завершенной, так как выполнена автором в
рамках поставленных задач.
Рецензентучитель математики высшей категории
МБОУ «Средняя общеобразовательная
Школа №1» г. Абакана
С.Ф. Щетинина
27
Скачать