тригонометрические уравнения 10 класс Система

Готовимся
самостоятельно
Система
заданий для
самостоятельного изучения
тема:
тригонометрические уравнения
10 класс
Подготовила учитель математики
Запорожской ОШ І-ІІІ ступеней № 84
Кулешова Л.А.
Введение
Среди задач первостепенной важности одна из главных – это организация
качественной самостоятельной работы на занятиях математического цикла.
Самостоятельная учебная деятельность школьников заключается в умении
работать с учебной литературой, анализировать теоретическую информацию,
составлять план действий, получать практические результаты. Такая
деятельность кроме обучающих целей несет в себе еще и воспитательную
функцию. При формировании у учащихся самостоятельности необходимо развить
у них самостоятельность в повседневной познавательной деятельности, нужно
научить школьников самостоятельно овладевать знаниями с целью формирования
их мировоззрение, научить ребят самостоятельно применять любые имеющиеся у
них знания не только исключительно в учении, но и в практической деятельности.
Самостоятельная работа, без сомнения, вырабатывает высокую культуру
интеллектуального труда, которая предполагает, прежде всего, саму
потребность в самостоятельной деятельности, порождает стремление вникнуть
в суть вопроса, идти в глубину нерешённых проблем. В этом процессе наиболее
явно проявляются все индивидуальные способности школьников, их склонности и
разнообразные интересы, способствующие развитию анализа фактов и явлений,
учат человека самостоятельному мышлению, которое отвечает за творческое
развитие и создание собственного мнения, взглядов, представлений, позиции.
Самостоятельная работа всегда характеризуется какими-либо результатами, к
которым ученик всегда приходит самостоятельно. Этот результат, его ценность
и такая значимость осознаются много острее и значимее по сравнению с теми,
что получаются при совместной деятельности учителя и учеников. Результат
работ всегда показывает не только уровень знаний, но и уровень
самостоятельности школьника, наличие индивидуального стиля в его
деятельности.
Предложенная система заданий позволяет учитывать индивидуальные
особенности учащихся, содержит задания репродуктивного и реконструктивного
типа.
Структура блока заданий следующая. К теме дается необходимый
теоретический материал, изложенный кратко в виде таблиц, схем, инструкций
(рассмотрены основные типы тригонометрических уравнений в соответствии с
действующей программой для 10-х классов, академический уровень). Система
заданий содержит ответы, а также указания к решению и консультации.
Самостоятельно решая задания, учащиеся могут в случае получения неверного
ответа обратиться к указаниям к решению или получить более детальную
консультацию, рассмотреть рациональный способ решения. После решения всех
заданий предлагается контрольное задание, к которому даются ответы.
Система заданий позволяет учащимся научиться самостоятельно решать
тригонометрические уравнения, определить степень подготовленности по данной
теме, оценить свои результаты.
І. Теоретический материал
1. Простейшие тригонометрические уравнения
а)
Простейшие
триг. уравнения
Формулы
корней
sinx=a,
|a| ≤ 1
k
x=(-1) arcsina+πk,
kZ
cosx=a,
|a| ≤ 1
x=arccosa+2πn,
nZ
tgx=b,
bR
x=arctgb+πn,
nZ
ctgx=b,
bR
x=arcctgb+πn,
nZ
Формулы используются и в уравнениях вида sin(kx+b)=a, и в сводящихся к
простейшим путем использования свойств уравнений.
б) Решение тригонометрических уравнений вида f(x)=a, где a=0, 1;
f(x) – одна из тригонометрических функций (частные случаи).
x = π/2+2πk, kZ
x = π/2+πk, k
!!!
a) π/2 – одно из значений (первое)
б) период «повторяемости» корня
2πk
πk
x = π/2+2πk, kZ
x = π/2+πk, kZ
!!!
a) π/2 – одно из значений (первое)
б) период «повторяемости» корня
2πk
πk
Дополнительная информация
а) arcsin(-a)=--arcsina, a-1;1
!!!
x = (-1)k+1arcsina+πk, kZ
-1< a <0
б) arccos(-a)=π-arccosa, a-1;1
!!!
x=(π-arccosa)+2πk, kZ
-1< a <0
в) arctg(-b)= -arctgb, bR
г) arcctg(-b)=π-arcctgb, bR
2. Тригонометрические уравнения вида
af2(x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – одна из тригонометрических функций
Замена: f(x) = y
y, возврат к замене
решение простейших
тригонометрических уравнений
3. Однородные тригонометрические уравнения
а) первая степень однородности
asinx + bcosx = 0 (:cosx≠o или sinx≠0)
atgx + b = 0 – простейшее
тригонометрическое уравнение
б) однородное ІІ порядка относительно sin и cos.
asin2x + bsinx∙cosx + ccos2x = 0
(: cos2x≠0 или sin2x≠0)
atg2x + btgx + c = 0
(см. п. 2)
* asin2x + bsinx∙cosx + ccos2x = d, d≠0 (неоднородное)
!!! d∙1=d∙(sin2x + cos2x)
4. Уравнения вида asin2x = b; acos2x = d, b≠0, d≠0
Использование формул: 2sin2x = 1 – cos2x
2cos2x = 1 + cos2x
5. Уравнения, решаемые разложением на множители
«+»  «∙»
6. Уравнения вида asinx + bcosx = c, c≠0
a 2 + b 2 – вычисляем,
: a 2 + b2
a
a 2 + b2
,
b
a 2 + b2
- табличные значения
использование формул
не являются табличными
sin() = sin cos  cos sin
2tg
sin =
α
2
1 + tg 2
α
2
α
2
cos =
α
1 + tg 2
2
1 tg 2
cos() = cos cos  sin sin
7. Уравнения вида
f(x)
= 0 , где f(x), g(x) – тригонометрические
g( x )
функции
f(x) = 0
g(x) ≠ 0
Исключить решения уравнения g(x) = 0
из множества решений уравнения f(x) = 0
Некоторые поучительные указания
Данные указания служат для понимания более тонких вопросов,
возникающих при решении тригонометрических уравнений
Определенного способа решения тригонометрических уравнений не существует. С
помощью
частных
алгоритмов
уравнения
можно
получить
простейшие
тригонометрические уравнения. При выполнении преобразований с целью свести данное
уравнение к однородному, привести тригонометрические функции к одному аргументу и
т. п. При этом может призойти расширение или сужение области определения уравнения,
а значит могут появиться посторонние корни или произойти потеря корней. Поэтому в
некоторых случаях необходима проверка найденных решений.
asinx + bcosx = 0
asin2x + bsinx cosx + cos2x = 0
При делении на старшую степень синуса или косинуса не происходит
потери корней. Получаем уравнения равносильные данным.
Проверка найденных решений необходима, если:
 использовались преобразования: освобождение от знаменателя,
сокращение дроби, приведение подобных;
 использовалось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же
четную степень;
 применялись перечисленные ниже тригонометрические тождества.
1. ctgx =
1
;
tgx
tg 2x =
2tgx
;
2
1 tg x
π
+ πk, kZ.
2
2. Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс
половинного угла (тип 6);
«Подозрительны» на потерю числа: x = π + 2πk, kZ.
«Подозрительны» на потерю числа: x =
ІІІ. Практическая часть
1. Решить тригонометрические уравнения
Задания
Ответы
1. ctgx = - 3
x = 5π/6 + πk, kZ
2. 3 tg(x/3 – π/4) = -3
x = -π/4 + πn, nZ
3. cos(2x + π/5) = 1
x = -π/10 +πn, nZ
4. 2 cos(π/2 – x) -2 = 0
x = π/2 + 2πn, nZ
5. 4 tg2x – 3 tgx = 1
x1 = π/4 + πn, nZ
x2 = -arctg1/4 + πk, kZ
x = 2πn, nZ
6. sin2x – cosx + 1 = 0
7. sinx - 3 cosx = 0
8. 2 sin2x – sinx cosx + 3cos2x = 2
9. sin2x = ½
10. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
11. sin9x = sinx
12. cosx cos3x = cos2x cos4x
13. sinx - 3 cosx = 1
14. 2 sinx + cosx = 1
15.
sin2x
=0
cos x
x = π/3 + πk, kZ
x1 = π/2 + πn, nZ
x2 = π/4 + πk, kZ
x = π/8 + πk/2, kZ
x1 = π/2 + πk, kZ
x2 = π/4 + πn/2, nZ
x1 = πn/4, nZ
x2 = π/10 + πk/5, kZ
x = πn/5, nZ
x1 = π/2 + 2πk, kZ
x2 = 7π/6 + 2πn, nZ
x1 = 2πk, kZ
x2 = 2 arctg2 + 2πn, nZ
x = πn, nZ
16.
Корней нет
1 cos2x
=0
sinx
2.
Указания к решениям
1. Применить формулу x = arcctgb + πn, Z
2. Привести к виду tgA = b, применить формулу x = arctgb +πn, nZ
3. См. частный случай
4. См. частный случай
5. Замена: tgx = t
6. Сводится к квадратному относительно cos
7. Однородное уравнение І порядка
8. Разделить обе части уравнения на cos2x ≠ 0, правая часть –
2sin2x + 2cos2x
9. Понижение степени по формуле: 2 sin2x = 1 – cos2x
10. Понижение степени 4-х слагаемых по формуле: 2 cos2x = 1 + cos2x
11. sin9x – sinx - разложить на множители
12. Преобразовать произведение косинусов в сумму:
coscos = ½ (cos( - ) + cos( + ))
13. См. тип 6 (первый случай)
14. См. тип 6 (второй случай)
15, 16 см. тип 7:
числитель = 0
знаменатель ≠ 0
3. Консультации
к решениям
1. arcctg(-b) = π – arcctgb - учесть!!!
2. x/3 – π/4 = -arctg 3 + πn, nZ - решить относительно х
3. 2х + π/5 = 2πk, kZ - решить относительно х
4. Рациональный способ: применить формулу приведения - cos(π/2-x) = sinx
5. Возврат к замене: tgx = 1, tgx = -1/4
6. Применить формулу: sin2x = 1 – cos2x
7. Разделить обе части уравнения на cosx ≠ 0 или sinx ≠ 0
8. Один из этапов решения: ctg2x – ctgx = 0
9. Используя формулу понижения степени, получим: 1 – cos4x = 1
10.Отдельные этапы решения: cos2x + cos4x + cos6x + cos8x = 0
2 cos3x cosx + 2 cos7x cosx = 0;
cosx вынести за скобки
11. Использовать формулу sin - sin = 2 sin(( - )/2) cos(( + )/2)
12. Отдельный этап решения: cos4x – cos6x = 0, дальше разложить левую часть на
множители.
1
1
3
13. a 2 + b 2 = 2, разделить обе части уравнения на 2: sinx cosx = ,
2
2
2
применить одну из формул сложения.
14. Используя формулы (1), (2) перейти к квадратному уравнению
относительно tg
15.
16.
ІІ. Приемы решения тригонометрических
уравнений (образцы)
1.
2.
3.
4.
5.
Алгоритм
Использовать формулу для
разности косинусов и тождество
сos2x = 1 - 2sin2x
Использовать формулу
sin2x = 2 sinx cosx. Разделить обе
части уравнения на -2
Вынести за скобки общий множитель sin2x
Приравнять нулю каждый множитель
Решить простейшие тригонометрические уравнения
cos3x – cosx + cos2x = 1
-2 sin2x sinx – sin2x = 0
2sin2x cosx + sin2x = 0
sin2x (2cosx + 1) = 0
sin2x = 0
или
sinx = 0
x = πn, nZ
2cosx + 1 = 0
cosx = -1/2
x = 2π/3 + 2πk, kZ
6. Ответ: πn; 2π/3 + 2πk, nZ, kZ
Алгоритм
3sin2x –4sinx cosx + 5cos2x = 0
1. Разделить обе части уравнения на
cos2x ≠ 0
2. Полученное уравнение типа
квадратного
3tg2x – 4tgx + 5 = 0
Замена: tgx = y
3 y2 - 4y + 5 = 0
D<0, действительных корней
нет
3. Ответ: корней нет
Идея решения
sin7x – sinx = cos4x
1. Применить формулу для
преобразования разности синусов в
произведение
2. Вынести за скобки общий
множитель
2 sin3x cos4x – cos4x = 0
cos4x (2sin3x – 1) = 0
Контрольное задание:
cos 2x = 3 /2
cos 2x + 5sin x + 2 = 0
1 – cos 8x = sin 4x
3sin x – 4cos x = 4
6 sin2 x – 3 sin x cos x – 5cos2 x = 2
sin2 x = sin2 3x
sin x + sin 3x
7.
=0
cos x
8. cos 7x cos 3x = cos 4x
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ответы:
1. x = π/12 + πn, nZ
2. x = (-1)k+1 π/6 + πk, kZ
3. x1 = πn/4, nZ
x2 = (-1)k π/24 + πk/4, kZ
4. x1 = π + 2πk, kZ
4
x2 = 2 arctg + 2πn, nZ
3
5. x1 = -π/4 + πn, nZ
7
x2 = arctg + πk, kZ
4
6. x = πk/4, kZ
7. x = πn, nZ
Литература
1. Крамор В.С., Михайлов П.А. Тригонометрические функции.
М.: Просвещение, 1979.
2. А. Капіносов та ін.. Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного
оцінювання. Тернопіль: Підручники і посібники, 2012
3. Громов А.И., Савчин В.М. Математика для поступающих в вузы. М.: Евразийский
регион, 1997.
4. Лисянська Г.В., Гаєвська В.О. Тригонометрія. Науково-методичний посібник для
вивчення дисципліни «Елементарна математика» для слухачів підготовчого
відділення та підготовчих курсів. Харків: 2010.