1)Расчет источника гармонических колебаний

Вар. 8а
РЛ
РЛ-4
«АНАЛИЗ
УСТАНОВИВШИХСЯ
И
ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ»
Гусев Д.А.
ИУ 4-51
Гладилина Г.А.
1
2012 г.
В
______РЛ______
_
______РЛ-4_______
__Теоретические основы электротехники
____ _______
__Гусев Д.А., гр. ИУ4-51
_
____ ______
__Теоретические
__Гладилина основы
Г.А. электротехники
____ __Теоретические основы электротехники
_
____ _________
_ __ _
___
_ __ _
____
__Анализ установившихся и переходных процессов в линейных_ _
____ _
__электрических цепях_________
_
___
__
__
__Теоретические
основы электротехники
__Теоретические основы
электротехники
____
____
_
1)Расчет источника гармонических колебаний
___
_ __ _
___
_
_________________________ _
2) Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при __ __
синусоидальном входном воздействии__________________________________ ______ __
3) Расчет резонансных режимов в электрической цепи___________________ ______ ___
4)Расчет переходных процессов классическим методом ____________________________
5) Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при __ __
несинусоидальном входном воздействии________________________________________
2
_ __ _
3
Техническое задание
на выполнение курсовой работы
«Анализ установившихся и переходных процессов в линейных
электрических цепях»
1.
Расчет источника гармонических колебаний (ИГК)
1.1.
Представить
исходную
трансформатора
схему
эквивалентным
ИГК
относительно
источником
первичной
напряжения.
обмотки
Определить
его
параметры (ЭДС и внутреннее сопротивление) и значение тока в первичной
обмотке трансформатора. В качестве Первичной обмотки трансформатора выбрать
индуктивность в любой ветви, кроме ветви с идеальным источником тока.
1.2.
Записать мгновенные значения тока и напряжения в первичной обмотке
трансформатора и построить их волновые диаграммы
1.3.
Определить значения Мnq, Мnp Lq, Lp ТР из условия, что индуктивность первичной
обмотки L„ известна, U1= 5 В, U2 = 10 В. Коэффициент магнитной связи обмоток к
следует выбрать самостоятельно в диапазоне: 0,5 <k< 0,95 (n, р, q, - номера
индуктивностей Т1). Записать мгновенные значения u1 (t) и u2 (t)
2.
Расчет установившихся значений напряжений и токов в
четырехполюснике при синусоидальном входном воздействии
2.1.
Рассчитать токи и напряжения в схеме четырехполюсника методом входного
сопротивления (или входной проводимости).
2.2
Записать мгновенные значения uвх(t)=u1(t)=u3(t), определить сдвиг по фазе φ между
выходным и входным напряжениями, а также отношение их действующих значений.
2.3.
Определить передаточные функции W(s)=Uвых(s)/Uвх(s), W(jw)=Uвых/Uвх
2.4.
Определить и построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики.
АЧХ И ФЧХ построить в диапазоне частот от 0 до 5000 1/с. Используя частотные
характеристики, определить uвых при заданном uвх. Сравнить этот результат c
результатом, полученным в п. 2.2
2.5.
Построить годограф - линию семейства точек комплексной передаточной функции
в диапазоне частот от 0 до ∞ на комплексной плоскости. Указать на годографе
точки, соответствующие частотам 0,1000 1/с., ∞.
4
3. Расчет резонансных режимов в электрической цепи
3.1.
Включить в схему четырехполюсника реактивное сопротивление (индуктивность
или емкость) таким образом, чтобы ивх и iex совпадали по фазе (режим резонанса
напряжений). Определить значение параметра реактивного элемента, а также входное
сопротивление, входной ток, добротность и ширину полосы пропускания резонансного
контура.
4. Расчет переходных процессов классическим методом
4.1.
Определить
четырехполюсника
и
построить
для
переходную
входного
тока
и
импульсную
и
характеристики
выходного
напряжения.
Показать связь переходной и импульсной характеристик для выходного напряжения с
передаточной функцией.
4.2
Рассчитать и построить графики изменения тока iвх и напряжения uвых
четырёхполюсника при подключении его к клеммам с напряжением u4(t) в момент
времени t = (2πk-Ψu3)/ω с учетом запаса энергии в реактивных элементах схемы от
предыдущего режима работы (п. 2.2):
а)
на интервале t [0+, Т ], где Т - период изменения напряжения u4,
б)
с использованием ЭВМ на интервале, t [0+, nТ ], где n - количество периодов, при
котором наступает квазиустановившийся режим.
5.
Расчет установившихся значений напряжений и токов в
четырехполюснике при несинусоидальном входном воздействии
5.1.
Рассчитать законы изменения тока iвх(t) и напряжения uвых (t) частотным методом,
представив напряжение uвх (t) = u4(t) в виде ряда Фурье до 5-й гармоники:
5.2.
Построить графики uвх (t)= u4 (t), uвх (t), iвх(t), 𝑢вых (𝑡) в одном масштабе времени
один под другим, где uвх (t), iвх(t), 𝑢вых (𝑡) - суммарные мгновенные значения
5
Цель курсовой работы – закрепить теоретический материал, научить студентов
приемам и методам познавательной детельности, умению обобщать и вырабатывать
навыки творческого мышления и самостоятельной работы.
Описание схемы
Предметом курсовой работы является исследование электричесой цепи,
структурная и функциональная схемы которой показаны на рис. 1 и 2 соответственно.
Схема источника гармонических колебаний состоит из источников ЭДС и тока
одинаковой частоты и пассивных элементов разного характера, соединенных
определенным образом (см. рис. 2).
Роль первичной обмотки линейного трансформатора (ТР) выполняет одна из
индуктивностей Ln, входящих в состав источника. При этом последовательно с
индуктивностью не должен быть включен источник тока, и ток в этой ветви не равен
нулю, например, L3 на рис. 2. Если в схеме нет такой индуктивности, то ее нужно создать,
включив в любую ветвь без источника индуктивность 100мГни ескость 10мкФ.
Установивши йся режим в схеме источника от этого не нарушится. Линейный(воздушный)
трансформатор имеет две вторичные обмотки L8 и L9.
Напряжение u1 вторичной обмотки L8 ТР подается на вход повторителя, собранного
на операционном усилителе (ОУ) DA1. Ориентировочные параметры такого усилителя
следующие: Rвх≥0,5 мОм, Rвых ≤100 Ом, µ0 ≥5·104, fв =20мГц, где µ0 – коэффициент
усиления по напряжению, а fв – верхняя рабочая частота. Часто такой ОУ используется не
для получения усилительного эффекта, а для передачи электрическим цепям особых
свойств, получить которые без него сложно или невозможно. Для работы ОУ к нему
необходимо подвести постоянное питающее напряжение U = ±10…15 В.
В большинстве практических рассчетов характеристики ОУ иделаизируют. При
этом считают, что входная проводимость и выходное сопротивление равны нулю, а
коэффициент усиления имеет бесконечно большое значение. Выходное напряжение
повторителя u3=u1,мощность входного сигнала равна нулю, а мощность выходного может
принимать любое значение в зависимости от нагрузки.
Напряжение со вторичной обмотки L9 ТР подается на инвертирующий вход
компаратора – порогового элемента, преобразующего гармоническое (синусоидальное)
колебание в разнополярные импульсы прямоугольной формы: U4=10В при u2≤0, U4=-10В
6
при u2>0. Компаратор собран на ОУ DA2 с разомкнутой отрицательной обратной связью
(ООС). В цепи без ООС коэффициент усиления ОУ оказывается чрезвычайно большим и
синусоидальный сигнал преобразуется в прямоугольный. Следует обратить внимание, что
напряжения u1 иu2 находятся в протиивофазе, а напряжению u3>0 соответствует U4=10В.
Токи во вторичных обмотках трансформатора ТР для идеальных ОУ (Rвх →∞)
равны нулю, поэтому нагрузка трансформатора никакого влияния на активный
двуполюсник не оказывает.
Переключатель Кл позволяет подключить заданную схему четырехполюсника
любо к выходу повтоорителя, либо к выходу компаратора. Переключение из одного
положения в другое происходит мгновенно. В исходном (начальном) состоянии
переключатель находится в положении 1 (см рис. 2). Изменение положения
переключателья вызывает в схеме изменение режима работы и возниконовение
переходного процесса.
7
Рис.1 Структурная схема электрической цепи
8
Рис.2 Функциональная схема цепи
9
1. Расчет источника гармонических колебаний (ИГК)
1.1.
Представить исходную схему ИГК относительно первичной обмотки
трансформатора эквивалентным источником напряжения. Определить
его параметры (ЭДС и внутреннее сопротивление) и значение тока в
первичной обмотке трансформатора. В качестве первичной обмотки
трансформатора выбрать индуктивность в любой ветви, кроме ветви с
идеальным источником тока.
Рис.3 Схема источника гармонических колебаний (ИГК)
10
Параметры ИГК:
E1
-700-300j
-700-300j
E4
-200j
-200j
e5
400√2sin⁡(103 + 900 )
400j
J6
4+3j
4+3j
L2
100 мГн
100j
L3
300 мГн
300j
L4
100 мГн
100j
L5
100 мГн
100j
L6
100 мГн
100j
C3
10/3 мкФ
300j
R3
100 Ом
100
R4
200 Ом
200
Заменим пассивные элементы каждой ветви комплексными сопротивлениями:
Рис.4 Комплексная схема замещения
11
Коплексные сопротивления всех ветвей схемы:
Z2= Z5= Z6=100j
Z3=100
Z4=200+100j
Для рассчёта неизвестного тока I5 исходной схемы используем метод эквивалентного
источника напряжения.Суть этого метода заключается в том, что схема представлется в
виде активного двухполюсника, в зажимах которого подключен элемент, через который
протекает искомый ток. Для определения этого тока необходимо рассчитать ЭДС Eэкв и
входное сопротивление Zвх этого двухполюсника.
Определим ЭДС осточника напряжения методом контурных токов. Эта ЭДС равна
напряжению на зажимах в режиме холостого хода Uxx.
Рис.5 Схема в режими холостого хода
12
По 2-му закону Кирхгофа
𝐸5̇ + 𝐸4̇ = 𝑈̇𝑥𝑥 + 𝐼3′̇ (𝑍3 ) + 𝐼4′̇ (𝑍4 )
′̇
{
𝐼11
= −𝐽6̇ = −4 − 3𝑗
′̇ (𝑍
̇
𝐼22
2 + 𝑍3 ) = −𝐸1
{
′̇
𝐼11
= −4 − 3𝑗
′̇ (100𝑗
𝐼22
+ 100) = 700 + 300𝑗
′̇
𝐼11
= −4 − 3𝑗
700 + 300𝑗
{ ′̇
𝐼22 =
100 + 100𝑗
′̇
𝐼22
=
7 + 3𝑗
1+𝑗
′̇
𝐼11
= 𝐼4′̇ = −4 − 3𝑗
′̇
𝐼22
= −𝐼3′̇ =
−7 − 3𝑗
1+𝑗
𝑈̇𝑥𝑥 = −𝐼3′̇ (𝑍3 ) − 𝐼4′̇ (𝑍4 ) + 𝐸5̇ + 𝐸4̇
𝑈̇𝑥𝑥 = −
𝑈̇𝑥𝑥 =
𝐼5̇ =
−7 − 3𝑗
(100) + (4 + 3𝑗)(200 + 100𝑗) + 400𝑗 − 200𝑗
1+𝑗
2000𝑗
1+𝑗
𝑈̇𝑥𝑥
𝑍вх + 𝑍5
13
Определим Zвх
Схема для определения Zвх представлена на рис.6
Рис.6
Рис.7 Эквивалетная схема для определения Zвх
𝑍вх =
𝑍3 𝑍2
+ 𝑍4
𝑍3 + 𝑍2
𝑍вх =
100 ∙ 100𝑗
+ (200 + 100𝑗)
100 + 100𝑗
𝑍вх =
100 + 400𝑗
1+𝑗
14
2000𝑗
𝐼5̇ =
1+𝑗
100+400𝑗
1+𝑗
+ 100𝑗
=
2000𝑗
2000𝑗 20𝑗 100
=
=
=
=4
400𝑗 + 100 − 100 + 100𝑗
500𝑗
5𝑗
25
𝐼5 = 4
1.2
Записать мгновенные значения тока и напряжения в первичной
обмотке трансформатора и построить их волновые диаграммы.
𝐼5 = 4
𝑖5 (𝑡) = 4√2 𝑠𝑖𝑛(103 𝑡)
Определим напряжение U̇5 на индуктивности L5
𝑈̇5 = 𝐼5 ∙ 𝑗 ∙ 𝑋𝐿5
𝑈̇5 = 400j
𝑢5 (𝑡) = 400√2 sin(103 𝑡 + 90°)
Рис.8 Волновые диаграммы тока и напряжения в первичной обмотке
15
1.3
Определить значения Мnq, Мnp Lq, Lp ТР из условия, что индуктивность
первичной обмотки Ln известна, U1= 5 В, U2 = 10 В. Коэффициент
магнитной связи обмоток k следует выбрать самостоятельно в
диапазоне: 0,5 <k< 0,95 (n, р, q, - номера индуктивностей Т1). Записать
мгновенные значения u1(t) и u2(t)
Рис.9 Трансформатор
Пусть коэффициент k = 0,5
Известно,что
𝑈1 = 𝑋𝑀57 ∙ 𝐼5 = 𝐼5 ∙ 𝜔 ∙ 𝑀57
Отсюда:
𝑀57 =
𝑈1
5
=
= 0,00125 = 1,25⁡мГн
𝐼5 ∙ 𝜔 1000 ∙ 4
Напряжение на вторичной обмотке в комплексной форме
𝑈̇1 = 𝐼5̇ ∙ 𝜔 ∙ 𝑀57 ∙ 𝑗 = 5𝑗 согласное включение
Мгновенное значение
𝑈1 (𝑡) = 5√2 sin(103 𝑡 + 90°)
Пользуясь соотношением 𝑀57 = 𝐾57 √𝐿5 ∙ 𝐿7
16
2
𝑀57
1,56 ∙ 10−6
𝐿7 = 2
=
= 0,062⁡мГн
0,25 ∙ 0,1
𝐾57 ∙ 𝐿5
Аналогично для индуктивности 𝐿8
𝑈2 = 𝑋𝑀58 ∙ 𝐼5
𝑀58 =
𝑈2
10
=
= 2,5⁡мГн
𝐼5 ∙ 𝜔 1000 ∙ 4
𝑈̇2 = −𝐼5̇ ∙ 𝜔 ∙ 𝑀58 ∙ 𝑗 = −10𝑗 встречное включение
𝑈2 (𝑡) = 10√2 sin(103 𝑡 − 90°)
2
𝑀58
6,25 ∙ 10−6
𝐿8 = 2
=
= 250⁡мГн
0,25 ∙ 0,1
𝐾58 ∙ 𝐿5
2. Расчет установившихся значений напряжений и токов в
четырехполюснике при синусоидальном входном воздействии
2.1.
Рассчитать токи и напряжения в схеме четырехполюсника методом
входного сопротивления (или входной проводимости).
Рис.10 Схема четырёхполюсника
17
Параметры четырёхполюсника:
R1
R2
R3
L
40 Ом
60 Ом
76 Ом
400 мГн
̇
̇
̇
𝑈вх = 𝑈1 = 𝑈3 = 5𝑗
𝑍𝐿 = 𝑗 ∙ 𝜔 ∙ 𝐿 = 400𝑗
Рассчитаем входное сопротивление четырёхполюсника
Рис.11 схема для определения Zвх
𝑍вх = 𝑅1 +
𝑅2 (𝑅3 + 𝑍𝐿 )
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑍𝐿
𝑍вх = 40 +
60(76 + 400𝑗)
60 + 76 + 400𝑗
𝑍вх = 97,26 + 8,06𝑗
̇ =
𝐼вх
𝑈̇вх
𝑍вх
̇ =
𝐼вх
5𝑗
97,26 + 8,06𝑗
̇ = 0,004 + 0,051𝑗
𝐼вх
̇ = √(0,004)2 + (0,051)2 𝑒
𝐼вх
𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
0,051
0,004
̇ = 0,051𝑒 𝑗85,5°
𝐼вх
18
По 2-му закону Кирхгофа
{
̇ 𝑅1 + 𝐼2̇ 𝑅2 = 𝑈̇вх ⁡⁡⁡(1)
𝐼вх
̇ 𝑅1 + 𝐼𝐿̇ 𝑍𝐿 + 𝐼𝐿̇ 𝑅3 = 𝑈̇вх⁡⁡⁡ (2)
𝐼вх
По первому закону Кирхгофа
̇ ⁡⁡⁡(3)
𝐼2̇ + 𝐼𝐿̇ = 𝐼вх
Из (1)
(0,004 + 0,051𝑗) ∙ 40 + 𝐼2̇ ∙ 60 = 5𝑗
2𝑗 + 0,16 + 𝐼2̇ ∙ 60 = 5𝑗
𝐼2̇ =
3𝑗 − 0,16
60
𝐼2̇ = −0,003 + 0,05𝑗
Из(2)
(0,004 + 0,05𝑗) ∙ 40 + 𝐼𝐿̇ ∙ (76 + 400𝑗) = 5𝑗
𝐼𝐿̇ =
3𝑗 − 0,16
76 + 400𝑗
𝐼𝐿̇ = 0,007 + 0,0017𝑗
𝐼𝐿̇ = √(0,007)2 + (0,0017)2 ∙ 𝑒
𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
0,0017
0,007
𝐼𝐿̇ = 0,0072 ∙ 𝑒 𝑗13,65°
Для найденных токов выполним проверку по (3)
0,004 + 0,051𝑗 = −0,003 + 0,05𝑗 + 0,007 + 0,0017𝑗
0,004 + 0,051𝑗 ≡ 0,004 + 0,051𝑗
Найдём 𝑈̇вых
𝑈̇вых = 𝐼𝐿̇ 𝑅3
𝑈̇вых = (0,007 + 0,0017𝑗) ∙ 76 = 0,532 + 0,1292𝑗
19
0,1292
𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
0,532
𝑈̇вых = √(0,532)2 + (0,1292)2 ∙ 𝑒
𝑈̇вых = 0,547 ∙ 𝑒 𝑗13,6°
2.2
Записать мгновенные значения uвх(t)=u1(t)=u3(t),iвх и uвых определить
сдвиг по фазе φ между выходным и входным напряжениями, а также
отношение их действующих значений.
Мгновенное значение входного напряжения
𝑢вх (𝑡) = 𝑢1 (𝑡) = 𝑢3 (𝑡) = 5√2 sin(103 ∙ 𝑡 + 90°) = 7,07 sin(103 ∙ 𝑡 + 90°)
Найдём мгновенное значение входного тока
̇ = 0,051𝑒 𝑗85,5°
𝐼вх
𝑖вх (𝑡) = 0,051√2 sin( 103 ∙ 𝑡 + 85,5°) = 0,072 sin( 103 ∙ 𝑡 + 85,5°)
Найдём мгновенное значение выходного напряжения
𝑈̇вых = 0,547 ∙ 𝑒 𝑗13,6°
𝑢вых (𝑡) = 0,547√2 sin( 103 ∙ 𝑡 + 13,6°) = 0,773 sin( 103 ∙ 𝑡 + 13,6°)
Сдвиг по фазе между выходным и входным напряжениями
𝜑 = ψ𝑢вых ⁡–⁡ψ𝑢вх = 13,6° − 90° = −76,4°
Отношение максимальных значений
𝛾=
𝑈вых 0,773
=
= 0,109
𝑈вх
7,07
20
2.3. Определить передаточные функцииW(s)=Uвых(s)/Uвх(s),
W(jw)=Uвых/Uвх
Рис.12 Операторная схема замещения четырёхполюсника
𝑊(𝑠) =
𝑈вых
𝑈вх
По второму закону Кирхгофа
𝑈вх (𝑆) = 𝐼вх (𝑆)𝑅1 + 𝐼𝐿 (𝑆)(𝑅3 + 𝑆𝐿)
𝐼вх (𝑆) =
𝑈вх (𝑆)
𝑍вх (S)
𝑈вых (S) = 𝐼𝐿 (𝑆)𝑅3
𝑅3
𝑅3 +𝑆𝐿
𝑊(𝑆) =
1−
𝑊(𝑆) =
𝑅1
𝑍вх (S)
=
𝑅3 (
𝑍вх (S)−𝑅1
𝑍вх (S)
𝑅3 + 𝑆𝐿
𝑅 (𝑅 +𝑆𝐿
𝑅3 ( 2 3
)
𝑅2 +𝑅3 +𝑆𝐿
)
=
𝑅 (𝑅 +𝑆𝐿)
𝑅1 + 2 3
𝑅2 +𝑅3 +𝑆𝐿
𝑅3 + 𝑆𝐿
=
𝑅2 𝑅3
𝑅1 (𝑅2 + 𝑅3 + 𝑆𝐿) + 𝑅2 (𝑅3 + 𝑆𝐿)
4560
4560
=
40(136 + 0,4𝑆) + 60(76 + 0,4𝑆) 10000 + 40𝑆
Замена⁡𝑆 → 𝑗𝜔
𝑊(𝑗𝜔) =
4560
456
=
10000 + 40𝑗𝜔 1000 + 4𝑗𝜔
21
2.4. Определить и построить амплитудно-частотную и фазочастотную
характеристики. АЧХ И ФЧХ построить в диапазоне частот от 0 до 5000 1/с.
Используя частотные характеристики, определить uвых при заданном uвх.
Сравнить этот результат c результатом, полученным в п. 2.2
𝑊(𝑗𝜔) =
456
1000 + 4𝑗𝜔
4𝜔
4562
𝑗0−𝑎𝑟𝑡𝑐𝑔
1000
𝑊(𝑗𝜔) = √
∙
𝑒
10002 + (4𝜔)2
𝜑(𝜔) = 0 − 𝑎𝑟𝑡𝑐𝑔
4𝜔
1000
4562
√
𝑊(𝜔) =
10002 + (4𝜔)2
𝜔
𝑊(𝜔)
𝜑(𝜔), °
𝜑(𝜔), рад
0
0,456
0°
0
1000
0,111
−76°
−1,3
3000
0,057
−85,2°
−1,47
5000
0,038
−87,1°
−1,5
∞
0,023
−90°
−1,55
Проверка⁡расчёта⁡uвых :
𝑈̇вых = 𝑊(𝑗𝜔) ∙ 𝑈̇вх = 𝑊(𝜔0 )𝑒 𝑗𝜑(𝜔0 ) ∙ 𝑈̇вх = 𝑊(1000)𝑒 𝑗𝜑(1000) ∙ 𝑈̇вх
𝑈̇вых = 0,111𝑒 −𝑗76° ∙ 5𝑒 𝑗90° = 0,555𝑒 𝑗14°
𝑢вых (𝑡) = 0,555√2 sin(103 ∙ 𝑡 + 14°) = 0,782 sin(103 ∙ 𝑡 + 14°)
Вывод: значение 𝑢вых совпадает с полученным в п.2.2
22
𝝎
Рис.13 Амплитудно-частотная⁡характеристика
𝝋
𝝎
Рис.14 Фазо-частотная⁡характеристика
23
2.5. Построить годограф - линию семейства точек комплексной передаточной
функции в диапазоне частот от 0 до ∞ на комплексной плоскости. Указать на
годографе точки, соответствующие частотам 0,1000 1/с., ∞.
𝑊(𝑗𝜔) =
456
456000
1824𝜔
=
−𝑗
= 𝐴(𝜔) + 𝑗𝐵(𝜔)
2
1000 + 4𝑗𝜔 1000000 + 16𝜔
1000000 + 16𝜔 2
𝐴(𝜔) =
456000
1000000 + 16𝜔 2
𝐵(𝜔) =
1824𝜔
1000000 + 16𝜔 2
𝜔
𝐴(𝜔)
𝐵(𝜔)
0
0,456
0
500
0,0912
-0,1824
1000
0,0268
-0,1072
3000
0,0031
-0,0377
5000
0,0011
-0,0277
∞
0
0
Рис.15 Годограф
24
3. Расчет резонансных режимов в электрической цепи
3.1.
Включить в схему четырехполюсника реактивное сопротивление
(индуктивность или емкость) таким образом, чтобы uвхи iвх совпадали по фазе
(режим резонанса напряжений). Определить значение параметра реактивного
элемента, а также входное сопротивление, входной ток, добротность и
ширину полосы пропускания резонансного контура.
Эквивалентная схема замещения четырехполюсника (рис. 16) и соответствующий
колебательный контур (схема замещения четырехполюсника с внесенным конденсатором)
(рис.17)
Рис.16
Рис.17
Из⁡пункта⁡2.1
𝑍вх = 97,26 + 8,06𝑗
В⁡эквивалентной⁡схеме
𝑅э = 97,26⁡⁡Ом
𝑋𝐿э = 8,06⁡⁡Ом
Условие резонанса напряжений:
𝑋𝐿э = 𝑋𝑐 = 8,06⁡⁡Ом
𝑋𝑐 =
1
𝜔∙с
25
С=
1
1
=
= 0,124 ∙ 10−3 = 124⁡⁡мкФ
𝑋𝑐 ∙ 𝜔 8,06 ∙ 103
̇ =
𝐼вх
𝑈̇вх
5𝑗
=
= 0,0514𝑗 = 0,0514𝑒 𝑗90°
𝑅э
97,26
𝑖вх (𝑡) = 0,0724 sin( 103 ∙ 𝑡 + 90°)
𝑄=
𝑋𝑐
8,06
=
= 0,0829
𝑅э 97,26
Ширина⁡полосы⁡пропускания⁡колебательного⁡контура:
∆𝜔 =
𝜔0
1000
рад
=
= 12063⁡⁡
𝑄
0,0829
с
4. Расчет переходных процессов классическим методом
4.1.
Определить и построить переходную и импульсную характеристики
четырехполюсника для входного тока и выходного напряжения.
Показать связь переходной и импульсной характеристик для выходного
напряжения с передаточной функцией.
1) Найдем корни характеристического уравнения, используя метод входного
сопротивления.
Рис.18 Схема для определения корней характеристического уравнения
26
𝑍вх (𝑃) = 𝑅1 +
𝑅2 (𝑅3 + 𝑃𝐿)
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑃𝐿
𝑍вх (𝑃) = 40 +
60(76 + 0,4𝑃)
=0
60 + 76 + 0,4𝑃
𝑃 = −250⁡𝑐 −1
1
Тогда 𝜏 = |𝑃| = 0,004⁡⁡𝑐.
Подадим на вход четырёхполюсника 1(t) (Рис. 19)
Рис.19
𝑖вх (𝑡) = 𝑖вх (∞) + 𝐴1 𝑒 −250𝑡
𝑢вых (𝑡) = 𝑢вых (∞) + 𝐴2 𝑒 −250𝑡
1) Схема до коммутации, 𝑡 = 0− (Рис.20)
Рис.20
27
𝑢вх = 0
Индуктичность закорочена
𝑖𝐿 (0 −) = 𝑖𝐿 (0 +) = 0
По законам Кирхгофа:
1)𝑢вх = 𝑖вх (0 −) ∙ 𝑅1 + ⁡ 𝑖𝐿 (0 −) ∙ 𝑅3 = 0 → 𝑖вх (0 −) = 0
2)𝑢вх = 𝑖2 (0 −) ∙ 𝑅2 + 𝑖вх (0 −) ∙ 𝑅1 ⁡ → 𝑖2 (0 −) = 0
3)𝑖вх (0 −) = 𝑖𝐿 (0 −) + 𝑖2 (0 −) = 0
2) Схема после коммутации, 𝑡 = 0+ ⁡(рис. 21)
Рис.21
По первому закону Кирхгофа:
𝑖вх (0 +) = 𝑖𝐿 (0 +) + 𝑖2 (0 +) → 𝑖вх (0 +) = 𝑖2 (0 +)
По второму закону Кирхгофа
𝑢вх = 𝑖2 (0 +) ∙ 𝑅2 + 𝑖вх (0 +) ∙ 𝑅1 ⁡ → 𝑖2 (0 +) =
𝑢вх
1
=
= 0,01⁡⁡⁡А
𝑅1 + 𝑅2 40 + 60
𝑢𝐿 (+) + 𝑖𝐿 (0 +) ∙ 𝑅3 = 𝑖2 (0 +) ∙ 𝑅2 → 𝑢𝐿 = 𝑖2 (0 +) ∙ 𝑅2
𝑢𝐿 (+) = 𝑖2 (0 +) ∙ 𝑅2 = 0,01 ∙ 60 = 0,6⁡⁡⁡В
28
3) Схема после коммутации в установившемся режиме, 𝑡 = ∞ (рис.22)
Рис. 22
Индуктивность закорочена
𝑢𝐿 (∞) = 0
𝑢вх = 1
𝑢𝐿 (∞) + 𝑖𝐿 (∞) ∙ 𝑅3 = 𝑖2 (∞) ∙ 𝑅2 → 𝑖𝐿 (∞) =
𝑖2 (∞) ∙ 𝑅2
𝑅3
По первому закону Кирхгофа
𝑖вх (∞) = 𝑖𝐿 (∞) + 𝑖2 (∞)
𝑖вх (∞) =
𝑖2 (∞) =
𝑖𝐿 (∞) ∙ 𝑅3
+ 𝑖𝐿 (∞) → 𝑖вх (∞) ∙ 𝑅3 = 𝑖2 (∞) ∙ 𝑅3 + 𝑖2 (∞) ∙ 𝑅2 →⁡⁡⁡
𝑅2
𝑖вх (∞) ∙ 𝑅3
𝑅2 + 𝑅3
По второму закону Кирхгофа:
𝑢вх = 𝑖вх (∞) ∙ 𝑅1 + 𝑖2 (∞) ∙ 𝑅2
𝑢вх = 𝑖вх (∞) ∙ 𝑅1 +
𝑢вх = 𝑖вх (∞)(𝑅1 +
𝑖вх (∞) ∙ 𝑅3 ∙ 𝑅2
𝑅2 + 𝑅3
𝑅3 ∙ 𝑅2
)
𝑅2 + 𝑅3
29
𝑖вх (∞) =
𝑖2 (∞) =
𝑢вх (𝑅2 + 𝑅3 )
1(60 + 76)
=
= 0,0136⁡⁡А
𝑅1 (𝑅2 + 𝑅3 ) + 𝑅3 ∙ 𝑅2 40(60 + 76) + 60 ∙ 76
1 − 0,544
= 0,0076⁡⁡А
60
𝑖вх (∞) = 𝑖𝐿 (∞) + 𝑖2 (∞)
𝑖𝐿 (∞) = 0,0136 − 0,0076 → 𝑖𝐿 (∞) = 0,006
𝑖𝐿 (𝑡) = 0,006 + 𝐴3 𝑒 −250𝑡
Найдём 𝐴3 :
𝑖𝐿 (0) = 0,006 + 𝐴3 → 𝐴3 = −0,006
𝑖𝐿 (𝑡) = 0,006 − 0,006𝑒 −250𝑡
𝑢𝐿 (𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖𝑙
= 0,4 ∙ (0,006 ∙ 250 ∙ 𝑒 −250𝑡 )
𝑑𝑡
𝑢𝐿 (𝑡) = 0,6𝑒 −250𝑡
По законам Кирхгофа:
𝑖вх (𝑡)𝑅1 + 𝑢𝐿 (𝑡) + 𝑖𝐿 (𝑡)𝑅3 = 𝑢вх
𝑢вх − 𝑖вх (𝑡)𝑅1
𝑖вх (𝑡)𝑅1 + 𝑖2 (𝑡)𝑅2 = 𝑢вх → 𝑖2 (𝑡) =
𝑅2
{ 𝑖вх (𝑡) = 𝑖𝐿 (𝑡) + 𝑖2 (𝑡) → 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑖вх (𝑡) − 𝑖2 (𝑡)
Найдём ток входа:
𝑖вх (𝑡)𝑅1 + 𝑢𝐿 (𝑡) + (𝑖вх (𝑡) −
𝑖вх (𝑡)𝑅1 + 𝑖вх (𝑡)𝑅3 +
𝑢вх − 𝑖вх (𝑡)𝑅1
)𝑅3 = 𝑢вх
𝑅2
𝑖вх (𝑡)𝑅1 𝑅3
𝑢вх 𝑅3
= 𝑢вх − 𝑢𝐿 (𝑡) +
𝑅2
𝑅2
76
𝑖вх (𝑡) =
1 − 0,6𝑒 −250𝑡 + 60
40 + 76 +
40∙76
= 0,0136 − 0,0036𝑒 −250𝑡
60
30
Определим выходное напряжение:
𝑢вых (𝑡) = 𝑖𝐿 (𝑡)𝑅3 = (0,006 − 0,006𝑒 −250𝑡 ) ∙ 76 = 0,456 − 0,456𝑒 −250𝑡
𝑖вх (𝑡) = 0,0136 − 0,0036𝑒 −250𝑡
𝑢вых (𝑡) = 0,456 − 0,456𝑒 −250𝑡
Таким образом, переходные характеристики для входного тока и выходного напряжения
имеют вид:
ℎ𝑢вых (𝑡) = 𝑢вых (𝑡) = 0,456 − 0,456𝑒 −250𝑡 ⁡⁡⁡(рис.23)
ℎ𝑢вых (0) = 0
ℎ𝑖вх (𝑡) = 𝑖вх (𝑡) = 0,0136 − 0,0036𝑒 −250𝑡 ⁡⁡⁡(рис.24)
ℎ𝑖вх (0) = 0,01
Определим импульсные характеристики:
𝑘𝑢вых (𝑡) = (ℎ𝑢вых (𝑡))′ = 114𝑒 −250𝑡 (рис.25)
′
𝑘𝑖вх (𝑡) = (ℎ𝑖вх (𝑡)) = 0,01 ∙ 𝛿(𝑡) + 0,9𝑒 −250𝑡 (рис.26)
31
Рис.23
Рис.24
32
Рис.25
Рис.26
33
Выполним проверку переходной и импульсной характеристик для выходного напряжения
с помощью теоремы о предельных соотношениях.
lim 𝑆 ∙ 𝐻(𝑆) = limℎ𝑢вых (𝑡)
𝑆→∞
𝑡→0
lim 𝑆 ∙ 𝐻(𝑆) = 0
𝑆→∞
limℎ𝑢вых (𝑡) = 0
𝑡→0
0≡0
lim 𝑆 ∙ 𝐻(𝑆) = lim ℎ𝑢вых (𝑡)
𝑆→0
𝑡→∞
lim 𝑆 ∙ 𝐻(𝑆) = 0,456
𝑆→0
lim ℎ𝑢вых (𝑡) = 0,456
𝑡→∞
0,456 ≡ 0,456
Вывод: теорема о предельных соотношениях выполняется, следовательно переходная и
импульсная характеристики для выходного напряжения найдены верно
Покажем связь передаточных функций с переходными и импульсными характеристиками:
4560
Из п. 2.3 ⁡⁡⁡𝑊(𝑆) = 10000+40𝑆
𝑊(𝑆) ≓ 𝑘𝑢вых (𝑡)
4560
𝑎
𝑊(𝑆) = ⁡
=
=
10000 + 40𝑆 𝑏 + 𝑐 ∙ 𝑆
𝑎
𝑐
𝑏
𝑐
+𝑆
≓
𝑎 −⁡𝑏⁡∙⁡𝑡
𝑒 𝑐 = 114𝑒 −250⁡𝑡 ≡ 𝑘𝑢вых (𝑡)
𝑐
𝐻(𝑆) =
𝑊(𝑆)
≓ ℎ𝑢вых (𝑡)
𝑆
𝐻(𝑆) =
4560
114
114
(1 − 𝑒 −250⁡𝑡 ) = 0,456(1 − 𝑒 −250⁡𝑡 ) ≡ ℎ𝑢вых (𝑡)
=
≓
2
10000𝑆 + 40𝑆
𝑆(250 + 𝑆) 250
34
Рассчитать и построить графики изменения тока iвх и напряжения uвых
4.2
четырёхполюсника при подключении его к клеммам с напряжением u4(t) в
момент времени t = (2πk-Ψu3)/ω с учетом запаса энергии в реактивных
элементах схемы от предыдущего режима работы (п. 2.2):
а)
на интервале t [0+, Т ], где Т - период изменения напряжения u4,
б)
с использованием ЭВМ на интервале, t [0+, nТ ], где n - количество
периодов, при котором наступает квазиустановившийся режим.
а) Рассчет iвх(t) и uвых (t) на интервале 𝒕⁡𝝐[𝟎+, Т⁡], где Т - период изменения
напряжения u4,
𝑢3 (𝑡) = 0⁡,
𝑑𝑢3
𝑑𝑡
> 0,⁡⁡⁡(𝜔𝑡 + ⁡ 𝛹𝑢3 ) = ⁡2⁡𝜋⁡𝑘, 𝑘 = 0,1,2,3, …
Рис.27 График 𝑢вх в момент переключения ключа
𝑇=
2𝜋
= 6,28 ∙ 10−3 ⁡⁡⁡⁡⁡c.
𝜔
𝑢3 (𝑡) = 𝑢вх (𝑡) = 5√2𝑠𝑖𝑛(103 𝑡 + 90)
⁡𝜔𝑡0 +
𝜋
= 2𝜋
2
𝜔𝑡0 =
3𝜋
→ 𝑡0 = 4,71 ∙ 10−3 ⁡⁡⁡⁡⁡c.
2
35
Т
Рассмотрим интервал 𝑡⁡𝜖[0+, ⁡] ⁡⁡⁡𝑢вх = 10В
2
Из п. 2.1 ⁡⁡⁡𝐼𝐿̇ = 0,007 + 0,0017𝑗 = √(0,007)2 + (0,0017)2 𝑒
𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
0,0017
0,007
= 0,0072 ∙ 𝑒 𝑗13,65°
𝑖𝐿 (𝑡) = 0,0072√2 sin(103 𝑡 + 13,65°) → 𝑖𝐿 (𝑡0 ) = 0,01 sin(270° + 13,65°) = −0,01⁡⁡⁡⁡А
𝑖𝐿 (𝑡0− ) = 𝑖𝐿 (𝑡0+ ) = −0,01⁡⁡⁡⁡А
Рассмотрим схему в заданный момент времени t
Рис.28 Схема для заданного момента времени t
Так как схема не изменилась то общий вид уравнения запишем как:
𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑖𝐿вын + 𝐴𝑒 𝑃𝑡
𝑃 = −250⁡𝑐 −1
Определим⁡вынужденную⁡составляющую⁡𝑖𝐿вын :
𝑖𝐿вын = 𝑖𝐿 (∞)
𝑖𝐿 (∞) ∙ 𝑅3 = 𝑖2 (∞) ∙ 𝑅2 → 𝑖𝐿 (∞) =
𝑖2 (∞) ∙ 𝑅2
𝑅3
По⁡законам⁡Кирхгофа
𝑖вх (∞) = 𝑖𝐿 (∞) + 𝑖2 (∞)
𝑢вх = 𝑖вх (∞) ∙ 𝑅1 + 𝑖2 (∞) ∙ 𝑅2
36
𝑖вх (∞) =
𝑖2 (∞) ∙ 𝑅2
𝑖вх (∞)
+ 𝑖2 (∞) → 𝑖2 (∞) =
𝑅
𝑅3
1+ 2
𝑅3
𝑢вх = 𝑖вх (∞) ∙ 𝑅1 +
𝑖вх (∞)
𝑅2
1+𝑅
∙ 𝑅2 → 𝑖вх (∞) =
3
𝑖2 (∞) =
𝑖𝐿 (∞) =
0,136
60
1 + 76
𝑢вх
𝑅2 𝑅3
𝑅1 + 𝑅
2 +𝑅3
=
10
60∙76
40 + 60+76
= 0,136⁡⁡⁡⁡𝐴
= 0,076⁡⁡⁡⁡А
0,076 ∙ 60
= 0,06⁡⁡А
76
𝑖𝐿 (𝑡) = 0,06⁡ + 𝐴𝑒 −250𝑡
𝑖𝐿 (0) = 0,06 + А = −0,01 → 𝐴 = −0,07
𝑖𝐿 (𝑡) = 0,06 − 0,07𝑒 −250𝑡
𝑢𝐿 (𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖𝑙
𝑑𝑖𝑙
= 𝑢𝐿 (𝑡) = 𝐿
= 0,4 ∙ (0,007 ∙ 250 ∙ 𝑒 −250𝑡 )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Найдём 𝑢вых (𝑡)⁡и 𝑖вх (𝑡) :
𝑢вых (𝑡) = 𝑖𝐿 (𝑡)𝑅3 = 4,56 − 5,32𝑒 −250𝑡
𝑖вх (𝑡)𝑅1 + 𝑢𝐿 (𝑡) + 𝑢вых (𝑡) = 𝑢вх
𝑖вх (𝑡) =
𝑢вх − 𝑢𝐿 (𝑡) − 𝑢вых (𝑡) 10 − 7𝑒 −250𝑡 − 4,56 + 5,32𝑒 −250𝑡
=
= 0,136 − 0,042𝑒 −250𝑡
𝑅1
𝑅1
𝑖вх (𝑡) = 0,136 − 0,042𝑒 −250𝑡
𝑢вых (𝑡) = 4,56 − 5,32𝑒 −250𝑡
𝑖𝐿 (𝑡) = 0,06 − 0,07𝑒 −250𝑡
37
Рассмотрим интервал 𝑡⁡𝜖[⁡
𝑡=
Т
2−
, 𝑇⁡] 𝑢вх = −10В
𝑇 6,28 ∙ 10−3
=
= 3,14 ∙ 10−3 ⁡⁡⁡⁡𝑐.
2
2
𝑖𝐿 (
Т
−3
) = 0,06 − 0,07𝑒 −250∙3,14∙10 = 0,06 − 0,032 = 0,028⁡⁡⁡⁡𝐴
2−
𝑖𝐿 (
Т
Т
) = 𝑖𝐿 ( ) = 0,028⁡⁡⁡⁡𝐴
2−
2+
Определим⁡вынужденную⁡составляющую⁡𝑖𝐿вын :
Так⁡как⁡схема⁡осталась⁡прежней,но⁡𝑢вх = −10В ,то
𝑖вх (∞) = −0,136⁡⁡⁡⁡𝐴
𝑖2 (∞) = −0,076⁡⁡⁡⁡⁡𝐴
𝑖𝐿 (∞) = −0,06⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐴
𝑇
𝑇
𝑖𝐿 (𝑡 − ) = 0,06⁡ + 𝐴𝑒 −250(𝑡−⁡⁡2 )
2
Определим А:
𝑖𝐿 (
Т
) = −0,06 + 𝐴 = 0,028 → 𝐴 = 0,088
2−
𝑇
𝑇
𝑖𝐿 (𝑡 − ) = 0,06⁡ + 0,088𝑒 −250(𝑡−⁡⁡2 )
2
𝑇
𝑇
𝑢𝐿 (𝑡 − ) = 0,4 ∙ 22𝑒 −250(𝑡−⁡⁡2)
2
𝑇
𝑇
Найдём 𝑢вых (𝑡 − 2)⁡и 𝑖вх (𝑡 − 2) :
𝑇
𝑇
𝑇
𝑢вых (𝑡 − ) = 𝑖𝐿 (𝑡 − ) 𝑅3 = −4,56 + 6,69𝑒 −250(𝑡−⁡⁡2 )
2
2
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑖вх (𝑡 − ) 𝑅1 + 𝑢𝐿 (𝑡 − ) + 𝑢вых (𝑡 − ) = 𝑢вх (𝑡 − )
2
2
2
2
38
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑢вх (𝑡 − ) − 𝑢𝐿 (𝑡 − ) − 𝑢вых (𝑡 − ) −10 + 8,8𝑒 −250(𝑡−⁡⁡2) + 4,56 − 6,69𝑒 −250(𝑡−⁡⁡2)
𝑇
2
2
2
𝑖вх (𝑡 − ) =
=
2
𝑅1
40
𝑇
𝑇
𝑖вх (𝑡 − ) = −0,136 + 0,053𝑒 −250(𝑡−⁡⁡2 )
2
𝑇
𝑇
𝑖𝐿 (𝑡 − ) = 0,6 + 0,088𝑒 −250(𝑡−⁡⁡2 )
2
𝑇
𝑇
𝑢вых (𝑡 − ) = −4,56 + 6,69𝑒 −250(𝑡−⁡⁡2 )
2
Рис.29 𝑖вх (𝑡)
39
Рис.30 𝑢вых (𝑡)
Рис.31 𝑖𝐿 (𝑡)
40
б) Рассчет iвх(t) и uвых (t) с использованием ЭВМ на интервале, t [0+, nТ ], где
n - количество периодов, при котором наступает квазиустановившийся
режим.
Номер
полупериода
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
IL(t)
A
-0.07
-0.0798
-0.0819
-0.0823
-0.0824
-0.0824
-0.0824
-0.0824
-0.0824
-0.0824
B
0.088072
0.083599
0.082666
0.082462
0.082421
0.082413
0.082411
0.082411
0.082411
0.082411
Iвх(t)
C
-0.0419
-0.0478
-0.0490
-0.0493
-0.0493
-0.0493
-0.0493
-0.0493
-0.0493
-0.0493
D
0.0531
0.0504
0.0498
0.0497
0.0497
0.0496
0.0496
0.0496
0.0496
0.0496
Квазиустановившийся режим наступает через 4 периода
Для расчета коэффициентов была написана программа на С:
#include "stdio.h"
#include "math.h"
#include "conio.h"
int main(int argc, char* argv[])
{
float l1vin, l10,l2vin, l20, A, B, C, D, E, F;
int i;
l10=-0.01;
l1vin=0.06;
l2vin=-0.06;
for(i=0;i<20;i++)
{
A=l10-l1vin;
l20=l1vin+A*exp(-0.785);
C=A/1.67;
E=C*126.67;
B=l20-l2vin;
D=B/1.66;
F=D*126.23;
//printf("n=%.1f A=%.4f B=% 4f\n",(float)i,A,B);
//printf("n=%.1f C=%.4f D=%.4f\n",(float)i,C,D);
printf("n=%.1f E=%.4f F=%.4f\n",(float)i,E,F);;
l10=l2vin+B*exp(-0.785);
}
getchar();
return 0;
}
41
Uвых(t)
E
-5.3095
-6.0550
-6.2101
-6.2424
-6.2491
-6.2505
-6.2508
-6.2905
-6.2905
-6.2905
F
6.6972
6.3563
6.2853
6.2706
6.2765
6.2669
6.2667
6.2667
6.2667
6.2667
Рис.32 𝑢вых (𝑡)
Рис.33 𝑖𝐿 (𝑡)
42
Рис.34 𝑖вх (𝑡)
5. Расчет установившихся значений напряжений и токов в
четырехполюснике при несинусоидальном входном воздействии
5.1.
Рассчитать законы изменения тока iвх(t) и напряжения uвых(t)частотным
методом, представив напряжение uвх (t) = u4(t) в виде ряда Фурье до 5-й
гармоники:
4𝑈
𝑢вх (𝑡)=∑51 ( 𝑘𝜋𝑚 ) 𝑠𝑖𝑛⁡(𝑘𝜔𝑡),
где k - целое нечетное число.
Представим напряжение uвх (t) = u4(t) в виде ряда Фурье до 5-й гармоники:
𝑢вх (𝑡) =
4 ∙ 10
4 ∙ 10
4 ∙ 10
sin(1 ∙ 1000𝑡) +
sin(3 ∙ 1000𝑡) +
sin⁡(5 ∙ 1000𝑡)
1∙𝜋
3∙𝜋
5∙𝜋
𝑢вх (𝑡) = 12,739 sin(1000𝑡) + 4,246 sin(3000𝑡) + 2,548sin⁡(5000𝑡)
43
Для рассчёта выходного напряжения 𝑢вых (𝑡) используем данные из пункта 2.4
𝜑(𝜔) = 0 − 𝑎𝑟𝑡𝑐𝑔
4𝜔
1000
4562
𝑊(𝜔) = √
10002 + (4𝜔)2
𝜔
𝑊(𝜔)
𝜑(𝜔), °
1000
0,111
−76°
3000
0,057
−85,2°
5000
0,038
−87,1°
𝑢вых (𝑡) =
40
40
40
∙ 0,111 ∙ sin(1000𝑡 − 76°) +
∙ 0,057 ∙ sin(3 ∙ 1000𝑡 − 85,2°) +
∙ 0,038 ∙ sin(5 ∙ 1000𝑡 − 87,1°)
𝜋
3∙𝜋
5∙𝜋
𝑢вых (𝑡) = 1,41 sin(1000𝑡 − 76°) + 0,16 sin(3 ∙ 1000𝑡 − 85,2°) + 0,059 sin(5 ∙ 1000𝑡 − 87,1°)
Найдем входное сопротивление 𝑍вх (𝑘)
Рис.35 схема для определения 𝑍вх (𝑘)
𝑍𝐿 (𝑘) = 400𝑘𝑗
𝑍вх (𝑘) = 𝑅1 +
𝑅2 (𝑅3 + 𝑍𝐿 (𝑘))
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑍𝐿 (𝑘)
𝑍вх (𝑘) = 40 +
60(76 + 400𝑘𝑗)
60 + 76 + 400𝑘𝑗
44
1) 1-я гармоника k=1
𝑍вх = 40 +
60(76 + 400𝑗)
= 97,26 + 8,06𝑗
60 + 76 + 400𝑗
𝑢вх(1) (𝑡) = 12,739 sin(1000𝑡)
𝑈̇вх(1) =
̇
𝐼вх
(1)
=
12,739
= 9⁡В
1,414
𝑈̇вх(1)
𝑍вх(1)
=
9
= 0,092 − 0,0076𝑗 = 0,0923𝑒 −𝑗4,72°
97,26 + 8,06𝑗
𝑖вх(1) (𝑡) = 0,013 sin(1000𝑡 − 4,72°)
2) 3-я гармоника k=3
𝑍вх = 40 +
60(76 + 400 ∙ 3𝑗)
= 99,66 + 2,96𝑗
60 + 76 + 400 ∙ 3𝑗
𝑢вх(3) (𝑡) = 4,246 sin(3000𝑡)
𝑈̇вх(3) =
̇
𝐼вх
(3)
=
4,246
= 3⁡В
1,414
𝑈̇вх(3)
𝑍вх(3)
=
3
= 0,03 − 0,00089𝑗 = 0,03𝑒 −𝑗1,7°
99,66 + 2,96𝑗
𝑖вх(3) (𝑡) = 0,0423 sin(3000𝑡 − 1,7°)
3) 5-я гармоника k=5
𝑍вх = 40 +
60(76 + 400 ∙ 5𝑗)
= 99,8 + 1,79𝑗
60 + 76 + 400 ∙ 5𝑗
𝑢вх(5) (𝑡) = 2,548sin⁡(5000𝑡)
𝑈̇вх(5) =
̇
𝐼вх
(5)
=
2,548
= 1,8⁡В
1,414
𝑈̇вх(5)
𝑍вх(5)
=
1,8
= 0,018 − 0,0003𝑗 = 0,018𝑒 −𝑗0,95°
99,8 + 1,79𝑗
𝑖вх(5) (𝑡) = 0,0254 sin(3000𝑡 − 0,95°)
45
Итоговые значения:
𝑢вх (𝑡) = 12,739 sin(1000𝑡) + 4,246 sin(3000𝑡) + 2,548sin⁡(5000𝑡)
(Рис.37)
𝑖вх (𝑡) = 0,013 sin(1000𝑡 − 4,72°)+0,0423 sin(3000𝑡 − 1,7°) + 0,0254 sin(3000𝑡 − 0,95°)⁡⁡⁡
(Рис.38)
𝑢вых (𝑡) = 1,41 sin(1000𝑡 − 76°) + 0,16 sin(3 ∙ 1000𝑡 − 85,2°) + 0,059 sin(5 ∙ 1000𝑡 − 87,1°)
(Рис.39)
5.2.
Построить графики uвх (t)= u4(t), uвх(t), iвх(t), uвых(t) в одном масштабе
времени один под другим, где uвх(t), iвх(t), uвых(t) - суммарные мгновенные
значения.
46
Рис.36
Рис.37
Рис.38
Рис.39
47
5.3.
Определить действующие значения uвх (t), iвх(t), uвых(t), а также
активную мощность, потребляемую четырехполюсником, и коэффициенты
искажения iвх(t),uвых(t). Сравнить графики iвх(t), uвых(t). с соответствующими
графиками п. 4.2 б, сделать выводы.
𝐼вх = √(𝐼вх(1) )2 + (𝐼вх(3) )2 + (𝐼вх(5) )2 =
𝐾𝑖вх =
𝐼вх(1)
𝐼вх
=
1
√0,132 + 0,04232 + 0,02542 = 0,0986⁡⁡⁡А
1,414
0,0922
= 0,93
0,0986
𝑈вых = √(𝑈вых(1) )2 + (𝑈вых(3) )2 + (𝑈вых(5) )2 =
𝐾𝑢вых =
𝑈вых(1)
𝑈вых
=
1
√1,412 + 0,162 + 0,0592 = 1,004⁡⁡В
1,414
1
= 0,996
1,004
Определим действующeе значениe входного напряжения
𝑈вх = √(𝑈вх(1) )2 + (𝑈вх(3) )2 + (𝑈вх(5) )2 = √92 + 32 + 1,82 = 9,656⁡⁡В
Активная мощность, потребляемая четырехполюсником
𝑃 = 𝑈вх(1) 𝐼вх(1) cos (𝜓𝑢(1) − 𝜓𝑖(1) ) + 𝑈вх(3) 𝐼вх(3) cos (𝜓𝑢(3) − 𝜓𝑖(3) ) +
+𝑈вх(5) 𝐼вх(5) cos (𝜓𝑢(5) − 𝜓𝑖(5) ) =
= 9 ∙ 0,0922 cos(4,72°) + 3 ∙ 0,03 cos(1,7°) + 1,8 ∙ 0,018 cos(0,95°) = 0,95⁡⁡Вт
𝑆 = 𝑈вх ∙ 𝐼вх = 9,656 ∙ 0,0986 = 0,95⁡⁡⁡⁡В ∙ А
48
Рис.40 Сравнение графиков 𝑢вых (𝑡)
Рис.41 Сравнение графиков 𝑖вх (𝑡)
49
5.4
Заменить несинусоидальные кривые uвх(t), iвх(t) эквивалентными
синусоидами и построить их графики.
Построим эквивалентные синусоиды.
Реактивная мощность, потребляемая четырехполюсником:
𝑄 = 𝑈вх(1) 𝐼вх(1) 𝑠𝑖𝑛 (𝜓𝑢(1) − 𝜓𝑖(1) ) + 𝑈вх(3) 𝐼вх(3) sin (𝜓𝑢(3) − 𝜓𝑖(3) ) +
+𝑈вх(5) 𝐼вх(5) sin (𝜓𝑢(5) − 𝜓𝑖(5) ) =
= 9 ∙ 0,0922 sin(4,72°) + 3 ∙ 0,03 sin(1,7°) + 1,8 ∙ 0,018 sin(0,95°) = 0,0715⁡⁡Вар
Из п.5.3 𝑃 = 0,95⁡⁡Вт
Угол сдвига эквивалентных синусоид:
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑄
0,0715
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
= 4,3°
𝑃
0,95
Пусть 𝜓𝑢 = 0, тогда
𝜓𝑢 − 𝜓𝑖 = 𝜑⁡ → ⁡ 𝜓𝑖 = 𝜓𝑢 − 𝜑 = 0 − (4,3°) = −4,3°
Таким образом, получаем
𝑢вх⁡экв (𝑡) = 13,66sin⁡103 𝑡
𝑖вх⁡экв (𝑡) = 0,0986 ∙ √2 sin(103 𝑡 − 4,7°) = 0,14 sin(103 𝑡 − 4,7°)
Рис.42 Эквивалентная синусойда входного напряжения 𝑢вх⁡экв (𝑡)
50
Рис.43 Эквивалентная синусойда входного тока 𝑖вх⁡экв (𝑡)
51
Выводы
1. Расчет тока в источнике гармонических колебаний выполнен методом контурных
токов.
2. Определены передаточные функции четырехполюснике, построены АЧХ, ФЧХ и
годограф. Результаты расчета Uвых при заданном Uвх с помощью частотных
характеристик совпадают с полученными в п. 2.1
3. Определены переходные и импульсные характеристики цепи для iвх и uвых.
Показана их связь с передаточными функциями АЧХ.
4. Выполнен расчет переходных процесов в схеме четырехполюсника классическим
методом на интервале t∊[0,T] и с использованием ЭВМ на интервале t∊[0,nT]
5. Рассчитаны установившиеся значения iвх(t) и uвых(t). Очевидно, что
четырехполюсник осуществляет изменение спектра входного напряжения. Поэтому
выходное напряжение отличается по форме от входного. Сравнение графиков iвх(t)
и uвых(t) с соответствующими графиками в квазиустановившемся режиме
показывают их идентичность с точностью до 5 гармоники разложения Uвх в ряд
Фурье.
6. Исследование электрической цепи различными методами позволило закрепить
теоретический материал по курсу теоретических основ электротехники и
применить изученные методы к анализу электрических схем.
52
Литература
1. Б.В. Стрелков, Ю.Г. Шерстняков. Анализ установившихся и переходных
процессов в линейных электрических цепях. под. ред. С.И. Масленниковой, М,
изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001
2. Г.И. Атабеков, Основы теории цепей, 1968, М,
3. Г.И. Атабеков, Теоретические основы электротехники, М, 1978
53
Оглавление
«АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ И ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ»…………………………………………………………………..1
1. Расчет источника гармонических колебаний (ИГК)…………………………………..10
1.1.Представить исходную схему ИГК относительно первичной обмотки трансформатора
эквивалентным источником напряжения. Определить его параметры (ЭДС и внутреннее
сопротивление) и значение тока в первичной обмотке трансформатора. В качестве
первичной обмотки трансформатора выбрать индуктивность в любой ветви, кроме ветви с
идеальным источником тока…………………………………………………..10
1.2.Записать мгновенные значения тока и напряжения в первичной обмотке
трансформатора и построить их волновые диаграммы……………………………………...15
1.3.Определить значения Мnq, Мnp Lq, Lp ТР из условия, что индуктивность первичной
обмотки Ln, известна, U1= 5 В, U2 = 10 В. Коэффициент магнитной связи обмоток к
следует выбрать самостоятельно в диапазоне: 0,5 < k < 0,95 (n, р, q, - номера
индуктивностей Т1). Записать мгновенные значения u1(t) и u2(t)………………………….16
2. Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при
синусоидальном входном воздействии …………………………………………………….17
2.1. Рассчитать токи и напряжения в схеме четырехполюсника методом входного
сопротивления (или входной проводимости)………………………………………………...17
2.2.Записать мгновенные значения uвх(t)=u7(t)=u3(t), определить сдвиг по фазе φ между
выходным и входным напряжениями, а также отношение их действующих значений…...20
2.3.Определить передаточные функции W(s)=Uвых(S)/Uвх(S), W(jw)=Uвых/Uвх………..21
2.4.Определить и построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики.
АЧХ и ФЧХ построить в диапазоне частот от 0 до 5000 1/с. Используя частотные
характеристики, определить uвых при заданном uвх. Сравнить этот результат c
результатом, полученным в п. 2.2……………………………………………………………..22
2.5.Построить годограф - линию семейства точек комплексной передаточной функции в
диапазоне частот от 0 до ∞ на комплексной плоскости. Указать на годографе точки,
соответствующие частотам 0,1000 1/с, ∞……………………………………………………..24
3. Расчет резонансных режимов в электрической цеп………………..…………..……...25
3.1.Включить в схему четырехполюсника реактивное сопротивление (индуктивность или
емкость) таким образом, чтобы uвх и iвх совпадали по фазе (режим резонанса
напряжений). Определить значение параметра реактивного элемента, а также входное
54
сопротивление, входной ток, добротность и ширину полосы пропускания резонансного
контура…………………………………………………………………………………………..25
4.Расчет переходных процессов классическим методом……………………………...….26
4.1.Определить и построить переходную и импульсную характеристики
четырехполюсника для входного тока и выходного напряжения. Показать связь
переходной и импульсной характеристик для выходного напряжения с передаточной
функцией………………………………………………………………………………………...26
4.2.Рассчитать и построить графики изменения тока iвх и напряжения uвых
четырёхполюсника при подключении его к клеммам с напряжением u4(t) в момент
времени t = (2πk-Ψu3)/ω с учетом запаса энергии в реактивных элементах схемы от
предыдущего режима работы (п. 2.2).………………………………………………………...35
а) Рассчет iвх(t) и uвых (t) на интервале t ϵ[0+,Т ], где Т - период изменения напряжения
u4………………………………………………………………………………………………...35
б) Рассчет iвх(t) и uвых (t) с использованием ЭВМ на интервале, t [0+, nТ ], где n количество периодов, при котором наступает квазиустановившийся режим……………...41
5. Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при
несинусоидальном входном воздействии………………………………………………......43
5.1.Рассчитать законы изменения тока iвх(t) и напряжения uвых(t) частотным методом,
представив напряжение uвх (t) = u4(t) в виде ряда Фурье до 5-й гармоники……………....43
5.2.Построить графики uвх (t)= u4(t), uвх(t), iвх(t), uвых(t) в одном масштабе времени один
под другим, где uвх(t), iвх(t), uвых(t) - суммарные мгновенные значения…………………46
5.3.Определить действующие значения uвх (t), iвх(t), uвых(t), а также активную мощность,
потребляемую четырехполюсником, и коэффициенты искажения iвх(t), uвых(t). Сравнить
графики iвх(t), uвых(t). с соответствующими графиками п. 4.2 б, сделать выводы……….48
5.4.Заменить несинусоидальные кривые uвх(t), iвх(t) эквивалентными синусоидами и
построить их графики…………………………………………………………………………..50
55