Решения задач и указания с нормальным видом формул

19-я заочная физико-математическая олимпиада МФТИ
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный
университет)
Вам может показаться, что покупать решения и указания к ним – нечестно.
Но подумайте о тех ваших соперниках, которым родственники, друзья и коллеги
родителей, учителя и репетиторы решают эти задачки просто бесплатно.
А у кого-то не только такого блата нет, да ещё и физики в школе – тоже!
Смекалистый деревенский парнишка с интернетом по моим подсказкам, может, начнёт
дерзать. Глядишь, «в лаптях» дотопает до Москвы.
Понятно, что я тут справедливость не восстанавливаю.
Но и ругаться по поводу «несправедливости» глупо.
На этом этапе честность не предполагается.
Для оной существует следующий, очный, этап.
Решения олимпиадных задач, высылаемые на заказ, абсолютно уникальны, т.е.
оформляются в единственном экземпляре.
Например, приведённое здесь официальное решение первой задачи приниматься не
будет, поскольку оно хорошо известно проверяющим, выложено в интернете и будет
копироваться многими дурачками.
Если вы хотите зря потратить силы, время и нервы, - копируйте эти всем известные
решения. Гарантированно не пройдёте.
М1. Известно, что каждое из уравнений х2 + ах + b = 0 и х2 + bх + а = 0 имеет два
различных корня и эти четыре корня в некотором порядке образуют арифметическую
прогрессию. Найти а и b.
Заметим, что по теореме Виета сумма корней любого из заданных уравнений равна
произведению корней другого, взятому с обратным знаком.
Пусть корни данных уравнений в некотором порядке образуют прогрессию
u - d, u, u + d, u + 2d (d > 0).
Возможны три случая.
1. Первые два члена прогрессии - корни одного уравнения, два оставшихся - другого. На
основании сделанного замечания получим систему …
Вычитая из второго уравнения первое и сокращая на d > 0, получим d = 2 - 2u.
Подставляя d в уравнение (любое), получаем u2 - 2u + 2 = 0.
Уравнение не имеет решений. Значит, этот случай невозможен.
2. Два средних члена прогрессии - корни одного уравнения, два крайних - другого.
Имеем систему…
Решений при d > 0 нет.
3. Первый и третий члены прогрессии - корни одного уравнения, второй и четвертый другого. В этом случае из первого уравнения заключаем, что u = 0 или 2d + u + 2 = 0.
Если u = 0, то из второго уравнения находим, что d = 2, и получаем прогрессию - 2, 0, 2, 4.
При этом - 2 и 2 - корни одного уравнения, 0 и 4 - другого.
Если 2d + u + 2 = 0, то, решая систему, находим, что u = 2, d = - 2.
Получаем прогрессию 4, 2, 0, - 2.
Вновь - 2 и 2 - корни одного уравнения, 0 и 4 - другого.
Ответ: а = 0, b = - 4 или а = - 4, b = 0.
М2. Угол при вершине треугольника, боковые стороны которого равны а и b (а < b),
разделён на три равные части прямыми, отрезки которых внутри треугольника относятся
как m: n ( m < n ). Найти длины этих отрезков.
Задача тяжёлая. Решение её одной стоит 3 тыс.руб. Подсказка – 2 т.р.
М3. Известно, что sin(3x) = 3sinx - 4sin3 х. Нетрудно также доказать, что sin(nx) при
нечётном n можно представить в виде многочлена степени n от sin х. Пусть sin (2009х) =
Р(sin х), где Р(t) - многочлен 2009-й степени от t. Решите уравнение:
Так как sin α = t = cos(x/2009), то уравнение приобретает вид sin(2009α)= Р(sin α) = -1/2
Отсюда легко находятся α.
х находим из α ± x/2009 = π/2 + 2πk
М4. В разложении бинома (1 + х)n по возрастающим показателям степеней х квадрат
седьмого слагаемого равен удвоенному произведению пятого и восьмого слагаемых, а
отношение седьмого слагаемого к шестому равно 8/7. Найти n и х.
Биномиальный коэффициент
Cnk =
(Cn6)2 х = 2Cn4 Cn7
7Cn6 х = 8Cn5
Отсюда
n = 14.
Остальное (подробное) решение стоит 2 тыс.руб. Подсказка – 1 т.р.
М5. 120 одинаковых шаров плотно уложены в виде правильного тетраэдра.
Сколько шаров лежит в основании?
Пирамидальные числа получаются, если шарики складывать пирамидой,
как раньше складывали ядра около пушки.
Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число
равно сумме всех треугольных чисел – от первого до n-го.
Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид:
Ответ: 8
Остальное (подробное) решение стоит 2 тыс.руб. Подсказка – 1 т.р.
3
М6. Вычислить f (√2 - 1), где
f(х) = х2009 + 3х2008 + 4х2007 + 2х2006 + 4х2005 + 2х2004 + 4х2003 + 2х2002 + ... + 4х3 + 2х2 + 3х + 1.
х3 + 3х2 + 3х + 1 = 2
х2009 + х2008 + х2007 + х2006 + х2005 + х2004 + х2003 + х2002 + ... + х3 + х2 + х + 1 = (х2010 - 1)/ (х - 1)
х2009 - х2008 + х2007 - х2006 + х2005 - х2004 + х2003 - х2002 + ... + х3 - х2 + х - 1 = (х2010 - 1)/ (х + 1)
Остальное (подробное) решение стоит 3 тыс.руб. Подсказка – 2 т.р.
ФИЗИКА
Ф1. В U-образную трубку налита вода плотностью ρв = 1г/см3 (рис.1).
В правое колено трубки бросили кубик со стороной а = 2 см и
плотностью ρ = 0,5ρв.
Как и на сколько изменятся уровни воды в правом и левом коленах трубки?
Поперечное сечение U-образной трубки одинаково и его площадь равна 2а2 .
Масса кубика m = ρа3 = 0,5ρва3, т.е. он вытеснит объём V = 0,5а3 воды.
Это равносильно добавлению V = 0,5а3 воды вместо кубика.
Она распределится по площади обоих колен: 4а2.
Уровни воды поднимутся на a/8 = 2,5 мм.
Это решение засвечено. Списывать его бесполезно.
Есть много других способов решения. (495) 345 20 61, 8-917 531 85 49. Skype: Alex110365
[email protected]
Ф2. Шарик массой m бросают с поверхности земли под углом к горизонту.
Если учитывать сопротивление воздуха, шарик достигает наивысшей точки своей
траектории на tо секунд раньше, чем если бы мы им пренебрегли.
На какую максимальную высоту поднимется шарик, если учесть сопротивление воздуха?
Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной скорости шарика:
Fс = -kV , где V - скорость шарика, k - коэффициент пропорциональности.
Вертикальная составляющая силы сопротивления Fсу = – kVу.
Т.е. движения по осям по-прежнему независимы.
Поэтому можно рассмотреть только вертикальное движение шарика,
т.е. считать его брошенным вертикально, под углом 90ок горизонту.
Уравнение 2-ого закона Ньютона
ma = mg – kV
в проекции на ось у выглядит:
ma = – mg – kV.
Закон изменения импульса (количества движения):
mΔV = – mgt – kΔy.
При движении на максимальную высоту h
V=0, Δy=h, t= tбез возд. – tо
mVо = mg(tбез возд. – tо) + kh
kh = mgtо
Остальное (подробное) решение стоит 3 тыс.руб. Подсказка – 2 т.р.
Ф3. В цилиндре под поршнем находится воздух с относительной влажностью 80% при
температуре 100оC и удвоенном нормальном атмосферном давлении. Найти давление
воздуха в цилиндре после изотермического уменьшения объёма воздуха в 5 раз.
После изотермического уменьшения объёма воздух с относительной влажностью 100%
имеет пар с нормальным атмосферным давлением. Для оставшейся фракции воздуха
pV = νRT = const,
где V – полный объём под поршнем (который и уменьшается в 5 раз),
p – парциальное давление сухого воздуха – увеличивается в 5 раз.
Остальное (подробное) решение стоит 2 тыс.руб. Подсказка – 1 т.р.
Ф4. Тепловая машина работает по циклу 1-2-3-4-1,
состоящего из адиабатического расширения 1-2,
изобарического сжатия 2-3, участка 3-4 линейной
зависимости давления от объёма и политропического
процесса 4-1 (рис.2). Рабочим телом этой машины является
идеальный одноатомный газ. Молярная теплоёмкость газа
в процессе 4-1 равна C=4,5R. Работа газа в процессе 4-1 в 2 раза меньше работы газа за
весь цикл, которая в свою очередь в 2,5 раза больше работы газа в процессе 3-4. Работа
газа за весь цикл равна А. Точки 3 и 4 на РV-диаграмме лежат на прямой, проходящей
через начало координат. Найти КПД η данной тепловой машины.
Одноатомный  Cv=1,5R  показатель политропы
= 2/3
Остальное (подробное и уникальное) решение стоит 4 тыс.руб. Подсказки – по 1 т.р.
Если спишите эти кусочки, - только себе навредите. Они выложены чисто для рекламы.
Потом не пеняйте.
Ф5. В плоский воздушный конденсатор параллельно его
обкладкам вставлена плоская незаряженная диэлектрическая
пластина толщиной d (рис.3). Продольные размеры пластины
равны аналогичным размерам обкладок. Конденсатор
первоначально не заряжен. Диэлектрическая проницаемость
пластины ε = 3. Замыкают ключ К.
1) Определить максимальное напряжение на конденсаторе.
2) Какую работу нужно совершить против сил электрического
поля, чтобы быстро вынуть пластину из конденсатора в момент,
когда напряжение на нём максимально?
Площадь пластин конденсатора равна S, а расстояние между ними много меньше размеров пластин.
Индуктивность катушки L, ЭДС батареи E. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Омическим сопротивлением катушки, конденсатора и соединительных проводов пренебречь.
По закону сохранения энергии
СU2/2 + LI2/2 = qE = СUE.
Батарея не только запускает колебания, но и смещает равновесие:
С(U - E)2/2 + LI2/2 = const.
Значит,
С(U - E)2/2 + LI2/2 = СE2/2
Максимальное напряжение на конденсаторе появляется одновременно с минимальным (т.е. равным
нулю током через катушку).
Umax = 2E
Остальное (подробное и уникальное) решение стоит 4 тыс.руб. Подсказки – по 1 т.р.
Ф6. Тонкая линза создаёт прямое изображение предмета с поперечным увеличением Г=2,5.
Расстояние по главной оптической оси между изображением и ближайшим к нему фокусом
на 1 см больше, чем расстояние по той же самой оси между предметом и этим фокусом.
Определить тип линзы и её фокусное расстояние.
Линза собирающая, она же положительная. Пусть фокусное расстояние = f.
Расстояние до изображения f + x = Г(f – y)
Расстояние между изображением и ближайшим фокусом x = 1 + y
1/( f + x) + 1/(f – y) = 1/f.
Учтите, что все эти формулы нужно доказывать. Всё не так просто!
Есть много других способов решения.
(495) 345 20 61, 8-917 531 85 49. Skype: Alex110365 [email protected]