Применение свойств вписанных и описанных четырёхугольников при решении геометрических задач

Фамилия Имя ____________________ Класс ______ Дата ___________
геометрия
Применение свойств вписанных и описанных
четырёхугольников при решении
геометрических задач
Задание 1
Запиши решение задачи, указав используемое
свойство при её решении.
Четырёхугольник ABCD описан около окружности. Найди стороны
АВ и СD, если ВС = 6 см, АD = 9 см, АВ в два раза больше, чем СD.
Задание 2
Докажи.
Докажи, что в любом вписанном четырёхугольнике сумма
противоположных углов равна 180°.
Вычисли.
Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АD,
равные радиусу этой окружности. Вычисли углы четырехугольника АВСD.
1
Фамилия Имя ________________________________ Класс _____________ Дата ____________________
Задание 4
Найди.
Найди периметр прямоугольника, вписанного
в окружность радиуса 7,5 см, если стороны
прямоугольника относятся как 3 : 4.
Задание 5
Определи.
В равнобедренной трапеции разность оснований равна 20 см, а
радиус вписанной в неё окружности равен 2 14 см. Определи
стороны трапеции.
Работаем с чертежом.
Используя данные чертежа, найди градусную меру угла D.
2
Ответы
Задание 1. Пусть длина отрезка СD равна Х см, тогда, по условию,
длина отрезка АВ будет равна 2 * Х см.
Тогда 9 + 6 = Х + 2 * Х.
3 * Х = 15.
Х = СD = 15 / 3 = 5 см.
АВ = 2 * СD = 2 * 5 = 10 см.
Использованное свойство: Так как четырехугольник описан вокруг
окружности, то у него сумма длин противоположных сторон равны.
АD + ВС = АВ + СD
Задание 2.
Задание 3.
Задание 4.
3
Ответы
Задание 5.
В трапецию можно вписать окружность,
если сумма оснований трапеции равна сумме
её боковых сторон.
Найдем боковые стороны трапеции (они равны).
Опустим из тупого угла В трапеции высоту ВН на большее
основание AD.
По свойству этой высоты, она делит большее основание на два
отрезка, меньший из которых АН равен полуразности оснований.
Итак, АН = 10см.
Высота описанной около окружности трапеции равна двум
радиусам этой окружности, то есть ВН = 4√14см.
Мы имеем прямоугольный треугольник с катетами 10см и 4√14 см.
Гипотенуза этого треугольника - боковая сторона трапеции АВ.
АВ = √(АН² + ВН²) = √(100 + 224) = 18см.
По свойству, приведенному выше, 2АВ = ВС + АD или ВС + AD = 36.
Но AD - BC = 20 (дано), значит AD = 28см, а ВС = 8см.
Ответ : стороны трапеции AB = CD = 18см, ВС = 8см, AD = 28см.
Задание 6. Сумма противолежащих углов 180 градусов, значит
искомый угол 180 – 105 = 75 градусов
4