Задачи к олимпиаде по математике 2012/2013

Задачи, рекомендуемые для проведения школьного тура олимпиады по
математике в 2012-2013 учебном году.
5 класс
1. Разрежьте фигуру, изображенную на
рисунке (прямоугольник 4x5 без угловых клеток)
на три части, не являющиеся квадратами так,
чтобы из этих частей можно было сложить
квадрат.
2. Арнольд Шварценеггер одним ударом разбивает кусок бетона на 6 частей, а
Сильвестр Сталлоне – на 4 части. На сколько частей они разбили бетонную плиту,
если Шварценеггер сделал 20 ударов, а Сталлоне – 12 ударов?
3. Перед контрольной работой по математике, состоящей из 6 задач, каждый
из учеников 5 класса сказал, сколько задач он решит, и только Петя сказал, что он,
наверное, не решит ни одной. В итоге оказалось, что каждый, кроме, конечно,
Пети, решил задач меньше, чем он предсказывал. Учительница заметила, что были
ученики, полностью справившиеся с контрольной. Сколько задач решил Петя?
6 класс
1. Петя взял у Маши книгу на 3 дня. В первый день он прочитал полкниги, во
второй день – треть оставшихся страниц, а в третий – количество страниц, равное
половине количества страниц, прочитанных в первые два дня. Успел ли Петя
прочитать книгу?
2.Четыре приятеля собирали грибы. На вопрос: «Сколько грибов вы вместе
собрали?» они ответили так. Петя: «Не меньше ста». Вася: «Белых – двадцать, а
остальные я не считал». Миша: «Вася ошибся». Юра: «Не больше 99» Сколько
ребят сказали правду?
3. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между
этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.
4. Сумма 11 чисел равна 2012. Может ли их произведение оканчиваться на
2013?
7 класс
1. Вчера число учеников, присутствовавших в классе, было в восемь раз
больше числа отсутствующих. Сегодня не пришли ещё два ученика, и оказалось,
что отсутствуют 20% от числа учеников, присутствующих в классе. Сколько всего
учеников в классе?
2. Из цифр 2, 5, 8 составили 2012-значное число. Может ли это число делиться
на 15?
3. Пусть a, b, c таковы, что 2a, a+b, c – целые числа. Докажите, что для любого
целого x значение выражения
тоже целое.
4. Каких пятизначных чисел больше: тех у которых цифры идут в строго
возрастающем порядке, или тех, у которых цифры идут в строго убывающем
порядке?
8 класс
1. Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0.
Известно, что
. Какое из чисел положительное, какое отрицательное
и какое равно 0?
2. Натуральные числа m и n удовлетворяют равенству
.
Докажите, что их сумма (m+n) – точный квадрат.
3. Существует ли выпуклый пятиугольник, в котором каждая диагональ не
больше стороны, с которой эта диагональ не имеет общих точек?
4. Из произведения всех натуральных чисел от 1 до 2012 вычеркнули все
числа, делящиеся на 5. Какой цифрой будет оканчиваться произведение
оставшихся чисел?
5. За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Докажите, что
найдется ребенок, оба соседа которого – мальчики.
9 класс
1. DB – медиана треугольника ABC. DE и DF – биссектрисы углов ADB и CDB.
Отрезки BD и EF пересекаются в точке M. Докажите, что DM=
EF.
2. Докажите, что число
делится
на 2013.
3. Найдите все тройки целых чисел x, y, z удовлетворяющие системе
неравенств
,
,
.
4. Квадратный трехчлен
имеет целые корни, по модулю большие
2. Докажите, что число
составное.
5. В математическом кружке занимаются 15 мальчиков и Маша. Назовем
«компанией» любую группу, состоящую из двух или более учеников. Каких
компаний больше: с Машей или без Маши?
10 класс
1. Найдите три наименьших последовательных натуральных числа, сумма
которых оканчивается на 2012.
2. Найдите все такие простые a и b, что уравнению
имеет
целые корни.
3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Точки M
и N основания перпендикуляров, опущенных на прямую DE из точек A и C
соответственно. Докажите, что ME=DN.
4.
Найдите
значение
выражения
5. В клетках квадратной таблицы 10x10 произвольно расставили числа от 1 до
100. После этого подсчитали суммы чисел, стоящих в каждом столбце: S1, S2, …,
S10. Могло ли оказаться так, что среди чисел S1, S2, …, S10 любые два соседних
числа различаются ровно на 1?
11 класс
1.Докажите неравенство
.
2.Когда одно из двух целых чисел увеличили в 2012 раз, а другое уменьшили
в 2012 раз, их сумма не изменилась. Докажите, что эта сумма делится на 2013.
3.Вне квадрата, на его стороне, построен прямоугольный треугольник, у
которого сторона квадрата является гипотенузой. В каком отношении биссектриса
прямого угла этого треугольника делит площадь квадрата?
4.Сколько корней имеет уравнение
5.На двух противоположных гранях кубика написали число 1, ещё на двух
противоположных гранях – число 2, на оставшихся гранях – число 3. После чего из
8 таких кубиков сложили новый куб. Могло ли получиться так, что суммы чисел
написанных на каждой грани большого куба – шесть последовательных чисел.