Олимпиада по математике 11 класс второй турx

Олимпиада по математике 11 класс второй тур
Бакиев Дамир
1. (x+2)4+x4=82
(х2+4х+4)2+х4=82
2х4+8х3+24х2+32х-66=0
х4+4х3+12х2+16х-33=0
(х-1)*(х3+5х2+17х+33)=0
(х-1)*(х+3)*(х2+2х+11)=0
х2+2х+11=0
Д=4-44=-40(нет решений)
Ответ: х=1; х=-3.
2. (a+b+c)3=a3+b3+c3+3*(ab2+ac2+a2b+a2c+bc2+b2c)+6abc
6abc делится на 6
3*(ab2+ac2+a2b+a2c+bc2+b2c) делится на три
Докажем, что ab2+ac2+a2b+a2c+bc2+b2c делится на два:
ab2+ac2+a2b+a2c+bc2+b2c=a(b2+c2)+a2(b+c)+bc(b+c)=
= a(b2+2bc+c2-2bc)+ (b+c)*(a2+bc)= a(b+c)2-2abc+(b+c)*(a2+bc)=
= (b+c)*(ab+ac+a2+bc)-2abc
2abc делится на 2
a+b+c делится на 6, значит делится и на два, а это возможно, когда либо все
слагаемые четные, либо одно четное, два других-нечетные.
Тогда (b+c)*(ab+ac+a2+bc) делится на два.
Из всего выше сказанного выходит то, что a3+b3+c3 должно делиться на 6,
иначе не выполняется условие: a+b+c делится на 6.
3. х2+2sin(xy)+1=0
х2+2sin(xy)+sin2(xy)- sin2(xy)+1=0
(x+sin(xy))2= sin2(xy )-1
Так как sin2(xy)-1≤0 и (x+sin(xy))2≥0, следует:
sin2(xy)-1=0 и (x+sin(xy))2=0
sin(xy)=1 или sin(xy)=-1 и sin(xy)=-х
х=-1
х=1
𝜋
При х=-1: sin(-y)=1 => -sin(y)=1 => sin(y)=-1 => y=- +2πk, kZ.
2
𝜋
При х=1: sin(y)=-1 => y=- +2πk, kZ.
2
𝜋
𝜋
2
2
Ответ: (1; - +2πk); (-1; - +2πk), kZ.
4. Обозначим искомое число за 1000a+100b+10c+d. По условию задачи
имеем: 4(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a.Так как левая часть – число
четное, то и правая часть – число четное, поэтому a– четная цифра. Тогда
a=2, так как в других случаях получим в левой части пятизначное число. Так
как 4d оканчивается на 2, то d=8. В итоге имеем:
4(1000·2+100b+10c+8)=1000·8+100c+10b+2.
4(10b+c)+3=10c+b => 40b+4c+3=10c+b => 13b+1=2c => b=(2c-1)/13
b и c-целые цифры (больше 0 и меньше 10) => при b=2, c>10, значит b=1, с=7.
Тогда искомое число будет 2178.
Ответ: 2178.
5. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью
найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны
не параллельны.
6. ;2=1,4142135623730950488016887242097
;2+ ;2=1,8477590650225735122563663787936
;2+ ;2+ ;2=1,9615705608064608982523644722685
Следует, данное выражение стремится к двойке.
Ответ:2.
7.Пусть n=1, тогда
41+15*1-1=18 (делится на 9).
Пусть n=k, тогда
4k+15k-1 (пусть делится на 9).
Тогда при n=k+1 выражение 4k+1+15*(k+1)-1 должно делиться на 9.
4k+1+15*(k+1)-1=4k+15k-1+3*4k+15=4k+15k-1+3*(4k+5).
Надо доказать, что 4k+5 делится на 3.
Пусть k=1, тогда 41+5=9 (делится на 3).
Пусть k=x, тогда 4x+5 (пусть делится на 3).
Тогда при k=x+1 выражение 4x+1+5= (4x+5)+ 3*4x делиться на 3.
Значит, выражение 4n+15n-1 делится на 9 при любом натуральном значении
n.
xy = 1
8. {
x + y + cos 2 z = 2.
x=1/y => (1/y)+y+cos2z=2 (*y) => 1+y2+y* cos2z=2y =>y* cos2z=2y-1-y2 =>
y* cos2z=-(y-1)2 => cos2z=-(y-1)2/y
cos2z≥0 => y-1=0 или -(y-1)2/y>0
y<0 (Но, следует что (y-1)2/y <-1, что не возможно для
cos2z. Значит, это решение не подходит)
y=1
𝜋
Следует х=1, cos2z=0 => cos(z)=0 => z= +πk, kZ.
2
𝜋
Ответ: х=1, y=1, z= +πk, kZ.
2
9. a  2b  1
a=1-2b => a*b=(1-2b)*b=b-2b2
Рассмотрим функцию y= b-2b2 . Графиком этой функции является парабола.
Ветви направленны вниз. Значит y max находится на вершине параболы.
х0=-(1/(-4))=1/4=0,25
y max=y0=0,25-2*(0,25)2= 0,125.
То есть a*b=0,125.
Ответ: 0,125.
10.Пусть х – длина поезда, тогда скорость поезда мимо неподвижного
пассажира будет x/7 м/с, а скорость поезда мимо платформы
будет (x+378)/25 м/с. Согласно условию задачи эти скорости равны, т. е.
имеем уравнение:
x/7=(x+378)/25 => 25x=7x+378*7=> x=378*7/18=147
Следовательно, длина поезда 147 м, а скорость x/7= 147/7=21(м/с).
Ответ: 147 м, 21 м/с.