Порядок решения задачи по курсовой работе (моделирование

Вычислительный эксперимент и подготовка научной публикации
Введение
Подготовка и оформление научной статьи требует от автора работы
выполнения ряда последовательных действий: поиска и изучения литературы по
данному вопросу, четкой, желательно в математической форме, формулировки
решаемой задачи, получения и анализа результатов, представления этих
результатов в удобной форме.
Целью данного курса является формирование навыков подготовки и
оформления научной работы (статьи, дипломной работы) в области физики,
поиск информации, ее классификация и рациональное размещение на
компьютере.
Этапы работы:
1. Написание пояснительной записки (введения) по данному вопросу с
изложением теории изучаемого явления и постановки задачи.
2. Расчет физических величин в соответствии с изложенной теорией,
изучение факторов, влияющих на характер данного явления.
3. Оформление зависимостей физических величин в виде графиков.
4. Обсуждение полученных результатов, формирование выводов.
5. Подготовка доклада по данной теме и презентации к нему.
В соответствии с изложенными этапами подготовки научной работы, в
рамках данного курса каждый студент получает индивидуальное задание по
изучению конкретного физического явления, выполняет и защищает следующие
этапы работы:
2.Подготовка пояснительной записки, излагающей теорию
изучаемого явления.
В Пояснительной записке в литературной форме должны быть изложены
(в логическом порядке) физические законы и их следствия, описывающие данное
явление со ссылками на литературу в тексте, формулы, необходимые для
выполнения индивидуального задания (в том числе, система ОДУ, описывающая
данное физическое явление и схема метода Эйлера для ее решения).
Пояснительная записка должна быть набрана в текстовом редакторе (в том
числе и формулы). Текст должен быть разбит на абзацы, заголовки выделены
(применить стили заголовков). В текст нужно вставить поясняющие рисунки.
Рисунки, таблицы должны быть пронумерованы и подписаны, в тексте в
квадратных скобках проставлены ссылки на список литературы. В работе
должны быть титульный лист и оглавление, оформленные по образцу.
Преподаватель оценивает: логичность, объем и правильность изложения,
соответствие текста пояснительной записки поставленной задаче, стиль ее
оформления.
Отчетные документы:
1. Файл «Курсовая работа_ Фамилия_студента.odt» с титульным листом,
текстом задачи, литературным обзором, списком литературы,
оформленными в соответствии с требованиями.
1
3. Оформление зависимостей физических величин в виде
графиков.
В соответствии с теорией, студент записывает систему дифференциальных
уравнений (ОДУ), соответствующую его задаче, схему Эйлера для численного
решения этой системы. Представляет решение задачи в редакторе электронных
таблиц OO Calc для расчета искомых физических величин в зависимости от
различных параметров.
Результаты
проведенных расчетов должны
продемонстрировать ответы на вопросы поставленной задачи с различными
параметрами в виде таблиц и графиков.
Студент должен уметь: Записывать систему ОДУ, соответствующую его
задаче, схему Эйлера для численного решения этой системы. На основе
образца, представить решение задачи:
 организовать ввод начальных условий задачи;
 сформировать таблицу значений независимого параметра и искомой
величины;
 построить диаграммы искомых зависимостей;
 ответить на поставленные в задаче вопросы.
Преподаватель оценивает: Правильность составления ОДУ, схемы Эйлера,
соответствие расчетной схемы записанным ОДУ, соответствие проведенных
расчетов постановке задачи и пояснительной записке.
Отчетные документы:
1. Набранный текст в редакторе Writer с соответствующей решению
поставленной задачи схемой Эйлера (в редакторе формул).
4. Построение графиков с помощью табличного процессора.
Все графики должны быть оформлены в одном стиле:
 подписаны оси с указанием наименования и размерности физической
величины,
 сделана разметку осей,
 подписан график в целом.
Графики должны отражать зависимость изучаемых величин от различных
факторов, согласно теории, изложенной в пояснительной записке.
Студент должен уметь: с помощью средств табличного процессора строить
графики (в том числе несколько в одной системе координат), выбирать
масштаб осей, оформлять графики и оси.
Преподаватель оценивает: Навыки работы с табличным процессором:
считывать данные из файла, строить диаграммы (графики). Соответствие
построенных графиков теории, изложенной в пояснительной записке,
оформление графиков.
Отчетные документы:
1. Файлы, созданные табличным процессором, содержащие расчетные
данные и диаграммы (графики), построенные на их основе.
2
5. Оформление работы.
На данном этапе студент должен завершить написание научной работы,
включив в нее описание результатов, их обсуждение и выводы. При разработке и
отборе материала, нужно ориентироваться на текст задачи, поставленные там
вопросы. Изложение материала в работе должно быть последовательным, из
него должны логически следовать выводы. Также необходимо сравнить
результаты моделирования с изложенной в начале работы теорией, ответить на
все вопросы, поставленные в задании, написать введение и заключение.
Студент должен оформить работу по следующему плану:
2. Титульный лист (см. образец)
3. Содержание работы (оглавление с указанием наименования параграфов и
номера страниц)
4. Литературный обзор по решаемой задаче.
5. Описание и обсуждение результатов компьютерного моделирования
(решения системы ОДУ), сравнение полученных результатов с теорией.
6. Список используемой литературы.
Преподаватель оценивает: Правильность оформления работы, логику и
полноту содержания.
Отчетные документы:
1. Файл «Фамилия_студента.odt», оформленный в соответствии с
требованиями.
6. Создание презентации к устному докладу
На данном этапе студент должен освоить работу с программой создания
презентаций: Создание простых слайдов, работу с разметкой слайда, создание
фона слайда, форматирование текста, создание автофигур, размещение
изображений на слайде, настройку анимации объектов слайда, редактирование
презентации в целом (работу с различными режимами программы). Затем,
используя полученные навыки, студент готовит презентацию доклада по
индивидуальной задаче (см. образец).
Преподаватель оценивает: Оформления презентации, ее соответствие
содержанию работы.
Отчетные документы:
1. Файл «Фамилия_студента.odp», содержащий презентацию к докладу по
решенной задаче.
Порядок выполнения работы
1.Получите задачу у преподавателя.
Прочитайте внимательно условие. Прежде чем приступить к выполнению
задания, необходимо найти ответы на вопросы по следующему плану:
1)
В каком разделе физики изучается явление (закон);
2)
Какое физическое явление или закон лежат в основе данной задачи;
3)
История изучения (открытия) этого явления или закона:
a) Кем и когда открыт (изучен);
b) Какие наблюдения (факты, опыты) легли в основу открытия;
c) Какие предположения были выдвинуты первоначально.
3
4)
Запишите современную формулировку явления (закона), основные
уравнения, описывающие явление (закон).
2.Используйте поисковые системы Интернета для ответов на поставленные
вопросы.
3.Литературный обзор
Напишите литературный обзор по предложенному выше плану с учетом
требований к оформлению большого документа.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Краткая теория
Для численного решения ОДУ разработано много так называемых
разностных схем. В них ОДУ заменяется алгебраическими уравнениями для
функции y(x,C1, C2,…) в некоторых точках хi. Обычно, для применения этих
схем необходимо ОДУ разрешить относительно старшей производной. Для ОДУ
первого порядка F(x, y, y’)=0, перейдем к виду y’= F(x, y).
Для численного решения область непрерывного изменения аргумента х
заменяют дискретным множеством точек, то есть вводят сетку. Независимая
переменная берется в определенных точках (узлах) х0, х1, х2,….,хm , находящихся
на расстоянии h друг от друга. Искомая функция ищется только в этих узлах,
получают значения у0, у1, у2,….,уm. Она называется сеточной функцией.
Затем производные приближенно записывают через х0, х1, х2,….,хm, у0, у1,
у2,….,уm и подставляют в исходное уравнение. В результате получаются
уравнения для определения значений функции, в общем случае нелинейные.
Такие методы счёта называются разностными схемами. При этом
дифференциальные уравнения сводятся к алгебраическим, которые называются
разностными уравнениями.
Схема называется устойчивой, если при малом изменении начальных
(граничных) условий решение так же меняется мало.
Схема называется корректной, если решение существует и единственно при
любых начальных (граничных) условия.
Схема явная, если для нахождения уi требуется знать значения функции в
предыдущих точках. В противном случае, схема является неявной.
Некоторые численные методы решения ОДУ.
Метод Эйлера.
Запишем для искомой функции ряд Тейлора, сохраняя в разложении первую
производную:
у(хi+h)=у(хi)+у’(хi)·h+… далее ряд обрываем.
Обозначим:
хi+1=хi+h
у(хi+h)=у(хi+1)=уi+1
у(хi)=уi
По условию
у’(хi)=f(уi, хi)
4
Тогда:
уi+1=уi+h·f(уi, хi)
(4)
хi+1=хi+h ,
i=0,1, 2, 3,…
Причем, у0=у(х0) известно из начального условия.
Получается
рекуррентная
формула
для
нахождения
сеточной функции по методу
Эйлера или разностная схема
метода Эйлера.
Геометрическая
интерпретация метода Эйлера
очень проста. На рисунках
красная линия представляет
собой функцию – частное
решение ОДУ. Приближенное
решение в точке хi+1 находится с помощью касательной, построенной в точке хi,
тангенс угла наклона которой равен производной - правой части ОДУ.
Приближенное решение уi+1 находится из треугольника, показанного на левом
рисунке, при этом возникает ошибка. Рисунок справа демонстрирует, почему
метод Эйлера называют «методом ломаных» и нарастание ошибки в процессе
применения этой схемы. Ошибка пропорциональна шагу h2 и уменьшается при
уменьшении шага.
4.Моделирование физических явлений с помощью программы Calc.
1. Описание движения в поле тяжести с помощью обыкновенных
дифференциальных уравнений
Физические явления, рассматриваемые в данном курсе, обычно
описываются одним или несколькими обыкновенными дифференциальными
уравнениями (ОДУ).
Необходимо проанализировав условие
задачи,
записать
систему
ОДУ
и
дополнительные условия в соответствии с
порядком уравнения и разрешить уравнения
относительно старшей производной.
Рассмотрим движение тела, брошенного с
начальной горизонтальной скоростью V0. Если
не учитывать сопротивления воздуха, на такое
тело действует только сила тяжести Fт=mg (см.
рисунок). Уравнение движения тела получается
из рассмотрения второго закона Ньютона:
2
ma = m g или m d r2 = mg
dt
(1)
5
Выберем систему координат, начало отсчета которой, связано с землей, ось
у направлена вверх. Тогда из (1) в проекциях на оси координат имеем:
d 2x
m 2 =0
dt
d2y
и m 2 =  g . (2)
dt
Начальные условия: при t=0:
x= 0,
dx
dy
= V 0 , y= H ,
=0
dt
dt
.
Для понижения порядка ОДУ вводим новые переменные и переходим к
системе ОДУ первого порядка:
 dx
 dt  Vx

m dVx  0
 dt

 dy  Vy
 dt
 dV
m y  mg
 dt
(3)
Для решения задачи с использованием электронных таблиц воспользуемся
определением производной через приращение функции:
dx
x
 lim
dt t 0 t
Выразим искомые величины через бесконечно малое приращение времени dt.
Запишем схему Эйлера, которая позволяет решать систему ОДУ
численно,:
ti 1  ti  dt

 xi 1  xi  dt  Vxi

Vxi 1  Vxi  dt  0
 y  y  dt V
i
yi
 i 1
Vyi 1  Vyi  dt  g

(4)
Где dt - шаг по времени. Значение индекса i определяет предыдущее
значение функции, а i+1 последующее. Так как проекция ускорения на ось х
равна нулю и скорость Vx не меняется, третье уравнение в системе (4) можно
опустить. Учитывая начальные условия, получим
V x,0= V 0 , x 0= 0, V y,0= 0 , y 0= H
. (5)
Таким образом, подставляя в схему Эйлера (4) начальные условия (5),
можно получить значение координат и скоростей в момент времени t, а с их
помощью – значения переменных в следующий момент времени и т.д.
6
Для учета сопротивления воздуха, во второй закон Ньютона (1) нужно
включить еще одну силу
Fсопр.  кV
Тогда,
(6).
ma  mg  kV
(7).
Этот случай описывается следующей системой ОДУ первого порядка:
 dx

=
V
x
 dt


 (8)
dV
m x = kV

x
 dt



 dy = Vy

 dt

 dV

y
m
= mg  kVy 
 dt

Эта же система уравнений будет описывать и случай вертикального
движения тела (только Vx = V0=0 и два первых уравнения в системе (8) можно не
рассматривать), и случай движения тела с начальной скоростью, направленной
под углом к горизонту.
Пример 1: Моделирование движения тела в поле тяжести
Задача: Тело брошено горизонтально со скоростью 2 м/с с высоты H= 50
м. Построить траекторию движения тела (зависимость Y от Х). На каком
расстоянии от точки бросания тело упадет на землю?
Рассмотренная ниже последовательность действий показывает, как можно
использовать редактор электронных таблиц для расчета значений функций
x(t ) , y (t ) ,Vx (t ) ,Vy (t ) в соответствии с уравнениями схемы Эйлера (4), и
построить траекторию движения тела.
Последовательность действий:
1) Запустить табличный редактор Open Office.Org. Calc.
2) В ячейках А1-Е1 подписываем заголовки столбцов
таблицы
t,
x(t ) , y (t ) ,Vx (t ) ,Vy (t ) ;
3) В столбце А рассчитываем время. В ячейке А2 вводим 0 — начальное
значение времени, а в ячейке А3 записываем формулу =А2+0,1, где 0,1
значение dt – шага времени.
4) Заполняем значения времени. Щелкаем на ячейке А3. Перемещаем курсор
в правый нижний угол ячейки А3, пока курсор на превратится в знак «+»,
зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем вниз, примерно до ячейки А37.
5) В столбце В рассчитываем координату х. В ячейки В2-Е2 записываем
начальные условия (5), а в ячейку F2 значение шага по времени, в нашем
примере 0,1. В ячейке G1 значение ускорения свободного падения g 9,8.
7
6) В ячейке В3 набираем формулу =B2+$F$2*D2, где $F$2- ссылка на ячейку
F2, значение в которой не должно изменяться.
7) В столбце С рассчитываем координату у. В ячейке Сз аналогично
записываем формулу: =C2+$F$2*E2
8) В столбце D рассчитываем горизонтальную составляющую скорости Vx.
В ячейке D3 =D2+$F$2*0
9) В столбце E рассчитываем вертикальную составляющую скорости Vy. В
ячейке Е3 записываем формулу: =E2-$F$2*$G$2
10) Используя маркер автозаполнения «+», растягиваем значения ячеек В-Е
последовательно до 37 строки включительно. Получаем таблицу значений.
8
При заполнении таблицы значений необходимо обратить внимание на
значение координаты Y, которая не может быть <0 (мы принимаем поверхность
земли за нулевой уровень).
Для построения траектории движения тела необходимо выделить диапазон
ячеек B2:С34. На панели задач выбрать пиктограмму диаграмма. В открывшемся
окне мастера диаграмм, выбрать тип диаграммы <Диаграмма XY> и вид <линии
и точки>. Нажимая последовательно кнопку <Далее>, подписываем название
диаграммы и осей. Нажав кнопку готово, получаем траекторию движения тела,
как показано на рис.
Из полученной зависимости мы делаем вывод, что тело упадет на землю на
расстоянии приблизительно 6,5 м от точки бросания (координата Y =0).
Пример 2: Движение в поле тяготения
Движение тела массой m1 в поле тяготения массивного тела М происходит
под действием гравитационной силы:
Fg = γ
m1  M
r
r3
(9)
Где r - радиус-вектор между взаимодействующими телами (направлен к
m1),
-гравитационная постоянная. Будем считать, что M>>m1. Тело массой М
в таком случае является неподвижным центром тяготения. Тогда уравнение
движения тела массой m1:
γ
m1a =  γ
m1M
r
r3
(10)
Совместим начало системы координат (0,0) с центром масс массивного
тела М. Тогда уравнение (10) в проекциях будет иметь вид:
m1M 

m
a
=

γ
x
1
x

(11)

r3


m a = γ m1M  y 
 1 y

r3
где x, y – координаты тела массой m1, r = x 2  y 2 .
9
После замены переменных из (11) получается система ОДУ первого
порядка:
 dx

 dt = Vx



m dVx =  γ Mm1  x 
 1 dt

r3


 dy = Vy

 dt

 dV

1
m1 y =  γ Mm
 y
dt
r3


(12)
Для численного интегрирования этой системы записываем схему Эйлера:
ti+1 = ti + dt

 x = x + dt V

i+
1
i
x,i




M
Vx,i+1 = Vx,i  γ r 3  xi dt 


 y = y + dt V

i
y,i
 i+1

M


Vy,i+1 = Vy,i  γ r 3  yi dt 


2
2
r = xi + yi

(13)
Удобно решать эту систему со следующими начальными условиями:
х(0)=х0; y(0)=y0=0; Vх(0)= Vх,0=0; Vy(0)= Vy,0=V;
При этом тело массой m1 будет двигаться против часовой стрелки вокруг
массивного тела М по эллипсу, оси которого будут параллельны осям координат.
Планеты Солнечной системы, движения которых моделируются в задачах,
движутся с периодами, измеряющимися годами, по орбитам, оси которых
измеряются миллионами километров. Таким образом, моделирование «в
реальном времени» представляется неразумным. Разумные времена и размеры
орбит получаются, если взять γ=1, М=1200, х(0)=30, V~5.
Если в задаче рассматривается движение вокруг тяготеющего центра М
двух невзаимодействующих планет с массами m1 и m2, уравнение движения,
подобное (10), записывается для каждого тела:
m1a1 =  γ
m1M
r1
r3
1
mM
m2 a2 =  γ 2 r2
r3
(14)
2
Если учитывать взаимодействие планет с массами m1 и m2 не только с
Солнцем, но и друг с другом, необходимо учесть гравитационные силы
взаимодействия между ними (см. рисунок). На первую планету со стороны
второй действует сила:
F12 = γ
m1m2
 r12
r 3
12
10
(15)
Вектор r12 имеет координаты и длину
r12 = (x2  x1 , y2  y1 )
(16)
r12 = (x2  x1 )2 +(y2  y1 )2
Проекции силы F12 на оси координат
F12 ,x = γ
m1m2
(x2  x1 )
r 3
12
(17)
mm
F12 ,y = γ 1 2 (y2  y1 )
r 3
12
На вторую планету со стороны первой действует сила
закону Ньютона:
(18)
F21 = F12
F21 =  γ
m1m2
 r12
r 3
F 21
. По третьему
(19)
12
Результат моделирования движения планет показан на рис.
3. Пример 3: Движение заряженных частиц в электрических и
магнитных полях.
В электрическом поле на частицу заряда e массой m действует

электрическая сила Fe  e  E . Где Е – напряженность электрического поля. В
магнитном поле на
частицу, движущуюся со скоростью v действует сила

 
Лоренца
уравнение движения частицы в электрических и магнитных полях в векторной
форме имеет вид:


 
dv
m
 eE  e v B
dt

Fm  e v  B , где В- индукция магнитного поля. Таким образом,
 
11
В случае скрещенных однородных стационарных полей, если вектор Е
направлен по оси y, а вектор магнитной индукции В – по оси z, после замены
переменных
v x  x, v y  y ,
(х,у –координаты заряженной частицы), получается система уравнений:
 dx
 dt  v x

 dy  v
y
 dt
 dv
 x  e vy B
 dt
m
 dv
 y  e E  e vx B
 dt
m
m
Удобно
x(0)  0;
решать
эту
систему
ОДУ
с
начальными
условиями
y (0)  0; v x (0)  v0 ; v y (0)  0.
Разностная схема для метода Эйлера:
t i 1  t i  t
xi 1  xi  t  v xi
yi 1  yi  t  v yi
B
m
 v yi  t  ( E  v xi  B) / m
v x ,i 1  v xi  t  v yi 
v y ,i 1
Движение в поле рассеивающего центра.
Движение заряженной частицы в неоднородном поле продемонстрируем на
примере рассеяния. Рассмотрим частицу с зарядом e1, массой m, которая
налетает на заряженный центр с зарядом e2, массы M>>m (см. рис.). На рисунке
v0 –начальная скорость частицы, p –прицельное расстояние, θ – угол рассеяния.
Сила взаимодействия между частицей и центром находится по закону Кулона
 e1  e2  r
F
r3
,
где r – расстояние между центром и частицей. Если центр находится в точке с
координатами (x0,y0), а (x,y) – координаты частицы, то проекции кулоновской
силы
12
Fx 
e1  e2 ( x  x0 )
,
r3
Fy 
e1  e2 ( y  y0 )
,
r3
2
2
где r  ( x  x0 )  ( y  y0 ) .
Удобно связать начало координат с рассеивающим центром, тогда x0=0,y0=0 и
систему уравнений, описывающую движение заряженной частицы в данном
случае можно записать в виде
 dx
 dt  v x

 dy  v
y
 dt

 dv x e1  e2  x


dt
m  r3

 dv y e1  e2  y


dt
m  r3

r  x 2  y 2

и решать с начальными условиями x= -L, y=p, vx=v, vy=0.
4. Механические колебания
Математический маятник (шарик на невесомой нити), выведенный из
равновесия, может колебаться под действием возвращающей силы, величина
которой, можно считать, пропорциональна отклонению от положения
равновесия:
m  a = mg
sin(x)
L
(20)
Здесь х – угол отклонения маятника от положения устойчивого
равновесия, L – длина маятника, g – ускорение свободного падения.
Таким образом, колебания математического маятника без учета силы
трения и при отсутствии вынуждающей силы описываются уравнением:
13
x+ω02sin(x)= 0, ω0 =
g
L
(21)
Здесь ω0 – собственная частота колебаний. Для решения уравнения второго
порядка
d 2x
= ω0sin(x)
dt 2
(22)
Обозначим скорость маятника p=dx/dt и сведем ОДУ второго порядка к
системе:
 dp

 dt = ω0sin(x)
(23)


 dx = p

 dt

которую можно решать с разными начальными условиями.
Для учета сопротивления воздуха в правую часть уравнения (20)
добавляют слагаемое Fсопр  2bx , при наличии периодической вынуждающей
силы – слагаемое F  F0 cos(  t ) , где ω – частота вынуждающей силы.
Программа численного решения системы ОДУ (23) аналогична программе
расчета характеристик движения тела в поле тяжести.
Запишем схему Эйлера, которая позволяет решать систему ОДУ численно:
t i 1  t i  t
xi 1  xi  t  pi
pi 1  pi  t  w0  sin( xi 1 )
14
(4)