МЕТОДЫ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Методы выбора оптимальных параметров технических систем
С.И. Пастушенко, канд.техн.наук; О.М. Яхно д-р.техн.наук, проф.
НТУУ «КПИ
Проблема определения наиболее эффективных в функциональном и
экономическом отношениях параметров машин имеет как научное, так и
практическое значение.
Определение оптимального решения возможно при принятии ряда ограничений, в
рамках которых производится соответствующий поиск. Поэтому выбор оптимальных
параметров машин предполагает в той или иной степени компромиссное решение.
Определение экстремума критерия оптимизации Ф(х) может
выполняться несколькими путями. Наиболее рекомендуемые из них
следующие.
Рассматривается однокритериальная задача. Следовательно,
критерий Ф(х) выбирается в качестве основного, а остальные
принимаются как ограничения. В этом случае экстремальное значение
Ф(х) находится в рамках этих ограничений и в определенной области
пространства параметров.
В другом случае вместо единственного обобщенного критерия Ф(х)
исходят из нескольких противоречивых показателей Ф1(х), Ф2(х),,
Фк(х), каждый из которых не полностью отражает характеристики
машины. Поэтому для перехода к обобщенному критерию Ф(х)
необходимо обратится к соотношению
к
Ф 
PФ
s
s
,
(1)
s  1
где s = 1, 2, ..., к; Рs — назначаемые разработчиками весовые
коэффициенты (функции).
Путь поиска оптимума следующий. Исходя из данных Pso,
устанавливается, что полученное значение Ф(х) и модель машины нас
не устраивает. В таком случае задается новый набор Psi, снова
определяется экстремальное значение хi и, следовательно, Ф(х) и т.д.
При противоречивости предъявляемых к машине требований
окончательное решение возможно на основе компромиссов между Фs.
Предположим, что имеются п элементов данной установки и
возможны т позиций для установки элементов. Кроме того, известна
стоимость Пij назначения i–го элемента на j-ю позицию. Необходимо
определить для каждого элемента всего множества элементов объекта
такую позицию, чтобы общая стоимость размещения всех элементов
была бы минимальной. Формулировка математической задачи
заключается в минимизации функций всех перестановок Р:
F 
min
Р(і )
П
ір (і )
,
где Р(i) — назначение некоторой позиции i–го элемента.
«Вісник СумДУ», №12(58), 2003
174
(2)
Возможен другой критерий оптимизации, а именно стоимость связи
элемента. В этом обращаются к квадратичной задаче о назначениях.
Будем считать, что известна стоимость Сij единицы связи между
элементами i и j. При этом элементы i и j назначаются на позиции Р(i) и
Р(j). Расстояние между соответствующими позициями обозначим через
LР(i)Р(j). В таком случае речь идет о минимизации выражения
G 
min
C
ij
L p (i ) p ( j )
.
ij
(3)
p (i ) p ( j )
Иногда может стоять более сложная задача, а именно оптимизация
по двум указанным выше критериям. Математически это
формулируется следующим образом:
K  F  G 

min 
П ір (і ) 

i

p (i ) p ( j )

C
ij
ij

L p (i ) p ( j ) 


.
(4)
Поиск оптимального варианта размещения элементов объекта
завершается, когда рассмотрены все перспективные варианты решения
(Ri): Ropt  min
П
і
 П м , где Пм — верхняя граничная оценка на
i
[ R]
данном поиске варианта размещения элементов объекта.
Для следующего типа поиска характерно то, что по мере накопления информации
о возможностях разрабатываемой машины усложняется и совершенствуется
постановка задачи. При этом с учетом используемой информации некоторые
требования ослабляются, другие — усиливаются.
Рассмотрим вопрос многокритериальной оптимизации [1].
Примем, что оптимизируемая функция  имеет вид
  (X 1, X 2 , ..., X n ) .
Функция  гладкая, т.е. непрерывная и имеет производные в
каждой точке. Следовательно, можно записать
d 
n

 X
i 1
dX i .
(6)
i
Условие экстремума определяется тем, что независимо от
выбранной переменной
( X n ) d  0 .
Принимая во внимание, что не все переменные Хn являются
независимыми, следует записать систему уравнений
1
( X 1 , X 2 , ..., X n )
 0,
2
( X 1 , X 2 , ..., X n )
 0,
.....................................
m
«Вісник СумДУ», №12(58), 2003
(5)
( X 1 , X 2 , ..., X n )
(7)
(8)
 0,
175
где т — число уравнений связи; п — число переменных; (п-т) —
«степень свободы» системы.
Если свобода отсутствует, т.е. все переменные определены, нет
смысла рассматривать задачу об оптимизации.
Для определения, какие т являются зависимыми и какие (п-т)
независимыми, используется метод Лагранжа. При этом система т–
уравнений получит вид
n
 
  X
i 1
 1
i
 m 
 1
 dX i  0 .
 ... m
X i
X i 
(9)
Поскольку мы имеем п уравнений, можно получить значения т величин
λi из т уравнений. Оставшиеся (п-т) уравнений вместе с исходными т
образуют п уравнений, достаточных для определения п значений Хi.
В последние годы методы эксергоэкономического анализа
развиваются на базе теории информации. В этом случае функция
распределения вероятностей определяется, используя заданные
средние значения величин. При этом используются следующие
уравнения: сумма вероятностей, связанных с определенными
возможными состояниями, которая всегда должна быть равна единице;
математическое ожидание или его среднее значение предполагается
известным.
Особый интерес представляет геометрический аппарат
оптимизации. Этот метод обладает наглядностью и поэтому он удобен
для решения оптимизационных задач.
Приведем основы теории С-кривых.
Примем, к примеру, что критерием оптимизации являются затраты
эксергии. Функция Z =f(EX) имеет минимумы по отношению к каждой
из осей: EXmin и Zmin (рис. ).
Рисунок 1 - Термоэкономическая модель системы
в виде С-кривой
Рисунок 2 - С-поверхность
Оптимальное значение (точка А) может быть определено,
предположив линейную зависимость между затратами эксергии EX и
затратами Z :
Z  k EX ,
(10)
где k - капиталовложения на прирост первичной энергии.
«Вісник СумДУ», №12(58), 2003
176
При многокритериальной оптимизации используют метод Споверхностей.
Оптимальное значение методами С-кривых и С-поверхностей может
быть определено путем графического дифференцирования в границах
рассматриваемого участка или построением касательной к кривым
(поверхностям) α = arctg k и определением соответствующей точки (на
рис. 2 обозначено через min). Графический способ легко переводится в
аналитический.
Метод эксергоэкономического анализа и оптимизации изложен в
работах [2,3].
В каждом конкретном случае в зависимости от задач исследований
выбирается тот или другой метод оптимизации.
SUMMARY
Consider one- and many criterion optimization methods of technical systems.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
Морозюк Т. В. Водоаммиачные термотрансформаторы (теория, анализ, синтез, оптимизация):
Автореф. дисс... докт. техн. наук. ОГПУ.- Одесса, 2001. – 34 с.
Пастушенко С.І. Методи термодинамічного аналізу і термоекономічної оцінки систем гідроприводів
сільськогосподарських машин // Вісник аграрної науки Причорномор’я. – Миколаїв: Видавничий
відділ МДАА. – 2002. – Вип. 4 (18). – Т. 1. – С. 64-74.
Пастушенко С.І., Нікульшина В.В. Методи ексергоекономічної оптимізації систем гідроприводів
сільськогосподарських машин // Вісник Харківського ДТУСГ “Механізація сільськогосподарського
виробництва”. –Харків: Видавництво СПДФО “Червяк В.Є.”. –2002
«Вісник СумДУ», №12(58), 2003
177