Методическая разработка урока математики тема:

Министерство образования и науки Республики Бурятия
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Бурятский республиканский индустриальный техникум
Методическая разработка урока
математики
тема:
«Прямые и плоскости в пространстве»
2014
Рассмотрено на заседании ПЦК
общеобразовательных дисциплин
Протокол № _______
От «____»_______________2014 г.
Председатель ПЦК
_________________ Парпаев Л.Э.
Утверждаю
Заместитель директора по УР
____________Е.Н. Трифонова
«_____»______________ 2014 г.
Разработал:преподаватель математики Атутова А.Б.
Методист: ______________ Шатаева С.С.
Аннотация
Методическая разработка написана для преподавателей с целью ознакомления
методики обобщения и систематизации знаний в форме игры. Материалы
методической разработки могут быть использованы преподавателями математики
при изучении темы «Прямые и плоскости в пространстве».
Технологическая карта урока
Тема раздела: Прямые и плоскости в пространстве
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний
Вид урока: Урок-игра
Цели урока:
Образовательная: закрепление знаний и умений о взаимном расположении прямых
и плоскостей в пространстве; создание условий контроля и взаимоконтроля
Развивающая: формирование умения переноса знаний в новую ситуацию,развитие
умений объективно оценивать свои силы и возможности; развитие математического
кругозора; мышления и речи; внимания и памяти.
Воспитательная: воспитание настойчивости и упорства в достижении цели; умение
работать в команде; воспитание интереса к математике и ее приложениям.
Валеологическая: создание благоприятной атмосферы, снижающей элементы
психологической напряженности.
Методы обучения урока: Частично-поисковый, словесный, наглядный.
Форма организации урока: командная, парная, индивидуальная.
Межпредметные связи: история, русский язык, физика, литература.
Средства
обучения:
Карточки
с
заданиями,
тесты,
кроссворд,
математиков, жетоны.
Литература:
1. Дадаян А.А. Математика, М., Форум: ИНФРА-М, 2003, 2006, 2007 гг.
2. Апанасов П.Т. Сборник задач по математике. М., Высшая школа, 1987 г.
План урока
1.Организационная часть. Сообщение темы и целевая установка на урок.
2.Актуализация знаний и умений студентов.
3. Решение практических заданий
4. Тестовое задание. Ответы на вопросы.
5. Сообщение о математиках
6. Решение кроссворда
7. Составление математических слов.
8. Итоги.
портреты
Ход урока
По словам Платона, Бог всегда является ученым именно этой специальности. Об
этой науке Цицерон сказал: «Греки изучали ее, чтобы познать мир, а римляне чтобы измерять земельные участки». Так о какой науке идет речь?
Геометрия – одна из древнейших наук. Её зарождение вызвано многими
практическими потребностями людей: измерением расстояний, вычислением
площадей земельных участков, вместимости сосудов, изготовлением орудием труда
и
др.
Вавилонские
клинописные
таблицы,
древнеегипетские
папирусы,
древнекитайские трактаты, индийские философские книги и другие источники
свидетельствует о том, что простейшие геометрические факты были установлены в
глубокой древности.
Сегодня мы совершим необычайное восхождение на вершину «Пика знаний» «Прямые и плоскости в пространстве». Первенство будут оспаривать три команды.
Та команда, которая первой достигнет вершины «Пика знаний» станет победителем.
Для начала восхождения на вершину
команда должна выбрать себе название,
которое должно быть кратким, оригинальным и связано с математикой.
Для начала игры предлагаю провести разминку.
I этап.
Задание каждой команде: (за правильный ответ – жетончик)
Вам предлагается отгадать загадки, связанные с математическими терминами.
Загадки
1. Я – невидимка! В этом суть моя.
Хотя меня нельзя измерить,
Настолько я ничтожна и мала.
2. Я здесь! Сейчас я вертикальна!
Но могу любой принять наклон,
Могу и лечь горизонтально.
3. Смотри внимательно за мной:
Когда из точки вне прямой
Меня опустят на прямую
И проведут наклонную любую,
То я всегда короче, чем она.
4. Мне служит головой вершина.
А то, что вы считаете ногами,
Все называют сторонами.
А сейчас попытайтесь ответить на следующие вопросы:
- перечислите известные аксиомы стереометрии;
- взаимное расположение прямых в пространстве;
- взаимное расположение прямой и плоскости;
- взаимное расположение двух плоскостей.
-определение параллельных, скрещивающихся, перпендикулярных прямых.
Теперь в путь! Подъем к «Пику знаний» будет нелегким, на пути могут быть и
завалы, и обвалы, и заносы. Но есть и привалы, где вы можете отдохнуть, набраться
сил и узнать что-то новое, интересное. Чтобы продвинуться вперед, надо показать
свои знания. Каждая команда пройдет по «своей лесенке», при правильном выборе
решения получится слово. Это слово станет девизом вашей команды.
Капитаны команд выбирают один из трех конвертов, в которых находятся
задания для всей команды. Задание выполняют сообща. Напротив каждого ответа
дана определенная буква, если команда правильно решит, то из букв получится
слово.
II этап.
Задания для первой команды:
1. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза си катет а. Найдите
второй катет, если:
с  10, а  5 3 .
Ответы: а) b  4, (H); б) b  5, (З); в) b  6, (Е).
2. Из точки А, лежащей вне плоскости  , проведены к этой плоскости
перпендикуляр АС и наклонная АВ. Найти длину проекции СВ, если длина
перпендикуляра 12 см, длина наклонной 15 см.
Ответы:а) СВ = 9см (H); б) СВ = 8см (А); в) СВ = 7см (К).
3. Какое минимальное число точек определяет прямую?
Ответы: а) одна (К); б) две (А); в) три(З).

Найдите длину вектора а5;1;7.



Ответы: а) а  13 (К); б) а  5 3 (А); в) а  31 (З).
4. Плоскость  пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и
E соответственно, причем АС параллельна плоскости  . Найдите АС, если
ВD:AD=3:4 и DE=12cм.
Ответы: а) АС=12,5(З); б) АС=24 (Н); в) АС=28 (Ю).
Задания для второй команды:
1. У прямоугольного треугольника заданы катеты а и b. Найдите гипотенузу,
если:
b  7, а  4 2 .
Ответы: а) с  64, (П); б) с  72, (Л); в) с  81, (У).
2. Из точки А, лежащей вне плоскости  , проведены к этой плоскости
перпендикуляр АС и наклонная АВ. Найти длину проекции СВ, если длина
перпендикуляра 12 см, длина наклонной 13см.
Ответы:а) СВ = 5см (М); б) СВ = 6см (Р); в) СВ = 4см (К).
3. Какое минимальное число точек определяет плоскость?
Ответы: а) одна (О); б) две (П); в) три(Е).
4. Плоскость  пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и
E соответственно, причем АС параллельна плоскости  . Найдите АС,
если ВD:AD=2:3 и DE=12cм.
Ответы: а) АС=30(Ю); б) АС=28 (Л); в) АС=32 (С).
Задания для третьей команды:
1. У прямоугольного треугольника заданы катеты а и b. Найдите гипотенузу,
если:
b  4 3 , а  11 .
Ответы: а) с  12, (Т); б) с  13, (Р); в) с  14, (А).
2. Из точки А, лежащей вне плоскости  , проведены к этой плоскости
перпендикуляр АС и наклонная АВ. Найти длину проекции СВ, если длина
перпендикуляра 16 см, длина наклонной 20 см.
Ответы:а) СВ = 12см (Е); б) СВ = 9см (Р); в) СВ = 14см (У).
3. Сколько плоскостей можно провести через две точки?
Ответы: а) одну (Е); б) две (П); в) множество (Ш).
4. Плоскость  пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и
E соответственно, причем АС параллельна плоскости  . Найдите АС,
если ВD:AD=1:2 и DE=8cм.
Ответы: а) АС=20(Т); б) АС=18 (Г); в) АС=24 (У).
III этап.
Еще один трудный участок пути придется вам преодолеть.
Доверчивости я пою хвалу,
Ну и проверка тоже не обуза …
В определенном месте, на углу
Встречались катет и гипотенуза.
У катета она была одна.
Гипотенузу он любил, не веря сплетням,
Но, в то же время, на углу соседнем
С другим встречалась катетом она.
И дело все закончилось конфузом –
Вот после этого и верь гипотенузам.
Вопросы участникам команд (за правильный ответ – жетончик)
- Как называется отношение противолежащего катета к гипотенузе?
- Как называется отношение прилежащего катета к гипотенузе?
- Какое отношение катетов называется тангенсом?
- Какое отношение катетов называется котангенсом?
- Сформулируйте теорему Пифагора. Для каких треугольников она применима.
- Что называется расстоянием от точки до плоскости?
- Что называется углом? Какие углы вы знаете?
- Какая фигура называется двугранным углом? Примеры.
- Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
- Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
- Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.
- Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
IV этап.
Мы преодолели часть нашего пути и немного устали. Теперь остановимся на
привал. И послушаем интересные истории о жизни великих математиков.
Сообщения о великих математиках – домашнее задание. (Евклид, Архимед,
Пифагор, Лобачевский Николай Иванович, Софья Васильевна Ковалевская.)
Это в легендах, которые передаются из поколения в поколение, кажется все
просто. Но научные открытия являются результатом долгих лет терпеливых поисков
и раздумий. Чтобы и на вашу долю выпала счастливая случайность, нужно быть к
ней готовым.
Vэтап.
Представьте себе, что вы попали в обвал. Наша задача – выжить в данной
ситуации. А чтобы выжить, нужно выполнить тест и выбрать правильный ответ.
Капитанам команд предлагается выбрать пакет с тестами для каждого участника
игры. Тесты: «Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельность
прямых, прямой и плоскости», «Параллельность плоскостей», «Перпендикулярные
прямые в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости».
Участник записывает свою фамилию и имя на листочке, номер задания и
напротив него вариант ответа. Исправления и помарки не допускаются. После
выполнения
задания
команды
обмениваются
листочками
и
проводят
взаимоконтроль (сверяют правильность ответов с ответами на доске), и напротив
правильного ответа ставят один балл. Далее баллы одной команды суммируются и
подводят итоги.
VI этап.
Итак, вы смогли выдержать это испытание. Теперь после трудного подъема
соберемся вместе. Все очень устали, но чем ближе к цели, тем задания становятся
все легче. А теперь продолжим наш путь к вершине. У каждой группы имеется
кроссворд. Ваша задача – решить его. Задание в кроссворде у всех одинаковое,
поэтому ответы на него нужно держать в секрете. Полученное ключевое слово
написать на листочке бумаги и передать жюри.
Кроссворд
1. Как называется одна из осей прямоугольной системы координат.
2. Предложение, требующее доказательств.
3. Направленный отрезок прямой.
4. Мера измерения угла.
5. Он не только в земле, но и в математике.
6. Утверждение, принимаемое без доказательств.
7. Сколько плоскостей можно провести через три точки, лежащие на одной прямой.
8. Часть геометрии, в которой изучают плоские фигуры.
9. Наука о числах
10. Как называются прямые, не лежащие в одной плоскости.
11. Буква, которой чаще всего обозначают неизвестное.
12. Через две точки проходит одна и только одна…
а б с
ц и
т е о
в е
к т
р а д
к о р е
с
с
р е м а
о р
и а н
н ь
а к с и о м а
м н о
п л а н и м е
т р
а р и ф м е т и к
ж е с т
в
о
и я
а
с к р е щ и в а ю щ и е с я
и к с
п р я м а я
VII этап.
а) Из предложенных букв составьте слова, которые обозначают
математические термины (высота, круг, точка, угол, овал, луч).
Ч
Ы
У
Т
А
С
О
В
Р
К
Г
Л
б) Составьте наибольшее количество математических слов, в котором нет
повторяющихся букв, из заданных: (треугольник, угол, корень)
Р
Ь
Т
У
И
Л
Е
Г
Н
К
О
VIII этап.
Математика начинается с удивления, - заметил 2500 лет назад Аристотель.
Чувство удивления могучий источник желания знать: от удивления к знаниям один
шаг. А математика замечательный предмет для удивления!
Подводятся итоги. Поздравление покорителей «Пика знаний».
Всем большое спасибо, команды работали дружно, сплоченно. Только сообща,
вместе можно достичь любых вершин!
Приложение
Софья Васильевна Ковалевская
Для оклейки окон комнат не хватило обоев, и стены комнаты маленькой
девочки оклеили листами литографированных лекций М.В.Остроградского по
математическому анализу.
Уже с детских лет поражает безошибочность выбора ее целей и верность. В
этом имени – восхищение, в этом имени символ! Прежде всего символ щедрого
таланта и яркого самобытного характера. В ней одновременно жили и математик и
поэт. Когда она училась в первом классе, то устно решала задачи на движение, легко
справлялась с задачами геометрического содержания, без труда извлекала
квадратные корни из чисел, оперировала отрицательными величинами и т.д. «Как
ты считаешь?»- спросили девочку. «Я не считаю, я соображаю»,- был ее ответ.
Впоследствии она стала первой женщиной-математиком, доктором философии. Ей
принадлежит роман «Нигилистка»
Для того, чтобы получить университетское образование, ей пришлось
заключить фиктивный брак и уехать за границу. Позже ее признали профессором
несколько европейских университетов. Её заслуги признала и Петербургская
Академия. Но в царской России отказали в преподавательской работе, только
потому, что она женщина. Этот отказ противоестественный, нелепый и
оскорбительный, отнюдь не минус престижу Ковалевской, она и сегодня была бы
украшением любого университета. В результате она вынуждена была покинуть
Россию и долгое время работать в Стокгольмском университете.
Евклид
В Греции геометрия стала математической наукой около 2500 лет назад, но
зародилась геометрия в Египте, на плодородных землях Нила. Чтобы собирать
налоги, царям требовалось измерять площади. Много знаний требовало и
строительство. О серьёзности знаний египтян говорит тот факт, что египетские
пирамиды стоят уже 5 тысяч лет.
Геометрия развивалась в Греции как никакая другая наука. За период с VII по
III век греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными
новыми теоремами, но и сделали также серьезные шаги к строгому ее обоснованию.
Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена
Евклидом - древнегреческий математик. Работал в Александрии. Главные труды
«Начала» (15 книг) содержат основы античной материи, элементарной геометрии,
теории чисел, общей теории отношений и места определения площадей и объемов.
Оказал огромное влияние на развитие математики.
(Дополнение).
Когда правитель Египта спросил древнегреческого ученого, нельзя сделать
геометрию проще, тот ответил, что «в науке нет царского пути»
(Дополнение).
Именно этими словами греческий математик «отец геометрии» Евклид
заканчивал каждый математический вывод (Что и требовалось доказать)
Лобачевский Николай Иванович
Русский математик Лобачевский Николай Иванович родился в 1792 году.
Является создателем неевклидовой геометрии. Ректор казанского университета
(1827-1846). Открытие Лобачевского, не получившего признания современников,
свершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого
более 2000 лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие
математического мышления. У здания Казанского университета стоит памятник,
воздвигнутый в 1896 году в честь великого геометра.
Высокий лоб, нахмуренные брови,
В холодной бронзе - отраженный луч…
Но даже неподвижный и суровый
Он, как живой,- спокоен и могуч.
Когда-то здесь, на площади широкой,
На этой вот казанской мостовой,
Задумчивый, неторопливый, строгий
Он шел на лекции – великий и живой.
Пусть новых линий не начертят руки.
Он здесь стоит, взнесенный высоко,
Как утверждение бессмертья своего,
Как вечный символ торжества науки.
Архимед
Архимед, древнегреческий ученый родом из Сиракуз (Сицилия), принадлежит
к числу тех немногих гениев, творчество которых определило на века судьбу науки
и тем самым судьбу человечества. В этом он схож с Ньютоном. Между творчеством
обоих великих гениев можно провести далеко идущие параллели. Те же области
интересов: математика, физика, астрономия, та же невероятная сила ума, способная
проникать вглубь явлений.
Архимед был одержим математикой, порой он забывал о пище и совершенно
не заботился о себе. Исследования Архимеда относились к таким фундаментальным
проблемам, как определение площадей, объемов, поверхностей различных фигур и
тел. В основополагающих трудах по статистике и гидростатике дал образцы
применения математики в естествознании и технике. Автор многих изобретений:
архимедов винт, определение сплавов взвешиванием в воде, системы поднятия
больших тяжестей, военной метательной технике, организатор инженерной обороны
Сиракуз против римлян. Архимеду принадлежат слова: «Дайте мне точку опоры и я
сдвину Землю». Значение трудов Архимеда для нового исчисления прекрасно
выразил
Лейбниц:
«Внимательно
читая
сочинения
Архимеда,
перестаешь
удивляться всем новейшим открытиям геометров»
(Дополнение)
Кто из нас не знает закон Архимеда о том, что «всякое тело, погруженное в
воду теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им вода». Архимед
сумел определить, сделана ли корона царя из чистого золота или ювелир подмешал
туда значительное количество серебра. Удельный вес золота был известен, но
трудность состояла в том, чтобы точно определить объем короны, ведь она имела
неправильную форму. Как-то он принимал ванну, и часть воды вылилась из неё, и
тут ему пришла в голову идея: погружая корону в воду, можно определить ее объем,
измерив объем вытесненной ею воды. Согласно легенде, Архимед выскочил голый
на улицу с криком «Эврика». Действительно, в этот момент был открыт основной
закон гидростатики.
Пифагор
Пифагор
–
древнегреческий
математик,
мыслитель,
религиозный
и
политический деятель. Всем известна знаменитая теорема элементарной геометрии:
квадрат построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик
сумме квадратов, построенных на катетах. Проще, это теорема формулируется так:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Это и есть теорема Пифагора.
При любом непрямоугольном треугольнике со сторонами а,b,cи углами α, β, γ –
формула принимает вид: c2=a2+b2-2ab•cos γ. В истории математики Древней Греции
Пифагору, имя которого присвоено этой теореме, принадлежит почетное место.
Пифагор внес значительный вклад в развитие математики и астрономии.
К плодам его полученных трудов относятся создания основ теории чисел.
Пифагор основал религиозно-философское учение, исходившее из представления о
числе как основе всего существующего. Числовые соотношения – источник
гармонии космоса, каждая из небесных сфер характеризуется определенной
комбинацией
правильных
геометрических
тел,
звучанием
определенных
музыкальных интервалов (гармонии сфер). Музыка, гармония и числа были
неразрывно связаны в учении пифагорейцев. Математика и числовая мистика были
фантастически перемешаны в нем. Однако из этого мистического учения выросла
точная наука поздних пифагорейцев.
Ответы:
Слово для первой команды: «ЗНАЮ»
Слово для второй команды: «УМЕЮ»
Словодля третьей команды: «РЕШУ»
Загадки: Точка, прямая, перпендикуляр, угол.
Кроссворд: ключевое слово «Стереометрия»
ТЕСТ №2 Взаимное расположение прямых в пространстве.
Параллельность прямых, прямой и плоскости
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
2
3
1
1
1
3
3
1
задания
ответ
ТЕСТ №3 Параллельность плоскостей
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
2
1
3
2
3
2
3
3
прямые
в
6
7
задания
ответ
ТЕСТ
№5
Перпендикулярные
пространстве.
Перпендикулярность прямой и плоскости
№
задания
1
2
3
4
5
8
9
ответ
3
3
1
2
3
1
2
2
2
Список литературы
1. Дадаян, А.А Математика: Учебное пособие.2-е изд.- М.:ФОРУМ: ИНФРА-М.,
2007. - 544 с.
2. Дадаян, А.А Математика: Задачник.2-е изд. - М.:ФОРУМ: ИНФРА - М., 2007. 400 с.
3. Лисичкин, В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное
пособие.3-е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2011. - 464 с.