ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ И ОПТИМИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИИ УПРУГИХ ТЕЛ

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ И
ОПТИМИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИИ УПРУГИХ ТЕЛ
ПРИ НАЛИЧИИ СИНГУЛЯРНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ
Матвеенко В.П.
Пермь, Россия
Проблема построения сингулярных решений задач теории упругости в окрестности
особых точек привлекает внимание многих исследователей. В меньшей степени
рассматривались возможные практические приложения сингулярных решений.
При исследовании сингулярности напряжений в особых точках доминируют два
подхода. Первый их них связан с построением решений, удовлетворяющих однородным
уравнениям равновесия и однородным граничным условиям для областей, содержащих
особые точки. При втором подходе используются преобразование Меллина и теория
вычетов. Эти подходы позволили исследовать сингулярность в окрестности особых точек
практически для всех ситуаций, имеющих место в двумерных областях.
В трехмерных областях имеют место особые точки, например, вершина
многогранного клина, конуса, в которых задача анализа особенности напряжений не
сводится к решению двумерных задач. Рассматривая работы, посвященные исследованию
этих задач, можно отметить относительно небольшой (по сравнению с двумерными
задачами) объем полученных численных результатов. В связи с этим, был предложен
метод, позволяющий проводить численный анализ характера сингулярности напряжений в
окрестности различных типов особых точек упругих тел. Этот метод позволил получить
результаты для двумерных и трехмерных задач для вариантов, рассмотрение которых
другими методами связано с различными трудностями, а также вариантов решения, для
которых отсутствуют. К числу таких решенных задач относятся: составной клин,
выполненный из прямолинейно анизотропных материалов; трехгранный клин при
различных вариантах однородных краевых условий на боковых гранях; круговые и
некруговые конуса; полые и составные конуса; конуса со смешанными краевыми
условиями на боковых поверхностях.
Суть метода состоит в следующем. Рассмотрим полубесконечный клин или конус, у
которого вершина совпадает с центром сферических координат. В случае клина одно из
ребер совпадает с осью   0 , а одна из граней, содержащая ребро   0 , совпадает с
плоскостью   0 . Для конуса ось   0 перпендикулярна его основанию. Для анализа
сингулярности
напряжений
необходимо
построить
собственные
решения,
удовлетворяющие в рассматриваемой области уравнениям равновесия
1
grad div u   2u  0
(1)
1  2
и однородным краевым условиям на боковой поверхности, где могут быть заданы либо
нулевые перемещения
(2)
u0
либо нулевые напряжения

1
n div u  n u  n  rot u  0
(3)
1  2
2
либо комбинация нулевых значений вектора перемещений и тензора напряжений. Здесь
 - коэффициент Пуассона, n - единичный вектор внешней нормали, точкой обозначается
скалярное произведение, а крестиком – векторное.
Собственные решения для конуса, как и в работе [1], строятся в виде
u (r , ,  )  r  ( ,  )
(k  1, 2,3)
(4)
k
k
Для многогранного клина особенность напряжений на ребрах учитывается
следующим образом [2,3]
(k  1, 2,3)
(5)
u (r, ,  )  r 11 22 nn  ( ,  )
k
k
- число ребер, i (r , ,  ) (i  1, 2, n) эквивалентно расстоянию до i - го ребра,  i n
собственные значения для плоского клина со сторонами образованными в результате
пересечения плоскости, перпендикулярной i -му ребру клина, и граней пространственного
клина.
Вид функций i (r , ,  ) можно получить, исходя из их определения как расстояния
до ребра i
i (r , ,  )  r  1/2
(6)
i  1  [cos  cos i  sin  sin i cos(  i )]2
где прямая    i ,   i , определяет i -е ребро клина. Тогда соотношение (5) примет вид
(7)
u (r, ,  )  r  (11 ( ,  ) 22 ( ,  ) nn ( ,  ))1/2  ( ,  )
k
k
    1   2    n .
Подставляя (7) в (1), получим систему дифференциальных уравнений в частных
производных относительно функций  ( ,  ) и параметра 
k
L ( ,  ,  ,  )  0
(k  1, 2,3)
(8)
k
1 2 3
Граничные условия (2), (3) с учетом (7) преобразуются соответственно к виду
  0,
M ( ,  ,  ,  )  0
(k  1, 2,3)
(9)
k
k
1 2 3
Таким образом, поставленная задача свелась к задаче на собственные значения для
системы дифференциальных уравнений в частных производных. При этом по значениям
параметра  можно судить о характере сингулярности напряжений.
Решений поставленной задачи предлагается осуществлять следующим образом.
Запишем дифференциальные уравнения (8) в слабой форме [4], для чего умножим их на
тестовые функции  ( ,  ) и проинтегрируем по области S , вырезаемой рассматриваемой
областью на сфере.
3
(10)
  L j ( , 1, 2 , 3 )  j dS  0
S j 1
Для решения уравнений (10) используется процедура метода конечных элементов
(МКЭ).
Достоверность и эффективность рассматриваемой процедуры подтверждена серией
численных экспериментов.
В
качестве
приложений
рассматриваемого метода приводятся
результаты расчета для конуса,
основанием
которого
является
эллипс, определяемый соотношением
k  a / b , где a и b - полуоси
эллипса. На боковой поверхности
конуса заданы нулевые напряжения
(3). 21 - угол раствора конуса в
плоскости,
проходящей
через
вершину конуса и полуось эллипса a .
На рис. 1 приведены результаты
вычислений собственных значений 
Рисунок 1
с действительной частью Re  ,
определяющей сингулярные решения.
Здесь сплошная линия соответствует действительным собственным значениям, а
пунктирная – комплексным собственным значениям.
Предлагаемый численный метод позволяет оценивать характер сингулярности
напряжений для различных двумерных и трехмерных задач и является хорошим
дополнением к известным аналитическим методам, в тех случаях, когда их возможности
ограничены.
Оценивая накопленный материал по задачам анализа сингулярности напряжений,
необходимо отметить ограниченность приложений этих решений для прочностного
анализа и численной оценки напряжений в телах произвольной конфигурации.
Анализ сингулярных решений и инженерный опыт позволяет говорить о том, что
окрестности особых точек, как правило, являются зонами сильной концентрации
напряжений, а форма их поверхности и механические характеристики материала
существенно влияют на напряженное состояние. Поэтому представляется совершенно
естественной постановка задачи оптимизации формы поверхности в окрестности особых
точек и поиска значений упругих постоянных, при которых напряженное состояние
удовлетворяет заданному прочностному критерию, либо возникающие напряжения
являются минимальными из всех возможных конструктивных решений.
Необходимо также отметить, что рядом исследователей (Чобанян К.С., Задоян М.А.
и др.) выдвинуто и развивается положение о явлении малонапряженности в составных
клиньях. Рассматриваемая задача оптимизации может быть развитием и дополнением
этого положения.
Предлагается следующая постановка оптимизационной задачи. Рассматривается
кусочно-однородное тело объема V , состоящее из k частей и ограниченное поверхностью
S , на которой имеются особые точки (точки смены типа граничных условий, нарушения
гладкости поверхности, границы контакта различных материалов и т.п.). В окрестности
особой точки t введем функционал
k
(11)
F[St , Eijmn
]  max f ( ij ,  ij )
V
t
k
где St и Vt - часть поверхности S и объема V в окрестности особой точки, Eijmn
-тензор
упругих постоянных k -ой части объема V , f ( ij ,  ij ) - некоторая функция напряжений и
деформаций.
На поверхность St наложены ограничения типа равенств и неравенств в форме
x  St* : St ( x)  St* ( x)
(12)
x Vt * : St ( x)  Vt * ( x)
(13)
где S ( x) , Vt ( x) - заданные ограничения.
Требуется найти поверхность St и характеристики материала, удовлетворяющие
ограничениям (12)-(13) и минимизирующие функционал (11), либо обеспечивающие его
значение меньше некоторой заданной величины.
При численной реализации поставленной оптимизационной задачи решение
предлагается отыскивать на ограниченном классе поверхностей St. В качестве
образующих для таких поверхностей можно использовать кусочно-полиномиальные
функции, определяемые по значениям координат конечного числа узловых точек. Тогда
неизвестная часть геометрии тела St определяется конечным числом параметров, а
функционал (11) превращается в функцию этих параметров. Следовательно, задача
минимизации функционала (11) при ограничениях (12)-(13) сводится к минимизации
функции конечного числа переменных (координат узловых точек поверхности и
k
компонент тензора упругих постоянных Eijmn
) при ограничениях (12)-(13), т.е. к
классической задаче нелинейного программирования.
Для определения напряженно-деформированного состояния тела в ходе
оптимизационного поиска использовался метод конечных элементов. Включение в
*
t
*
конечно-элементный алгоритм полуаналитических сингулярных элементов [5] позволило
снять вопросы о точности и сходимости решения в окрестности особых точек (линий).
Анализ оптимальных поверхностей, полученных для различных задач, позволил
выявить у них следующее общее свойство. Углы, образуемые проведенными из особой
точки касательными к поверхности, в совокупности со значениями упругих постоянных
дают точку на линии (поверхности), разделяющей в соответствующей задаче о
клиновидной области решения с сингулярностью и без сингулярности.
Важным обстоятельством является то, что указанное свойство оптимальных
поверхностей является их ключевой характеристикой. Это позволяет при наличии
информации о значениях Re n и размерах допустимой области изменения геометрии
построить поверхность достаточно близкую к оптимальной, не решая оптимизационной
задачи.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проекты 06-01-00488-а и 07-08-12144-офи).
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Z.P. Bazant, L.M. Keer. Singularities of elastic stresses and of harmonic functions at conical notches and
inclusions. Int. J. Solids Struct. 1974, V.10, №9, 957-965.
Z.P. Bazant. Three-dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity
lines: a general method. Intern. J. Eng Sci. 1974, V.12, № 3, 221-243.
В.З. Партон, П.И. Перлин. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981, 688 с.
Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977, 349 с.
С.М. Борзенков, В.П. Матвеенко. Полуаналитические сингулярные элементы для плоских и
пространственных задач теории упругости. Изв. АН. МТТ. 1995, №6, 48 – 61.